UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO FACULTAD DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS BÁSICAS INSTITUTO DE FÍSICA FIS 031 GRUPO I DE EXPERIMENTOS E1 E2 E3 E4 E5 CIRCUITO RC PENDULO BIFILAR CAMPO MAGNETICO EN EL INTERIOR DE UN SOLENOIDE ONDAS ESTACIONARIAS INTENSIDAD LUMINICA PRIMER SEMESTRE 2005 1
CIRCUITO RC Y OSCILOSCOPIO Objetivo Encontrar el modelo matemático para la carga y descarga de un capacitor en el tiempo, en un circuito RC. o V(t) INTRODUCCION Considere el circuito de la figura 1, la que contiene una batería, un resistor y un capacitor, un voltímetro y un interruptor S. Cuando S se coloca en la posición 1, el capacitor se carga rápidamente al potencial V 1, de la batería, la magnitud de la carga q, en cualesquiera de las placas del condensador es. q = C V 1 1 2 R 1 2 R + S + S V1 C V V C V V - - A) 2 S B) 1 R C C) Figura 1. Circuitos para observar la descarga y carga de un capacitor. Cuando S se coloca en la posición 2, la situación inicial es la mostrada en la figura 1b, la diferencia de potencial a través del capacitor también aparece a través de la rama voltímetro resistor, produciendo una corriente en esta rama. Esta corriente descarga al capacitor, lo cual disminuye la diferencia de potencial entre las placas con lo cual decrece la corriente. Entonces q(t) decrece rápidamente al comienzo y más lentamente a continuación. También la corriente tiene un valor inicial relativamente grande pero va decreciendo al transcurrir el tiempo y tiende a cero a medida que el capacitor se va descargando. 2
Donde sea, q 0 = q(0). q 0 t q(t) = q(0) exp(- ) (1) RC es una constante cuyo valor corresponde a la carga del condensador en t = 0(s). O Así que la carga en el capacitor varía con el tiempo como se muestra en la figura 2. Las escalas q(t) t muestran valores de las razones y más bien que q(t) y t. Esto tiene la ventaja que las q 0 RC razones indicadas son adimensionales, esto es, son números puros, sin unidades. Al producto RC se le llama "Constante de tiempo" o "tiempo de relajación" del circuito y se designa τ. Como muestra la relación [1], después de un intervalo de tiempo τ = RC la carga ha caído a -1 un valor q(t) = e q, o sea q τ = 0.368 q o sea al 36,8% del valor original. 0 ( ) 0 q/q 0 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 T 1/2 0.2 t/rc Figura 2. Descarga de un capacitor. Hay otra cantidad relacionada con esto, mucho más fácil de medir experimentalmente, es el intervalo de tiempo requerido para que q(t) caiga a la mitad de su valor original. Anotando este intervalo de tiempo T (1/2) tenemos : q0 T1/2 = q0 exp - (2) 2 RC aplicando logaritmo natural, se tiene: T 1/2 = RC ln 2 0.639 RC = 0.639 τ (3) 3
A este tiempo se le puede llamar "Vida Media" término que se utiliza también en la descripción de procesos de decaimiento radioactivo. El comportamiento del circuito RC descrito más arriba, a veces llamado "relajación de carga", se puede observar directamente con el voltímetro, siempre que la constante de tiempo RC sea suficientemente grande, digamos del orden de unos pocos segundos. A menudo, sin embargo, se utilizan valores para los cuales RC es mucho más corto que un segundo, en estos casos no se puede usar un voltímetro debido a que no es capaz de seguir fluctuaciones rápidas de voltaje o corriente, y aún si él pudiera, el ojo humano no podría seguir el movimiento de la aguja o la sucesión de valores en el display. El comportamiento exponencial de las cargas en las placas del capacitor viene del hecho de que la rapidez con que disminuye la carga en el capacitor en un instante es proporcional a la carga en él en ese instante. Para llegar a esta conclusión se puede razonar de la siguiente manera: La carga que fluye por la resistencia va desde una placa a la otra. La intensidad de corriente que circula hace disminuir la carga en el capacitor. En el intervalo de tiempo dt la cantidad de carga que pasa por el resistor es i(t) dt. Se tendrá la relación: dq(t) - = i(t) dt Ya que la circulación de dq por el resistor implica una disminución en la carga del capacitor. Pero q(t) = C V(t), en que V(t) es la diferencia de potencial entre las placas del capacitor y además V(t) = i(t) R entre los extremos del resistor. Entonces: dq(t) V - = dt R (4) que lleva a: dq(t) q(t) = - dt RC o bien: dq(t) q(t) + = 0 dt RC (5) La solución de esta ecuación diferencial es: t q(t) = A exp - RC que lleva a [2] para condiciones iniciales q(t) = q0, para t = 0. 4
