Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann

Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Facultad de Ciencias LOGICA DIFUSA MSc. Roberto Supo Hallasi Tacna Perú 2003 1

INDICE CAPITULO I 1. INTRODUCCION 2. OBJETIVOS 3. HISTORIA a. Bivalencia b. Multivalencia c. Logica Difusa 4. Conceptos Basicos a. Conjunto Difuso b. Conceptos imprecisos c. Operaciones d. Las etiquetas lingüísticas y operadores CAPITULO II 1. DIREFENCIA DE CONJUNTOS CRIP Y CONJUNTOS DIFUSOS a. Conjuntos Crisps b. Conjuntos Difusos 2. REPRESENTAION DE CONJUNTOS DIFUSOS 3. COMPONENTES DEL CONJUNTO DIFUSO 4. PROPIEDADES a. Altura b. Normalizacion c. Dominio d. Universo de Discusión e. Soporte del Conjunto f. Observación g. Conjunto -cut 5. FORMATOS a. Triangular b. Funcion c. Funcion s d. Funcion Gausiana e. Funcion Trapezoidal f. Funcion Trapecio Extendido CAPITILO III 1. SISTEMA DE INFERENCIA FUZZY a. Base de reglas b. Modulo de inferencia c. Modulo de fuzzificacion d. Modulo de defuzzificador 2. CUANDO Y COMO UTILIZAR LOGICA DIFUSA CONCLUSIONES 2

CAPITULO I 1. INTRODUCCION La lógica borrosa es una ciencia que tiene por objetivo el estudio de las leyes del raciocino y se preocupa con los principios formales del raciocino aproximado, busca modelar los modos imprecisos del raciocino. Es una rama de la inteligencia artificial que se funda en el concepto todo es cuestión de grado, lo cual permite manejar información vaga o de difícil especificación si quisiéramos hacer cambiar con esta información el funcionamiento oe el estado de un sistema específico. Es entonces posible con la lógica difusa gobernar un sistema por medio de reglas de sentido común las cuales se refieren a cantidades indefinidas. Las reglas involucradas en un sistema difuso, pueden ser aprendidas con sistemas adoptivos que aprenden al observar como operan las personas los dispositivos reales, o estas reglas pueden también ser formuladas por un experto humano. En general la lógica difusa se aplica tanto a sistemas de control como para modelar cualquier sistema continuo de ingeniería, física, biología o economía. La lógica difusa es entonces definida como un sistema matemático que modela funciones no lineales, que convierte unas entradas en salidas acordes con los planteamientos lógicos que usan el razonamiento aproximado. Se fundamenta en los denominados conjuntos borrosos y un sistema de inferencia borroso basado en reglas de la forma SI.. ENTONCES, donde los valores lingüísticos de la premisa y el consecuente están definidos por conjuntos borrosos, es así como las reglas siempre convierten un conjunto borroso en otro. 2. OBJETIVO El objetivo de la lógica difusa es ofrecer los fundamentos para efectuar el raciocino aproximado, con proposiciones imprecisas, usando la teoría de conjuntos nebulosos como herramienta principal. 3

3. HISTORIA A) Bivalencia: Desde Aristóteles, a lógica clásica es basada en bivalencia verdadero (V) y falso (F) B) Multivalencia: Desenvuelta por Lukasiewicz para lidar con el principio de inserteza en la mecánica cuántica, V, F, IN C) Logica Difusa: Los conjuntos difusos fueron introducidos por primera vez en 1965; la creciente disciplina de la lógica difusa provee por sí misma un medio para acoplar estas tareas. En cierto nivel, la lógica difusa puede ser vista como un lenguaje que permite trasladar sentencias sofisticadas en lenguaje natural a un lenguaje matemático formal. Mientras la motivación original fue ayudar a manejar aspectos imprecisos del mundo real, la práctica temprana de la lógica difusa permitió el desarrollo de aplicaciones prácticas. Aparecieron numerosas publicaciones que presentaban los fundamentos básicos con aplicaciones potenciales. Esta frase marcó una fuerte necesidad de distinguir la lógica difusa de la teoría de probabilidad. Tal como la entendemos ahora, la teoría de conjuntos difusos y la teoría de probabilidad tienen diferentes tipos de incertidumbre. En 1994, la teoría de la lógica difusa se encontraba en la cumbre, pero esta idea no es nueva, para muchos, estuvo bajo el nombre de lógica difusa durante 25 años, pero sus orígenes se remontan hasta 2,500 años. Aún Aristóteles consideraba que existían ciertos grados de veracidad y falsedad. Platón había considerado ya grados de pertenencia. En el siglo XVIII el filósofo y obispo anglicano Irlandés, George Berkeley David Hume describieron que el núcleo de un concepto atrae conceptos similares. Hume en particular, creía en la lógica del sentido común, el razonamiento basado en el conocimiento que la gente adquiere en forma ordinaria mediante vivencias en el mundo. En Alemania, Immanuel Kant, consideraba que solo los matemáticos podían proveer definiciones claras, y muchos principios contradictorios no tenían solución. Por ejemplo la materia 4

