Modelo de Penman Monteith FAO56.

Modelo de Penman Monteith FAO56. Dr. Samuel Ortega-Farias, CITRA Esta ecuación fue presentada por primera vez en el año 1989 por Allen et al. y desde entonces ha recibido una amplia aceptación para estimar la ET 0 (Ventura et al., 1999). La ecuación está definida para calcular la ET 0 de una superficie extensa de pasto verde (festuca o alfalfa) de altura uniforme, en activo crecimiento, que cubre completamente el suelo y que permanece en óptimas condiciones de humedad de suelo. Además, considera los siguientes parámetros fijos: una altura de 0,12 m, una rugosidad de la cubierta vegetal que se opone a la transferencia de vapor (Z oh ) igual al 10 % de la rugosidad que opone la cubierta vegetal al movimiento del viento (Z om ), una altura del plano de referencia aerodinámico (d) igual a 0,08 m, una resistencia de la cubierta vegetal (r cv ) de 70 s/m y un albedo igual a 0,23. Estos parámetros fijos se basan en algoritmos relacionados con el índice de área foliar y r cv de pasto de una altura promedio (Allen et al., 1994, 1998). Las ecuaciones para calcular la r a y la r cv han sido combinadas con el método Penman-Monteith para formar una sola expresión que describe la ET 0 diaria de una referencia de pasto hipotética tal como sigue (Allen et al., 1994, 1998) : 0.408 ETo= 900 + γ U2( e T + 273 + γ (1+ 0.34U ) ( Rn G) 2 s e ) a (1) donde ETo = evapotranspiración sobre un cultivo de referencia (mm/día); Rn = radiación neta en la superficie del cultivo (MJ/m 2 /día); G = flujo de calor del suelo (MJ/m 2 /día); T = temperatura promedio del aire a 2 metros de altura ( C); U 2 = velocidad promedio diaria del viento a 2 metros de altura (m/s); e s = presión de vapor en saturación (kpa); e a = presión de vapor actual (kpa); = pendiente de la curva de presión de vapor versus temperatura (kpa/ C); γ = constante psicrométrica (kpa/ C).

A partir de la ecuación anterior la estimación de la ET 0 horaria viene dada por la siguiente expresión (Allen et al., 1994): 0.408 ETo= 37 + γ U2( e T + 273 + γ (1+ 0.34U ) ( Rn G) 2 s e ) a (2) donde ETo = evapotranspiración sobre un cultivo de referencia (mm/h); Rn = radiación neta en la superficie del cultivo (MJ/m 2 /h); G = flujo de calor del suelo (MJ/m 2 /h). Las otras variables y parámetros de la ecuación se describieron anteriormente. Para asegurar la integridad de la estimación, las mediciones climáticas se deben realizar a 2 metros de altura y no debe existir otro tipo vegetación que no sea el cultivo de referencia ya que eventualmente se podrían afectar las mediciones de temperatura y humedad relativa, provocando de esta manera estimaciones erróneas de la ET 0 (Allen et al., 1994, 1998; Irmak et al., 2002; Ventura et al.,1999; Kite, 2000). Con el propósito de evitar estimaciones diarias erróneas, Allen et al., (1994, 1998) propone usar la ecuación (2) en áreas donde existan cambios sustanciales en la velocidad del viento, punto de rocío y nubosidad a lo largo del día, ya que estos cambios climáticos pueden causar promedios diarios falsos de la demanda evaporativa de la atmósfera durante partes del día, generando algún error en el cálculo de la ET 0 diaria. Sin embargo, bajo la mayoría de las condiciones, la aplicación de la ecuación (1) utilzando datos climáticos diarios promediados entregó resultados de alta calidad. Es así, como la ET o diaria obtenida de la suma de cálculos horarios fue de similar magnitud a la calculada usando la ecuación (1), observándose diferencias desde un 6 a un 1% (0,26 mm/día) si los datos climáticos presentan un buen comportamiento (Allen et al., 1994). 2

