Ingeniería Civil Matemáticas I - Departamento de Matemática Aplicada II Escuela Superior de Ingenieros Universidad de Sevilla Tema 5- Ortogonalidad y mejor aproximación 5- El producto escalar Norma, distancia, ángulos y ortogonalidad Desigualdades y teorema de Pitágoras 5- El complemento ortogonal de un subespacio 5- Bases ortogonales Bases ortogonales de un subespacio El método de Gram-Schmidt Matrices ortogonales 54- La proyección ortogonal Proyección ortogonal sobre un subespacio El teorema de la mejor aproximación 55- Problemas de mínimos cuadrados Ecuaciones normales de Gauss 56- Ejercicios Enunciados Soluciones En este tema estudiamos la estructura métrica de los espacios R n, es decir, las cuestiones relacionadas con distancias y ángulos con especial énfasis en la ortogonalidad entre vectores y entre subespacios vectoriales En el estudio de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el álgebra de matrices, etc, podíamos considerar coeficientes reales o complejos de manera indistinta sin afectar ni a los conceptos ni a los resultados Aquí no sucede lo mismo El hecho de considerar vectores reales es esencial Para poder considerar conceptos métricos en los espacios C n, de vectores de coordenadas complejas, habría que considerar la definición apropiada (coherente) de producto escalar de vectores complejos, que se suele denominar producto hermítico y habría que modificar el enunciado de algunas propiedades Al aplicar dicha definición, de vectores complejos, a vectores reales nos daría la definición usual que vemos a continuación y que el alumno conoce en dimensiones dos y tres Además de considerar las definiciones y propiedades básicas estudiaremos algunos tipos de matrices directamente relacionadas con la estructura metrica de los espacios de coordenadas reales (matrices de proyección ortogonal sobre un subespacio, matrices ortogonales,) 5
6 Tema 5- Ortogonalidad y mejor aproximación 5- El producto escalar Norma, distancia, ángulos y ortogonalidad El Producto escalar de dos vectores reales x,y R n es el número real x y = x y +x y + +x n y n R 5- Norma, distancia, ángulos y ortogonalidad Definiciones Consideremos x,y R n Se denomina Norma de un vector x R n al número real no-negativo x = x + + x n = x x Se denomina Distancia entre dos vectores x,y R n al número real no-negativo Ortogonalidad d(x,y) = x y (a) Se dice que dos vectores x,y R n son ortogonales (x y) si x y = x T y = (b) Sedicequeunconjuntodevectores{v,,v m }der n esunconjunto ortogonal si cada uno de los vectores v k es ortogonal a todos los demás, v k v j =, j k (c) Se dice que un conjunto de vectores {v,,v m } de R n es un conjunto ortonormal si es un conjunto ortogonal y cada uno de los vectores v k tiene norma uno, v k v j =, j k; v = = v m = Las propiedades del producto escalar, la norma, la distancia y la ortogonalidad son conocidas por el alumno para vectores en R y en R En los espacios R n, las propiedades son esencialmente las mismas Notemos que si considerasemos dichos conceptos de forma independiente de un sistema de referencia, en cada uno de ellos aparecen involucrados uno o dos vectores Algunas de las propiedades del producto escalar pueden obtenerse directamente del hecho de que el producto escalar de dos vectores puede expresarse como un producto matricial, vector-fila por vector-columna, x y = x T y = y T x Es inmediato comprobar que se verifican las siguientes propiedades: Propiedades- () El producto escalar es simétrico: x y = y x () El producto escalar es lineal en cada variable, es decir, siendo x,x,y,y R n y α,β,λ,µ R, (αx+βx ) y = αx y +βx y, x (λy +µy ) = λx y +µx y () x = x = (4) αx = α x, α R,x R n Notemos que el producto escalar No es asociativo Es decir, puede suceder que (x y)z x(y z) De hecho es lo más probable Ejercicio Busca un ejemplo e interpreta geométricamente el resultado Matemáticas I Ingeniería Civil