podía ser dividida infinitamente y al mismo tiempo no podía ser dividida infinitamente. Particularmente la escuela americana de la filosofía llamada pragmatismo fundada a principios de siglo por Charles Sanders Peirce, cuyas ideas se fundamentaron en estos conceptos, fue el primero en considerar ''vaguedades'', más que falso o verdadero, como forma de acercamiento al mundo y a la forma en que la gente funciona. La idea de que la lógica produce contradicciones fue popularizada por el filósofo y matemático británico Bertrand Russell, a principios del siglo XX. Estudio las vaguedades del lenguaje, concluyendo con precisión que la vaguedad es un grado. El filosofo austriaco Ludwing Wittgenstein estudió las formas en las que una palabra puede ser empleada para muchas cosas que tienen algo en común. La primera lógica de vaguedades fue desarrollada en 1920 por el filósofo Jan Lukasiewicz, visualizó los conjuntos con un posible grado de pertenencia con valores de 0 y 1, después los extendió a un número infinito de valores entre 0 y 1. En los años sesentas, Lofti Zadeh inventó la lógica difusa, que combina los conceptos de la lógica y de los conjuntos de Lukasiewicz mediante la definición de grados de pertenencia. 4. CONCEPTOS BASICOS: A) Conjuntos difusos. La mayoría de los fenómenos que encontramos cada día son imprecisos, es decir, tienen implícito un cierto grado de difusidad en la descripción de su naturaleza. Esta imprecisión puede estar asociada con su forma, posición, momento, color, textura, o incluso en la semántica que describe lo que son. En muchos casos el mismo concepto puede tener diferentes grados de imprecisión en diferentes contextos o tiempo. Un día calido en invierno no es exactamente lo mismo que un día calido en primavera. La definición exacta de cuando la temperatura va de templada a caliente es imprecisa -no podemos identificar un punto simple de templado, así que emigramos a un simple grado, la temperatura es ahora considerada caliente. Este tipo de imprecisión o difusidad asociado continuamente a los fenómenos es común en todos los campos de estudio: sociología, física, biología, finanzas, ingeniería, oceanografía, psicología, etc. 5

B) Conceptos imprecisos. Aceptamos la imprecisión como una consecuencia natural de ''la forma de las cosas en el mundo''. La dicotomía entre el rigor y la precisión del modelado matemático en todo los campos y la intrínseca incertidumbre de ''el mundo real'' no es generalmente aceptada por los científicos, filósofos y analistas de negocios. Nosotros simplemente aproximamos estos eventos a funciones numéricas y escogemos un resultado en lugar de hacer un análisis del conocimiento empírico. Sin embargo procesamos y entendemos de manera implícita la imprecisión de la información fácilmente. Estamos capacitados para formular planes, tomar decisiones y reconocer conceptos compatibles con altos niveles de vaguedad y ambigüedad. considere las siguientes sentencias: La temperatura está caliente La inflación actual aumenta rápidamente Los grandes proyectos generalmente tardan mucho Nuestro precios están por abajo de los precios de la competencia IBM es una compañía grande y agresiva Alejandro es alto pero Ana no es bajita Estas proposiciones forman el núcleo de nuestras relaciones con ''la forma de las cosas en el mundo''. Sin embargo, son incompatibles con el modelado tradicional y el diseño de sistemas de información. Si podemos incorporar estos conceptos logramos que los sistemas sean potentes y se aproximen más a la realidad. Pero, es la imprecisión o fusificación un concepto artificial utilizado para aumentar o disminuir en uno o más las propiedades de los fenómenos? o es una parte íntrisica del fenómeno en sí mismo?. Esta es una pregunta importante ya que es la parte fundamental de las medidas de la teoría difusa. Como veremos la fusificación es independiente de cualquier capacidad para medir, ya que un conjunto difuso es un conjunto que no tiene límites bien definidos. Un conjunto difuso tiene muchas propiedades intrínsecas que afectan la forma del conjunto, su uso y como participa en un modelo. Las propiedades más importantes de un conjunto difuso son las concernientes a las dimensiones verticales del conjunto difuso (altura y normalización) y las dimensiones horizontales ( conjunto soporte y cortes "alpha"). 6

