SEA - DIEE - DSPE - ANEP Dominio: Magnitudes y Medida La medida es un objeto epistemológico particularmente interesante, desde el momento en que se encuentran, y confluyen en ella, lo teórico (la matemática), lo empírico (la observación) y lo técnico (el instrumento). (BOYER, 1994) La medida ha formado parte de la herencia cultural de los pueblos para atender las necesidades comerciales y tecnológicas. Este interés de la medida como objeto cultural lo hace integrable a los programas escolares y, consecuentemente, pasa a formar parte del saber a enseñar, el cual, según Yves Chevallard (1985) debe sufrir las necesarias deformaciones que lo hagan apto para que su enseñanza sea posible. Al respecto, María del Carmen Chamorro (s.f.) entiende que la trasposición didáctica estándar de la medida, reductora e incompleta, adolece de legitimidad epistemológica. Es frecuente considerar que un conocimiento de uso social es fácil de aprender para el alumno y que no necesita especial atención didáctica, desconociendo así la complejidad de los conceptos matemáticos que hay detrás de ellos, producto de años de elaboración científica. Por otra parte, los cambios sociales y tecnológicos en Metrología han erradicado las prácticas sociales de medición: las balanzas digitales en lugar de las balanzas de platillos, los objetos industriales en lugar de los artesanales, los relojes digitales en lugar de los analógicos, la desvalorización de nuestra moneda que excluye piezas de menor valor que la unidad, la venta de productos envasados en lugar de fraccionados. Por ejemplo, en una balanza de platillos la masa de un objeto se materializa a través de las pesas que equilibran dicho objeto. En cambio en una balanza digital no hay ningún índice que pueda ser percibido
sino que el orden sobre los objetos está dado por los números del instrumento, lo que da lugar a una de las formas de la aritmetización de la medida. Esto afecta la familiarización con procedimientos de medición, adecuación, uso y lectura de instrumentos graduados, estimación, aproximación, orden de magnitud, diferenciación de magnitudes en el objeto soporte acordes al propósito de medición, todo lo cual queda oculto en la caja negra de sofisticados instrumentos cuyo funcionamiento no resulta comprensible en los niveles básicos. Respecto al valor social, el conocimiento de la medida ayuda a interpretar múltiples aspectos del acontecer diario que son tratados mediáticamente y merecen una lectura crítica. Oficia de instrumento para otras áreas de conocimiento, por lo que ayuda en el tratamiento de temas transversales como la educación para el consumo. Según Chamorro (1995), resulta paradójica la relación entre las demandas sociales y culturales relativas a la medida y su enseñanza: bajo el supuesto de la utilidad práctica, los aspectos enseñados suelen reducirse a ejercicios sobre el Sistema Métrico Decimal, quedando ausente el concepto de magnitud, el trabajo sistemático sobre los métodos de comparación, la aprehensión de la bidimensionalidad, la tridimensionalidad y sus relaciones con la linealidad, así como la falta de prácticas efectivas de medición, lo cual convierte la enseñanza de la medida en un discurso teórico, donde el mostrar prevalece sobre el hacer. Resulta necesaria la medición real de magnitudes en objetos del entorno cotidiano, lo cual exige una preparación cuidadosa por parte del maestro, ya que es la puerta de entrada para el trabajo del error y la aproximación como cuestiones inherentes a la medida. Según la calibración y la precisión del instrumento, se obtiene un intervalo de probabilidades como resultado de la medición, intervalo que puede ser construido a partir de la experiencia realizada. Otro entorno de la medida es el orden de magnitud, o sea el tamaño habitual de un objeto, lo cual solo se aprende en la práctica y permite tanto validar como estimar medidas.
