Canós y Ventura.- El problema de selección de cartera Los modelos de selección de cartera son modelos de asignación de recursos entre distintas alternativas. Dada una cuantía determinada, se selecciona la combinación óptima de n posibilidades de inversión, la cartera óptima, estableciendo la optimalidad tomando fundamentalmente dos índices de referencia: rentabilidad esperada y riesgo asociado a la misma; siendo posible considerar más índices: asimetría, apuntamiento, liquidez, etc. Entre los modelos tradicionales, que maximizan la rentabilidad esperada acotando superiormente el riesgo asociado, minimizan el riesgo esperado acotando inferiormente la rentabilidad asociada, o maximizan o minimizan alguna combinación lineal o razón de dichos índices de referencia, el más común es el modelo media-varianza [Markowitz (959)], llamado así por usar como rentabilidad esperada la media, en principio de rentabilidades históricas, y como riesgo asociado la varianza. Revisando la literatura queda constancia de la importancia teórica y práctica de la aproximación media-varianza, pero en realidad el problema es bastante más complejo: existen múltiples fuentes de incertidumbre, existen múltiples criterios de elección, que a veces surgen como consecuencia de considerar más índices de referencia, etc. Además, todos los modelos pueden generalizarse considerando, junto a las ineludibles restricciones presupuestarias y de objetivos preestablecidos, imperfecciones de mercado o restricciones de diverso tipo: costes de transacción, impuestos, venta en corto o endeudamiento, lote mínimo y lote máximo de transacción, requerimientos de solvencia, etc. De ahí que el problema de selección de cartera haya evolucionado tanto en el planteamiento como en las técnicas. No obstante, el binomio rentabilidad-riesgo sigue siendo el principio básico en el planteamiento de los modelos, con el consiguiente conflicto de objetivos, ya que para lograr mayor rendimiento se deben adoptar estrategias más arriesgadas dando lugar a un abanico de posibilidades que van desde las carteras de crecimiento hasta las carteras de seguridad. Entre los modelos estáticos alternativos de rentabilidad-riesgo cabe mencionar el modelo "Safety First" [Roy (952)], que trata el riesgo con restricciones "Shortfall" que limitan la probabilidad de qué el rendimiento de la cartera no supere un valor mínimo. Otro modelo a destacar es el de Konno y Yamazaki (99), que sustituye la varianza por la desviación absoluta media, una medida del riesgo que cuenta con la ventaja de que no 68
VII Jornadas de ASEPUMA se requiere distribución de probabilidad para las tasas de rendimiento, y que además se transforma dando lugar a un problema de programación lineal. Frente a estos modelos encontramos los modelos de maximización de la utilidad esperada de la riqueza, que constituyen el referente teórico de la elección racional con incertidumbre. Las hipótesis básica es que el inversor tiene preferencias racionales representables mediante una función de utilidad al estilo Von Neumann y Morgenstern que depende de la riqueza terminal, U(W): R R. Una cuestión muy debatida ha sido la consistencia del modelo media-varianza con la teoría de la elección racional, que en principio se da para una distribución conjunta de rendimientos normal multivariante y una función de utilidad exponencial cóncava o con funciones de utilidad cuadráticas, que no son aceptables, así como en general las funciones polinómicas, si se quiere reflejar conjuntamente los axiomas deseables de no saciedad y aversión absoluta al riesgo, A(W) = -U''/U', decreciente (funciones DARA). En general, como condición necesaria, el modelo media-varianza resulta consistente con distribuciones elípticas: normal multivariante, exponencial multivariante, Cauchy multivariante, etc. Dichas distribuciones se caracterizan sólo por dos parámetros, una medida central o de localización y una medida de dispersión o escala, lo que resulta suficiente para la consistencia, y en todo caso son distribuciones simétricas. Otra línea argumental trata de refrendar el modelo media-varianza como aproximación lineal/cuadrática a funciones de utilidad [Levy y Markowitz (979)]. En todo caso el