La altura de un conjunto difuso es como máximo un grado de pertenencia y es una cota cercana al concepto de normalización. La superficie de la región de un conjunto difuso es el universo de valores. Todos estos conceptos se tratarán más adelante. Def. Sea U un universo de discusión con su elemento genérico denotado por u. Luego un subconjunto difuso A de U está caracterizado por una función de pertenencia :U [0,1] que asocia a cada elemento u de U un número (u) que representa el grado de pertenencia de u en A. A se denota como el conjunto de pares ordenados. Es decir un conjunto difuso A se considera como un conjunto de pares ordenados, en los que el primer componente es un número en el rango [0,1] que denota el grado de pertenencia de un elemento u de U en A, y el segundo componente especifica precisamente quién es ése elemento de u. En general los grados de pertenencia son subjetivos en el sentido de que su especificación es una cuestión objetiva. Se debe aclarar que aunque (u) puede interpretarse como el grado de verdad de que la expresión ''u A'' sea cierta, es más natural considerarlo simplemente como un grado de pertenencia. Puede notarse además que: a) Mientras más próximo está (u) a el valor 1, se dice que u pertenece más a A (de modo que 0 y 1 denotan la no pertenencia y la pertenencia completa, respectivamente). b) Un conjunto en el sentido usual es también difuso pues su función característica u,es también una función :u [0,1]; o sea que los conjuntos difusos son una generalización de los conjuntos usuales. Ejemplo: Sea U =, entonces los conjuntos definidos a continuación son difusos: POCOS = (.4/1,.8/2, 1/3,.4/4) VARIOS = (.5/3,.8/4, 1/5, 1/6,.8/7,.5,8) MUCHOS=(.4/6,.6/7,.8/8,.9/9,1/10) Note que el elemento 4 pertenece en grado.4 al conjunto POCOS, en grado.8 al conjunto VARIOS y en grado.0 a MUCHOS. Zadeh ha hecho algunas extensiones a los conceptos de conjuntos difusos ordinarios que se han 7

explicado; por ejemplo los conjuntos difusos de nivel-m y los conjuntos difusos tipo-n. Para un conjunto difuso de nivel-m se considera como su universo de discusión al conjunto de conjuntos difusos de nivel-(m-1), sobreentendiendo que los conjuntos difusos de nivel-1 son conjuntos difusos ordinarios. Para los conjuntos difusos tipo-n, los valores de las funciones de pertenencia son conjuntos difusos de tipo-(n-1) del intervalo [0,1] (en lugar de ser puntos de [0,1]). También los conjuntos difusos tipo-1 son equivalentes a los conjuntos difusos ordinarios. C) Operaciones. En la lógica Booleana tradicional, los conjuntos son considerados como sistemas bivalentes con sus estados alternando entre inclusión y exclusión. La característica de la función discriminante refleja este espacio bivaluado: Esto indica que la función de pertenencia para el conjunto A es cero si x no es un elemento en A y la función de pertenencia es si x es un elemento en A. Dado que existen solamente dos estados, la transición entre estos dos estados es siempre inmediata. La pertenencia de estos conjuntos está siempre totalmente categorizada y no existe ambigüedad o dicotomia acerca de la pertenencia. Existen 4 operaciones básicas de conjuntos en esta lógica: unión, intersección, complemento y unión exclusiva. Al igual que en los conjuntos convencionales, existen definiciones específicas para combinar y especificar nuevos conjuntos difusos. Este conjunto de funciones teóricas provee las herramientas fundamentales de la lógica. En el caso usual, con las operaciones comunes de intersección, unión y complemento, el conjunto de conjuntos de U forman un álgebra booleana, es decir se cumplen las condiciones de asociatividad, conmutatividad, elementos neutros, idempotencia, absorción, distributividad, complemento y las leyes de Morgan. Las tres operaciones mencionadas se pueden extender de varias formas a conjuntos difusos, de modo que al restringirlas a los conjuntos usuales, coincidan con las comunes. Estas extensiones resultantes satisfacen en forma general sólo a algunas de las condiciones listadas anteriormente, y para mantener la vigencia de alguna, 8

