L gica digital y prog_ U 0-final.qxp 28/02/2007 8:42 PÆgina UNIDAD Introducción a la electrónica digital Objetivos Aprender para qué sirve un sistema electrónico digital, los elementos básicos de que consta, y los aspectos básico necesarios para su implementación. Conocer los motivos que justifican el estudio de las materias que se van a enseñar en las demás unidades del libro.
L gica digital y prog_ U 0-final.qxp 28/02/2007 8:42 PÆgina 2 Lógica digital y microprogramable. Señales y sistemas de control. Codificación de magnitudes El instrumento por el que los seres humanos son capaces de adaptar el entorno a sus necesidades es la tecnología. Ésta permite a los humanos controlar y actuar sobre el entorno para cambiar las condiciones físicas o circunstancias del mismo por otras más convenientes para su supervivencia o para su bienestar. Actualmente la principal tecnología de control de procesos la proporciona la electrónica digital. Pero, sea cual sea la tecnología de control empleada, no hay que olvidar que lo que se pretende, en un principio, es sustituir la presencia de un ser humano por una máquina (el avance de la tecnología permitirá además ampliar y superar las capacidades del ser humano en algunos aspectos). Es necesario, por lo tanto, estudiar las características de los procedimientos de control para poder emularlos mediante máquinas. En estos procedimientos intervienen en general tres elementos fundamentales, como se muestra en la figura siguiente: Los sensores: son los elementos que permiten observar el medio físico. El procesador: interpreta lo observado en relación con el objetivo a conseguir. Los actuadores: son los elementos que permiten actuar sobre el medio para cambiarlo. El cuerpo humano posee estos tres elementos, que son los sentidos, la inteligencia y los brazos y piernas respectivamente. Una máquina que pretenda sustituir al hombre en las tareas de control, también deberá de tener estos tres elementos, y para su desarrollo será necesario conocer la naturaleza de las magnitudes físicas que se desean controlar para diseñar los sensores y actuadores. También será necesario conocer la naturaleza de los procesos básicos de la inteligencia humana para diseñar el procesador. En el estudio de la naturaleza de las magnitudes físicas, éstas se pueden clasificar atendiendo a tres criterios: Valor de la medida de la magnitud. Magnitudes analógicas: la magnitud observable puede tomar cualquier valor dentro de un margen físicamente razonable. Magnitudes analógicas son: la luminosidad, la intensidad eléctrica, el sonido, la velocidad, etc. Magnitudes digitales: la magnitud observable no puede tomar cualquier valor dentro del margen físicamente razonable, sino sólo ciertos valores permitidos, habitualmente cantidades enteras. Magnitudes digitales son: número de perforaciones en un tubo, número de barriles de petróleo producidos, número de bombillas encendidas en un árbol de Navidad, etc. Evolución de la magnitud. Magnitudes continuas: el modo de evolución de las sucesivas medidas se hace de acuerdo con un patrón continuo, es decir, entre cualquier par de medidas existen infinitas medidas. Magnitudes continuas son: el voltaje de una pila a lo largo de un mes, el número de lobos de un bosque a lo largo de un siglo, la potencia electromagnética de una onda en un rango de frecuencias, la altura de un terreno sobre el nivel del mar, etc. Magnitudes discretas: el modo de evolución de las sucesivas medidas se hace de acuerdo con un patrón discreto, es decir, entre cualquier par de medidas existe un número limitado de medidas. Magnitudes discretas son: la temperatura a las 8:00 de la mañana a lo largo de un año, las coordenadas geográficas de las intersecciones entre ciertos meridianos y paralelos, el peso de las cien primeras cajas de galletas de un lote de producción, etc. 2