5- El complemento ortogonal de un subespacio 7 5- Desigualdades y teorema de Pitágoras Teorema Sean x,y R n () Desigualdad de Cauchy-Schwartz: x y x y () Desigualdad triangular: x+y x + y ( x y x + y ) () Teorema de Pitágoras: x y x+y = x + y El ángulo (los ángulos) determinado por dos vectores no-nulos x,y R n puede caracterizarse (definirse) mediante la igualdad x y = x y cos(θ) Los resultados clásicos de la geometría métrica plana, como el Teorema del seno o el Teorema del coseno, son válidos cuando consideramos vectores n dimensionales 5- El complemento ortogonal de un subespacio Definición (El complemento ortogonal de un subespacio) Dado un subespacio vectorial S de R n se denomina complemento ortogonal de S al conjunto S = {v R n : v u u S} Es decir, S está formado por todos los vectores que son ortogonales { } a todos los vectores de S Por tanto, el complemento ortogonal del subespacio nulo es R n puesto que cualquier vector es ortogonal al vector nulo Por otra parte, el complemento ortogonal del espacio total R n es el subespacio nulo, puesto que el vector nulo (de R n ) es el único que es ortogonal a todos los vectores de R n Ejemplos Cuando se trabaja con el complemento ortogonal de un subespacio es conveniente tener presente cómo se puede caracterizar dicho complemento ortogonal cuando el subespacio viene dado en forma paramétrica o cuando viene dado en forma implícita En R, un subespacio vectorial de dimensión es una recta que pasa por el origen y su complemento ortogonal será (como es natural) la recta que pasa por el origen (es un subespacio vectorial) y es perpendicular a la recta dada En R, un subespacio vectorial de dimensión es una recta que pasa por el origen Su complemento ortogonal será el plano que pasa por el origen (es un subespacio vectorial) y es perpendicular a la recta dada Un subespacio vectorial de dimensión es un plano que pasa por el origen Su complemento ortogonal será la recta que pasa por el origen (es un subespacio vectorial) y es perpendicular al plano dado () Consideremos un subespacio de dimensión en R, dado en forma paramétrica, es decir, una recta que pasa por el origen de coordenadas, dada por un vector dirección v Por ejemplo, para v = [, T S = Gen {v } = {v = αv : α R} { x = α x = α, Matemáticas I -
8 Tema 5- Ortogonalidad y mejor aproximación su complemento ortogonal estará formado por los vectores v = [x,x T R que son ortogonales a todos los vectores de la forma αv,α R v S (αv ) v =, α R v v = x x = Es decir, el complemento ortogonal S está formado por los vectores v = [x,x T R cuyas coordenadas verifican la ecuación x x = Por tanto, S es un subespacio vectorial (de dimensión ) que viene dado en forma implícita y los coeficientes de la ecuación implícita son las coordenadas del vector dirección de S Si hubieramos considerado otro vector dirección de S (que será un múltiplo no-nulo de v ), habríamos obtenido una ecuación equivalente () Si consideramos un subespacio vectorial S de dimensión en R n, es decir una recta que pasa por el origen, generada por un vector no-nulo v R n a S = Gen v = a n su complemento ortogonal estará formado por los vectores v = [x,,x n T R n cuyas coordenadas verifican la ecuación v v = a x + +a n x n = con lo cual S es un subespacio vectorial (de dimensión n ) que viene dado mediante una ecuación implícita y los coeficientes de dicha ecuación son las coordenadas del vector dirección de S Teorema Sea S un subespacio vectorial de R n () S es un subespacio vectorial de R n () ( S ) = S () El vector nulo es el nico vector de R n que pertenece a la interseccin de S con S (4) Si S = Gen {v,,v p }, entonces v S v v,,v v p Ejemplo Antes hemos obtenido el complemento ortogonal de un subespacio de R n de dimensión, que era un subespacio vectorial de dimensión n (estos subespacios se suelen denominar hiperplanos) Las propiedades anteriores permiten obtener fácilmente el complemento ortogonal de un subespacio de dimensión n dado en forma implícita W a x + +a n x n = (para que esta ecuación defina un subespacio de dimensión alguno de los coeficientes a,,a n tiene que ser no nulo) Puesto que, como vimos antes, a W = S siendo S = Gen a n Matemáticas I Ingeniería Civil