será obligatorio sacrificar a otras. En el sistema se optó por extender las operaciones en el sentido clásico, es decir, dados dos conjuntos difusos A y B, se definen las operaciones extendidas de la siguiente forma: Intersección: (u)=min( (u), (u)) u Unión: (u)=max( (u), (u)) u Complemento: (u)=1- (u), (u)) u Dado que los conjuntos difusos no se particionan en el mismo sentido que los conjuntos Booleanos, estas operaciones son aplicadas al nivel de pertenencia, como una consecuencia de los conjuntos difusos. Decidir si un valor es o no es miembro de cualquier conjunto difuso en particular, requiere algunas nociones de cómo esta construido el conjunto, del universo y de los límites de éste. Podemos definir además operaciones más especializadas. Producto: (u)= (u) (u) u Normalización: Si denota al supremo de la función de pertenencia en el universo de discusión, es decir: = Sup (u), u.un conjunto difuso A se dice ser normal si =1, y en otro caso es subnormal. Dado que un conjunto difuso subnormal A puede normalizarse dividiendo por, entonces: (u)= u y 0 Concentración. El resultado de aplicar un concentrador a un conjunto difuso A, es un conjunto difuso tal que la reducción en la magnitud del grado de pertenencia de u en A es relativamente pequeño para aquellas u que tienen un alto grado de pertenencia en A, y relativamente grande para las u con baja pertenencia. Específicamente se asumirá que ésta operación tiene el efecto de elevar al cuadrado la función de pertenencia de A, o sea: Al elevar al cuadrado los valores de las funciones de pertenencia se cumple el efecto de la concentración, pues los valores de pertenencia grandes disminuyen relativamente poco en comparación con los pequeños. La concentración 9

desenfatiza los miembros centrales de un conjunto difuso. Dilatación. Tiene el efecto opuesto a la concentración; es decir, el aumento en el grado de pertenencia para los elementos que tienen un grado alto es relativamente menor que aquellos que tienen valores pequeños. Intensificación contrastante. Se emplea para intensificar el contraste existente entre los elementos que tienen un valor de pertenencia pequeño y los que tienen un valor de pertenencia grande; específicamente incrementa los valores de que están sobre 0.5 y disminuye los que están debajo de este umbral. para 0.5 y para 0.5 Combinación convexa. Es una operación n-aria que combina un conjunto de n conjuntos difusos A,...,A en uno solo, A. Este conjunto difuso A es una combinación ponderada de A,...,A en el sentido de que la función de pertenencia de A está relacionada con las de A,...,A por la expresión: donde: 0 i=1,...,n, y u D) Las etiquetas lingüísticas y operadores. El centro de las técnicas de modelado difuso es la idea de variable lingüística. Desde su raíz, una variable lingüística es el nombre de un conjunto difuso. Si tenemos un conjunto difuso llamado ''largo'' éste es una simple variable lingüística y puede ser empleada como una reglabase en un sistema basado en la longitud de un proyecto en particular: Si duración-proyecto es largo entonces la-terminación-de-tareas es DECRECIENTE; Una variable lingüística encapsula las propiedades de aproximación o conceptos de imprecisión en un sistema y da una forma de computar adecuada. Esto reduce la aparente complejidad de describir un sistema que debe concordar con su semántica. Una variable lingüística siempre representa un espacio difuso. Lo importante del concepto de variable lingüística es su estimación de variable de alto orden más que una variable 10

difusa. En el sentido de que una variable lingüística toma variables difusas como sus valores. En el campo de la semántica difusa cuantitativa al significado de un término "x" se le representa como un conjunto difuso M(x) del universo de discusión. Desde este punto de vista, uno de los problemas básicos en semántica es que se desea calcular el significado de un término compuesto x=x, x,...,x partiendo del conocimiento del significado de sus componentes atómicos x. La idea básica sugerida por Zadeh es que una etiqueta lingüística tal como ''muy'', ''más o menos'', ''ligeramente'', etc... puede considerarse como un operador que actúa sobre un conjunto difuso asociado al significado de su operando. Por ejemplo en el caso de un término compuesto ''muy alto'', el operador ''muy'' actúa en el conjunto difuso asociado al significado del operando ''alto''. Una representación aproximada para una etiqueta lingüística se puede lograr en términos de combinaciones o composiciones de las operaciones básicas explicadas en la sección anterior. Es importante aclarar que se hará mayor énfasis en que estas representaciones se proponen principalmente para ilustrar el enfoque, más que para proporcionar una definición exacta de las etiquetas lingüísticas. Zadeh también considera que las etiquetas lingüísticas pueden clasificarse en dos categorías que informalmente se definen como sigue: Tipo I: las que pueden representarse como operadores que actúan en un conjunto difuso: ''muy'', ''más o menos'', ''mucho'', ''ligeramente'', ''altamente'', ''bastante'', etc. y, Tipo II: las que requieren una descripción de cómo actúan en los componentes del conjunto difuso (operando): ''esencialmente'', ''técnicamente'', ''estrictamente'', ''prácticamente'', ''virtualmente'', etc... En otras palabras, las etiquetas lingüísticas pueden ser caracterizadas cómo operadores más que construcciones complicadas sobre las operaciones primitivas de conjuntos difusos. Ejemplos de etiquetas tipo I. Considérese A, un conjunto difuso en U, que representa el significado de un término como x=viejo. Ahora, sea, x =muy viejo, y el conjunto difuso que representa el significado de. La idea es considerar a 11

