DERIVE 6 PRÁCTICAS CON DERIVE 1 Las ventanas principales de Derive 6, al igual que otras aplicaciones bajo Windows, consta de una barra de herramientas con iconos que facilitan el uso de distintas funciones que ejecuta la aplicación. Hay tres ventanas principales o entornos: Álgebra, Gráficas-2D y Gráficas-3D. En cada una de ellas, la barra de herramientas tiene elementos comunes y otros propios de su entorno. Cuando trabajamos con más de una a la vez, está activa la que está resaltada. El aspecto general de la ventana principal de la aplicación es: Barra de herramientas Entorno gráfico (ventana no activa) Entorno algebraico (ventana activa) Pestañas indicadoras de ventanas Editor de línea Alfabeto Griego Símbolos matemáticos Teclas de funciones interesantes en el entorno algebraico: F1 Ayuda. F2 Editor de línea para introducir una expresión. F3 Introduce en la línea de edición una expresión previamente marcada. F4 Introduce en la línea de edición una expresión previamente marcada, introduciéndola entre paréntesis. F5 Inserta una línea de texto.
PRÁCTICAS CON DERIVE 2 BARRA DE HERRAMIENTAS Derive 6 Iconos de manejo de archivos Nuevo Abrir Guardar Imprimir Iconos de ventanas Álgebra Gráfica 2D Gráfica 3D Ayuda Iconos de edición Cortar Copiar Pegar Eliminar Menú de ventanas Menú de opciones
PRÁCTICAS CON DERIVE 3 Ventana de Álgebra Introducir Texto Expresión Vector Matriz Simplificar Pasos intermedios Calculus Básico Aproximar Resolver Sustituir Límite Derivada Integral Suma Producto Menú Introducir Menú Simplificar Menú Resolver Menú Cálculo
PRÁCTICAS CON DERIVE 4 Ventana gráfica 2D Copiar Borrar Dibujar Insertar ventana 2D última expresión anotación gráfica F4 F12 Trazar Centrar en Centrar en Seleccionar Restablecer gráfica el cursor el origen rango rango ZOOM Hacia Reducir Reducir Hacia Ampliar Ampliar fuera en OY en OX dentro en OY en OX F10 F8 F6 F9 F7 F5 Menú Seleccionar Menú Opciones
PRÁCTICAS CON DERIVE 5 NUM.de MATRÍCULA FECHA... APELLIDOS /Nombre...PC INTRODUCCIÓN AL DERIVE 1. Introduce las siguientes expresiones:(introducir/expresión, el icono correspondiente, F2 o línea de edición de expresiones y/o comandos) (1) (x + y)(x 2 + y 2 ) x 4 y 4 (2) y 3 (x 2 y 2 )e x2 +sen y x 6 y 6 2. Simplifica las expresiones anteriores. (Simplificar/Normal o el icono correspondiente) (1) (2) 3. Evalúa la expresión (1) en y = 5 y la expresión (2) en y =2π. (Simplificar/Sustituir Variable o el icono correspondiente) (1) (2) 4. Simplifica la expresión (2): a) Simplificar/Expandir b) Simplificar/Factorizar c) Simplificar/Aproximar Qué diferencias encuentras entre las distintas formas de simplificar?
PRÁCTICAS CON DERIVE 6 5. Con el resultado obtenido en el apartado 3 define la función f(x) con (1) y la función g(x) con (2),(Introducir/Definición de una función), y evalúa las funciones donde se indica. (1) f(x) = (2) g(x) = (1) f(3) = (2) g(5) = 6. Dibuja f(x). (Marcar f(x)/ Ventana/Nueva Ventana 2D // Insertar/Gráfica o los iconos correspondientes) 7. Dividir la pantalla en dos ventanas verticales para ver a la vez la ventana de las expresiones algebraicas (Álgebra) y la ventana de dibujo (Gráficas-2D).(Ventana/Mosaico Vertical) 8. Cambia el aspecto de la gráfica utilizando los iconos de Zoom y observa como cambia la escala. 9. Dibuja g(x). 10. Calcula los siguientes límites:(cálculo/límites o el icono correspondiente) lím x 5 + f(x) = lím f(x) = x 5 lím f(x) = x 5 lím f(x) = x 11. Calcula lím g(x)= x π/2 Aproxima numéricamente el resultado anterior. (Simplificar/Aproximar o el icono correspondiente) lím x π/2 g(x) Modifica los parámetros de precisión y vuelve a aproximar el límite anterior. ( Opciones/Ajustes de Modo ) lím g(x) x π/2 Restaura los parámetros de precisión (Opciones/Ajustes de Modo/Restablecer) 12. Calcula f (x). (Cálculo/Derivadas o el icono correspondiente). Dibuja f (x). 13. Borra solamente la gráfica de f(x). (Editar/Borrar Gráfica/Primera) 14. Calcula f(x) dx = (Cálculo/Integrales o el icono correspondiente) 1 1 f(x) dx = + 7 f(x) dx = 6 4 f(x) dx = 6 3 f(x) dx = 15. Calcula 1 1 g(x) dx = 1 1 8π 3 e x2 x 4 +4π 2 x 2 dx. (Cálculo/Integrales o el icono correspondiente) +16π4 16. Aproximar el resultado de + g(x) dx = + 8π 3 e x2 x 4 +4π 2 x 2 +16π 4 dx