L gica digital y prog_ U 0-final.qxp 28/02/2007 8:42 PÆgina 3 Introducción a la electrónica digital Naturaleza física de la magnitud. Teniendo en cuenta la naturaleza física del fenómeno que genera la magnitud observable, las magnitudes se clasifican en: Electromagnéticas Mecánicas Térmicas Hidráulicas Neumáticas etc. En las figuras siguientes se muestran representaciones gráficas de algunos ejemplos de los diferentes tipos de magnitudes que se pueden encontrar. Ejemplo : magnitud analógica continua. Ejemplo 2: magnitud digital continua. Ejemplo 3: magnitud analógica discreta. Ejemplo 4: magnitud digital discreta. Del mismo modo que el ser humano dispone de sentidos, el procesador digital también deberá de disponer de órganos que transformen la naturaleza física original de las magnitudes a controlar en naturaleza electrónica. Estos órganos son los sensores transductores. La magnitud física entregada por el transductor se llama señal. 3
L gica digital y prog_ U 0-final.qxp 28/02/2007 8:42 PÆgina 4 Lógica digital y microprogramable Por lo tanto, una señal es una magnitud física de distinta naturaleza que la de la magnitud que se pretende controlar, pero igual a ella (o proporcional) en cuanto a valores y a evolución. Del mismo modo que las magnitudes físicas, las señales serán analógicas o digitales, continuas o discretas. El procesador digital trabaja con señales eléctricas digitales discretas. En general, se realizan una serie de transformaciones, tal como se esquematiza en la figura siguiente, para hacer llegar señales eléctricas digitales discretas al procesador. Puede encontrarse información ampliada sobre señales y sistemas en los documentos incluidos en el disco proporcionado con el libro. En la figura siguiente se resumen todos los procesos involucrados en un sistema de procesamiento digital (en el ejemplo, de 8 bits). Cada uno de los bloques representa un subsistema electrónico encargado de realizar la función especificada.. Sistemas de numeración y codificación Las señales eléctricas digitales proporcionan información al procesador digital, acerca de la magnitud física que se pretende controlar, mediante una codificación, que es una forma de asignar a cada uno de los diferentes valores que puede tomar una información, un símbolo o combinación única de símbolos denominada código, de acuerdo con unas reglas de asignación determinadas. La codificación empleada en los procesadores digitales es el sistema binario. A continuación se describirá este sistema, así como otros que también se utilizan en el diseño de los procesadores digitales... El sistema de numeración decimal En el caso del procesador humano, un sistema de codificación de magnitudes digitales adecuado a su naturaleza, y universalmente el más empleado, es el sistema de numeración decimal. Las características que hacen adecuado este sistema son: El sistema consta de diez símbolos que están representados por los dígitos arábigos: {0,,2, 3,4,5,6,7,8,9}. Cada símbolo se representa por un trazado geométrico fácil de realizar por el ser humano en un papel o cualquier otra superficie, y también fácilmente representable en su mente. 4
L gica digital y prog_ U 0-final.qxp 28/02/2007 8:42 PÆgina 5 Introducción a la electrónica digital La cantidad de símbolos distintos a recordar (diez) está dentro de las posibilidades memorísticas del ser humano sin necesidad de grandes esfuerzos. La codificación de magnitudes se realiza por combinación de símbolos según unas reglas sencillas. Los códigos resultantes de la codificación son fácilmente interpretables por el ser humano. El sistema de codificación aporta valores añadidos que facilitan la manipulación algebraica de las magnitudes codificadas. Existen otros códigos o sistemas de numeración, pero por uno u otro motivo no se adecúan tan bien al procesador humano como el sistema decimal, por lo que no son tan empleados. Por ejemplo: Sistemas de numeración chinos: el trazado geométrico de los símbolos no es sencillo. Sistemas mesopotámicos: constaban de muchos símbolos distintos (del orden de sesenta), por lo que sería necesario un esfuerzo memorístico para recordarlos. Sistema romano: la manipulación algebraica es muy compleja. Aunque parezca una trivialidad, no está de más en este momento repasar el sistema de numeración decimal e interpretar perfectamente cada uno de los puntos de la descripción del sistema (para evitar el uso de lo definido en la propia definición, las cantidades a representar numéricamente se expresarán en castellano). Descripción del sistema decimal Es un sistema de numeración de base diez: esto quiere