Modelos estadísticos aplicados en administración de negocios que generan ventajas competitivas Videoconferencias semana de estadística Universidad Latina, Campus Heredia Costa Rica Universidad del Valle de México. Campus Guadalajara Sur. México Porfirio Pérez 1
Modelo Matemático Modelo matemático es una representación mental de la realidad, utilizando conceptos e ideas que definen un evento físico. En la administración de los negocios, el uso de estos modelos debe de ser herramienta común, pero falta mayor aplicación. Como ejemplo de la gran utilidad de los modelos matemáticos planteamos lo siguiente: Requerimos pintar una superficie de 3m base por 8 m de altura. Si un bote de pintura cubre 4 m 2, cuantos botes de pintura compramos? 2
Seguro que contestaríamos casi en forma reactiva que compramos 6 botes de pintura. Usted ya tomo una decisión que puede ser acertada o no para su empresa. Analizamos mas de cerca: Para tomar la decisión, se tomo un modelo matemático denominado RECTANGULO, que solo es un concepto mental creado para representar la realidad, y usted lo adaptó al problema, sin revisar si cumplía o no con los requisitos de este concepto. Un rectángulo es un polígono de 4 lados (una figura plana de lados rectos) en donde cada ángulo es un ángulo recto (90 ). También los lados opuestos son paralelos y de igual longitud. 3
Conclusión: Se usa un modelo matemático y se da por asentado su idoneidad a la realidad. Pero realmente se adapta al problema real? Suponemos que si y lo usamos Por lo que concluimos que requerimos el uso de modelos matemáticos y verificación de su aplicación Si el problema es mas complicado, y generalmente en la administración de negocios lo es, QUE HACER? 4
Objetivo de la sesión La estadística para este tipo de situaciones es universal y robusta solo hay que conocer su aplicación y validación de los Modelos estadísticos existentes y aplicarla a la administración de los negocios, este es el objetivo de esta sesión, exponer los principios sobre los que se basan los modelos estadísticos y como se interpretan y adecuan a la realidad, utilizando modelos de uso común demostrando la universalidad de la estadística para la administración de los negocios 5
Modelos estadísticos Se presentaran, aplican e interpretaran 2 modelos estadísticos que por su gran aplicación en la administración de los negocios son muy importantes 1. Modelo Lineal y no lineal aplicado a correlación de dos o mas variables aplicado a publicidad 2. Modelo suavizamiento exponencial aplicado a pronósticos 6
Modelo de correlación lineal y no lineal 7
Modelo Lineal aplicado a correlación de dos o mas variables Aplicación: PUBLICIDAD Cuando en la administración de los negocios existen dos o mas variables que pueden estar relacionadas entre si como pudiera ser la publicidad y las ventas nos interesa conocer si se relacionan( correlación), como se relacionan (métrica), y como en base a este modelo se puede pronosticar el efecto de la publicidad sobre las ventas( pronóstico) Iniciemos la idea: Considerar que puede existir relación entre la inversión en publicidad de un producto y los beneficios de las ventas de este, si se puede determinar como se relacionan, podemos entonces decidir si aumentamos los costos de publicidad, los reducimos o los eliminamos. Se parte del siguiente modelo: Y = f(x)= ax + b 8
Y MODELO LINEAL y=f(x)=ax +b y correlación Esta relación entre f(x) y x se conoce como relación lineal o como función de primer grado. Ejemplo: Y = 2 X + 4 Grafica de primer orden 14 12 10 8 6 4 2 0-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 X 9