modelo media-varianza es una aproximación razonable de segundo orden para carteras bien diversificadas si el rendimiento total esperado de la cartera es conocido y la variación del rendimiento total respecto del esperado baja. Para distribuciones asimétricas ni el modelo media-varianza ni el modelo mediadesviación absoluta media resultan consistentes con la maximización de la utilidad esperada. No obstante, el planteamiento de un modelo de rentabilidad-riesgo es aceptable si se consideran las medidas asimétricas del riesgo como aproximaciones locales de segundo orden de la función de utilidad. Alternativas a los modelos citados son los modelos borrosos, que requieren medidas borrosas a partir de datos históricos y la experiencia de gestores expertos [Tanaka y Guo (999)], así como la consideración de escenarios y su aplicación en 69
Canós y Ventura optimización robusta, con bases en la programación por objetivos y la consideración de restricciones débiles [Mulvey, Vanderbei y Zenios (995)]. Aunque tratar distintos escenarios ha sido tradicional en la gestión científico-empresarial, y la idea ya estaba presente en los estados de la naturaleza de la Tª de la utilidad de Von Neumann y Morgenster, en selección de cartera no tuvieron su impulso hasta el modelo de escenarios y factores de Markowitz y Perold (98). El uso de la optimización robusta en la toma de decisiones permite considerar directamente la aversión al riesgo [Bai, Carpenter y Mulvey (997)], siendo esta una de sus ventajas frente a la programación estocástica con escenarios. En la aplicación a la planificación y gestión financiera de modelos de optimización robusta cabe mencionar, entre otros: El modelo de inmunización por escenarios de Dembo (992), que es un caso particular de optimización robusta. El modelo de Escudero (995) sobre carteras de activos con respaldo hipotecario. El modelo de gestión de tesorería de Golub y otros (994) El modelo de carteras "callable bond" de Vassiadou-Zeniou y Zenios (996). 2.-Rentabilidad y riesgo Previo al planteamiento matemático de un modelo de selección de cartera se deben definir los conceptos de rentabilidad y riesgo con la finalidad de proceder a su análisis y medida. Con referencia a la rentabilidad, el principal problema no es tanto su definición como los métodos de estimación utilizados: medias históricas de diverso tipo, CAPM, modelos de índices, modelos de factores, etc. La medida del riesgo que se considere es importante ya que de ella depende en gran parte el diseño del modelo matemático de selección de cartera dada la distribución de rentabilidades. En general, el riesgo surge como consecuencia de la incertidumbre en el resultado y suele considerarse mediante la probabilidad de conseguir resultados distintos a los esperados dada una posición de partida. Si se considera más de una fuente de incertidumbre el riesgo se transforma en un vector multidimensional, lo que a nivel de modelización lleva a considerar diversos factores de riesgo: riesgo operativo, riesgo de precio, riesgo de tipo de interés, riesgo de volatilidad, riesgo sectorial, riesgo de crédito, riesgo de liquidez, riesgo de cambio, etc. No hay que olvidar que en cada activo 70
VII Jornadas de ASEPUMA financiero cabe diferenciar entre un riesgo general o de mercado y un riesgo específico o residual. Además, cuando se considera más de un factor de riesgo hay que determinar si su efecto es aditivo o multiplicativo, lo que puede resultar de suma importancia. En la teoría clásica de las finanzas el riesgo ha tenido una consideración arbitraria (primas de riesgo en tasas de descuento, penalización por riesgo en los rendimientos esperados futuros, etc.), pero lo mas habitual es la consideración de la varianza de la cartera, obtenida como una forma cuadrática cuya matriz simétrica es la matriz de varianzas-covarianzas de las rentabilidades, o en su caso la desviación estándar. En la práctica existen muchos y sofisticados métodos más allá de la simple obtención a partir de datos históricos que establece el riesgo en función de errores de predicción pasados que hay que minimizar. No obstante, cabe recordar que el vector de medias muestrales y la matriz de covarianzas muestrales