Si se emplea el circuito 1c de la figura 1, colocando S en 1 por un intervalo de tiempo largo, y después en 2. En la relación [5] el segundo miembro es igual a la diferencia de potencial constante, V 1. Entonces, se tiene: dq(t) q(t) + = V1 dt RC que si se deriva respecto al tiempo, da origen a: di(t) i(t) + = 0 dt RC en que i(t) es la intensidad de corriente. La solución de esta última ecuación diferencial es, por analogía: t i(t) = i0 exp(- ) RC Integrando para obtener q(t), se tiene: 1 q(t) = RC i0 exp + cte RC Si t >> RC, se tiene que q(t) = q 0 y el término exponencial tiende a 0. Así que: Cte = q Por otra parte se tiene que para t = 0, q(0) = 0, de lo cual: RC i0 = q Entonces: t q(t) = q 1 exp RC que es la solución de la ecuación diferencial [6]. 5
EXPERIMENTO: A. Carga del condensador 1. Mida con el voltímetro la fem de la fuente de poder y anótela. Coloque el voltímetro (40.000 Ohm/V) en la escala apropiada. Note que el voltímetro marca solo una parte del voltaje de la fuente de poder. Por qué?. 2. Arme el circuito mostrado en la figura 3. Use una diferencia de potencial ε menor que la que es capaz de soportar el capacitor y que estará indicada en él. La polaridad es muy importante en la conexión de un capacitor electrolítico. Sea cuidadoso. Conecte a y b y comience a medir a intervalos iguales los valores dados por el voltímetro, hasta que se aproxime al valor de la f.e.m. Escríbalos en una tabla de datos. a b R + ε c C V c 3. Construya un gráfico V v/s t y linealice. 4. Establezca el modelo matemático de la carga del condensador. Use guía Mediciones. B. Descarga de un condensador 1. Para obtener relajación de carga en su forma más simple use nuevamente el circuito que se muestra en la figura 3. Cuando el voltímetro marque el máximo valor, interrumpa el contacto con la batería (conecte b - c) y mida el voltaje (en Volt) a intervalos regulares de tiempo. 2. Compruebe que la relación entre q o (V) y t es de tipo exponencial. 3. Establezca el modelo matemático correspondiente a la descarga del capacitor. 4. Del gráfico determine τ y compárelo con el valor teórico. 5. Mida el tiempo requerido para que la lectura del instrumento caiga a la mitad de su valor inicial. Calcule RC a partir del valor obtenido para T ½ y compare con el valor esperado. 4. Explique por qué al cambiar la escala del voltímetro, la aguja de él casi no cambia de posición en la escala. 6
BÚSQUEDA DE UN MODELO MATEMÁTICO PÉNDULO BIFILAR INTRODUCCIÓN El objetivo de este experimento es encontrar un modelo matemático entre tres variables, usando para ello un péndulo bifilar. Un péndulo bifilar está formado por una varilla metálica suspendida de dos hilos paralelos, como se muestra en la figura 1, el cual realizará un movimiento oscilatorio de torsión de la barra luego de ser desviada un ángulo pequeño respecto del eje horizontal OA paralelo a la varilla en reposo, es decir, el movimiento oscilatorio se realiza en el plano horizontal. g d l O O A Figura 1. Péndulo bifilar. El período de oscilación, T, de la varilla respecto del eje vertical que pasa por O depende del momento de inercia, I, el cual depende de la distribución de masas respecto al cual gira la barra, del largo de los hilos,, y de la distancia de separación, d, entre ellos, entre otras magnitudes que permanecen constantes. Por lo tanto nuestro objetivo será encontrar la relación entre T,, d e I. Al analizar las variables involucradas se observa que el largo de los hilos, el momento de inercia y la distancia de separación entre ellos serán las variables independiente y el período será la variable dependiente, es decir, T(, d,i). El modelo teórico, el cual usted puede encontrar usando las magnitudes indicadas en la figura 2 es. T 4 I = π l d mg 7