5- Bases ortogonales 9 tenemos que W = ( S ) = S Es decir, de manera inmediata obtenemos W en forma paramétrica El hecho de expresar el complemento ortogonal de una u otra forma paramétrica/implícita dependiendo de como venga expresado el subespacio vectorial: S en forma paramétrica S en forma implícita S en forma implícita S en forma paramétrica queda reflejado con el siguiente Teorema Teorema (Los cuatro subespacios asociados a una matriz) Sea A una matriz real m n Se verifica: [Col(A) = Nul(A T ), [Nul(A) = Col(A T ) El espacio Col(A T ) se suele denominar espacio fila de la matriz A Notemos que en lo que se refiere a las dimensiones de los complementos ortogonales tenemos ( dim [Col(A) ) = dim ( Nul(A T ) ) = m pivotes de A T = m rang(a) = m dim (Col(A)) Puesto que cualquier subespacio vectorial se puede expresar como el espacio columna de una matriz tenemos que para cualquier subespacio vectorial S de R m se verifica dim ( S ) = m dim(s) 5- Bases ortogonales 5- Bases ortogonales de un subespacio Una base ortogonal de un subespacio vectorial S es una base de S formada por vectores que son ortogonales dos a dos Para calcular las coordenadas de un vector respecto de una base genérica de S hay que resolver un sistema de ecuaciones lineales cuya soluci on son las coordenadas del vector respecto de dicha base Como veremos en la sección 64, la principal ventaja, de tener una base ortogonal de un subespacio, es que el cálculo de las coordenadas de un vector respecto de dicha base es particularmente sencillo y se tiene una fórmula para dichas coordenadas (ver el desarrollo de Fourier) Una base ortonormal de un subespacio vectorial es una base formada por vectores que son ortogonales dos a dos y unitarios (con norma igual a ) Teorema Si {v,v,,v r } es un conjunto de vectores no-nulos ortogonales dos a dos, entonces son linealmente independientes Cuando se tiene un conjunto ortogonal de vectores no-nulos y se normalizan (se divide cada uno por su norma), obtenemos un conjunto ortonormal de vectores que formarán una base ortonormal del subespacio vectorial que generan Vamos a considerar ahora las propiedades de las matrices cuyas columnas son ortonormales Más adelante veremos el caso particular de las matrices cuadradas cuyas columnas son ortonormales Proposición Sea U = [u,,u n una matriz real m n Matemáticas I -
Tema 5- Ortogonalidad y mejor aproximación () U tiene columnas ortonormales U T U = I () Si U tiene columnas ortonormales, entonces conserva ángulos y distancias Es decir (Ux) (Uy) = x y, x,y R n En particular, (a) Ux = x, x R n (b) Ux Uy x y 5- El método de Gram-Schmidt En los temas anteriores hemos visto cómo obtener una base de un subespacio vectorial a partir de un conjunto de vectores que genere dicho subespacio vectorial El método de ortogonalización de Gram-Schmidt, que vamos a describir, permite construir, de manera progresiva, una base ortogonal de un subespacio vectorial a partir de una base de dicho subespacio e incluso de un conjunto de vectores que genere el subespacio, sin necesidad de que los vectores sean linealmente independientes Partiendo de una base {v,v,,v p } de un subespacio S, el método consiste en generar uno a uno vectores que son ortogonales a los construidos Denotamos por S,S, los