la etiqueta lingüística ''muy'', como un operador que transforma al conjunto difuso A (significado de x) en otro conjunto difuso A* (significado de x*). De acuerdo a éste punto de vista y sabiendo que el lenguaje natural es muy rico y complejo, tomamos el operador ''muy'' que podemos caracterizar con un significado de que aún cuando no tenga validez universal sea sólo una aproximación. Asumimos que si el significado de un término x es un conjunto difuso A, entonces el significado de muy X es: más y menos Se pueden definir etiquetas lingüísticas artificiales, por ejemplo: más, menos, que son instancias de lo que puede llamarse acentuador y desacentuador respectivamente, cuya función es proporcionar ligeras variantes de la concentración y la dilatación. Así: los exponentes se eligen de modo que se de la igualdad aproximada: mas mas x = menos muy x, y que, además, se pueden utilizar para definir etiquetas lingüísticas cuyo significado difiere ligeramente de otras. mas o menos Otra etiqueta lingüística interesante es ''más o menos'' que en sus usos más comunes como ''más o menos inteligente'', ''más o menos rectangular'' etc, juega el papel de difusificador. ligeramente Su efecto es dependiente de la definición de proximidad u ordenamientos en el dominio del operando. Existen casos, sin embargo, en los que su significado puede definirse en términos de etiquetas lingüísticas tipo I, bajo la suposición de que el dominio del operando es un conjunto ordenado linealmente. clase de Es una etiqueta lingüística que tiene el efecto de reducir el grado de pertenencia de los elementos que están en el ''centro'' (grados de pertenencia grandes) de una clase x e incrementa el de aquellos que están en su periferia (grados de pertenencia pequeños). 12

regular Es una etiqueta que tiene el efecto de reducir el grado de pertenencia de aquellos elementos que tienen tanto un alto grado de pertenencia al conjunto como de aquellos que lo tienen pequeño, y sólo aumenta el grado de pertenencia de aquellos elementos que tienen un grado de pertenencia cercano al. Etiquetas tipo II. Su caracterización envuelve una descripción de forma que afectan a los componentes del operando, y por lo tanto es más compleja que las del tipo I. En general, la definición de una etiqueta de este tipo debe formularse como un algoritmo difuso que envuelve etiquetas tipo I. Su efecto puede describirse aproximadamente como una modificación de los coeficientes de ponderación de una combinación convexa. Como la magnitud de las ponderaciones es una medida del atributo asociado, intuitivamente una etiqueta de este tipo tiene el efecto de aumentar las ponderaciones de los atributos importantes y disminuir los que relativamente no lo son. 13

CAPITULO II 1. DIFERENCIA DE CONJUNTOS CRISP Y CONJUNTOS DIFUSOS A) Conjuntos Crisp.- conjunto donde los elementos de un universo dado son divididos en 2 grupos distintos: - Miembros: Aquellos que realmente pertenecen al conjunto - No miembros: Aquellos que realmente no pertenecen al conjunto Ejemplo: Numero Naturales Por lo tanto existen conjuntos cuyo límite entre miembro y no miembro es vago, con transición gradual entre esos dos grupos. Ejemplo: Conjunto de persona altas Conjunto de carros caros B) Conjuntos Difusos.- Se atribuye a cada elemento del universo un valor que representa el Grado de Pertenencia de ese elemento al conjunto difuso. Es el puente que une el concepto de imprecisión a su modelo numérico. Ejemplo: Personas Altas (Figura Nro. 1) Figura Nro. 1 Ejemplo: Carros caros (Figura Nro. 2) 14