d θ θ l ϕ O ϕ Figura 2. PROCEDIMIENTO 1. Arme el péndulo bifilar, cuidando que los hilos estén siempre paralelos y equidistantes del centro de la varilla para mantener constante el momento de inercia. 2. Ensaye el movimiento que debe tener el péndulo, desviando la barra un ángulo pequeño respecto de la horizontal OA, cuide que el centro de ella permanezca en reposo. 3. Mida el período para un largo, un momento de inercia I y una distancia d cualquiera. Como el tiempo de reacción de una persona es aproximadamente 0.3 (s) qué error está cometiendo al realizar esta medición?. Por lo cual, qué debe hacer para que sus datos tengan un error porcentual solo del 1%? 4. Realice un experimento de prueba, para determinar entre que largos y entre que distancias de separación va a trabajar, para esto, mida el periodo para un θ pequeño y uno grande, repita para d pequeño y grande. Como hay tres variables independientes involucradas el experimento se debe dividir en tres partes. Si mantenemos el momento de inercia constante, solo se realizarán las partes I, II y IV. PRIMERA PARTE Relación entre período y largo con la distancia de separación constante y momento de inercia constante, T( ). 5. Mida el período para unos diez largos diferentes, anote los datos en una tabla, como la que se muestra a continuación. (cm) d(cm) t(s) n T(s) 8
6. A medida que está tomado datos realice un gráfico de prueba, 7. Una vez terminada esta parte, introduzca los datos al computador y encuentre la relación entre las variables involucradas, linealice la curva, considerando que la relación es del tipo T = k 1 n l 1, para esto construya el gráfico log T - log, de él determine n1. SEGUNDA PARTE Relación entre período y distancia de separación con largo constante y momento de inercia constante, T(d). 8. Mida el período para unas diez distancias de separación diferentes, anote los datos en una tabla similar a la anterior. 9. A medida que está tomando datos realice un gráfico de prueba. 10. Una vez terminada esta parte, introduzca los datos al computador y encuentre la relación entre las variables involucradas, linealice la curva, considerando que la relación es del tipo T = k n d 2, para esto construya el gráfico log T - log d, de él determine n2. 2 TERCERA PARTE. Relación entre el período, largo, y distancia de separación. 11. De la relaciones establecidas en las partes 7 y 10, se puede concluir que el periodo depende n en forma directamente proporcional a l 1 n y d 2 por lo cual se puede decir que: T es directamente proporcional a l d n1 n2 12. En las tablas anteriores agregue una nueva columna con el producto l n 1 d n 2 13. Construya el gráfico T - l n 1 d n 2. Encuentre el modelo matemático. 14. Compare la relación encontrada con el modelo teórico y determine los errores relativos porcentuales de las constantes que usted encontró experimentalmente. Dato teorico- Dato experimental Error relativo porcentual = 100 Dato teórico 9
CONSIDERACIONES SOBRE PRECISIÓN A continuación se harán algunas acotaciones respecto a uno de los aspectos importantes a considerar para tomar buenas mediciones. Generalmente interesa el error relativo más que el error absoluto, ya que en error de 0,5 (cm) en la medición de una longitud de 10(cm) representa una exactitud inferior que en una medición de 100 (cm). El error relativo se determina haciendo el cuociente entre el tamaño de error (valor absoluto) y el tamaño de la medida misma y normalmente se expresa en por ciento, por lo que se le llama error porcentual. Por ejemplo, el error de 0.5 (cm) al medir 10(cm) representa un error porcentual de 5% y el error de 0.5 (cm) al medir 100(cm) representa un error de 0,5%. De esta manera podemos escribir el Error Relativo porcentual: Dato teóricoporcentual = 100 Dato experimental Error relativo Dato teórico Si se desea medir el período de un péndulo con una precisión del 1%, y como se sabe que la exactitud de un cronómetro es mejor que el 1% que se exige, pero la precisión se ve perjudicada porque al encender y detener el reloj se comete un error de alrededor de 0.3(s) lo cual implica que en una medición de un período de 1(s) se comete un error porcentual de aproximadamente 30%. De aquí entonces que para reducir el error porcentual se deberán medir intervalos de tiempo mayores, por ejemplo a lo menos 30(s) para que el error porcentual sea de alrededor del 1%. 10