son estadísticos suficientes para distribuciones normales conjuntas. Otras medidas del riesgo de la cartera son la desviación absoluta total [citada en Markowitz (959)] y la desviación absoluta media [Konno y Yamazaki (99)], que utiliza el vector de medias muestrales y las realizaciones muestrales del vector de rendimientos, y que a nivel poblacional equivale al modelo media-varianza al ser la desviación absoluta media de la distribución normal proporcional a la desviación estándar. Igualmente, destaca la Beta, sobre todo si es importante considerar el riesgo sistemático, siendo la misma una función lineal de las Betas de los activos considerados. Las distribuciones asimétricas ya fueron tratadas por Markowitz (959, p. 94), quien proponía el modelo media-semivarianza, estando ya presente la idea en el criterio "Safety First" de Roy (952). El tratamiento asimétrico del riesgo es apropiado para carteras con opciones, activos con respaldo hipotecario, y también para factores de riesgo con distribución asimétrica. Además de la semivarianza existen otras medidas del riesgo de dominio parcial inferior, o "Downside risk", que consideran sólo rendimientos por debajo de un determinado nivel crítico. La mayor parte de medidas del riesgo que se manejan en selección de cartera se pueden englobar en la fórmula, L α ( τ, T ) = τ R T α df (R ), donde F(R) es la función de distribución de los rendimientos, T es el nivel mínimo 7
Canós y Ventura aceptable, nivel de desastre, o un objetivo preestablecido para los mismos, que incluso puede ser un índice, τ puede ser si la medida es de dominio global o puede ser T si es una medida de dominio parcial, y α [0, ) es un parámetro de importancia relativa de las desviaciones, tal que α > supone aversión al riesgo, y para dominio estocástico de grado n se exige que α n-. Sin embargo, existen medidas del riesgo que no quedan recogidas directamente en dicha fórmula, como las medidas lineales-cuadráticas por subdominios de King (995), que además toma como τ = T el máximo rendimiento. 3.- Un modelo de optimización por escenarios para el problema de selección de cartera con dotación inicial indeterminada Una observación importante a los modelos media-varianza es que las preferencias del inversor se consideran sólo de forma implícita al suponer una función de utilidad creciente con el rendimiento y decreciente con el riesgo. Por eso la aversión al riesgo se considera mediante vías subjetivas, como puede ser el establecimiento de términos de penalización lineales. Sin embargo, un hecho constatado en la conducta individual de muchos inversores es que a mayor riqueza o presupuesto disminuye la aversión absoluta al riesgo. Otra observación es que parten de un capital conocido destinado a la inversión al no considerar el problema subyacente de la distribución de la riqueza del inversor. Sin embargo, existen situaciones reales en las que se trata de calcular el capital a invertir, coste, o dotación inicial de la cartera junto a la composición de la misma, de forma que se optimicen las expectativas globales del inversor. Establecemos como datos conocidos del problema Cmin y Cmax que son el capital mínimo y máximo, respectivamente, que el inversor está dispuesto a destinar a la cartera. Evidentemente, 0 Cmin C Cmax, siendo C el capital a invertir. Definimos x i como la cantidad que será invertida en el activo i, y suponemos que x i 0, es decir, que el mercado no permite ventas en descubierto. Además, mediante alguno de los métodos mencionados, calculamos las rentabilidades esperadas de cada título, ρ i, así como la función de riesgo total considerada, L = L (x,...,x n ). Supongamos que el capital que se está dispuesto a invertir en la cartera es 72