subespacios vectoriales definidos por S = Gen {v },S = Gen {v,v },,S p = Gen {v,v,,v p } = S El método de Gram-Schmidt consiste en generar los vectores: u = v S, u = v proy S (v ) S, es decir, u es el único vector de la forma u = v +αu que es ortogonal a u, u = v proy S (v ) S, es decir, u es el único vector de la forma u = v +αu +βu que es ortogonal a u y a u, Notemos que, puesto que los vectores {v,v,,v p } son linealmente independientes, los subespacios S S S p = S son todos distintos (dim(s k ) = k,k =,,,p), los vectores u,u,,u p son todos nonulos y linealmente independientes y se verifica que S = Genv = Genu, S = Gen {v,v } = Gen {u,u }, S = Gen {v,v,v } = Gen {u,u,v } = Gen {u,u,u }, S p = Gen {v,,v p } = = Gen {u,,u p } Teorema (Método de ortogonalización de Gram-Schmidt) Consideremos una base {v,v,,v p } de un subespacio vectorial S de R n Entonces, los siguientes vectores están bien definidos Matemáticas I Ingeniería Civil
5- El método de Gram-Schmidt u = v u = v v u u u u = v v u u u v u u u u p = v p v p u u u vp u p u p u p y son no-nulos y ortogonales dos a dos Además, para cada k =,,p, {u,u,,u k } es una base ortogonal de S k = Gen {v,v,,v k } En particular {u,u,,u p } es una base ortogonal de S = Gen {v,v,,v p } Observaciones (a) Si el objetivo es obtener una base ortonormal de S, una vez que se ha obtenido una base ortogonal basta normalizar los vectores obtenidos (b) En cada paso del método de Gram-Schmidt que acabamos de describir podríamos multiplicar (o dividir) el vector obtenido por un coeficiente no-nulo y seguir los cálculos con dicho vector (c) Qué sucede al aplicar el método de Gram-Schmidt a un conjunto de vectores linealmente dependientes? 5- Matrices ortogonales Un caso particularmente importante de matrices reales con columnas ortonormales lo constituyen las matrices cuadradas con dicha propiedad Definición (Matriz ortogonal) Se denomina matriz ortogonal a toda matriz Q real cuadrada no-singular cuya inversa coincide con su traspuesta, Q = Q T Ejercicio Prueba las siguientes propiedades de las matrices ortogonales () Si Q es ortogonal = det(q) = ± () Q es ortogonal Q T es ortogonal () Si Q y Q son ortogonales, entonces Q Q es ortogonal Proposición Sea Q una matriz real cuadrada n n Son equivalentes: () Q es una matriz ortogonal () Las n columnas de Q son ortonormales (y por tanto forman una base ortonormal de R n ) () Las n filas de Q son ortonormales (y por tanto forman una base ortonormal de R n ) Matemáticas I -
Tema 5- Ortogonalidad y mejor aproximación Observación- Notemos que el que las columnas de una matriz (real) sean ortonormales es equivalente a que lo sean las filas sólo en el caso de una matriz cuadrada Una matriz real no cuadrada puede tener columnas (o filas) ortonormales sin serlo sus filas (o columnas) Por ejemplo, las matrices,, tienen sus columnas ortonormales pero no sus filas Las traspuestas tienen filas ortonormales pero no columnas 54- La proyección ortogonal 54- Proyección ortogonal sobre un subespacio Si consideramos el subespacio vectorial S, de dimensión uno (una recta), generado por un vector, u, no-nulo, S = Gen {u }, la proyección ortogonal de un vector v R n sobre S será el vector u = αu S que verifica que v u = v αu es ortogonal a S Es decir, tenemos que determinar α con la condición de que v αu sea ortogonal a u, (v αu ) u = v u α u = α = v u u = u = proy S (v) = v u u u, ( = u = ) v u u No hay que confundir el vector proyección ortogonal de v sobre (la recta que genera) otro, u, que es un vector v u u u, con la magnitud de dicha proyección ortogonal, v u u, que es un número real Para un subespacio de dimensión arbitraria puede darse una expresión de la proyección ortogonal de un vector sobre dicho subespacio cuando disponemos de una base ortogonal de dicho subespacio Considerando una base ortonormal puede darse una expresión cómoda de la matriz de la proyección ortogonal Teorema (de la descomposición ortogonal) Sea S un subespacio vectorial de R n Dado cualquier vector v R n existe un único vector u S (llamado proyección ortogonal de v sobres)talque v u S Dehecho, si {u,u,,u r } esuna baseortogonaldes, entonces la proyección ortogonal de v sobre S es y la proyección ortogonal de v sobre S es Notemos que: u := proy S (v) = v u u u + + v u r u r u r w = v u Matemáticas I Ingeniería Civil