Y = 2 X + 4 Donde: b= intersección eje y a= pendiente de la recta. Si a= 1 Angulo =45º Al modificar a la inclinación de la recta disminuye o aumenta Al modificar b el cruce con el eje y disminuye o aumenta..\ing. Porfirio\PRINCIPAL\ESTADISTICA\GRAFICA Primer Grado.xls 10
Aplicación del modelo Si suponemos que este modelo se aplica a los gastos en publicidad y el total de ventas, entonces : b= Ventas que se realizan, con o sin publicidad a= Si es Positiva aumenta publicidad, aumenta ventas Si es Negativa aumenta publicidad, disminuye ventas Entonces todo se resume a preguntarnos: 1) Se relacionan publicidad y ventas? 2) Cuanto vale a y b? 3) Como pronosticar ventas con gasto de publicidad 11
Cualquier respuesta a estas útiles preguntas tiene un origen en común, DATOS ESTADISTICOS Estos datos son información disponible en el ámbito de la administración de las empresas, por lo que no hay problema para obtenerlas. Ejemplos de datos estadísticos: n es el número de pares de datos = 6 Publicidad X Ventas Y 65 75 71 84 79 85 85 90 93 94 100 102 12
$ VENTAS Con solo datos estadísticos se elabora la gráfica de dispersión : Gráfica de Dispersión 110 105 100 95 90 85 80 75 70 60 70 80 90 100 110 $ PUBLICIDAD 13
$ VENTAS Agregando línea de tendencia: Gráfica de Dispersión 110 105 100 95 90 85 80 75 70 60 70 80 90 100 110 $ PUBLICIDAD 14
En el contexto del análisis matemático se desprende lo siguiente: Coeficiente de correlación r = SC(xy) / SC(x).SC(y) Si se correlacionan r tiene valor cercano a +/- 1. Si NO se correlacionan r tiene valor cercano a 0. a = SC(xy) / SC(x) b = ( Y- (m. X ))/n 15
Pasando a los cálculos con los datos: Publicidad Ventas X Y X 2 Y 2 X.Y 65 75 4225 5625 4875 71 84 5041 7056 5964 79 85 6241 7225 6715 85 90 7225 8100 7650 93 94 8649 8836 8742 100 102 10000 10404 10200 0 0 0 493.0 530.0 41381.0 47246.0 44146.0 x y x 2 y 2 xy 16
Calculo de sumas de cuadrados Para realizar cálculos con estos datos, definimos las suma de cuadrados de x, y, x 2, y 2, xy como: SC(x) = x 2 - (( x ) 2 / n ) SC(y) = y 2 - (( y ) 2 / n ) SC( x.y ) = ( x.y )- (( x )( xy)/ n ) Sustituyendo los valores obtenidos tenemos: SC(x) = 872.83 SC(y) =429.33 SC( x.y ) =597.67 17
SC(x) = 872.83 SC(y) = 429.33 SC(xy) = 597.67 Estos resultados estadísticos nos sirven para calcular : r = SC(xy) / SC(x).SC(y) a = SC(xy) / SC(x) b = ( Y- (m. X ))/n Resultados: r = 0.9763 R 2 = 0.953 a = 0.68 b = 32.07 18
Significado de los cálculos Porcentaje de datos que siguen el modelo lineal: r = 0.9763 97.63 % por lo que si hay correlación Porcentaje de ajuste del pronóstico: R 2 = 0.953 95.3 % Cambio en la publicidad por cambio en las ventas 0.68, es positivo por lo que al incrementar la publicidad se incrementa las ventas a = 0.68 Intersección de la recta con el eje de las ventas a publicidad Cero, es decir ventas sin publicidad b = 32.07 $32.07 (miles) 19
Ajuste del modelo Ventas = 0.68. Publicidad + 32.07 En base a esta información estadística concluimos: Si hay una correlación positiva entre publicidad y ventas Si no realizamos publicidad tendíamos ventas por $32.07 Se puede realizar pronósticos o evaluar errores del modelo. Ejemplo de pronostico: Si gastamos de publicidad $90.00 esperamos ventas pronosticadas de $ 93.70 ( seguros en un 95.3% ) 20
Errores del modelo Si gastamos de publicidad $85.00 esperamos ventas pronosticadas de: Ŷ = $ 90.2734 ( valor pronosticado) De acuerdo a la información: Error del modelo: 0.2734 Publicidad X Ventas Y 65 75 71 84 79 85 85 90 93 94 100 102 21