La estimación es una estrategia para trabajar con números en situaciones reales, que nos permite hacer una asignación rápida de valores numéricos manteniendo al mismo tiempo un cierto control sobre la validez de esa valoración. Por ello mismo la estimación está tan extendida como el uso del número. La estimación es útil en todas aquellas situaciones en las que hay que emplear números y trabajar con ellos. (SEGOVIA, CASTRO, RICO, 1989:45) Estos autores explican que, en muchos casos, la estimación resulta conveniente o es el único procedimiento posible para la obtención de datos y las técnicas aplicadas dependen de las causas que provocan la necesidad de estimar y de los contextos en que se utiliza. Por ejemplo, cuando un agricultor necesita comprar fertilizantes, debe tener en cuenta el área del terreno que solo puede calcular en forma aproximada debido a sus irregularidades, por lo cual debe estimar la cantidad de fertilizante mínima posible por encima de lo necesario, en función del peso de las bolsas en que viene empaquetado. Para verterlo sobre las plantas, no resulta práctico pesar cada porción sino que se puede tomar una lata como unidad de referencia y estimar la cantidad de latas que hay que verter, según la relación entre su capacidad y el peso de cada dosis de fertilizante. Para la venta de la cosecha una buena estimación es fundamental: se estiman los kilos producidos y se multiplica por el precio de venta. En la estimación del peso se enfrentan los intereses del comprador y del vendedor, quienes suelen hacer una infraestimación y una sobreestimación respectivamente, por lo que puede mediar un tasador. El producto de la venta no suele pesarse después de la recolección, pero es el momento de mejorar la estimación: como debe ser transportado en cajas iguales, se llenan y pesan algunas cajas, se hace el promedio y se multiplica por el número de cajas. De la misma manera, otras profesiones, técnicas y ciencias usan sistemáticamente la estimación de modo que esta constituye un rasgo definitorio de las mismas: tal el caso de las ciencias de la naturaleza, donde la datación de hechos y fenómenos se establece a partir de indicadores y métodos diversos; igualmente la determinación de la carga tributaria de los ciudadanos, los datos meteorológicos o el manejo del dinero y el tiempo en un hogar.
Esta utilidad práctica que atiende a la razonabilidad de los resultados justifica ampliamente la enseñanza de la estimación en la escuela. No menos importante resulta la ampliación de una visión parcial de la matemática como ciencia que da respuestas exactas, introduciendo el carácter aproximado como alternativa de respuesta y el criterio de selección para el uso apropiado en cada caso. Las dos actividades de evaluación seleccionadas para analizar, en el dominio Magnitudes y Medida, tienen por objetivo estimar una longitud y se incluyen en la competencia Resolver Problemas ya que, ( ) ponen en marcha un proceso complejo de ajuste de la información disponible, de recuperación y transformación de otras informaciones y, finalmente, de acomodación de la cuestión planteada dentro del esquema elaborado con la información tratada. Al establecer una relación adecuada entre los datos disponibles y el dato que se busca, este queda delimitado y caracterizado. Cuando esa caracterización nos da una información suficiente para las necesidades de la cuestión inicialmente planteada, se dice que hemos resuelto el problema, y la información básica se llama solución al problema. (SEGOVIA, CASTRO, RICO, 1989:77) Estos autores entienden que la información incluye los datos del enunciado y también los conocimientos y relaciones disponibles en el sujeto que resuelve el problema, y el procedimiento es cualquier secuencia de relaciones y destrezas orientada a satisfacer los requisitos de la pregunta. Un problema de estimación se caracteriza por la no explicitación de la información, la cual aparece como detalles aclaratorios de datos implícitos o que se suponen disponibles en el sujeto a partir de su experiencia previa, la respuesta esperada nunca es exacta pero sí comprendida en un rango adecuado y el procedimiento suele ser mental, con números redondos que faciliten los cálculos, nunca preestablecido. La relación entre estimación y resolución de problemas es compleja pues la estimación constituye también la anticipación de posibles soluciones de cualquier problema, liberándolo de mecanismos y facilitando la comprensión
del mismo y la posibilidad de verificar el sentido de la solución obtenida por cálculos exactos. También se relaciona la estimación con técnicas del pensamiento matemático: la decisión del tipo de respuesta adecuada al texto de un problema, el sentido numérico, la selección de una estrategia apropiada, la diversidad de caminos a seguir. ACTIVIDAD: Rutas TIPO: abierto de desarrollo Un viajero recorrió 235 km desde Paysandú a Tacuarembó. Con ayuda del mapa, qué distancia aproximada deberá recorrer para ir desde Tacuarembó a Montevideo? Código MAT1795 Dominio Magnitudes y Medidas Contenido Magnitudes y Medidas Sub-contenido Estimación de medidas Competencia Resolver Problemas Grado (Aplicación 2014) 3 de Educación Primaria Objetivo Estimar una medida.