54- La proyección ortogonal Si v S, entonces proy S (v) = v y proy S (v) = Notemos que proy S (v) = v u = v proy S (v), esto es proy S (v)+proy S (v) = v Cada sumando de la expresión v u u u + + v u r u r u r nos da la proyección ortogonal del vector v sobre el subespacio generado por el correspondiente vector u k El vector u = proy S (v) verifica que u v y expresando u en términos de la base ortogonal dada esta desigualdad es la desigualdad de Bessel considerada en la siguiente proposición Corolario Sea {u,u,,u r } una base ortogonal de un subespacio S de R n Entonces las coordenadas de un vector u S respecto de dicha base vienen dadas por u u k u k, es decir, se verifica que u = u u u u + + u u r u r u r La expresión anterior se suele denominar desarrollo de Fourier de v respecto a la base {u,u,,u r } Corolario (Matriz de una proyección ortogonal) Sea S un subespacio vectorial de R n (a) Si {u,u,,u r } es una base ortonormal de S, la proyeción ortogonal de un vector v R n sobre S es u := proy S (v) = (v u )u + +(v u r )u r (b) Siendo U una matriz cuyas columnas forman una base ortonormal de S, la matriz de la proyección ortogonal sobre S es P S = UU T, es decir proy S (v) = UU T v, v R n Aunque puedan considerarse distintas matrices U como en el enunciado, la matriz P S = UU T que representa a la proyección ortogonal, respecto a la base canónica, es única Las propiedades características de las matrices de proyección ortogonal son: P S = P S, ( UU T ) = U(U T U)U T = UIU T = UU T, y P S es simétrica, ( UU T ) T = (U T ) T U T = UU T Matemáticas I -
4 Tema 5- Ortogonalidad y mejor aproximación 54- El teorema de la mejor aproximación El teorema de la mejor aproximación resuelve el problema de la mínma distancia de un punto a un subespacio vectorial Dado un subespacio vectorial S de R n y un punto/vector x R n, se trata de minimizar la distancia de x a un punto/vector genérico w S, min{ x w : w S}, y de obtener el punto/vector donde se alcanza dicho mínimo Este problema se puede plantear como un problema de optimización en varias variables (cálculo diferencial de varias variables) sin más que expresar un vector genérico w S como combinación lineal arbitraria de los vectores de un base de S El teorema de la mejor aproximación nos dirá que es equivalente resolver el problema de mínima distancia (la mejor aproximación a x desde S) que el problema de la proyección ortogonal sobre S La mínima distancia de x a S se alcanza en proy S (x) (y en ningún otro punto) Teorema (de la mejor aproximación) Sea S un subespacio vectorial de R n y consideremos un vector x R n y un vector y S Son equivalentes: (a) y es la proyección ortogonal de x sobre S, es decir, y S, x y S (b) y es la mejor aproximación de x desde S, es decir, y S, x y x w para todo w S S x Sea y = proy S (x) y sea w S Puesto que S O w y x w = (x y)+(y w), x y S,y w S, aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos x w = x y + y w x y 55- Problemas de mínimos cuadrados Ecuaciones normales de Gauss En términos generales, resolver un problema en el sentido de los mínimos cuadrados es sustituir un problema en el que hay que resolver un sistema de ecuaciones (que no tiene solución) por el problema de minimizar una suma de cuadrados Ejemplo El problema de la regresión lineal Si consideramos dos magnitudes, x e y, de las que suponemos que están relacionadas mediante una igualdad del tipo y = ax+b, donde tenemos que determinar a y b mediante la obtención de resultados experimentales, y dichos resultados son Matemáticas I Ingeniería Civil