CAMPO MAGMETICO EN EL INTERIOR DE UN SOLENOIDE OBJETIVO Estudiar el campo magnético en un punto en la parte central y próximo al eje de un solenoide de gran longitud. Encontrar el modelo matemático que relaciona la intensidad del campo magnético en el interior de un solenoide con la intensidad de corriente eléctrica y el número de vueltas por unidad de longitud. INTRODUCCION Un solenoide es un alambre largo enrollado en forma de una hélice. Cuando las vueltas están muy juntas entre si, se puede considerar como una vuelta circular y el campo magnético neto será la suma de los campos debido a todas las vueltas. La figura muestra las líneas de campo para un solenoide de espiras separadas, se puede observar que las líneas de campo magnético en el espacio rodeado por las bobina son casi paralelas y distribuidas en forma uniforme y muy cercanas entre si, esto implica que el campo es esa región es uniforme. En cambio las líneas de campo entre las vueltas tienden a anularse unas con otras, además, se puede observar que en el exterior el campo es débil. (a) (b) Figura 1. a) Línea de campo magnético en un solenoide de espiras separadas. b) líneas de campo en un solenoide de longitud finita con vueltas muy próximas. Se observa que en el caso de vueltas muy próximas las líneas de campo dirigen en un extremo y convergen en le otro, se puede inferir que un extremo se comporta como polo Norte y el otro como polo Sur. 11
La intensidad del campo magnético en el interior de un solenoide ideal se puede determinar teóricamente haciendo uso de la Ley de Ampère, la figura 2 muestra una vista transversal de un solenoide con vueltas muy próximas, si consideramos que el largo del solenoide es muy grande compara con el radio y si circula una intensidad de corriente constante I se puede considerar que el campo en el interior es uniforme y en el exterior es nulo, Figura 2. Vista transversal de un solenoide ideal. Los solenoides son un elemento importante de los controles automatizados. Los solenoides se utilizan en muchos electrodoméstico. Puede mencionar alguno? Hagalo. Usando la ley de Ampère, se puede establecer que : B r r ds = Bl = µ 0NI N B = µ 0 I l µ o = 4π x 10-7 (tesla metros)/amp) En este experimento se usará el sensor de campo magnético para medir B, el cual se conectará a una interfaz al computador. PROCEDIMIENTO 1. Arme el circuito mostrado en la figura 3. 12
solenoi de Figura 3. Circuito para establecer una corriente eléctrica en el solenoide. 2. Conecte el sensor de campo magnético al Canal analógico A de la interfaz y esta al computador. 3. Abra el programa Scienceworkshop, No se necesita calibrar el Sensor de campo magnético. El sensor de campo magnético produce una tensión que es directamente proporcional a la intensidad del campo magnético : 10 millivolt = 10 gauss (donde 1000 gauss = 0.1 tesla). La gama del sensor es ±2000 gauss 4. Mantenga el sensor de campo magnético alejado de cualquier fuente de campos magnético y ponga a cero el sensor presionando el botón de TARE en el cuerpo del sensor 5. Seleccione campo AXIAL pulsando el conmutador de selección RADIAL/AXIAL en el sensor. 6. Vuelva a poner el sensor a la posición próxima al solenoide.. 7. Inicie la medida de datos. Haga clic en el icono REC. 8. Anote el valor de la intensidad, que marca el indicador digital, es la sección de datos. 9. Coloque el solenoide en dirección NS Inserte la varilla del sensor en centro de la bobina. Mueva el sensor de alrededor del interior de la bobina para ver si la posición radial del sensor cambia la lectura del ordenador. 10. Anote la lectura de la componente axial de campo magnético dentro de la bobina en la mitad, lejos del otro extremo de la bobina. Anote este valor en la sección de datos.. 11. Retire el sensor de campo magnético de la bobina. Seleccione campo RADIAL Mantenga el sensor lejos de cualquier fuente de campos magnéticos y vuelva a poner a cero presionando el botón de TARE. 12. Inserte la varilla del sensor en el centro de la bobina. Anote la lectura de la componente radial del campo magnético en la sección de datos. 13. Mida la longitud de la bobina solenoide 14. Establezca un corriente eléctrica en el solenoide y mida B, repita para 10 intensidades de corriente eléctrica diferentes. 15. Encuentre la relación entre B e I, para n constante. 13
16. Ahora mantenga una intensidad de corriente eléctrica constante y varíe el número de espira y mida B. Para determinar el valor de I constante realice un experimento de prueba, midiendo el I máx y el I mín para n = 300 vueltas y para n = 2400 vueltas. 17. Encuentre la relación entre B y n, para I constante. 18. Encuentre la relación entre B, N e I. Siendo N = n /L. Compare con el resultado teórico.. Figura 4. Solenoide PREGUNTAS 1. Sufre la lectura axial cambios cuando el sensor se mueve radialmente afuera del centro del bobinado de la bobina? 2. Era la lectura axial diferente de la lectura radial en la mitad de la bobina cuando el sensor estaba dentro pero cerca de los extremos de la bobina? 3. Comparando las lecturas axial y radial Qué conclusión puede deducir a cerca de la dirección de las líneas del campo magnético dentro del solenoide? 4. Compare el valor teórico con el valor axial utilizando el porcentaje de diferencia. Cuáles son alguno de los factores que se podrían tener en cuenta para esta diferencia? 14