PRÁCTICAS CON DERIVE 7 DESIGUALDADES Resolver/Expresión Método algebraico: resuelve ecuaciones e inecuaciones mediante métodos algebraicos siempre que sea posible, calcula las soluciones exactas (tanto raíces reales como complejas). Si se quiere calcular sólo las raíces reales o dentro de un intervalo concreto se indica en el Dominio. La función de Derive es SOLVE(expresión,variable,Real/Extremos del Intervalo) Utilizando Simplificar/Aproximar tendremos las soluciones aproximadas, tanto reales como complejas. APPROX(SOLVE(expresión,variable,Real/Extremos del Intervalo)) Método numérico: resuelve ecuaciones mediante métodos numéricos. Encuentra una única solución de la ecuación en el intervalo especificado (raíz real). Una representación gráfica del problema nos ayudará a encontrar todos los intervalos donde es posible hallar una única raíz. NSOLVE(expresión,variable,Real/Extremos del Intervalo) NOTA: En el caso de ecuaciones algebraicas es capaz de encontrar aproximadamente todas las soluciones posibles, tanto reales como complejas. Resolución gráfica de desigualdades Para resolver las desigualdades gráficamente introduciremos la expresión en la ventana de álgebra y la representaremos en una ventana de Gráficas-2D. EJEMPLO: Estudia para qué conjunto de números reales se verifica la desigualdad x 2 9 < 2. 1. En la ventana de Álgebra introducimos la expresión ABS(x 2 9) < 2 2. Con la expresión anterior marcada, abrimos una ventana de Gráficas-2D y dibujamos. 3. Para introducir el dibujo en la ventana de Álgebra seleccionamos en la barra de herramientas de la ventana gráfica: Archivo/Incrustar. 4. Para obtener la solución analítica, utilizaremos la instrucción de la barra de herramientas Resolver/Expresión o el icono correspondiente.
PRÁCTICAS CON DERIVE 8 * Resolver gráfica y analíticamente las siguientes desigualdades, introduciendo la solución gráfica en el fichero de la práctica: 1. x 2 5x +6 0 2. x +2 x 1 3. x 1 + x +2 3 4. 3 x 2 5 x 6 0
PRÁCTICAS CON DERIVE 9 NUM.de MATRÍCULA FECHA... APELLIDOS /Nombre...PC PRÁCTICA UNO. COMPLEJOS CON DERIVE La unidad imaginaria puede escribirse directamente con la barra de símbolos matemáticos de la derecha pulsando i, o bien escribir #i. Funciones asociadas a los números complejos En Derive están implementadas las siguientes funciones relacionadas directamente con los números complejos: ABS(z) calcula el módulo del número complejo z. Si z = x + iy = ABS(z) = x 2 + y 2 PHASE(z) calcula el argumento principal del número complejo z. Si z = x+iy = PHASE(z) = arc tg(y/x) estando el resultado dentro del intervalo ( π, π] RE(z) calcula la parte real del número complejo z. Si z = x + iy = RE(z) =x IM(z) calcula la parte imaginaria del número complejo z. Si z = x + iy = IM(z) =y CONJ(z) calcula el conjugado del número complejo z. Si z = x + iy = CONJ(z) =x iy Representación de los números complejos Un número complejo z = x + iy se representa como el punto del plano [x, y]. Si queremos representar un número complejo z = x + iy como el vector cuyo origen es el punto (0, 0) y el extremo es (x, y), introducimos una matriz cuyas filas son las coordenadas de cada punto [0, 0; x, y] en el menú de la ventana Gráficas-2D seleccionamos Opciones/Pantalla (F11)/Puntos:Conectar Sí y dibujamos.