55- Problemas de mínimos cuadrados Ecuaciones normales de Gauss 5 x x x x n y y y y n los valores a y b los obtendremos de la resolución del sistema de ecuaciones lineales ax +b = y x y ax +b = y x [ a y = b ax n +b = y n x n y n Lo habitual es que un sistema de ecuaciones como el anterior no tenga solución Resolver el sistema anterior en el sentido de los mínimos cuadrados consiste en determinar los valores a y b para los cuales la suma de cuadrados (ax +b y ) +(ax +b y ) + +(ax n +b y n ) es mínima (si hubiera solución dicho valor mínimo sería cero) Puesto que esta suma de cuadrados es el cuadrado de la norma del vector x y x y y los vectores de la forma x n x x x n [ a b [ a b y n a,b R forman el espacio columna S de la matriz considerada, resolver el sistema en mínimos cuadrados es determinar el vector de S más cercano al término independiente considerado y resolver el sistema (que será compatible) con ese nuevo término independiente Para un sistema genérico de ecuaciones lineales Ax = b, resolverlo en el sentido de los mínimos cuadrados es determinar el vector (o vectores) x R n para los cuales Ax b es mínima PuestoquelosvectoresAxrecorrenelespaciocolumnadeA(cuandoxrecorreR n ), Ax b será mínima para los vectores x R n tales que Ax es igual a la proyección ortogonal de b sobre el espacio Col(A) A R n Rm b O x O Ax proy S (b) Col(A) Matemáticas I -
6 Tema 5- Ortogonalidad y mejor aproximación Teorema Consideremos un sistema de ecuaciones Ax = b, A matriz real m n, b R m, S = Col(A) y sea ˆx R n Son equivalentes: (a) ˆx es solución en mínimos cuadrados del sistema Ax = b, es decir, (b) ˆx verifica Aˆx = proy S (b) Aˆx b Ax b, x R n (c) ˆx verifica las ecuaciones normales de Gauss A T Aˆx = A T b Observaciones (a) El sistema de ecuaciones Ax = proy S (b) (sistema m n) y el sistema A T Ax = A T b (sistema n n) son siempre compatibles y tienen el mismo conjunto de soluciones (b) ElsistemaAx = proy S (b)serácompatibledeterminado(esdecirelproblemaenmínimos cuadrados tendrá solución única) si y sólo si el sistema homogéneo asociado Ax = tiene solución única Por tanto, el sistema Ax = b tiene solución única en mínimos cuadrados las columnas de A son linealmente independientes (rango(a) = n) Matemáticas I Ingeniería Civil
56- Ejercicios 7 56- Ejercicios 56- Enunciados Ejercicio Sea u = [,, T () Describegeométricamente elconjunto devectores v R que verifican, respectivamente, { } { } { } { } v u = v u = v u = 4 v u = (a), (b), (c), (d) v = v = v = v = / 4 () Calcula el radio y el centro de la circunferencia dada por las siguientes ecuaciones { } v u = v = Ejercicio Halla una base y unas ecuaciones implícitas de E y de F siendo E y F los subespacios E = Gen,, x+y +z t = y F x+y t = x+y +9z t = Ejercicio Expresa el vector (,,,4) T como suma de dos vectores u + v siendo u proporcional a (,,,) T y v u Ejercicio 4 Halla la proyección ortogonal de los siguientes vectores sobre los subespacios que se indican: () (4,,, ) T sobre el subespacio definido por x +x +x +x 4 = () (,,,) T sobre el subespacio de R 4 dado por: { x y +z t =, E y +z = () (, 4,5) T sobre el subespacio f(e) siendo f la aplicación lineal dada por la matriz A = y E el subespacio de R dado por x y z = Matemáticas I -