decir que el sistema consta de diez símbolos, denominados dígitos. {0,,2,3,4,5,6,7,8,9} Las cantidades se codifican mediante un dígito o combinación de varios, obteniendo un número. tres: 3 veinticuatro: 24 ciento noventa y ocho: 98 En un número, cada dígito representa una cantidad, que es su contribución a la cantidad total representada por el número. La cantidad total representada por un número es la suma de las cantidades representadas por cada uno de los dígitos que forman el número: Trescientos veinticuatro: 3 2 4 contribuciones trescientos veinte cuatro El sistema es posicional, lo que quiere decir que la contribución de un dígito de un número depende de la posición de ese dígito. Por ejemplo, el dígito 4 puede contribuir con la cantidad cuatro, cuarenta o cuatrocientos al total según donde esté situado: trescientos veinticuatro Cuatrocientos cuarenta y cuatro: 4 4 4 contribuciones cuatrocientos cuarenta cuatro La cantidad con la que contribuye cada dígito se calcula multiplicando el valor base del dígito por un peso atribuido a la posición que ocupa: valores base: 0: cero : uno 2: dos 3: tres 4: cuatro 5: cinco 6: seis 7: siete 8: ocho 9: nueve cuatrocientos cuarenta y cuatro 5
L gica digital y prog_ U 0-final.qxp 28/02/2007 8:42 PÆgina 6 Lógica digital y microprogramable Pesos: por ser base diez, el peso atribuido a la posición n-ésima es diez elevado a n. Las posiciones se cuentan de derecha a izquierda, empezando por el cero. Además, cada posición tiene un nombre: unidades, decenas, centenas, etc., que tiene relación con el peso correspondiente a dicha posición. 4 8 4 3 Posición cero: unidades: peso = diez cero = uno Posición uno: decenas: peso = diez uno = diez Posición dos: centenas: peso = diez dos = cien Posición tres: unidades de millar: peso = diez tres = mil El cálculo de la cantidad que representa un número puede hacerse por lo tanto con la ayuda de una tabla como la que sigue: número posición valor base peso contribución: suma valor base x peso cero cinco uno cinco uno dos diez veinte 75025 dos cero cien cero setenta y cinco tres cinco mil cinco mil mil veinticinco cuatro siete diez mil setenta mil Ahora que ya está definido el sistema, se puede emplear el propio sistema para representar las cantidades, de modo que la tabla anterior se puede representar más cómodamente como sigue: número posición valor base peso contribución: suma valor base x peso 0 5 5x=5 2 0 2x0=20 75025 2 0 00 0x00=0 75025 3 5 000 5x000=5000 4 7 0000 7x0000=70000 Aunque todo lo anterior pueda parecer una trivialidad, es necesario interpretar perfectamente los detalles del sistema de numeración decimal para aplicar los mismos razonamientos a otros tipos de sistemas de numeración, que por ser novedosos puede que parezcan complicados, pero no tienen más ni menos complejidad que el sistema decimal. La única diferencia es que el uso cotidiano le hace al ser humano olvidar los detalles del sistema de numeración decimal hasta el punto de usarlo de modo mecánico, pareciéndole una trivialidad. Hecho que, por otro lado, es la prueba de lo bien adecuado que es el sistema a las características del procesador: el ser humano...2 El sistema de numeración binario (binario natural) Dado lo bien que funciona el sistema decimal para el ser humano, se podría pensar en fabricar un procesador electrónico que trabaje con el mismo sistema. Para ello, habría que definir 0 símbolos eléctricos que representarían a los dígitos. Podrían ser 0 tensiones distintas, por ejemplo: 0V, V, 2V,..., 9V. Si el procesador dispusiera de 8 hilos por ejemplo, y en cada uno se pudiera aplicar cualquiera de esos voltajes, el sistema ya podría representar eléctricamente cualquier número del 00000000 al 99999999. Aunque esto es posible, desde el punto de vista de las posibilidades de la tecnología electrónica no es el método más adecuado, por razones técnicas que no vienen al caso. Sin embargo, lo que sí resulta adecuado tecnológicamente hablando, es hacer un procesador electrónico que trabaje, en vez de con 6