PRÁCTICAS CON DERIVE 10 I. Funciones de números complejos 1. Introduce el número complejo z = 1 + 4i. Calcular: a) z = b) Arg(z)= c) z = d) z 3 = e) 1 z = 2. Introduce el número complejo w = 2 3i. Representar gráficamente como vectores los siguientes números complejos: a) w b) w c) w 3 d) 1 w 3. Demostrar las siguientes propiedades: a) z + z 2 = Re(z) b) z z 2i = Im(z) II. Potencias de i 1. Calcular y representar gráficamente las siguientes potencias de i: a) i 34 = b) i 847 = c) i 5624 = 2. Hallar las quince primeras potencias de i. La función Derive VECTOR(expresión que depende de k,k,a,b,h) simplifica a un vector cuyas componentes son las expresiones en el valor k donde k = a + nh n =0, 1,..., b a h cuando h = 1 es el valor por defecto del paso y puede omitirse. La expresión utilizada para generar un vector con las quince primeras potencias de i es VECTOR(,,,, )= 3. Sumar las quince primeras potencias de i. (NOTA: Utiliza el icono correspondiente de la barra de herramientas) 15 k=1 i k = 4. Calcular la siguiente expresión 4n k=1 i k =
PRÁCTICAS CON DERIVE 11 Si el resultado no es el esperado, tendrás que especificar qué tipo de número es n (Introducir/Dominio de una Variable) Si n IN = 4n k=1 i k = 5. Introducir y representar gráficamente los números complejos z =2+2i, iz, i 2 z, i 3 z, i 4 z. Arg(2 + 2i) = 2 + 2i = Arg(i(2+2i)) = Arg( ) = i(2+2i) = = Arg(i 2 (2+2i)) = Arg( ) = i 2 (2+2i) = = Arg(i 3 (2+2i)) = Arg( ) = i 3 (2+2i) = = Arg(i 4 (2+2i)) = Arg( ) = i 4 (2+2i) = = Qué movimiento en el plano relaciona z con iz? Qué figura geométrica obtienes al unir los números complejos generados? (NOTA: Cambia el aspecto de la pantalla Gráficas-2D con Seleccionar/Relación de Aspecto: 1:1 ) 6. Generar la figura geométrica anterior partiendo del número complejo z = 2 + i utilizando la función VECTOR para obtener la matriz de puntos. El número complejo z = x + iy se representa por el punto del plano (x, y)=( z cos(arg(z)), z sen(arg(z)))
PRÁCTICAS CON DERIVE 12 III. Operaciones básicas con números complejos 1. Introducir y representar gráficamente, como vectores, los números complejos z =3+2i w = 1+3i z + w = z w = Qué operación de vectores está asociada a la suma de números complejos? y a la diferencia? 2. Introducir y representar gráficamente, como vectores, los números complejos z =3+2i w =1+i zw = z/w = Analiza la relación entre los módulos y argumentos de los números anteriores z = w = zw = z/w = Arg(z)= Arg(w)= Arg(zw)= Arg(z/w)= La relación es MÓDULOS ARGUMENTOS 3. Hallar los vértices de un pentágono regular cuyo centro es (0, 0) y uno de los vértices es (3, 4), utilizando las operaciones de los números complejos. VÉRTICES 4. Hallar los vértices de un cuadrado cuyo centro es (3, 4) y uno de los vértices es (5, 7), utilizando las operaciones de los números complejos. VÉRTICES
PRÁCTICAS CON DERIVE 13 IV. Raíces de números complejos z = z (cos(arg(z)) + i sen(arg(z))) C tiene las n ésimas raíces distintas ( ) ( )) Arg(z)+2kπ Arg(z)+2kπ w k = z (cos 1/n + i sen k =0, 1,...,n 1 n n n IN 1. Hallar 3 8= Comprobarás que sólo obtienes una raíz de las tres posibles. El programa DERIVE implementa las funciones matemáticas con variable compleja mostrando como resultado, por defecto, el correspondiente a la rama principal. Por ejemplo: 3 8= 1+i 3 Rama Principal 2 Rama Real 1 i 3 Para obtener las n ésimas raíces distintas de un número complejo tendremos que recurrir a la definición, utilizando la función de Derive VECTOR ( [ 3 8 = VECTOR 2 cos ( π +2kπ 3 ), sen ( π +2kπ 3 )] ),k,0, 2 Comprueba gráficamente que las tres raíces están situadas en la circunferencia x 2 + y 2 =2 2 siendo 3 8 =2 Uniendo los puntos asociados a las tres raíces, qué figura geométrica obtienes? 2. Hallar 6 4+3i RAÍCES Uniendo los puntos asociados a las seis raíces, qué figura geométrica obtienes? 3. Construye un DECÁGONO con centro el origen y radio de la circunferencia circunscrita igual a 3.