Programación Lineal Modelo General Max Z = c 1 + C 2 +... c n, s.a. a 11 + a 12 +... + a 1n b 1 a 21 + a 22 +... + a 2n b 2.. a m1 + a m2 +... + a mn b m 0, 0, x 3 0,..., 0 Programación Lineal Interpretación de parámetros Z : medida de efectividad del sistema c j : aporte a la medida de efectividad que proviene de cada incremento unitario de x j m : número de recursos escasos b i : cantidad de recurso i disponible a ij : cantidad de recurso i que consume cada unidad de producto j 1
Programación Lineal Otras formulaciones Min Z = c 1 + c 2... c n a i1 + a i2 +... + a in b i a i1 + a i2 +... + a in = b i x j sin restricción en signo para algunos valores de j Programación Lineal Suposiciones Básicas: Proporcionalidad Aditividad Divisibilidad Determinismo Número de Objetivos 2
Ejemplos de Programación Lineal Un fabricante dispone de cantidades fijas de cierto número de recursos diferentes. Estos recursos, tales como materia prima, trabajo y equipos, pueden ser combinados para producir cualquier producto o combinaciones de ellos entre el grupo de productos que pueden ser fabricados. El fabricante conoce que cantidad del recurso i se requiere para producir una unidad del articulo j. También conoce que utilidad obtiene por cada unidad producida del artículo j. Desea producir una combinación de artículos tal, que maximice las ganancias totales. Ejemplos de Programación Lineal m n a ij b i c j x j = número de recursos = número de artículos = número de unidades de recursos i requeridos para producir una unidad del artículo j. = número máximo de unidades de recursos i disponibles. = ganancia por unidad de artículo j producido = nivel de actividad del artículo j 3
Ejemplos de Programación Lineal Maximizar Z = s. a. n c j =1 j x j a 11 + a 12 + a 13 x 3 +...+ a 1n b 1 a 21 + a 22 + a 23 x 3 +... +a 2n b 2...... a i1 + a i2 + a i3 x 3 +... + a in b i...... a m1 + a m2 + a m3 x 3 +...+ a mn b m x j 0 para j = 1,2,31... n. Ejemplos de Programación Lineal Un fabricante desea trasladar un número de unidades de un artículo, desde diferentes depósitos hasta un cierto número de tiendas. Cada tienda requiere un cierto número de unidades del artículo, mientras que cada depósito tiene limitaciones con respecto a la cantidad a suministrar 4
Ejemplos de Programación Lineal m = número de depósitos n = número de tiendas a i = cantidad total disponible del artículo para transportar en el depósito i.. b J = requerimiento total del artículo en la tienda j. x ij = número de unidades del artículo trasladadas desde el depósito i a la tienda j Ejemplos de Programación Lineal Min Z = s.a. m n i= 1 j= 1 c * x ij ij x n j = 1 m i = 1 ij x x ij ij 0 a b i j para i = 1... m para j = 1... n para todo i, j 5
Ejemplos de Programación Lineal Si m i= 1 n a i = b j= 1 j Min Z = s.a. x n j = 1 m i = 1 ij m n i= 1 j= 1 x x ij ij = c * x ij a = b i j ij para i = 1... m para j = 1... n 0 para todo i, j Ejemplos de Programación Lineal Un problema de Dieta. Miligramos de fósforo o de hierro están contenidos en un kilogramo de cada alimento que va a ser considerado. También se sabe las necesidades diarias mínimas de cada elemento nutritivo. Puesto que se conoce el costo por kilogramo de alimento; el problema es determinar la dieta que satisfaga las necesidades diarias mínimas y sea también la dieta como costo mínimo. 6
Ejemplos de Programación Lineal m = número de elementos nutritivos. n = número de alimentos. a ij = número de miligramos del elementos nutritivo i en un kilogramo de alimento j. b i = número mínimo diario de miligramos necesarios del elemento nutritivo i. c j = costo por kilogramo del alimento j. x j = número de kilogramos del alimento j que deberá incluir la dieta. Ejemplos de Programación Lineal Min Z = C 1 + C 2 +.. C j x j +.. + C n s.a. a 11 + a 12 +... a 1j x j +... a 1n b 1 a 21 + a 22 +... a 2j x j +... a 2n b 2..... a i1 + a i2 +... a ij x j +... a in b i..... a m1 + a m2 +... a mj x j +... a mn b m x j 0 para j = 1, 2,3,.,n 7
Ejemplos de Programación Lineal ºSe tiene una industria automotriz hipotética, equipada para la producción de automóviles y de camiones. Esta industria puede por lo tanto, realizar dos tareas económicas, y se supondrá que se dispone de un solo proceso para cada una. Estas dos tareas, la fabricación de autos y camiones compiten por el uso de las instalaciones de la firma. La planta está organizada en cuatro departamentos 1) estampado de metales, 2) ensamble del motor, 3) ensamblaje final de automóviles y 4) ensamblaje final de camiones. Ejemplos de Programación Lineal Las materias primas, trabajo y todo otro componente están disponibles en el mercado en cantidades virtualmente ilimitadas y a precios constantes. La capacidad de cada departamento de la planta es, por supuesto, limitada. El departamento de estampados puede producir estampados suficientes para 25.000 automóviles o 35.000 camiones por mes o alguna combinación equivalente 8