Alternativas de respuesta A B C Crédito completo Crédito parcial Sin crédito Responde con una distancia que se encuentra entre 350 km y 480 km. O muestra que la relación entre la distancia de Tacuarembó a Montevideo y la distancia de Paysandú a Tacuarembó es el doble o 1 vez y media (o relaciones comprendidas entre ambas). Su respuesta da cuenta de una estimación correcta (de acuerdo a las condiciones de crédito completo) pero que sumó el recorrido total, lo cual debe aparecer explícito para así diferenciarlo de una estimación no lograda. Ejemplo: "La distancia total es 235 + 470 = 705" Cualquier otra respuesta. Rutas es un ítem abierto de desarrollo de la Prueba de 3 año, para que el alumno pueda escribir los cálculos y relaciones entre los datos que le permiten obtener una distancia aproximada entre las ciudades de Tacuarembó y de Montevideo. Distinguimos varios tipos de información que el alumno debe identificar, recordar, interpretar, relacionar. Explícita numérica con unidad de medida: 235 km (distancia Paysandú Tacuarembó). Explícita gráfica: la línea que se extiende desde los puntos identificados como Paysandú y Tacuarembó respectivamente (distancia Paysandú- Tacuarembó). Para darle el valor numérico, el alumno debe relacionar ambas representaciones. Información implícita: la línea que se extiende desde los puntos identificados como Tacuarembó y Montevideo respectivamente (distancia Tacuarembó-Montevideo). El valor numérico solo puede aproximarse mediado por otras informaciones y procesos inferenciales. Conocimiento del lector acerca de los códigos de representación en un mapa (propio de las Ciencias Sociales). 1 Conocimiento del lector acerca de las unidades de medición. 1 Al respecto, debe tenerse en cuenta que en este mapa las rutas están coloreadas de azul, color que, convencionalmente se usa para las corrientes de agua. Aclaramos que el trazado del recorrido fue realizado automáticamente por Google Maps, de manera que podemos pensar en una adaptación a los recursos tecnológicos. De todas maneras, el ícono con el número de las carreteras, no deja lugar a dudas en su representatividad.
El enunciado orienta el proceso de relacionar las representaciones numéricas y gráficas: con ayuda del mapa Una estimación rudimentaria consiste en advertir que la distancia Tacuarembó-Montevideo es mayor que la distancia Paysandú-Tacuarembó. Esta se puede afinar, estableciendo una posible razón entre las mismas mediante una relación entre sus representaciones gráficas, o sea que este último tramo puede ser la mitad del otro, un poco más o un poco menos. Por eso, el crédito completo corresponde al intervalo [350;480], siendo 391 la cantidad indicada por Google Maps para el trayecto mayor. Tengamos en cuenta que las medidas físicas son siempre inexactas, sea por la imperfección de los objetos, la accesibilidad a los mismos, los niveles de precisión de los instrumentos de medida y los errores que se cometen en su manipulación, de manera que el valor dado por Google Maps es una buena estimación a la cual esperamos que los alumnos puedan acercarse. Una dificultad en el caso de las carreteras es la sinuosidad de las mismas, ya que una estimación de la distancia entre las ciudades, si se visualiza como longitud de segmentos de recta, puede dar una diferencia notoria en el resultado. En este caso, si se gira el segmento PT con centro en T hasta su intersección con TM (I), se puede percibir que TM es un poco mayor que IM, de donde se infiere que la distancia TM es algo menor al doble de PT. Los tramos PT y TI presentan curvas similares, en cambio el tramo IM parece menos sinuoso. Sin embargo, la plataforma en la cual se presenta la prueba no permite hacer este tipo de trazados o marcas en el mapa, por lo cual, el alumno solo puede realizarlos mediante una representación mental y establecer con un margen de apreciación aceptable que el tramo menor está
incluido entre una vez y media y dos veces en el mayor. Redondeando a km, 235 una vez y media es 353 y el doble es 470. El intervalo de crédito total aproxima a las decenas inmediatamente anterior y posterior de dichos valores, respectivamente. El crédito parcial se adjudica a los casos en que el registro del alumno dé cuenta de estas comparaciones y cálculos, aunque la respuesta surja de la suma de 235 con el valor estimado para el tramo mayor, bajo la hipótesis que el alumno considera el recorrido total del viaje (Paysandú Tacuarembó Montevideo). Se pone en juego la competencia Comunicar ya que la razón establecida entre representaciones gráficas debe ser traducida en un registro numérico a efectos de dar respuesta al problema, para lo cual es necesario realizar cálculos, lo cual complejiza el procedimiento de resolución. Una variante de esta actividad para realizar en clase, es preguntar por la relación entre dos tramos (ej.: la distancia Tacuarembó-Montevideo es casi la misma, una vez y media, casi el doble de la distancia Paysandú-Tacuarembó?), pedir una explicación del procedimiento seguido, anotar respuestas, ir afinando las estimaciones, utilizar la herramienta Google Maps y/o similares y verificar la aproximación al valor establecido por los diferentes servidores de aplicaciones de mapas virtuales, e incluso compararlos entre ellos 2. Una variable didáctica importante es la referencia que permite estimar la distancia: en lugar de dar el dato de la distancia entre dos lugares, se puede dar la escala: en esta imagen está dada por los segmentos que representan 100 km y 50 millas 2 A modo ilustrativo, los valores indicados en algunos servidores son: YAHOO!MAPS: 396,48 km; bing mapas: 398,2 km; Gosur Mapas:397 km.