Figura Nro. 2 2. REPRESENTACION DE CONJUNTOS DIFUSOS Un conjunto difuso F en U puede ser representado como un conjunto de pares ordenados de un elemento genérico x y su grado de pertenencia. {( x, µ ( x) ) x U} F = F / Generalmente solo son representados los valores de x con µ ( x) > 0 U continuo : U - µ ( F X ) / X denota colección de todos los puntos x ЄU con función de pertenencia µ (x) U discreto: U - µ ( F X ) / X denota colección de todos los puntos x ЄU con función de pertenencia µ (x) 3. COMPONENTES DEL CONJUNTO DIFUSO - 1 Eje x (Nro. Reales crecientes) que constituyen el Dominio del conjunto difuso - 2 Eje y con valores entre 0 y 1 que significa grado de pertenencia al conjunto. - 3 Función de Pertenencia (superficie) del conjunto, que conecta un elemento del dominio con su grado de pertenencia. 15

Figura Nro. 3: Componentes del Conjunto difuso 4. PROPIEDADES - Altura: Es el mayor grado de pertenencia permitido por la función membership - Normalización: Un cierto conjunto difuso es normal si su altura fuera igual a 1. o Forma normal mínima si por lo menos un elemento tiene µ ( x) = 1 o Forma normal máxima si por lo menos un elemento tiene µ ( x) = 1 y otro elemento tiene µ ( x) = 0 Para un buen desempeño, los conjuntos difusos deben ser normalizados. - Dominio del Conjunto difuso: o Es el universo total de valores posibles para los elementos del conjunto entonces depende del contexto. o Existen dos tipos de dominio se representa en el Figura Nro. 4. 16

Figura Nro. 4: Tipos de Dominio - Universo de Discusión o Es el espacio difuso completo de variaciones de una variable o modelo. Ejemplo. Universo de discusión para la variable de temperatura de 100º a 360º Figura Nro. 5 Figura Nro. 5. - Soporte del Conjunto o Es el área efectiva del dominio de un conjunto difuso que presenta valores de µ ( x) > 0. Figura Nro. 9 17

Figura Nro. 6 - Observación: o El conjunto difuso cuyo soporte es un unico punto en U, como valor de µ ( x) = 1, es llamado de conjunto singleton. Figura Nro. 7 - Conjunto α-cut o Es una restricción (limite) impuesta al dominio, basado en el valor de α. o Contiene todos loe elementos del dominio que posean µ (x) arriba de un cierto valor α µ ( x) α α cut debil µ ( x) α α cut fuerte o Es útil para las funciones con largas colas, que tienden a poseer valores muy bajos de µ (x) por un dominio extenso entonces ayuda a reducir el ruido. Figura Nro. 8. 18

Figura Nro. 8: Conjunto α-cut 5. FORMATOS 19

20

- En general, la función Trapezoidal se adapta bastante bien a la definición de cualquier concepto, con la ventaja de su fácil definición, representación y simplicidad de cálculos. - En casos particulares, el Trapecio Extendido puede ser de granutilidad. Éste permite gran expresividad aumentando su complejidad. - En general, usar una función más compleja no añade mayor precisión, pues debemos recordar que se está definiendo un concepto difuso. 21

CAPITULO III 1.- SISTEMA DE INFERENCIA FUZZY Con base en las informaciones presentadas, es posible construir el Sistema de inferencia Fuzzy mostrado en la Figura Nro. 9, donde están identificadas las funciones de cada recuadro. Figura Nro. 9 Como generalmente los datos de entrada son valores precisos, resultados de las mediciones u observaciones (conjuntos de datos, por ejemplo), es necesario efectuarse un mapeamiento de estos datos precisos para los conjuntos fuzzy de entrada relevantes, o que es realizado en el proceso de fuzzificacion. En este proceso ocurre también la activación de las reglas relevantes para una situación dada. Una vez obtenido el conjunto fuzzy de salida a través del proceso de inferencia en el proceso de defuzzificacion es efectuada una interpretación de esa información. En el proceso de inferencia ocurren las operaciones con conjuntos fuzzy propiamente dichos: combinación de los antecedentes de las reglas, implicación y regla de inferencia composicional. Los conjuntos fuzzy de entrada relativos a los antecedentes de las reglas, y el de salida, referentes al consecuente, pueden ser definidos 22

previamente o, alternativamente, generados automáticamente a partir de los datos. 1.1.- Base de reglas.- consiste en una colección de reglas del tipo Si-entonces, expresadas de la siguiente forma: donde: R j : Si u Entonces 1 es F j 1 v es G E u J 2 es F j 2 E K E u p es F j= 1,2,3,, M (M = numero de reglas) j p j j F y G Conjuntos nebulosos en U i y V i Las variables lingüísticas son: u = col v V u,..., u ) U x... xu ( 1 p 1 Las reglas pueden ser formuladas por: Por el conocimiento del especialista: Ejemplo estacionamiento de un camión, como se muestra en la Figura Nro. 10, las reglas que dio el especialista y la matriz de de reglas que se genero a partir de las reglas. p Figura Nro. 10 Por el conocimiento extraído de datos históricos: 23