Ejemplos de Programación Lineal En forma similar, el departamento de ensamblaje de motores tiene una capacidad mensual de 33333 motores de automóviles o 16667 motores de camiones o, nuevamente alguna combinación equivalente. El departamento de ensamblaje de camiones puede atender 15.000 camiones por mes y el departamento de ensamblaje de automóviles, 22.500 automóviles. Ejemplos de Programación Lineal El proceso de producir un automóvil proporciona, como producto, un automóvil y absorbe, como insumos 0,004 % de la capacidad de estampado de metales, 0,003 % de la capacidad de ensamblaje de motores, 0,0044 por ciento de la capacidad de ensamblajes de automóviles y, por supuesto, cero por ciento de la capacidad de ensamblaje de camiones 9
Ejemplos de Programación Lineal El proceso de producir un camión proporciona, como producto, un camión y absorbe como insumos 0,00286 % de la capacidad de estampado de metales, 0,006% de la capacidad de ensamblaje de motores. 0,0066% de la capacidad de ensamblaje de camiones y 0% de la capacidad de ensamblaje de automóviles. Ejemplos de Programación Lineal La opción económica que enfrenta esta firma es seleccionar el número de automóviles y camiones a producir cada mes, sujeta a la restricción de que no puede usarse más del 100% de la capacidad de cada departamento. Si el valor de venta de un automóvil es 300 u.m. (unidad monetaria) más alto que el costo de los materiales, trabajos y otros costos directos atribuidos a su producción y, similarmente, que el valor de venta de un camión es de 250 u.m. mayor que el costo directo de producirlo, se puede plantear el siguiente problema de P.L 10
Ejemplos de Programación Lineal maximizar Z = 300 + 250 s.a. 0,004 + 0,00286 100 estampado de metales 0,003 + 0,006 100 ensamblaje de motores 0,00444 + 0 100 ensamblaje de automóviles 0 + 0,00667 100 ensamblaje de camiones 0 0 Etapas Para La Formulación Del Problema 1. Definición del conjunto de actividades, 2. Definición del Conjunto de ítems, 3. Determinación de flujo, 4. Determinación de flujos del sistema, 5. Determinación de las ecuaciones de conservación, 6. Desarrollo de un modelo conceptual, 7. Formulación del modelo matemático, 11
Etapas Para La Formulación Del Problema Definición del conjunto de actividades: se descompone el sistema que se estudia, en funciones elementales (actividades) y se escoge una unidad de medida para cada actividad (nivel de actividad). Etapas Para La Formulación Del Problema Definición del Conjunto de ítemes. Se determina el tipo de artículo (ítemes que son consumidos o producidos por las actividades) y se escoge la respectiva unidad de medida. Se selecciona un ítem, tal que la cantidad total producida por el sistema mida la utilidad (o su inverso aditivo mide el costo) del sistema completo. 12
Etapas Para La Formulación Del Problema Determinación de flujo. Se determina la cantidad de cada ítem consumida o producida por la operación de cada actividad, en su nivel unitario. Estos números, los coeficientes de flujo de entrada y salida, son los factores de proporcionalidad entre los niveles y los flujos de ítemes. Etapas Para La Formulación Del Problema Determinación de flujos del sistema. Se determina el flujo total, tanto de entrada como de salida, del sistema integrado y el medio ambiente exterior en que opera. 13
Etapas Para La Formulación Del Problema Determinación de las ecuaciones de conservación. Se asignan niveles de actividad no negativos, x 3... en todas las actividades; entonces para cada ítem, se escribe la ecuación de conservación que asegura que la suma algebraica de los flujos de ese ítem en cada actividad (expresado como el producto del nivel de actividad por el correspondiente coeficiente de flujo) es igual al flujo total que ha entrado al sistema. Etapas Para La Formulación Del Problema Desarrollo de un modelo conceptual. El análisis de los pasos anteriores, permitirá visualizar, el objetivo asociado al modelo, las variables de decisión, las restricciones asociadas al sistema y como están relacionadas, luego un análisis de esta naturaleza nos entrega un modelo conceptual que servirá de base para el modelo matemático. 14