L gica digital y prog_ U 0-final.qxp 28/02/2007 8:42 PÆgina 7 Introducción a la electrónica digital diez, con sólo dos valores distintos de tensión. El sistema de numeración que utilizaría tal procesador estaría basado únicamente en dos símbolos, es decir, sería el sistema binario. Cabría aquí la duda de si tal procesador, tecnológicamente factible, podría tener algún interés práctico a la hora de controlar procesos, por estar basado en un sistema de numeración tal como el binario. La respuesta evidente (ahí están los ordenadores) es que sí. En este libro se estudiarán las bases de tales procesadores y se verá justificada la respuesta. De momento, y ya que es de interés por ser el sistema que emplean los procesadores electrónicos digitales, es necesario estudiar el sistema binario. Se hará de modo paralelo a como se hizo con el sistema decimal (en este caso, para representar las cantidades se usará el castellano o también el sistema decimal según convenga). Descripción del sistema binario El binario es un sistema de numeración de base 2: esto quiere decir que el sistema consta de 2 símbolos, también denominados dígitos o bits (del inglés: BInary digits). {0,} Las cantidades se codifican mediante un dígito o combinación de varios, obteniendo un número de uno o más bits. uno: tres: veintitrés: 0 cincuenta y dos : 000 En un número, cada dígito representa una cantidad, que es su contribución a la cantidad total representada por el número. La cantidad total representada por un número es la suma de las cantidades representadas por cada uno de los dígitos que forman el número. El sistema es posicional, lo que quiere decir que la contribución de un dígito de un número depende de la posición de ese dígito, igual que ocurría en el decimal La cantidad con la que contribuye cada dígito se calcula multiplicando el valor base del dígito por un peso atribuido a la posición que ocupa. valores base: 0: cero. : uno. Pesos: por ser base 2, el peso atribuido a la posición n-ésima es 2 elevado a n. Las posiciones se cuentan de derecha a izquierda, empezando por el cero. 0 Posición 0: peso = 2 0 = Posición : peso = 2 = 2 Posición 2: peso = 2 2 = 4 Posición tres: peso = 2 3 = 8 El bit de menos peso es el situado más a la derecha, y también se llama bit menos significativo o LSB (del inglés: Least Significant Bit). El bit de mayor peso es el situado más a la izquierda, y también se llama bit más significativo o MSB (del inglés: Most Significant Bit). El cálculo de la cantidad que representa un número puede hacerse con la ayuda de una tabla como la que sigue: 7
L gica digital y prog_ U 0-final.qxp 28/02/2007 8:42 PÆgina 8 Lógica digital y microprogramable número posición valor base peso=2 posición contribución suma valor base x peso 0 2 0 = x= 0 2 =2 0x2=0 0 2 2 2 =4 x4=4 3 3 2 3 =8 x8=8 binario decimal Como se puede apreciar, el sistema binario y decimal siguen en esencia los mismos mecanismos; son de hecho sistemas posicionales, en los que la única diferencia es la base, 2 y 0 respectivamente. Sin embargo, el sistema binario no parece muy adecuado para el procesador humano, ya que, como se irá viendo con la práctica, cantidades no muy grandes requieren de bastantes dígitos para ser representadas en el sistema binario (por ejemplo: 74 en decimal es 000 en binario), y estas largas secuencias de unos y ceros no son fáciles de leer, memorizar e interpretar por parte del ser humano. Por lo tanto, por un lado es necesario manejar el binario para poder diseñar procesadores electrónicos digitales, pero por otro, el ser humano se maneja mejor en decimal. Será necesario entonces conocer técnicas que permitan pasar fácilmente de un sistema al otro. Además, como se van a manejar cantidades en ambos sistemas, será necesario establecer un método para diferenciar cuándo un número está escrito en un sistema o en el otro. Por ejemplo, el número 0 puede ser tanto binario como decimal. En los casos en que haya duda, se pondrá al lado del número un subíndice indicando la base del sistema al que pertenece. Por ejemplo, cuando se quiera poner 0 del sistema decimal, se pondrá 0 0, y cuando se quiera poner el 0 del sistema binario, se pondrá 0 2. En los casos en los que no exista duda no será necesario poner el subíndice. Paso de binario a decimal La descripción del sistema binario expuesta anteriormente constituye un método para la conversión de números en sistema binario a números en