8 Tema 5- Ortogonalidad y mejor aproximación Ejercicio 5 Demuestra: () El producto de matrices ortogonales es ortogonal () La suma de matrices ortogonales puede no ser ortogonal Ejercicio 6 Dadas las bases ortonormales de R B = B = { ( u = /,/ T ( ),u = /,/ ) } T { ( w = /, T ( /),w = ) } T /,/ y halla la matriz correspondiente al cambio de una de esas bases a la otra Comprueba que la matriz de paso es ortogonal Ejercicio 7 Halla el vector perteneciente al subespacio de R 4 generado por los vectores que está más cerca del vector (,,,) T (,,,) T,(,,,) T y(,,, ) T Ejercicio 8 Halla la matriz de la proyección ortogonal sobre cada uno de los siguientes subespacios de R 4 : () el subespacio generado por (,,,) T y (,,,) T () el subespacio generado por (,,,) T y (,,,) T { x y +z +t = () Sobre E y sobre E, siendo E x 5y +z +t = ser, la suma de ambas matrices vale I Comprueba que, como debe Ejercicio 9 Dado el subespacio S R definido por x x +x =, se pide: (a) Halla la matriz de la proyección ortogonal sobre S Cuál es la matriz de la proyección ortogonal sobre S? (b) Determina una base de S (c) Demuestra que Col(A) = S, siendo A = (d) Halla el vector de S que dista menos de v = (,,) T Matemáticas I Ingeniería Civil
56- Ejercicios 9 Ejercicio Aplica el método de Gram-Schmidt a: (a) La base de R 4, { (,,,) T, (,,,) T, (,,,) T, (,,,) T} (b) Las columnas de las matrices A =, B = Ejercicio La proyección ortogonal del vector v = (5,,) T sobre la recta x = y,y = z es: (,, ) T (,,) T (,,) T Ejercicio Halla una base ortonormal de Col(A) y otra de Nul(A) siendo A = Ejercicio Consideremos el subespacio E definido mediante E = Gen { (a,,,) T,(a,a,b,) T,(a,b, a,) T}, a,b R (a) Hallar una base ortonormal del subespacio E según los valores de a y b (b) Hallar la matriz de la proyección ortogonal sobre E, cuando a = (c) Calcular los valores de los parámetros a y b tales que el subespacio dado por las ecuaciones x = 5x +x +x = x +x x +x 4 = sea ortogonal a E Ejercicio 4 Consideremos los vectores y el subespacio vectorial dados por α α v =, v = α, u = ; S x +x +αx = Determina α sabiendo que proy S (v ) = proy S (v ) = u (un dibujo puede ayudar) Matemáticas I -
4 Tema 5- Ortogonalidad y mejor aproximación Ejercicio 5 Sean S y S los subespacios vectoriales de R 4 definidos mediante S x +x +x +x 4 =, y S x +x x x 4 = Determina el vector v R 4 cuyas proyecciones ortogonales sobre S y S son, respectivamente, 7 u = proy S (v) = 5 5, u = proy S (v) = 7 Ejercicio 6 Sea A una matriz 4 tal que Nul(A) = Gen 5, Col(A) = Gen v =,v = (a) Calcula la proyección ortogonal del vector v = [ T R 4 sobre el subespacio Col(A) (b) Determina la matriz A sabiendo que es de la forma A = Ejercicio 7 Resolver en el sentido de los mínimos cuadrados los siguientes sistemas de ecuaciones () x =,x = 7,x =,x = () x = a, x = a,,x = a n, siendo a, a,, a n números reales Qué se obtiene cuando alguno de los valores a k aparece repetido? [ [ () Ax = b siendo A = y b = 4 Ejercicio 8 Resuelve en el sentido de los mínimos cuadrados los dos sistemas equivalentes siguientes (que tendrían las mismas soluciones exactas si fueran compatibles) { x +x = x +x = 4 } y { x +x = x +x = } Matemáticas I Ingeniería Civil
56- Ejercicios 4 { [,,, T,[,,, T,[,,, T} y la ma- Ejercicio 9 Dados el subespacio E = Gen triz (a) Calcular una base de E A = a b a a b b (b) Hallar la matriz de la proyección ortogonal sobre E (c) Calcular A sabiendo que Col(A)) está contenido en E (d) Resolver en el sentido delos mínimos cuadrados, el sistema Ax = b con b = (,,,) t Ejercicio Por el método de los mínimos cuadrados, ajustar una parábola, y = ax + bx+c, a los puntos (, ), (,), (,) y (, ) Ejercicio Resolviendo el sistema sobredeterminado que se obtiene de la ecuación general de la circunferencia x +y +ax+by+c =, calcular la circunferencia que mejor se ajuste, en el sentido de los mínimos cuadrados a los puntos (,), (,), (,) y (,), indicando las coordenadas del centro y el radio de la misma Ejercicio Consideremos el sistema ( ) x = y Sus [ ecuaciones [ normales [ de Gauss son: 6 x 4 = 4 y 8 [ 6 4 [ 6 4 [ x y [ x y = = [ 4 [ 4 8 Ejercicio Considera los vectores v,v,v y v 4 de R 4 y la matriz C dados por v =,v =,v =,v 4 = 8 ; C = v v (a) Calcular la matriz de la proyección ortogonal sobre S = Gen {v,v,v }, el vector de S más cercano a v 4 y la distancia de v 4 a S (b) Resolver, en el sentido de los mínimos cuadrados, el sistema Cx = v Matemáticas I -