ONDAS ESTACIONARIAS EN CUERDA OBJETIVO : Encontrar la relación empírica que gobierna el movimiento de una cuerda vibrante en términos de la longitud de onda λ, la frecuencia f y la tensión T en la cuerda. INTRODUCCION Cuando una cuerda se amarra a sus extremos se generan ondas estacionarias en condiciones de resonancia. En estas condiciones la vibración se caracteriza por la existencias de vientres y nodos, A través del estudio dinámico del movimiento de una cuerda, depende exclusivamente de las propiedades del medio en cual viaja. Si la tensión en la cuerda es T y su masa por unidad de longitud es µ, la velocidad de propagación de la onda es: T v = (1) µ Para una onda senoidal el desplazamiento vertical del medio se puede escribir 2π y= Asen x λ y x Figura. Onda senoidal que viaja hacia la derecha. De la figura se puede obtener que la velocidad de propagación de la onda: v = λ f (2) Siendo λ la longitud de onda y f la frecuencia de la onda, con onda. 15 f 1 =, siendo P el periodo de la P
La descripción del movimiento de una onda en una cuerda, con longitud L, tensión T y distribución de masa lineal µ y con sus extremos fijos, está dada por la función de onda ψ, que es solución de la ecuación de onda en una dimensión. Entonces ψ es de la forma: 2π donde k = y ω = 2π f λ según las condiciones de bordes fijos para ψ tenemos: Ψ ( x, t) = Asen( kx)cos( ωt) (3) 0 =Ψ ( Lt, ) = AsenkL ( )cos( ωt) entonces kl = nπ con n = 1,2,3... λ = 2L/n (4) Con n = 1 se obtiene la frecuencia correspondiente al primer armónico (frecuencia fundamental). Ver figura 1 De la ecuación (2) y (4) se tiene : nv fn = 2L 16
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL I. RELACION ENTRE LONGITUD DE ONAD Y FRECUENCIA λ y f 1. Arme el sistema como se muestra en la figura 2. 2. Para una tensión fija, cambie la frecuencia del generador para obtener los diferentes modo de vibración de la cuerda para amplitudes máximas. 3. Realice esta actividad para 8 modos de vibración y frecuencias diferentes, registre los diferentes valores de frecuencia f y longitud de onda λ. 4. Obtenga la relación empírica entre λ y f II. RELACION ENTRE TENSIÓN Y FRECUENCIA T y f 5. Cambie la Tensión en la cuerda y varíe la frecuencia del generador hasta obtener un modo de oscilación fijo ( λ = constante ). 6. Realice esta actividad para 8 tensiones y frecuencias diferentes. 7. Obtenga una relación empírica entre T y f. III. RELACIÓN ENTRE DENSIDAD DE MASA DE LA CUERDA Y FRECUNECIA 5. Cambie la cuerda, mantenga constante la tensión T y el modo de oscilación. 6. Realice esta actividad para las cuerdas que se le proporcionen. 7. Obtenga la relación empírica entre la frecuencia y la densidad de masa µ Fig.2 17
RELACIÓN INTENSIDAD DE LA RADIACIÓN DISTANCIA OBJETIVO Establecer el modelo matemático que relacione la intensidad de la radiación de una ampolleta con la distancia a ella. PROCEDIMIENTO La adquisición de datos se realizará por medio de una interfaz conectada al computador la cual junto al programa Scienceworkshop, leerá los datos enviados por un sensor que detecta la intensidad de la radiación de una ampolleta. Las unidades de medida serán arbitrarias. Para obtener las unidades adecuadas se tiene que calibrar. Figura 1. Montaje del experimento. 1. Ubique la ampolleta en el extremo de una regla, encienda la ampolleta, ubique frente a ella el sensor, de tal forma que el filamento de la ampolleta este frente y a la altura del sensor. 2. Cargue el programa Scienceworkshop 3. En el menú elija toma de datos y comience a realizar la experiencia, tomando datos dentro de una región determinada para una quince posiciones. El computador le pedirá la distancia y él medirá la intensidad de la radiación. Grabe los datos. 4. Importe estos datos desde el ORIGIN o EXCEL y establezca el modelo matemático buscado. 5. Repita el experimento. 18