respectivamente, unidades de uso social. Una diferencia entre la aplicación en línea y la aplicación en papel es la posibilidad de manipulación: aunque el alumno pueda intentar transportar de alguna manera el segmento de referencia sobre la pantalla, no resultará tan eficiente como en el papel donde puede hacer marcas. Un instrumento de medida permitirá medir sobre el mapa y convertir la medida en distancia real. Si no se dispone de tal instrumento, es preciso estimar la medida sobre el mapa y después convertirla. Otra diferencia con el mapa original es la presencia de otros elementos como ciudades y rutas que se relacionan con el problema. Por lo tanto, entran en juego otros procesos como la identificación y selección de la información brindada, todo lo cual complejiza porque responde a situaciones reales. Pero también pueden ofrecer al alumno otros referentes de acuerdo a sus conocimientos sociales, como conocer la distancia entre dos localidades que él ha recorrido. Sobre el carácter realista de la consulta de mapas para circular, se podría objetar que, actualmente, la difusión de herramientas de alta tecnología como el GPS, deja obsoletos los mapas estáticos. Sin embargo, la educación matemática implica comprender e interpretar los datos proporcionados por dichos dispositivos a efectos del manejo apropiado y la transferencia a la solución de problemas. Es decisión del docente cómo presentar los problemas en una secuencia de enseñanza, en un enfoque globalizador de los contenidos matemáticos y/o interdisciplinar. Cualquiera de estas variaciones pone énfasis en la medida más que en la unidad, el alumno dispone de un objeto y se supone que posee el concepto de unidad de medida, entonces se trata de asignar a ese objeto (tramo de ruta), un número (la medida) a través de un auxiliar (la unidad). La estimación que consiste en realizar la asignación inversa pone más en juego la unidad de medida y puede contribuir a que los estudiantes adquieran un esquema mental de dichas unidades, por ejemplo buscar dos ciudades entre las cuales haya una distancia aproximada a 100 km. Este tipo de actividades debería iniciarse con situaciones que el alumno pueda verificar, por ejemplo encontrar un objeto en el patio que pueda medir 2 m.
ACTIVIDAD: Tablero de baloncesto TIPO: abierto de desarrollo Estos jugadores de basquetbol tienen alrededor de 1,80 metros de estatura. Aproximadamente, a qué altura del piso está ubicado el aro de basquetbol de la imagen? Código Dominio Contenido Sub-contenido Competencia Grado (Aplicación 2014) Objetivo Alternativas de respuesta MAT1781 Magnitudes y Medidas Magnitudes y Medidas Estimación de medidas Resolver Problemas 5 de Educación Primaria Estimar una medida. A B C Crédito completo Crédito parcial Sin crédito Responde con una altura que se encuentra entre 2,70 y 3,10 metros. Estima que la distancia del tablero al piso es un poco más de 1 vez y media la estatura de los jugadores. Responde con una altura que se encuentra entre 2,30 y 2,70 metros. Pudo deberse a: - falta de precisión en la estimación - problema de interpretación, pensó que 1,80 metros corresponde a la longitud del jugador tal como está en la figura (saltando), o sea de los pies a las manos. Cualquier otra respuesta.