sistema decimal. El método utiliza una tabla rápida basada en la anterior, en la que se disponen en una columna los dígitos del número binario, y a su lado los pesos correspondientes a los bits. Sumando los pesos se obtiene el número decimal equivalente. Paso de decimal a binario Existen varios métodos, todos equivalentes, para realizar esta conversión. El que aquí se expone se basa en divisiones sucesivas por 2: dividir sucesivamente por 2 el número decimal, y formar el número binario tomando el último cociente como MSB y los restos de las divisiones hasta llegar al primer resto que será el LSB...3 Ejercicios de cambio de base entre los sistemas decimal y binario Los métodos descritos para el cambio base entre los sistemas decimal y binario son los siguientes: Paso de binario a decimal: empleando una tabla, disponer en una columna los dígitos del número binario, y a su lado los pesos correspondientes a los bits. Sumando los pesos se obtiene el número decimal equivalente. Por ejemplo, pasar 000 a decimal. Disponer los dígitos del número binario en la columna dígitos, empezando por el LSB en la fila superior, y acabando por el MSB en la fila inferior. En la columna pesos, disponer junto a cada dígito, las siguientes cantidades decimales: dígitos 0 0 0 suma -> pesos 8
L gica digital y prog_ U 0-final.qxp 28/02/2007 8:42 PÆgina 9 Introducción a la electrónica digital Si el dígito es : el peso que le corresponde según su posición. dígitos pesos Si el dígito es 0: cero. 0 0 2 4 8 0 0 32 0 0 28 suma -> Sumar las cantidades que aparecen en la columna de los pesos. El resultado obtenido es el equivalente decimal del número binario que se quería convertir. dígitos pesos 0 0 2 4 8 0 0 32 0 0 28 suma -> 74 Por lo tanto: 000 2 =74 0 Paso de decimal a binario: con la ayuda de una tabla, dividir sucesivamente por 2 el número decimal, y formar el número binario tomando el último cociente como MSB y los restos de las divisiones hasta llegar al primer resto que será el LSB. Por ejemplo, pasar 74 a binario. Dividir por 2 el número decimal que se desea convertir, anotando el resto de la división (que será ó 0 necesariamente). 7 4 2 6 8 7 cociente 4 4 0 resto 0 Tomar el cociente de la división anterior y volverlo a dividir por 2, anotando de nuevo el resto de la división. 8 7 2 8 4 3 cociente 0 7 6 resto Volver a tomar el cociente de la división anterior y volverlo a dividir por 2, anotando de nuevo el resto de la división, y así sucesivamente hasta que el cociente obtenido no se pueda dividir más por 2 (será por lo tanto ó 0). El proceso de divisiones sucesivas por 2 se puede anotar en una tabla como la que se muestra a continuación: cocientes y posteriores dividendos restos 74 0 resto de 74/2 (primer resto) cociente de 74/2 87 resto de 87/2 cociente de 87/2 43 resto de 43/2 9
L gica digital y prog_ U 0-final.qxp 28/02/2007 8:42 PÆgina 0 Lógica digital y microprogramable cocientes y posteriores dividendos restos cociente de 43/2 2 resto de 2/2 cociente de 2/2 0 0 resto de 0/2 cociente de 0/2 5 resto de 5/2 cociente de 5/2 2 0 resto de 2/2 (último resto) (último cociente) cociente de 2/2 Una vez acabadas todas las divisiones, tomar de la tabla el último cociente como MSB, y continuar construyendo el número binario añadiendo de izquierda a derecha, comenzando por el último resto obtenido, los demás restos de las divisiones tomados de abajo a arriba hasta llegar al LSB, que será el primero de los restos de la tabla. cocientes y posteriores dividendos restos 74 0 LSB 87 43 2 0 0 5 2 0 MSB 000 Por lo tanto: 74 0 = 000 2 Ejemplo resuelto Pasar los siguientes números decimales a binario: 57 y 325. Solución cocientes restos cocientes restos 57 325 28 0 62 0 4 0 8 7 40 0 3 20 0 0 0 5 2 0 57 0 =00 2 325 0 =00000 2 Ejemplo resuelto 2 Pasar los siguientes números binarios a decimal: 00 y 00000. Solución dígitos peso dígitos pesos 2 2 0 0 4 0 0 0 0 6 0 0 32 0 0 64 0 0 suma 5 28 0 0 52 suma 647 0 00 2 =5 0 00000 2 =647 0