Etapas Para La Formulación Del Problema Formulación del modelo matemático. Una vez que se ha formulado el modelo, el problema de PL, puede ser expresado en términos matemáticos, y su solución puede ser interpretada como un "programa" para el sistema; vale decir, un listado de etapas, tiempos y cantidad de acciones que se deben emprender en el sistema, para que éste alcance el objetivo definido. EJEMPLO DE LA APLICACIÓN DEL PROCEDIMIENTO Ejemplo 1. La Maine Snowmobile Company fabrica dos clases de máquinas, cada una requiere de un técnica diferente de fabricación. La máquina de lujo requiere de 18 horas de mano de obra, 9 horas de prueba y produce una utilidad de $ 400. La máquina estándar requiere de 3 horas de mano de obra, 4 horas de prueba y produce una utilidad de $ 200. Se dispone de 800 horas para mano de obra y 600 horas para prueba cada mes. Se ha pronosticado que la demanda mensual para el modelo de lujo no es mas de 80 y de la máquina estándar no es más de 150. La gerencia desea saber el número de máquinas de cada modelo, que deberá producirse para maximizar la utilidad total. 15
Definición del conjunto de actividades: Producir [horas de producción] Probar [horas de pruebas] Vender [unidades] Definición del Conjunto de ítemes Máquinas de lujo [unidades] Máquinas estándar [unidades] Determinación de flujo Por cada unidad de máquina de lujo se requiere: 18horas de producción y 9 horas de prueba. Por cada unidad de máquina estándar se requiere: 3 horas de producción y 4 horas de prueba. Determinación de flujos del sistema Disponibilidad de horas de producción 800 horas mensuales Disponibilidad de horas de prueba 600 horas mensuales Demanda máxima de máquinas de lujo 80 unidades mensuales Demanda máxima de máquinas estándar 150 unidades mensuales Utilidad unitaria de las máquinas de lujo $ 400 Utilidad unitaria de las máquinas estándar $ 200. Determinación de las ecuaciones de conservación En este problema no hay ecuaciones de conservación, dado que no se tiene el paso de flujo entre sistema, ni el paso de cantidades entre dos períodos de tiempo secuenciales. 16
Conceptualización del modelo a desarrollar Horizonte de tiempo: un mes Función objetivo: Maximizar las utilidades generadas por las ventas de máquinas, se calcula por la suma del producto de la utilidad unitaria por tipo de máquina por la cantidad producida y vendida de dicho tipo. Sujeto a las siguientes restricciones: No se puede sobrepasar la capacidad de producción mensual No se puede sobrepasar la capacidad de prueba mensual No se puede producir por sobre la demanda máxima para cada tipo de máquina. Formulación matemática del problema: Definición de variables: Sea ML el número de máquinas de lujo a producir en un mes Sea ME el número de máquinas estándar a producir en un mes Max Z = 400 ML + 200 ME s. a. 18 ML + 3ME 800 Horas de Producción 9 ML + 4 ME 600 Horas de Prueba ML 80 Demanda máxima máquinas de lujo ME 150 Demanda máxima máquinas estándar ML 0 No negatividad ME 0 No negatividad 17
Ejemplo 2 La Texas Electronics Inc. está estudiando la posibilidad de agregar nuevos minicomputadores a su línea con el fin de incrementar sus utilidades. Tres nuevos computadores han sido diseñados y evaluados. Cada uno requerirá de una inversión de $ 300.000. El computador 1 tiene un valor esperado en las ventas de 50.000 unidades por año, con una contribución en las utilidades de $ 20 por unidad. Los computadores 2 y 3 tienen un valor esperado de ventas de 300.000 y 100.000 unidades, respectivamente, con contribuciones en la utilidad de $ 5 y $ 10. La TEI ha asignado 800 horas mensuales de tiempo de la planta técnica para estos nuevos productos. Los computadores 1, 2, 3 requieren 1, 0, 2 y 0,5 horas técnicas por unidad respectivamente. El sistema de empaque y despachos serán los usados actualmente por la compañía. Este sistema puede empa-car y despachar como máximo 25.000 cajas de los minicomputadores 1, 2 y 3. El computador 1 es empacado en 1 caja; los computadores 2 y 3 son empacados, cada uno, 4 computadores por caja. Formule un modelo matemático que permita determinar las decisiones que aporten la máxima utilidad a la TEI. Definición del conjunto de actividades oproducir (planta técnica) [horas] oempacar [cajas] ola actividad de invertir no se considera dado que no hay restricciones de caja sobre los niveles de inversión, luego no tiene ninguna restricción. Definición del conjunto de itemes ocomputador 1 [unidades] ocomputador 2 [unidades] ocomputador 3 [unidades] Determinación de flujo Computador 1 Computador 2 Computador 3 Horas técnicas 1 0,2 0,5 Empaque 1 0,25 0,25 18