Comparaciones de la ecuación FAO PM con la ecuación PM original efectuadas por Allen et al., (1994) en 11 localidades climáticas distintas sobre una cubierta vegetal de pasto de 0,12 m de alto, mostraron una equivalencia general para la nueva definición de ET 0 al detectarse diferencias menores al 3 % entre ambos métodos con una pendiente igual a 1,00 y un r 2 igual a 0,99 (n = 100) en los análisis diarios, mientras que en los horarios el error estándar de la estimación fue de 0,02 mm/h (7% de la ET 0 ). Por otra parte, mediciones realizadas por Howell et al., (1998) durante tres años en condiciones de clima semi-árido indicaron que el modelo FAO PM presenta una clara tendencia a sobrestimar la ET 0 diaria a tasas bajas de ET y a subestimarla a tasas altas de ET, con una pendiente de 0.70 mm/día, un error estándar de la estimación de 1.079 mm/día y un r 2 igual a 0.72, utilizando mediciones lisimétricas como datos observados. Similares resultados reporta Rana et al., (1997) en investigaciones realizadas sobre festuca y Lolium perenne, respectivamente. En tanto que Steduto et al., (1996) encontró que el modelo FAO PM subestimó la ET 0 entre un 3 y 5% en estimaciones diarias y horarias bajo condiciones de clima mediterráneo. Según los investigadores señalados anteriormente, los errores habrían sido inducidos por los valores y parámetros fijos que se le asumen al cultivo de referencia hipotético (principalmente albedo y r cv ) que en algún momento del crecimiento del cultivo no corresponden a valores reales, siendo necesario modificar de acuerdo a la evolución fenológica o vigor que posea el cultivo. Por otro lado consideran que los datos climáticos no tuvieron un buen comportamiento, especialmente la velocidad del viento y los regímenes de humedad relativa, considerando estas variables como muy importantes a la hora del análisis de datos. Al respecto, Allen et al., (1994) señala que un patrón normal de viento que no provoca inexactitudes en la ecuación FAO PM es aquel en que la razón entre la velocidad promedio diurna y nocturna alcanza valores de 1,5 a 2,5. Según lo señalado por varios investigadores, los dos parámetros más críticos del modelo FAO PM son el valor fijo asumido para r cv y los modelos propuestos para estimar el flujo de calor del suelo tanto para cálculos horarios como diarios, de hecho este último no es considerado en las estimaciones diarias de ET 0 debido a su pésimo comportamiento (Allen et al., 1994, 1998; Howell et al., 1998; Todorovic, 1999; Pereira et al., 1999). Investigaciones realizadas por Ventura et al., (1999) bajo diversas condiciones climáticas, mostraron que el modelo FAO PM tuvo el mejor comportamiento cuando se utilizó un valor de G igual al 10% de Rn y una r cv igual a 42 s/m en estimaciones de ET 0 horaria, obteniendo una raiz del cuadrado medio del 3

error igual 23 w/m 2, respecto de las mediciones realizadas con lisímetro. Por otra parte, Todorovic (1999) mostró que la r cv es un parámetro que depende de las condiciones climáticas y señala que esta debiera ser un parámetro variable en los modelos destinados a estimar ET. Debido a la consistencia en las estimaciones de la ET 0 mostrada por el modelo FAO PM bajo diferentes condiciones edafoclimáticas, este ha comenzado a ganar gran aceptación a nivel mundial, lo que lo ha consolidado como un método altamente confiable para ser utilizado en variadas aplicaciones e investigaciones (Smith et al., 1992; Sousa y Santos, 1999; Temesgen et al., 1999; Allen et al., 2000; Shah, 2000; Grismer, 2000; Irmak et al., 2002). Al respecto, actualmente se incluye en varios softwares computacionales diseñados para estimar la ET o y programar el riego tales como el FAO CROPWAT y la extensión para riego de ADDVANTAGE de ADCON Telemetry ( Smith, 1993; Snyder y Eching, 2000). Por otro lado, varios autores señalan que los errores en la calibración de ecuaciones para estimar ET 0 con datos de lisímetro de pobre calidad serían mayores que los causados por la ecuación FAO PM obtenidos con mediciones climáticas pobres. Tomando en cuenta los antecedentes previamente expuetos, esta ecuación se ha utilizado para calibrar otros métodos destinados al cálculo de la ET 0 (Allen et al., 1994, 1998, 2000; Pereira et al., 1999; Bezerra, 1999; Tyagi et al, 2000). 4