Ejemplo: Previsión de series temporales como se muestra en la Figura Nro. 11, Sea : x(k), k = 1,2,.. una serie temporal Objetivo: dada una ventana de n medidas de x(k) x(k- n+1), x(k- n+2),..., x(k) Determine x(k+l) el valor de x I puntos al frente donde n e I son enteros positivos Figura Nro. 11 Existen dos métodos para extraer las reglas fuzzy para las series temporales. Los datos históricos establecen los conjuntos nebulosos del antecedente y del consecuente. Se especifica previamente los conjuntos nebulosos y después se asocia los datos con los conjuntos definidos. Hay que tener en cuenta que como el valor a ser previsto depende de n valores pasados de x, cada regla posee n antecedentes. 1.2 Modulo de inferencia. Es un sistema que mapea conjuntos nebulosos de entrada en un conjunto nebuloso 24

de salida a través de µ A B x, y, tal como se muestra en la Figura Nro. 12. En otras palabras es el encargado de calcular el valor global de la variable de salida, basado en las contribuciones individuales de cada regla en la base de reglas. Ejemplo, Asumiendo que, para un sistema específico, un conjunto de entradas X y uno de salidas Y son identificadas apropiadamente, una regla-base es derivada desde fuentes disponibles que contienen un conjunto de reglas relacionando X a Y usando niveles lingüísticos predefinidos. Figura Nro. 12 Los mecanismos del sistema para derivar una acción razonable u con respecto a una situación específica X0 puede ser interpretada simplemente como ejecución de un proceso racional de dos estados. Observando la reglabase como un prototipo, el modulo de inferencia primero lleva a cabo un procedimiento de formar parejas entre la situación x,y, y las partes IF de las reglas. Para deducir la acción correspondiente, un procedimiento de interpolación tiene lugar entre la operación de las parejas resultantes con las partes THEN de las reglas usando una estrategia de inferencia fuzzy. 1.3. Modulo de Fuzzificacion: Este modulo normaliza la entrada, es decir, traduce los valores físicos de las variables 25

de estado a un universo de discurso normalizado, además, convierte el valor en curso de una variable de estado en un conjunto fuzzy. Existen varias estrategias de fuzzificación, dos de estas son: Inferencia basada en una composición, e Inferencia basada en la activación individual de las reglas. 1.4. Modulo de Defuzzificador.- Este elemento produce una salida precisa para el sistema nebuloso de salida obtenido por el sistema de inferencia. Usamos las siguientes medidas, donde AЄ A, y donde E es el dato de entrada que codificamos: Tres casos posibles: 1. λ + µ = 1 No hay incertidumbre. 2. λ + µ > 1 Conflicto: Es posible que E sea A y A. 3. λ + µ < 1 Ignorancia:E puede ser o no A (falta información). Cuanto mayor sea la distancia de (λ + µ ) con 1, mayor incertidumbre (conflicto o ignorancia). Cuanto mayor es el valor (λ + µ), menor es la especificidad de E. Representación Grafica de λ + µ 26

Requisito IDEAL de la Defuzzificadificacion: Que el resultado de la defuzzificacion sea igual al valor original fuzzificado. Si F es la función de codificación y F 1 la de defuzzificacion, el objetivo es que: F 1 (F(E)) = E. Ese requisito es muy difícil de conseguir. Existen multitud de sistemas de defuzzificacion: El sistema a elegir depende del código A empleado. En general se emplean sólo las medidas de posibilidad, pues simplifica los cálculos y los hacen más intuitivos. DEFUZZIFICACION para Datos crisp o Puntuales (Pointwise Data): Sólo conocemos los valores de posibilidad (o necesidad) de cierto dato y queremos reconstruir dicho dato de forma que sea coherente con ellos. Dos familias básicas de sistemas para Defuzzificacion: Que usan los valores modales de los conjuntos difusos del código: Valores con la altura de cada conjunto difuso (los núcleos). Que usan el área de pertenencia de los elementos del código. Máximo Defuzzicador : Examina el conjunto nebuloso B de salida y escoge como valor preciso, el valor y (variable de salida) para el cual µ B (y) es máximo. Ejemplo en la Figura Nro. 13 27