L gica digital y prog_ U 0-final.qxp 28/02/2007 8:42 PÆgina Introducción a la electrónica digital Una vez dominados estos métodos de conversión, el ser humano puede estudiar y diseñar procesadores electrónicos digitales de forma sencilla empleando su sistema habitual que es el decimal. Cuando tenga que pasarle información al sistema, simplemente tendrá que convertir los números decimales con los que se trabajó al sistema binario que es el que entiende la máquina. Al revés, cuando tenga que leer información proporcionada por la máquina, que vendrá en binario, se podrá traducir al decimal para interpretarla de modo más sencillo. En definitiva, en el trabajo con procesadores digitales, los métodos de conversión entre sistemas hacen que el decimal pueda ser una buena herramienta para manipular las cantidades binarias con las que trabaja a máquina, sin el inconveniente de tener que manejar largas listas de unos y ceros que inducen fácilmente a la confusión, y no son sencillas de interpretar. Aunque la conversión entre los sistemas binario y decimal no es nada dificultosa, no es inmediata, ya que requiere hacer algunas cuentas. Con la práctica, estas cuentas se pueden llegar a hacer con más o menos soltura, pero no serán inmediatas, salvo si son pequeñas cantidades. Por lo tanto, en usos intensivos del binario, el decimal como herramienta alternativa de manipulación de cantidades puede no ser del todo adecuada, debido al trabajo de conversión que supone...4 El sistema de numeración hexadecimal El sistema hexadecimal, sistema de numeración posicional de base 6, al igual que el decimal, permite trabajar con cantidades de un modo más sencillo para el ser humano, que el binario. Además presenta la ventaja de que la conversión entre hexadecimal y binario no requiere hacer ningún tipo de operaciones, siendo prácticamente inmediato. El único inconveniente es la falta de costumbre en el uso del hexadecimal por parte del humano, problema que se resuelve con la práctica. Descripción del sistema hexadecimal Se trata de un sistema de numeración de base 6: esto quiere decir que el sistema consta de 6 símbolos o dígitos. {0,,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} Obsérvese que los dígitos elegidos para formar el sistema hexadecimal son los 0 dígitos arábigos, igual que en el sistema decimal, y para los 6 dígitos que faltan se eligieron por comodidad unos símbolos ya conocidos y que son las 6 primeras letras del alfabeto, que aquí actúan como números. Las cantidades se codifican mediante un dígito o combinación de varios, obteniendo un número. tres: 3. diez: A. veinticuatro: 8. dos mil novecientos cuarenta y dos: B7E En un número, cada dígito representa una cantidad, que es su contribución a la cantidad total representada por el número. La cantidad total representada por un número es la suma de las cantidades individuales representadas por cada uno de los dígitos que forman el número. El sistema es posicional, lo que quiere decir que la contribución de un dígito del número depende de la posición de ese dígito. La cantidad con la que contribuye cada dígito se calcula multiplicando el valor base del dígito por un peso atribuido a la posición que ocupa. valores base: 0: cero : uno 2: dos 3: tres 4: cuatro 5: cinco 6: seis 7: siete 8: ocho 9: nueve A: diez B: once C: doce D: trece E: catorce F: quince pesos: por ser base 6, el peso atribuido a la posición n-ésima es 6 n. Las posiciones se cuentan de derecha a izquierda, empezando por el cero.
L gica digital y prog_ U 0-final.qxp 28/02/2007 8:43 PÆgina 2 Lógica digital y microprogramable 4 D 9 A Posición cero: peso = 6 0 = Posición uno: peso = 6 = 6 Posición dos: peso = 6 2 = 256 Posición tres: peso = 6 3 = 4096 En algunos casos, la notación del subíndice 6 indicador del sistema hexadecimal se sustituye por la letra H o el símbolo $. De este modo, el número hexadecimal 4D9A se indicaría de cualquiera de las formas siguientes: 4D9A 6 = 4D9AH = 4D9A$ No se debe confundir la H con un dígito hexadecimal, ya que éstos sólo llegan hasta la F. Sólo indica que se trata de un número hexadecimal, careciendo de todo valor numérico. El cálculo de la cantidad que representa un número puede hacerse por lo tanto con la ayuda de una tabla como la que sigue: número posición dígito valor base peso=6 posición contribución suma en decimal valor base x peso 0 A 0 0x=0 9 9 6 9x6=44 4D9A 2 D 3 256 3x256=3328 9866 3 4 4 4096 4x4096=6384 hexadecimal decimal Por lo tanto, 4D9A 6 = 9866 0 Paso