2.3 Estimación de la radiación neta y flujo de calor del suelo Con el propósito de minimizar los errores en las estimaciones de la ET 0, la FAO propone varios modelos para determinar los distintos parámetros de entrada de la ecuación FAO PM, siendo uno de los más importantes la Rn de la cubierta vegetal, debido a que esta representa el motor principal del proceso de evapotranspiración. De esta forma, la Rn se determina a través de la siguiente expresión (Allen et al., 1994, 1998): Rn = R ns + R nl (3) donde R ns = radiación neta de onda corta (Mj/m 2 /d o Mj/m 2 /h); R nl = radiación neta de onda larga (Mj/m 2 /d o Mj/m 2 /h). La radiación neta de onda corta utilizada en la ecuación (3) se estima como sigue (Allen et al., 1994, 1998): R = ( 1 α) R 0. 77R ns s s (4) donde R s = radiación solar medida (Mj/m 2 /d o Mj/m 2 /h); ά = albedo o coeficiente de reflección de la cubierta vegetal (fracción), al cual se le asume un valor de 0,23 para un cultivo de referencia de pasto hipotética. Dong, citado por Allen et al, (1994) sugiere variar el valor de sobre pasto en cálculos de Rn horaria según va cambiando el ángulo del sol conforme transcurre el día, sin embargo los valores finales no difieren mucho del valor 0,23 propuesto por Allen et al, (1994) quien señala que este es un valor fijo calculado especialmente para la nueva definicón de ET 0 propuesta por la FAO. Siguiendo con la metodología para estimar la Rn FAO, la radiación neta de onda larga se determina a través de la siguiente ecuación (Allen et al., 1998): R nl ( ) 4 4 T max + Tmin Rs = σ 5 (0.34 0.14 ea ) 1.35 0. 35 2 Rso (5)

donde σ = constante de Stefan - Boltzmann (4,903 * 10-9 MJ/K 4 /m 2 /d); R so = radiación solar calculada para un día despejado (Mj/m 2 /d o Mj/m 2 /h); T max = temperatura máxima absoluta diaria o temperatura media horaria ( K); T min = temperatura mínima absoluta diaria o temperatura media horaria ( K). Comparaciones diarias efectuadas por Howell et al., (1998) entre Rn medida con radiómetros netos (Rno) y la calculada según la metodología propuesta por la FAO (Rn FAO), mostraron que esta última presentó un buen comportamiento, arrojando una razón promedio entre ambos métodos igual a 1.01 y un coeficiente de determinación igual a 0.95. En tanto que Allen et al, (1990; 1994) señala que la Rn FAO sobrestimó la Rn en un 2% promedio. Una correcta determinación de Rn tiene una gran relevancia, puesto que de esta dependerán los resultados de las estimaciones de G, debido a que este último parámetro es una función directa de Rn en la metodología horaria propuesta por la FAO para la determinación de la ET 0. El flujo de calor del suelo se puede determinar en forma aproximada para cálculos horarios durante el día sobre una cubierta densa de pasto tal como se muestra a continuación (Allen et al., 1994, 1998): G= 0. 1Rn (6) donde G = flujo de calor del suelo (Mj/m 2 /h). En tanto que para cálculos horarios durante la noche se utiliza la siguiente ecuación (Allen et al., 1994, 1998): (7) 6

G= 0. 5Rn 2.5.- PARAMETROS FISICOS DE LA EVAPOTRANSPIRACION Déficit de vapor de agua La evaporación de una superficie de agua es proporcional al déficit de presión de vapor, el cual es definido como la diferencia entre la presión de saturación y la presión parcial del vapor de agua en el aire. Esto puede ser expresado como: HR DPV = es ( 1- ) (2.15) 100 donde DPV = déficit de presión de vapor (kpa); HR = Humedad relativa (%). Pendiente de saturación La pendiente de saturación es definida por la relación entre la temperatura y la presión de vapor y puede ser calculada como: donde: 4098 es = ( 273+ T ) a 2 e s 16, 78 Ta 116, 9 = exp( ) T + 237, 3 a donde: = pendiente de saturación (kpa/ C); e w = presión de saturación del vapor (kpa); T a = temperatura del aire ( C). 7

b) Densidad del aire Según Ortega (1993) la densidad del aire puede ser estimada como sigue: ah w ρ ah = 3, 4839 ( P 0, 378 e 273+ T a ) La presión de saturación puede ser calculada como: P = ah 101, 3 0, 01055 E donde : ρ a = densidad del aire (kg/m3); P = presión atmosférica (kpa); e a = presión de vapor del aire (kpa); E = altitud (m); T a = temperatura del aire ( C). c) Constante sicrométrica La constante sicrométrica es una función principal de la presión atmosférica y el calor de vaporización y puede ser estimada de la siguiente forma: γ = CE P ε L v ah donde: γ = constante sicrométrica (kpa/ C); P = presión atmosferica (kpa); ε = fracción entre el peso molecular del vapor del agua y del aire, 0,62198; CE = calor específico del aire húmedo (1013 J/kg/ C); L = calor latente de vaporización (J/kg). d) Calor de latente de vaporización 8