Figura Nro. 13 Media de los Máximos: Examina el conjunto nebuloso B y primero se determina los valores de y para los cuales µ B (y) es máximo. En seguida se calcula la media de esos valores. Ejemplo en la Figura Nro. 14 Figura Nro. 14 Centroide Consiste en crear para la salida del sistema una función de pertenencia a un nuevo conjunto obtenido como unión de aquellos a los que pertenece parcialmente el valor de salida. Esta nueva función puede calcularse mediante la suma de las funciones de pertenencia de estos conjuntos, pero multiplicadas aritméticamente por el grado de pertenencia de la salida al subconjunto de las reglas de control. Esto quiere decir que determina el centro de la 28

gravedad y del conjunto nebuloso B y es utilizado como la salida del sistema nebuloso. y = s s yµ ( y) dy B B µ ( y) dy Donde S es el soporte de B y como frecuentemente S es discreto, la formula se transforma a: y i iµ B ( y) dy y = µ ( y) dy i El problema de este método es la dificultad del calculo B Altura 1 Sea y y el centro de gravedad del conjunto nebuloso (asociado a la activación de la regla) Ι - Primero se evalúa µ ( ) b Ι y - En seguida se evalúa la suma: 1 B y h = Ι Ι Ι y µ ( y ) Ι Ι B Ι B Ι µ ( y ) Este método es simple por el centro de gravedad de las funciones de pertenencia mas comunes es conocido a priori: o Triangular (simétrica): vértice superior del triangulo o Gausiana: valor central de la función o Trapezoidal(simétrica) punto medio del soporte El problema es que solo utiliza el centro del soporte y i de la función de pertenencia del consecuente y también cualquiera que sea la amplitud de la función de pertenencia, el método ofrece el mismo resultado. Altura Modificada: Sea y 1 el centro de la gravedad del conjunto nebuloso B 1 (asociado a la activación de la regla R I ) 29

Ι Primero se evalúa µ ( ) En seguida se evalúa y y b Ι Ι Ι Ι 2 y µ Ι ( y ) /( δ ) Ι B MH = Ι Ι 2 µ Ι ( y ) /( δ ) Ι B I Donde δ es la medida de la extensión del soporte del consecuente de la regla R 1 Para funciones de pertinencias triangulares y trapezoidales I δ es el soporte del conjunto. I Para funciones gausianas δ es la desviación estándar. Resumiendo, el Proceso General es el siguiente: 1. Emparejar Antecedentes y Entradas: Para cada REGLA se calcula el grado de emparejamiento entre cada proposición atómica de su antecedente y el valor correspondiente de la entrada. 2. Grado de Activación o Agregación de los Antecedentes: Para cada REGLA se calcula el Grado de Activación aplicando una conjunción (t) o disyunción (s) según corresponda a los valores anteriores del Paso 1. 3. Resultado de cada Regla: Para cada REGLA se calcula su valor resultante según su Grado de Activación y la semántica elegida para la Regla. Este es el paso más largo y complejo: Para cada valor en las Salidas se debe calcular el mayor valor de la operación, para todos los posibles valores de las Entradas (operación supx). 4. Regla de Combinación: Agregación de todos los resultados individuales obtenidos de cada una de las reglas aplicadas. 2.- Cuando y como utilizar lógica difusa 30

La lógica difusa se utiliza en sistemas donde las técnicas difusas son necesarias, o benéficas entre ellas tenemos: o Sistemas complejos, donde es muy difícil o imposible crear un modelo. o Sistemas controlados por expertos humanos. o Sistemas con complejas y continuas entradas y salidas. o Sistemas que usan observaciones humanas como entradas o como reglas básicas. o Sistemas que son naturalmente vagos como las ciencias sociales o relativos al comportamiento, la conducta y el proceder. 31

CONCLUSIONES: - La lógica difusa, admite verdades y falsedades parciales. Aceptar esta premisa exige una nueva forma de ver los problemas, la realidad. - La logica difusa junto con otras herramientas han abierto las puertas al tratamiento de una gran variedad de fenómenos y sistemas que resultaban, hasta antes de la aparición de aquéllas, difíciles de definir -y, en ciertos casos, la tarea era casi imposible mediante los modelos matemáticos convencionales, que suelen pensarse como infalibles y exactos. - A través de estos conceptos dados en este proyecto, podremos entender mas sobre lo que es lógica difusa y sus áreas de aplicación. 32