Cálculo de los errores del modelo De forma similar: Ŷ e e 2 e i -e i-1 ( e i -e i-1 ) 2 76.58 1.5786 2.4919 80.69-3.3130 10.9757-4.892 23.927 86.16 1.1650 1.3572 4.478 20.052 90.27 0.2734 0.0748-0.892 0.795 95.75 1.7514 3.0673 1.478 2.184 100.54-1.4554 2.1182-3.207 10.284 530.0 0.0 20.1-3.0 57.2 22
Evaluación de MAD y MSE Si Error de pronostico = Valor real- Valor pronosticado Se definen: MAD = Error /n MAD que es promedio de la desviación absoluta: MSE = (Error) 2 /n MSE promedio del cuadrado del error: Cuando se tienen resultados de MAD y MSE de dos o mas pronósticos se elige el que tenga el menor valor del parámetro. 23
Correlación no-lineal Pero, Como trabajar cuando consideramos mas de una variable? Para hacerlo mas interesante en base a los datos suponemos que la relación no es relación lineal, y que sigue el modelo matemático: Y = f(x)= a x 12 + b x 1 + c A este modelo se le conoce como modelo no lineal o modelo de segundo orden. Los nuevos datos son: DATOS Y i X i 2 3 3 10 8 30 7 50 9 40 8 20 4 55 Elaborando el diagrama de dispersión : 24
Diagrama de Dispersión Datos reales 10.0 9.0 8.0 7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0 0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 $ de Publicidad 25
Con línea de tendencia Datos reales 10.0 9.0 8.0 7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0 0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 $ de Publicidad 26
MODELO NO LINEAL y=f(x)=ax 2 +bx + c correlación Ejemplo: y = f(x) = -2 X 2 + 9 X 1 + 1 Gráficamente: 15 10 1.5, 10 2.0, 11 2.5, 11 3.0, 10 1.0, 8 3.5, 8 5 0.5, 5 4.0, 5 0 0, 1 0 1 2 3 4 5 27
Aplicación del modelo Si consideramos, basándonos en el diagrama de dispersión de los datos reales, que las ventas son función de la publicidad al cuadrado, es decir, una función de segundo grado, que representa una curva. Tendríamos: MODELO y=f(x)= β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 1 2 Interpretación de los parámetros: β 0 = Intersección con eje y de la curva β 1 = Intersección con eje horizontal en β 0 β 2 = Positivo la curva tiene un mínimo, negativo máximo 28
MODELO y=f(x)= β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 1 2 Ejemplo: y = f(x) = 1 X 2 + 3 X 1 + 5 30 25 20 15 10 5 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 29
El modelo es entonces: Y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 1 Cambio a lineal : Y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 Donde: x 2 = x 1 2 30
MODELO Y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 Nos queda un sistema de 3 x 3 con 3 incógnitas β 0 n + β 1 x 1 + β 2 x 2 = y β 0 x 1 + β 1 x 2 1 + β 2 x 1.x 2 = x 1.y β 0 x 2 + β1 x 1.x 2 + β2 x 2 2 = x 2.y 31
Usando información estadística DATOS 2 Y i X i x 1 x 2 x 2 y. x 1 y. x 2 x 1 x 2 2 3 3 9 81 9 6 18 27 3 10 10 100 10,000 100 30 300 1,000 8 30 30 900 810,000 900 240 7,200 27,000 7 50 50 2,500 6,250,000 2,500 350 17,500 125,000 9 40 40 1,600 2,560,000 1,600 360 14,400 64,000 8 20 20 400 160,000 400 160 3,200 8,000 4 55 55 3,025 9,150,625 3,025 220 12,100 166,375 Σ 41 208 208 8,534 18,940,706 8,534 1,366 54,718 391,402 Ỹ 5.8571 29.714 Número datos: 7 Sustituyendo sumas de datos β 0 7 + β1 208 + β2 8534 = 41 β 0 208 + β1 8534 + β2 391402 = 1366 β 0 8534 + β1 391402 + β2 18940706 = 54718 x 1 2 32