El calor latente de vaporización se define como la energía requerida para convertir un kilo de agua líquida a vapor, siendo una función de la temperatura igual a: L = 2500,78-2,3601 T a donde: L = calor latente de vaporización (kj/kg); T a = temperatura del aire ( C). Radiación neta y calor del suelo Rs Rn = a a 35 Rso 4 ( 1 α) Rs+σ T (0.34 0.14 e ) 1.35 0. Donde = albedo (0.23 para pasto); Rs = radiación solar (MJ m -2 h -1 ); = constante de Stefan-Boltzman (2.043 10-10 MJ m -2 h -1 K -4 ); Rso = radiación extraterestre (MJ m - 2 h -1 ). El calor del suelo se puede calcular como un 10% de la radiación neta 9

CALIBRACION DE UN MODELO PARA ESTIMAR LA RADIACION GLOBAL HORARIA Samuel Ortega-Farías 2, Winston Mediavilla 2, César Acevedo 2 y Richard Cuenca 3 2 Servicio Integrado de Agroclimatología y Riego (SIAR), Departamento de Producción Agrícola, Facultdad de Ciencias Agrarias, Universidad de Talca, Casilla 747-Talca, Chile 3 Department of Bioresource Engineering, Oregon State University, Corvallis, OR 97331-3906, USA. Resumen: Una calibración fue realizado para determinar el coeficiente de transferencia de la atmósfera con el objeto de calcular la radiación global horaria, en condiciones de días despejados, a partir de la estimación de la radiación extraterrestre en la localidad de Talca (Chile). En esta localidad se efectuaron mediciones de radiación global (Rg), las cuales fueron correlacionadas con el modelo Duffie y Beckman (1980) que calcula la radiación extraterrestre (Rex) en función de variables geográficas. A partir de la calibración efectuada, el coeficiente de transferencia de la atmósfera fue 0,75 para la zona de Talca. TEORIA La variación diurna de la radiación global, que es interceptada por una cubierta vegetal, depende de la radiación extraterrestre, cobertura nubosa, grosor y transparencia de la atmósfera. En aplicaciones agrícolas, la radiación global horaria para días despejados se puede estimar según la siguiente expresión (Jensen et al., 1990): R g = ξ R ex (1) donde R g = radiación de onda corta interceptada por el cultivo o radiación global (W m -2 ); R ex = radiación extraterrestre que es interceptada en la superficie de la 10

atmósfera (W m -2 ); ξ = coeficiente de transparencia de la atmósfera que es una función del contenido de vapor y de las partículas en suspensión en el aire. Los valores horarios de radiación extraterrestre que es interceptada en la superficie superior de la atmósfera, se puede calcular como (Duffie and Beckman, 1980): [ Φ ] [ ] Φ [ ] R = / π C D cos( ) cos( δ) sen( ω ) sen( ω ) + ( ω ω ) sen( )sen( δ) ex 12 s r 2 1 2 1 (2) donde C s = constante solar (1367 W m -2 ); D r = distancia relativa entre la tierra y el sol (fracción); φ = latitud del lugar de medición (radianes); δ = declinación solar (radianes); ω 1 = ángulo horario para el inicio del período horario (radianes); ω 2 = ángulo horario para el final del período horario (radianes). Los valores de D r, δ, ω 1, ω 2 se pueden calcular de acuerdo a las siguientes series de ecuaciones (Jensen et al., 1990): Dr = 1+ 0, 033 cos( 2π J / 365) δ = 0, 4093 sen( 2π( 284+ J) / 365) ( 3) (4) ω1 = ω 0, 1309 ω 2 = ω+ 0, 1309 [( h { L1} E) ] ω = 0, 2618 + 0, 0667 2, 099 + 12 b= 2π ( J 81) / 364 (5) (7) (6) (8) E = 0, 1645 sen( 2 b) 0, 1255 cos( b) 0, 025 ( b) (9) 11