Determinación de flujos de sistema outilidad computador 1 $20 outilidad computador 2 $ 5 outilidad computador 3 $10 odemanda máxima computadores 1 50.000 unidades año odemanda máxima computadores 2 300.000 unidades año odemanda máxima computadores 3 100.000 unidades año odisponibilidad de horas técnicas 9.600 horas año odisponibilidad de embalaje 25.000 cajas año Ecuaciones de conservación ono hay Modelo conceptual ofunción objetivo: Maximizar la utilidad que se determina por la suma del producto entre la utilidad unitaria de cada tipo de computador por la cantidad de computadores producidos. osujeto a las siguientes restricciones: No sobrepasar la disponibilidad de horas técnicas disponibles en el año. No sobrepasar la cantidad de cajas disponibles en el año. No producir más que la demanda máxima por cada tipo de computador. La cantidad de computadores a producir debe ser mayor o igual que cero para cada tipo de computadores 19
Formulación matemática del problema: Definición de variables: C 1 cantidad de computadores tipo 1 producidos al año C 2 cantidad de computadores tipo 2 producidos al año C 3 cantidad de computadores tipo 3 producidos al año Maximizar utilidad = 20C 1 + 5C 2 + 10C 3 s.a. 1C 1+0,20C 2+0,50C 3 9.600 Capacidad horas técnicas 1C 1+0,25C 2+0,25C 3 25.000 capacidad de embalaje 1C 1 50.000 demanda máxima computadores tipo 1 1C 2 300.000 demanda máxima computadores tipo 2 1C 3 100.000 demanda máxima computadores tipo 3 1C 1 0 no negatividad 1C 2 0 no negatividad 1C 3 0 no negatividad Si el problema tiene restricción respecto de la capacidad de inversión tal que sólo se dispone de $ 600.000 para invertir, su planteamiento sería el siguiente: Definición del conjunto de actividades oproducir (planta técnica) [horas] oempacar [cajas] oinvertir [$] Definición del conjunto de itemes ocomputador 1 [unidades] ocomputador 2 [unidades] ocomputador 3 [unidades] oinvierto o no invierto en computadores 1 oinvierto o no invierto en computadores 2 oinvierto o no invierto en computadores 3 20
Determinación de flujo Computador 1 Computador 2 Computador 3 Horas técnicas 1 0,2 0,5 Empaque 1 0,25 0,25 Inversión 300.000 300.000 300.000 Determinación de flujos de sistema outilidad computador 1 $20 outilidad computador 2 $ 5 outilidad computador 3 $10 odemanda máxima computadores 1 50.000 unidades año odemanda máxima computadores 2 300.000 unidades año odemanda máxima computadores 3 100.000 unidades año odisponibilidad de horas técnicas 9.600 horas año odisponibilidad de embalaje 25.000 cajas año odisponibilidad de inversión $ 600.000 Ecuaciones de conservación ono hay Modelo conceptual ofunción objetivo: Maximizar la utilidad que se determina por la suma del producto entre la utilidad unitaria de cada tipo de computador por la cantidad de computadores producidos. osujeto a las siguientes restricciones: No sobrepasar la disponibilidad de horas técnicas disponibles en el año. No sobrepasar la cantidad de cajas disponibles en el año. No sobrepasar la cantidad disponible para inversión No producir más que la demanda máxima por cada tipo de computador. No se puede producir un tipo de computador si no se invierte en su sistema productivo. La cantidad de computadores a producir debe ser mayor o igual que cero para cada tipo de computadores 21
Formulación matemática del problema: Definición de variables: C 1 cantidad de computadores tipo 1 producidos al año C 2 cantidad de computadores tipo 2 producidos al año C 3 cantidad de computadores tipo 3 producidos al año Y 1 Variable 1 o 0 que indica si se invierte (1) o no se invierte (0) en el sistema de producción del computador 1. Y 2 Variable 1 o 0 que indica si se invierte (1) o no se invierte (0) en el sistema de producción del computador 2. Y 3 Variable 1 o 0 que indica si se invierte (1) o no se invierte (0) en el sistema de producción del computador 3. Maximizar utilidad = 20C1 + 5C2 + 10C3 s.a C 1 +0,20C 2 +0,50C 3 9.600 Capacidad horas técnicas C 1 +0,25C 2 +0,25C 3 25.000 Capacidad de embalaje 300.000Y 1 + 300.000Y 2 + 300.000Y 3 600.000 Capacidad de Inversión C 1 50.000Y 1 demanda máxima comp. 1 y producir si se invierte C 2 300.000Y 2 demanda máxima comp. 2 y producir si se invierte C 3 100.000Y 3 demanda máxima comp. 3 y producir si se invierte C 1 0 no negatividad C 2 0 no negatividad C 3 0 no negatividad Y 1, Y 2, Y 3 Deben ser variables entera 0 o 1 22