Resolviendo el sistema Calculo de Determinante 7 208 8534 7 208 Δ = 208 8534 391402 208 8534 = 7669956000 8534 391402 18940706 8534 391402 Calculo de Determinante Δ β0 41 208 8534 41 208 Δ β0 = 1366 8534 391402 1366 8534 = -3000136200 β0 = -0.391 54718 391402 18940706 54718 391402 Calculo de Determinante Δ β1 7 41 8534 7 41 Δ β1 = 208 1366 391402 208 1366 = 4260521540 β1 = 0.555 8534 54718 18940706 8534 54718 Calculo de Determinante Δ β2 7 208 41 7 208 Δ β2 = 208 8534 1366 208 8534 = -64532380 β2 = -0.008 8534 391402 54718 8534 391402 33
Los resultados son: β0 = -0.3912 β1 = 0.5555 β2 = -0.0084 Por lo que el modelo estadístico que representa estos datos es: Ŷ = -0.391 + 0.555 x 1 + -0.008 x 2 Donde: x 2 = x 1 2 34
Calculo de la bondad de ajuste SCR SCE SC total Y i X i Ỹ Ŷ ( Ŷ-Ỹ ) 2 ( Y i -Ŷ) 2 2.0 3.0 5.9 1.20 21.7 0.64 3.0 10.0 5.9 4.32 2.4 1.75 8.0 30.0 5.9 8.70 8.1 0.49 7.0 50.0 5.9 6.35 0.2 0.42 9.0 40.0 5.9 8.37 6.3 0.40 8.0 20.0 5.9 7.35 2.2 0.42 4.0 55.0 5.9 4.71 1.3 0.50 Σ 42.2 4.63 46.9 Calculo del coeficiente de determinación multiple( R ): 0.90124076 % de datos que se ajustan a este modelo matemático: 90.12% 35
Conclusiones del modelo matemático En base a los análisis presentados se puede afirmar que: Este modelo es un modelo fácil de usar, interpretar y aplicar a problemas reales Visualizar el comportamiento de la variable es fácil y por tanto el pronosticar sus valores también Es una herramienta estadística muy práctica y poderosa y se puede aplicar a cualquier disciplina por lo que es universal Conocer el comportamiento de los modelos lineales y no lineales son fundamentales para los problemas aplicados en administración de negocios, mejorando notablemente el entendimiento del comportamiento de las variables, generando ventajas competitivas para quien los usa. 36
Modelo suavizamiento exponencial 37
Modelo suavizamiento exponencial Aplicación: PRONOSTICOS Cuando en la administración de los negocios existe necesidad de realizar pronósticos de variables un método muy utilizado es el de suavizamiento exponencial. Iniciemos la idea: Considerar que el valor de un periodo en una serie de tiempo depende del valor anterior y de un factor. Se parte del siguiente modelo: y 1 = Y 1 ( Valor inicial pronosticado es el valor inicial de serie) y i+1 = Yi+1. α + ( 1- α)y i ( siguiente valor pronosticado ) 38
Modelo y i+1 = Y i+1. α + ( 1- α)y i Como ejemplo, consideramos la siguiente t Y serie de tiempo: t 1 71 2 70 3 69 4 68 5 64 6 65 7 72 8 78 9 75 10 75 11 75 12 70 13 75 14 75 15 74 16 78 17 86 18 82 19 75 20 73 21 72 22 73 23 72 24 77 25 83 26 81 27 81 28 85 29 85 30 84 39
Gráfica de los datos contra el tiempo 40
MODELO: y 1 = Y 1 y i+1 = Yi+1. α + ( 1- α)y i Suavizamiento exponencial Constante de suavizamiento: α Constante de suavizamiento: α t Y t S t 0.1 S t 0.5 1 71 71.0 71 2 70 70.9 70.5 3 69 70.7 69.8 4 68 70.4 68.9 5 64 69.8 66.4 6 65 69.3 65.7 7 72 69.6 68.9 8 78 70.4 73.4 9 75 70.9 74.2 10 75 71.3 74.6 11 75 71.7 74.8 12 70 71.5 72.4 13 75 71.8 73.7 14 75 72.2 74.4 15 74 72.3 74.2 16 78 72.9 76.1 17 86 74.2 81.0 18 82 75.0 81.5 19 75 75.0 78.3 20 73 74.8 75.6 21 72 74.5 73.8 22 73 74.4 73.4 23 72 74.1 72.7 24 77 74.4 74.9 25 83 75.3 78.9 26 81 75.8 80.0 27 81 76.4 80.5 28 85 77.2 82.7 29 85 78.0 83.9 30 84 78.6 83.9 41
MODELO: y 1 = Y 1 y i+1 = Yi+1. α + ( 1- α)y i 42
MODELO: y 1 = Y 1 y i+1 = Yi+1. α + ( 1- α)y i 43
Conclusiones del modelo matemático Se observa que con el coeficiente de 0.5 da una aproximación mejor a los datos reales, por lo que se utiliza para realizar el pronostico del siguiente periodo Si queremos una mejor aproximación, se tendrá que utilizar un modelo que incluya varios factores mas, y de acuerdo a la curva podría ser comportamientos senoidales, cosenoidales y alguna otra función. Esto nos lleva a modelos estadísticos econométricos 44