donde J = día del año (tomando como 1 el primero de enero y 365 el 31 de diciembre); ω = ángulo horario (radianes); h = hora del día (horas); L l = longitud geográfica (radianes); E = corrección estacional del tiempo solar (horas). MATERIALES Y METODOS Una calibración fue efectuada para determinar el coeficiente de transparencia de la atmósfera en las unidades agroclimáticas de Panguilemo (UAP) (latitud 35 23'13", longitud 71 40'42", 110,5 m sobre el nivel del mar) ubicada en la zona de Talca. Una estación meteorológica automática fue ubicada sobre una cubierta vegetal de festuca en condiciones de referencia (1,5 ha) para medir la radiación solar horaria en las temporadas agrícolas 97/98 para AUP. Para determinar el coeficiente ξ, una regresión lineal a través del origen entre la radiación global observada (Rgo) y la radiación extraterrestre (Rex) fue desarrollada, utilizando 30 días despejados de cada localidad, los cuales fueron seleccionados al azar durante el período de crecimiento de los cultivos. Además, el test Z fue utilizada para evaluar si el intercepto de la línea de regresión fue estadísticamente diferente de cero, con un intervalo de confianza del 95% y la desviación estándar del error (DEE) fue incluida para determinar el grado de variación del modelo calibrado (Ortega et al., 1996a). RESULTADOS Y DISCUSION El coeficiente de determinación (r 2 ) y coeficiente de transparencia de la atmósfera (o pendiente de la línea de regresión a través de origen) fueron 0,99 y 0,75, respectivamente (Figura 1). Por otro lado, el valore de la DEE para UAP fue menor a 30 W m -2, valor que se encuentra dentro del rango de precisión de los instrumentos que mide la radiación global (Ortega et al., 1996a). Estos resultados son comparables con los registrados por Nagaraja y Bradley (1983) quienes obtuvieron un coeficiente de determinación de 0.96 y una DEE de 18,4 12

W m -2, para una estimación diaria de la radiación global. En forma similar Santibañez y Castillo (1981) encontraron un coeficiente de determinación de 0.90 y una DEE de 16,8 W m -2, para la calibración de un modelo que calcula la radiación global diaria. En relación a lo anterior, el coeficiente de transparencia de la atmósfera puede variar entre 0,50 y 0,90 dependiendo del grado de polución y contenido de vapor de agua de la atmósfera. Por lo tanto para obtener un buena estimación de la radiación global horaria es necesario desarrollar coeficientes de transparencia de la atmósfera para cada zona. La variación diurna de la radiación global observada (Rgo) y estimada por la ecuación 1 (Rge) en intervalos de una hora es mostrada en la Figura 2 para Talca. En esta figura se puede observar que Rgo y Rge presentan un comportamiento muy similar durante el día, aumentando en forma gradual a partir de las 5:00 horas para llegar a valores máximo al medio día. Posteriormente las curvas de la Rgo y Rge disminuyen llegando a valores cercanos a cero aproximadamente a las 20:00 horas. Los mayores errores entre Rge y Rgo se registraron al amanecer, medio día y atardecer; sin embargo dichos errores no superaron los 50 W m -2. CONCLUSIONES Los resultados de este estudio permiten concluir que con un apropiado coeficiente de transparencia de la atmósfera es posible calcular la radiación global horaria, a partir de estimaciones de la radiación extraterrestre, con un error buen grado de precisión y una desviación estándar del error no mayor a 30 W m -2, valor que se encuentra en el rango de los errores observados en la mediciones del piranómetro (Ortega-Farias et al 1996b). BIBLIOGRAFIA -Duffie, J., and W.A. Beckman. 1980. Solar engineering of thermal processes. John Wiley and Sons, New York. 1-109. -Jensen M.E., R.D. Burman and R.G. Allen. 1990. Evapotranspiration and irrigation water requeriments. ASCE, New York-USA. 332 p. -Ortega-Farias, S., R. Cuenca, and M. Ek. 1996a. Daytime variation of sensible seat flux estimated by the bulk aerodynamic method over a grass canopy. Agric. and Forest Meteorology. N 81: 131-143. 13