VII Jornadas de ASEPUMA función de la rentabilidad total esperada de la misma, es decir, C = C(ρ). Esta función, cuyo rango es [Cmin, Cmax], se supone estrictamente creciente y acotada puesto que a mayor rentabilidad total esperada, el inversor está dispuesto a disminuir en mayor proporción su utilidad de consumo presente a cambio de aumentar la utilidad de riqueza que obtendría si no la hubiese disminuido. Pero mayor rentabilidad esperada supone también asumir mayor riesgo total. Realizando un barrido sobre C(ρ) obtenemos un conjunto de escenarios Ω={,..., S}, cada uno de los cuales define un conjunto de parámetros {ρ s, C s = C(ρ s )} y tiene una probabilidad de ocurrencia P s. Evidentemente, S s= P s =, ρ s < ρ s+, C s < C s+ y C = Cmin, C S = Cmax. La composición de cada una de estas S carteras, que minimizan el riesgo total, puede ser calculada, para cualquier s Ω, resolviendo el siguiente modelo determinista: Min L = L (x s,...,x s n ) n s.a. i= n i= ρ i x s i = ρ s C s [s] x s i = Cs [2s] x s 0. i Con ello obtenemos un capital a invertir C s y una cartera diferente para cada uno de los escenarios. Deseamos ahora incorporar toda esta información en un nuevo modelo que permita decidir el capital que se invertirá realmente y la composición de la cartera real. No obstante, considerar todas las restricciones de todos los escenarios nos llevaría, con toda seguridad, a un modelo infactible, lo que nos conduce al concepto de modelo robusto y solución robusta. Un modelo es robusto si su solución es casi factible para todas las realizaciones de Ω. Una solución se denomina robusta si permanece cerca de la solución óptima de cada uno de los escenarios. Puesto que es improbable que una solución pueda cumplir simultáneamente los criterios de robustez para la factibilidad y para la optimalidad, se trata de construir un modelo coordinado que combine ambos conceptos de la forma adecuada, es decir, un modelo robusto que controle suficientemente el riesgo que el inversor asume al realizar la inversión. El modelo coordinado que proponemos es el siguiente: 73
Canós y Ventura Min ε s.a. P s ε s (x) ε s =,...,S [c] s Cmin C s Cmin y C(x) Cmin s =,...,S- [2.c] s+ Cmax C s Cmax y C(x) Cmax s =,...,S- [2.2c] L(x) L(x s+ ) y s + L(x S ) ( y s ) s =,...,S- [2.3c] S s= s y 2 [3.c] y s + S i= 0 i s i s+ y i s =,...,S- [3.2c] ε, x 0 y s {0,} en el que dada una solución factible x = (x,...,x n ) se definen los siguientes conceptos: i) Llamaremos error coordinado de x respecto al escenario s a la diferencia ε s (x) = ρ s C s - n i= ρ i x i. ii) El signo del error coordinado nos indica si con la solución x obtenemos una cartera coordinada con mayor o menor rentabilidad que la cartera s. Llamaremos riesgo coordinado asociado a x a L(x) = L(x,...,x n ), siendo la función de riesgo total L la utilizada en todos los escenarios. iii) Llamaremos capital total coordinado asociado a x a C(x) = n i= x i. Además definimos las variables binarias y s, s=,...,s-, que toman el valor si C(x) [C s, C s+ ] y 0 en caso contrario. Adicionalmente, definimos y 0 =0, y S =0. El modelo minimiza el máximo error coordinado no negativo. Para que fuese robusto, según hemos definido antes, deberíamos minimizar el máximo error coordinado, independientemente del signo. Sin embargo, desde el punto de vista económico, los errores coordinados no positivos son incluso deseables por el inversor, con lo cual no tiene sentido minimizarlos. Las restricciones [2.c], [2.2c] y [2.3c] son transformaciones de una restricción 74
VII Jornadas de ASEPUMA condicional: si C(x) [C s, C s+ ] entonces L(x) L(x s+ ), destinada a controlar el riesgo coordinado total. Por lo menos una variable binaria ha de valer uno, pero puede ocurrir que el capital coordinado sea igual a uno de los capitales establecidos en la partición. En tal caso, habrán dos variables binarias que valdrán uno, cumpliéndose que son adyacentes. Esta situación no provoca ninguna infactibilidad en el modelo y se refleja en las restricciones [3.c] y [3.2c]. Además, estas mismas restricciones acotan el capital coordinado entre Cmin y Cmax y no permiten que el riesgo total coordinado supere el del último escenario S, que es el mayor riesgo que el inversor está dispuesto a asumir. Por último, resuelto el modelo, el valor de las variables x i y C(x) nos dice la composición de la cartera real y el capital que se va a invertir en ella. 4.