Modelos econométricos Son modelos estadísticos de la forma: Y= a 0 +a 1 X 1 +a 2 X 2 +...a k X k Donde cada a k coeficiente se debe de especificar de acuerdo al comportamiento de la variable y cada X k es una función que caracteriza la gráfica de datos reales, pudiendo ser graficas lineales, no lineales, exponenciales, senoidales, etc. 45
Función Seno y coseno Tenemos las gráficas Y = A Seno [ ( 2π / B ) ( x - C ) ] + D 15.00 10.00 5.00 0.00-5.00-10.00-15.00-15 -10-5 0 5 10 15 :..\Ing. Porfirio\PRINCIPAL\FUNCIONES\FUNCION SENO.xls 46
Modelos econométricos Como ejemplo: y las funciones: Modelo Senoidal Periodo de ciclo = 10 Término independiente = 68.85 Coeficiente variable X 1 = 0.43 Coeficiente variable X 2 = 8 Coeficiente variable X 3 = -3.23 Coeficiente variable X 4 = -0.21 Coeficiente variable X 5 = 0.01 Valor de π = 3.142 X 1 = t X 2 = Cos ( 2 π t / 10 ) X 3 = Sen ( 2 π t / 10 ) Siendo el modelo: X 4 = t Cos ( 2 π t / 10 ) X 5 = t Sen ( 2 π t / 10 ) Ŷ t =68.85 + 0.43 t + 8 Cos ( 2 π t / 10 ) + -3.2 Sen ( 2 π t / 10 ) + -0.2 t Cos ( 2 π t / 10 ) + 0.01 t Sen ( 2 π t / 10 ) 47
Cálculos para el modelo Tiempo Valor Valores del ciclo Valor Error de Error de observado predicción predicción predicción 2 t Y t Cos Sen t Cos t Sen Ŷ t Y t- Ŷ t (Y t- Ŷ t ) 2 1 71 0.81 0.59 0.81 0.59 73.69-2.69 7.23 2 70 0.31 0.95 0.62 1.90 69.00 1.00 1.00 3 69-0.31 0.95-0.93 2.85 64.82 4.18 17.48 4 68-0.81 0.59-3.24 2.35 62.90 5.10 25.99 5 64-1.00 0.00-5.00 0.00 64.05-0.05 0.0025 6 65-0.81-0.59-4.85-3.53 67.84-2.84 8.07 7 72-0.31-0.95-2.16-6.66 72.85-0.85 0.72 8 78 0.31-0.95 2.47-7.61 77.24 0.76 0.58 9 75 0.81-0.59 7.28-5.29 79.51-4.51 20.33 10 75 1.00 0.00 10.00 0.00 79.05-4.05 16.40 11 75 0.81 0.59 8.90 6.47 76.35-1.35 1.82 12 70 0.31 0.95 3.71 11.41 72.75-2.75 7.54 13 75-0.31 0.95-4.02 12.36 69.86 5.14 26.39 14 75-0.81 0.59-11.33 8.23 68.96 6.04 36.48 15 74-1.00 0.00-15.00 0.00 70.45 3.55 12.60 16 78-0.81-0.59-12.94-9.40 73.78 4.22 17.80 17 86-0.31-0.95-5.25-16.17 77.70 8.30 68.87 18 82 0.31-0.95 5.56-17.12 80.79 1.21 1.45 19 75 0.81-0.59 15.37-11.17 82.05-7.05 49.72 20 73 1.00 0.00 20.00 0.00 81.25-8.25 68.06 21 72 0.81 0.59 16.99 12.34 79.01-7.01 49.13 22 73 0.31 0.95 6.80 20.92 76.49-3.49 12.19 23 72-0.31 0.95-7.11 21.87 74.91-2.91 8.45 24 77-0.81 0.59-19.42 14.11 75.02 1.98 3.93 25 83-1.00 0.00-25.00 0.00 76.85 6.15 37.82 26 81-0.81-0.59-21.03-15.28 79.72 1.28 1.64 27 81-0.31-0.95-8.34-25.68 82.56-1.56 2.42 28 85 0.31-0.95 8.65-26.63 84.35 0.65 0.42 29 85 0.81-0.59 23.46-17.05 84.59 0.41 0.17 30 84 1.00 0.00 30.00 0.00 83.45 0.55 0.30 FIN SCE = 505.00 48
Gráfica del modelo 49
Conclusiones del modelo matemático En base a los análisis presentados se puede afirmar que: Este modelo es un modelo que requiere definir el coeficiente de suaviza miento pero es fácil de usar y aplicar a problemas reales Es un modelo aproximado por lo que el comportamiento de la variable es algo diferente a la real, pero se usa con excelentes resultados en pronosticar sus valores Es una herramienta estadística muy práctica y poderosa y se puede aplicar a cualquier disciplina por lo que es universal Los modelos estadísticos aplicados en administración de negocios, mejoran notablemente el entendimiento del comportamiento de las variables, generando ventajas competitivas para quien los usa. 50
Gracias por su atención Sesión de preguntas y respuestas Universidad del Valle de México. Campus Guadalajara Sur. México Porfirio Pérez 51