-Ortega-Farias, S., R.H. Cuenca, B. Soliz y C. Ortiz. 1996b. Evaluación de calor latente usando la ecuación de Penman-Monteith, con un valor variable de la resistencia de la cubierta vegetal a la transferencia de vapor de agua. Ciencia e Investigación Agraria. Vol. 23, N 2-3: 61-66. - Mediavilla W. 1996. Estimación de la variación diurna de la radiación global, neta y calor del suelo, para la determinación de la evapotranspiración por Penman- Monteith. Tesis de Grado para Optar al Título de Ingr. Agrónomo. Universidad de Talca. Chile. 80 p. -Nagaraja C. and Bradley W. 1983. Estimation of the daily global solar irradiation at Corvallis, Oregon (U.S.A.) from the hours of bright sunshin, the daily temperature range and relative humidity. Journal of Climatology. Vol 3. -Santibañez F. y Castillo H. 1981. Evaluación de la radiación solar global y luminosidad en Chile. Calibración de fórmulas para estimar radiación solar global diaria. Agricultura Técnica. Nº 41. 14

1200 1000 a) Talca (Chile) 800 Rge (W/m^2) 600 400 200 0 0 200 400 600 800 1000 1200 Rgo (W/m^2) Figura 1. Comparación entre la radiación global estimada (Rge) y observada (Rgo). 15

1200 1000 a) Talca (Chile) Energía (W/m^2) 800 600 400 200 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Tiempo (horas) Rgo Rge Figura 2. Variación diurna de la radiación global obsevada (Rgo) y estimada (Rge) para Talca. 16

Cálculo de la Radiación Extraterrestre mensual (MJ/m 2 /mes) para las Estaciones Meteorológicas Manuales (VII Región) El cálculo de la radiación extraterrestre mensual (Rem) para las estaciones manuales es presentada en la tabla N 1. En esta tabla se puede observar que Rem no presenta una gran variación entre las localidades y en general entre los meses de Septiembre a Marzo la Rem tiene valores que oscilan entre 29,35 y 44,29 MJ/m 2 /mes. Finalmente, la radiación que es interceptada por una la cubierta vegetal (radiación global o solar) va a depender del grado de cobertura nubosa y del coeficiente de transparencia de la atmósfera (ξ). Al respecto, el ξ encontrado en Talca fue de 0,75, lo que nos indica que los valores de Rem para días despejados pueden ser multiplicados por este factor. En general esto se puede aplicar en los meses de Noviembre, Diciembre, Enero y febrero que no presentan un alto grado de cobertura nubosa. Para mejorar, la precisión en los días nublados es necesario contar con las horas de insolación reales, dato que es muy escaso en las estaciones manuales. Cuadro 1. Cálculo de la Radiación Extraterrestre mensual (MJ/m 2 /mes) para las Estaciones Manuales (VII Región) Mes Cúrico Qui- Curepto Rari Chanco Vilches Yerbas Parral Unive. Promedio Volgo Buena de Talca Ener 43,16 43,17 43,16 43,17 43,17 43,17 43,17 43,17 43,16 43,17 Febr. 38,94 38,79 38,92 38,83 38,84 38,85 38,83 38,76 38,88 38,85 Mar. 32,21 31,86 32,16 31,94 31,98 32,00 31,94 31,79 32,07 32,00 Abr. 24,56 24,06 24,49 24,18 24,23 24,26 24,18 23,96 24,36 24,25 May. 18,49 17,92 18,41 18,06 18,12 18,15 18,06 17,81 18,26 18,14 Jun. 15,80 15,21 15,72 15,35 15,42 15,45 15,35 15,10 15,56 15,44 Jul. 17,15 16,58 17,07 16,71 16,78 16,81 16,71 16,47 16,92 16,80 Agos. 22,29 21,76 22,22 21,89 21,95 21,97 21,89 21,66 22,08 21,97 Sept. 29,59 29,20 29,54 29,29 29,34 29,36 29,29 29,11 29,44 29,35 Oct. 36,85 36,64 36,83 36,69 36,72 36,73 36,69 36,60 36,77 36,72 Nov. 42,08 42,05 42,07 42,06 42,06 42,06 42,06 42,04 42,07 42,06 Dic. 44,25 44,31 44,26 44,30 44,29 44,29 44,30 44,32 44,27 44,29 Nota: Estos valores fueron estimados usando la ecuación (2). 17