También Tablero de baloncesto es un ítem abierto de desarrollo que, solo incluido en la Prueba de 5 año, busca que el alumno pueda escribir los cálculos y relaciones entre los datos que le permiten obtener la altura aproximada del aro de la canasta de baloncesto. Distinguimos varios tipos de información que el alumno debe identificar, recordar, interpretar, relacionar. Explícita numérica con unidad de medida: 1,80 m (altura aproximada de los jugadores). Explícita gráfica: la imagen de los jugadores en posición de lanzar la pelota. Para darle el valor numérico, el alumno debe relacionar ambas representaciones. Información implícita: la imagen del aro de baloncesto y el piso en que se sustenta el poste que se pueden modelizar como punto y recta entre los cuales determinar la distancia. El valor numérico solo puede aproximarse mediado por otras informaciones y procesos inferenciales. Conocimiento del lector sobre una cancha de basquetbol. Conocimiento del lector acerca de las unidades de medición. El crédito completo corresponde al intervalo [2,70; 3,10] siendo 3,05 la altura oficial. En este sentido, el conocimiento social sobre el juego, especialmente las condiciones de la cancha, influye considerablemente en la resolución del problema, por lo cual, interesa especialmente la argumentación por parte de los alumnos que responden acertadamente. En el caso que conozca la altura oficial, no estima sino que recuerda una información social que es útil para validar las respuestas de otros compañeros. Más interesante resulta el caso de alumnos que estén familiarizados con las canchas de básquetbol que, sin tener esta información, pueden asociar otras imágenes mentales y saberes sociales para su aplicación en la estimación. Por ejemplo, si él sabe que su altura es aproximadamente 1,50 m y que, parado debajo del canasto queda muy lejos, agregará al menos un metro. Pero si, además sabe que en el juego no es fácil que la pelota entre en el canasto, o
sea que aunque se ponga en puntas de pie y alce los brazos, no llega al aro, agregará aún más. En este procedimiento está estimando la medida de sus pies, de sus brazos y la distancia que falta para llegar al aro. También puede haber alumnos que conozcan el basquetbol a través de la televisión, donde la experiencia no es directa pero aporta a la creación de relaciones entre alturas de jugadores en diversas posiciones y la del aro. En cambio, si el deporte no ha sido vivido real o virtualmente, el proceso de estimación se limita a las inferencias sobre la imagen (que también interviene en los casos anteriores). Una dificultad a considerar es el referente numérico que corresponde a la altura de personas fotografiadas en posición de tiro de la pelota al canasto, pues al saltar, los pies no apoyan en el suelo, están estirados al igual que todo el cuerpo y los brazos levantados, de manera que las siluetas de los jugadores se ven mucho más altas que su altura. Cuánto? Hay que agregar la distancia del suelo a los talones y la distancia de los brazos desde la cabeza a los dedos que tocan la pelota. Mientras el tiro se hace en forma inclinada, la distancia se mide sobre la perpendicular al plano de la base que se interseca con un punto del aro, lo cual implica modelizar la altura de la silueta con un segmento que se debe trasladar hasta que quede incluido en dicha perpendicular y así poder relacionarlo con la distancia que aún falta para llegar al aro. El crédito parcial corresponde al intervalo [2,30; 2,70] porque en tal caso el alumno ha realizado una estimación gruesa, por ejemplo comparando la altura de las siluetas humanas y la altura del aro y estimar que este puede estar poco menos de un metro más arriba, tomando como referente 1,80 m de alto de los jugadores, con lo cual la respuesta puede estar entre 2,50 m y 2,70 m. Otra posibilidad es una estimación aceptable de las relaciones entre el referente 1,80 y la altura a que está el aro, con error en la interpretación de la consigna, por el cual entiende que 1,80 es la altura de la silueta de los jugadores y no de su estatura. En tal caso, la diferencia entre la altura de dichas siluetas y la altura del aro puede estimarse como la tercera o cuarta
parte de 1,80 a la cual se agrega o no la separación desde el suelo, con lo cual la respuesta está entre 2,30 m y 2,60 m. Una variable didáctica importante es la representación plana de una situación que ocurre en el mundo tridimensional, donde entra en juego la perspectiva, y la profundidad se ha perdido porque la fotografía muestra siluetas. En el entendido que estimar no es adivinar o dar un valor arbitrariamente sino que parte de la información, la experiencia y los referentes sobre la situación, solo se puede lograr a partir de la transferencia y adecuación de referentes construidos mediante la frecuentación de experiencias reales de medición. Es probable que estas condiciones se relacionen con los niveles de aceptación de las respuestas de los escolares a los dos ítems analizados, por lo que la corrección colectiva de los mismos constituye un insumo importante para conocer y comprender cómo utilizan sus saberes y hasta dónde pueden avanzar mediante la cooperación con sus pares y el andamiaje docente.