- Conclusiones El problema de calcular la dotación inicial de riqueza o cuantía a invertir en una cartera de activos no se trata en los modelos habituales que consideran previo, no simultáneo, el problema de la distribución de la riqueza del inversor. Es más, los modelos media-varianza prescinden del capital total normalizando la restricción presupuestaria puesto que es lineal y suponen que el volumen de inversión no afecta al riesgo total, considerando generalmente constante la aversión absoluta al riesgo (funciones CARA). Sin embargo, se constata que existen inversores que para una baja dotación prefieren la seguridad mientras que si aumenta su riqueza están dispuestos a exponerse más al riesgo si con ello pueden recibir una mayor recompensa. El problema de la determinación del capital total ha sido planteado mediante la optimización por escenarios. Nosotros sólo hemos aprovechado esta técnica para plantear un modelo básico que permite variar únicamente la rentabilidad total esperada y, por tanto, el capital total en cada uno de los escenarios. Utilizando la misma técnica podrían añadirse hipótesis adicionales sobre la variación de otros parámetros del problema que no son conocidos con certeza y generalizar el modelo coordinado. El modelo resultante, que es válido en un abanico más amplio de funciones de utilidad con la propiedad de aversión absoluta al riesgo decreciente (funciones DARA), puede ser de programación lineal binaria mixta [Parker y Rardin (988)] o de programación no lineal 75
Canós y Ventura binaria mixta [Floudas (995)], dependiendo de la función de riesgo total. Aunque existen paquetes comerciales con lenguajes de modelización, como GAMS o LINGO, que permiten resolver ambos tipos de problemas, dada la parcial estructura por bloques de las restricciones y las asociaciones entre las variables binarias, cuando el problema coordinado es de programación lineal binaria mixta o programación convexa binaria mixta resulta más eficiente, por ejemplo, un algoritmo especializado de ramificación y acotación, pero si se usa una función de riesgo total sin las adecuadas características de convexidad se entra en el campo de la optimización global recomendándose el uso de metaheurísticos adecuados a la estructura del problema. Bibliografía Bai, D.; Carpenter, T. y Mulvey, J. (997): "Making a Case for Robust Optimization Models". Management Science, Vol. 43, N. 7, pp 895-907. Dembo, R.S. (992): "Scenario Inmunization". En Zenios (996), pp 290-308. Escudero, L. (995): "Robust portfolios for mortgage-backed securities". En Zenios (995), capítulo 0, pp 20-228. Floudas, Ch.A. (995): Nonlinear and Mixed-Integer Optimization. Fundamentals and applications. ed. Oxford University Press. Golub, B., Holmer, M., McKendall, R., Pohlman, L. y Zenios, S.A. (994): "A stochastic programming models for money management". European Journal of Operational Research. Vol. 85, pp 282-296. King, A.J. (995): "Modeling risk measures for portfolio optimization". En Zenios (995), capítulo 8, pp 79-88. Konno, H. y Yamazaki, H. (99): "Mean-absolute deviation portfolio optimization model and it's applications to Tokyo Stock Market". Management Science, Vol. 37, N. 5, 59-53. Levy, H. y Markowitz, H.M. (979): "Approximating expected utility by a function of mean and variance". American Economic Review, Vol. 69, 308-37. Markowitz, H. M. (959): Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investment. Cowles Foundation Monograph 6, Wiley, Yale University Press, New Haven (CT). 76
VII Jornadas de ASEPUMA Markowitz, H.M. y Perold, F. (98): "Portfolio Analysis with Factors and Scenarios". The Journal of Finance, Vol. 36. Mulvey, J.M.; Vanderbei, R.J. y Zenios, S.A. (995): "Robust Optimization of Large- Scale Systems". Operations Research, Vol. 43, N. 2, pp 264-28. Parker, R.G. y Rardin, R.L. (988): Discrete Optimization. ed. Academic Press. Roy, A. (952): "Safety first and the holding of assets". Econometrica, Vol. 20, N. Julio, pp 43-449. Tanaka, H. y Guo, P. (999): "Possibilistic data analysis and its applications to portfolio selection problems". Fuzzy Economic Review, Vol. 2, pp 3-23. Vassiadou-Zeniou, Ch. y Zenios, S.A. (996): "Robust optimization models for managing callable bond portfolios". European Journal of Operational Research, Vol. 9, pp 264-273. Zenios, S.A. [Ed.] (996): Financial Optimization. ed. Cambridge University Press. Zenios, S.A. [Ed.] (995): Quantitative Methods, Super Computers and AI in Finance. ed. Unicom Seminars & Stanley Thortnes. 77