4 Tema 5- Ortogonalidad y mejor aproximación 56- Soluciones Ejercicio { () v u = v = { v u = v = { v u = 4 v = Corte de la esfera de centro el origen y radio con el plano x+y +z = Circunferencia de centro el origen y radio Corte de la esfera de centro el origen y radio con el plano x+y +z = Circunferencia de centro C = (, 4, 6 ) y radio 4 4 4 Corte de la esfera de centro el origen y radio con el plano x+y +z = 4 Nada 4 { v u = v = 4 5 () Radio r =, Centro C = (, 6, 9 ) 4 4 4 4 Corte de la esfera de centro el origen y radio / 4 con el plano x+y +z = Un punto Ejercicio E Base,, Ecuaciones implícitas { x + x +x 4 =, x x +x 4 = F Base v =,v =, Ecuaciones implícitas { 6x+9y +z =, y +t = Ejercicio 4 = u+v, u =, v = 5 Ejercicio 4 () Para el vector v dado, tenemos 4 v = proy(v) = 5 7 Matemáticas I Ingeniería Civil
56- Ejercicios 4 () Para el vector dado tenemos, proy(v) = 7 8 5 () En este caso la proyección viene dada por proy( 4 5 ) = 47 4 Ejercicio 5 () Si tomamos dos matrices ortgonales Q y Q de orden n, se verifica que Q = Q T y Q = Q T y, por tanto, la matriz producto Q = Q Q es ortogonal pues se verifica que QQ T = (Q Q )(Q Q ) T = (Q Q ) ( Q T QT ) = Q Q Q T QT = Q Q T = I () Las matrices Q = I y Q = I son ortogonales, pero su suma Q +Q = no lo es Ejercicio 6 Una de las matrices de cambio de base es P = [ + + B B + que es una matriz ortogonal porque los vectores columna forman una base ortonormal de R La otra matriz de cambio de base es la inversa (o traspuesta) de la matriz anterior ( P = B B ) ( P = B B P B B ) T = [ + + + Ejercicio 7 Teniendo en cuenta el Teorema de la mejor aproximación, de los vectores deunsubespacio vectorial S,el queestá máscerca deunvector dadobesel vector proyección ortogonal de b sobre S, es decir, el vector pedido es proy S (b) = 9 8 9 7 Matemáticas I -
44 Tema 5- Ortogonalidad y mejor aproximación Ejercicio 8 () La matriz de la proyección ortogonal sobre el subespacio es 5 5 P S = 9 4 5 (Los elementos que faltan en la matriz anterior no son nulos, quiénes tienen que ser?) () La matriz de la proyección ortogonal sobre el subespacio generado 5 P = 5 5 9 4 (Completa las posiciones donde aparece ( )) () La matriz de la proyección ortogonal sobre E, P E = 4 (Completa las posiciones donde aparece ( )) La matriz de la proyección ortogonal sobre E P E = 4 = I P E (Completar las posiciones donde aparece ( )) Ejercicio 9 (a) La matriz de la proyección ortogonal sobre S es P S = 8 5 4 9 5 La matriz de la proyección ortogonal sobre S es P S = I P S = 4 4 9 4 (b) Una base de S es Matemáticas I Ingeniería Civil
56- Ejercicios 45 (c) Tenemos Col(A) = S puesto que cada columna de A está en S y ambos subespacios tienen dimensión (d) El vector u de S más cercano a v es el vector proyección ortogonal de v sobre S, es decir, P S v = 8 5 4 = 8 9 9 5 7 La distancia de v a S es v P S v = P S v = 9 = Ejercicio (a) (b) A: Ortogonalizamos los vectores columna v y v de A, u = v =, u = v v u u u = B: Ortogonalizamos los vectores columna v y v de B, u = v =, u = v v u u u = 6 7 4 Ejercicio La proyección ortogonal del vector v = (5,,) T sobre la recta x = y,y = z es: (,,) T Ejercicio Col(A) Una base ortonormal de Col(A) es q =,q =,q = Nul(A) Como el rango de A es el espacio nulo tiene dimensión cero, luego sólo puede ser Nul(A) = {} Ejercicio (a) Si a = los vectores son ortogonales dos a dos y tenemos los siguientes casos: Matemáticas I -