de hexadecimal a decimal Al igual que ocurría con el binario, la descripción del sistema hexadecimal ya proporciona un método para convertir de hexadecimal a decimal, utilizando una tabla como la del ejemplo anterior. Paso de decimal a hexadecimal El método propuesto para la conversión de decimal a hexadecimal es similar al utilizado en el paso de decimal a binario y se basa en divisiones sucesivas por 6: dividir sucesivamente por 6 el número decimal, y formar el número hexadecimal tomando el último cociente como dígito de mayor peso y los restos de las divisiones hasta llegar al primer resto que será el dígito de menor peso Como se pudo observar, la conversión entre sistemas decimal y hexadecimal no es nada inmediata, y sólo se realizará cuando sea realmente necesario. El verdadero sentido del uso del hexadecimal es en su aplicación para manipular cantidades dadas en binario, por la sencillez del paso de un sistema a otro. Relación hexadecimal-binario Cada uno de los dígitos hexadecimales representa una cantidad del 0 al 5, que es su valor base. Estas cantidades, expresadas en binario, pueden requerir hasta 4 bits, tal como se indica en la siguiente tabla: hexadecimal binario hexadecimal binario hexadecimal binario hexadecimal binario 0 0000 000 2 000 3 00 4 000 5 00 6 00 7 0 8 000 9 00 A 00 B 0 C 00 D 0 E 0 F 2
L gica digital y prog_ U 0-final.qxp 28/02/2007 8:43 PÆgina 3 Introducción a la electrónica digital La tabla anterior constituye el paso de hexadecimal a binario o viceversa para cantidades de 0 a 5. El paso para cantidades mayores se hace en base a la tabla de equivalencias anterior de acuerdo con los métodos siguientes: Paso de hexadecimal a binario Obtener el número binario a partir de los equivalentes binarios de cuatro bits de los dígitos hexadecimales, sustituyendo cada uno de los dígitos del número hexadecimal por su equivalente binario de 4 bits. Paso de binario a hexadecimal Esta conversión sigue el procedimiento inverso a la conversión anterior: distribuir el número binario en grupos de cuatro bits comenzando por el LSB, y sustituir cada grupo por su equivalente hexadecimal Aclaración importante Obsérvese que la conversión entre hexadecimal y binario se hace directamente por la relación dígito hexadecimal cuatro dígitos binarios. Este método no se puede aplicar para la conversión entre binario y decimal, ya que daría resultados erróneos. Es decir, para pasar un número decimal a binario, no se puede pasar dígito a dígito, sino por el método expuesto en su momento...5 Ejercicios de cambio de base entre los sistemas hexadecimal y decimal o binario Los métodos descritos para el cambio base entre los sistemas hexadecimal y decimal son los siguientes: Paso de hexadecimal a decimal: con la ayuda de una tabla, sumar los valores base de cada dígito hexadecimal multiplicados por los pesos correspondientes a la posición que ocupan. Por ejemplo, pasar 4D9A 6 a decimal. número posición dígito valor base peso=6 posición contribución suma en decimal valor base x peso 0 A 0 0x=0 9 9 6 9x6=44 4D9A 2 D 3 256 3x256=3328 9866 3 4 4 4096 4x4096=6384 hexadecimal Por lo tanto, 4D9A 6 =9866 0 Paso de decimal a hexadecimal: con la ayuda de una tabla, dividir sucesivamente por 6 el número decimal y formar el número hexadecimal tomando el último cociente como dígito de mayor peso y los restos de las divisiones hasta llegar al primer resto que será el dígito de menor peso. Por ejemplo: pasar 9866 0 a hexadecimal. decimal Dividir por 6 el número decimal que se desea convertir, anotando el resto de la división (que será 5 o menos necesariamente). 9 8 6 6 6 6 2 4 cociente 3 8 3 2 6 6 6 4 2 6 6 0 resto=0 Tomar el cociente de la división anterior y volverlo a dividir por 6, anotando de nuevo el resto de la división. 3
L gica digital y prog_ U 0-final.qxp 28/02/2007 8:43 PÆgina 4 Lógica digital y microprogramable 2 4 6 2 7 7 cociente 2 2 9 resto=9 Volver a tomar el cociente de la división anterior y volverlo a dividir por 6, anotando de nuevo el resto de la división. Y así sucesivamente hasta que el cociente obtenido no se pueda dividir más por 6 (será por lo tanto 5 o menos). El proceso de divisiones sucesivas por 6 se puede anotar en una tabla como la que se muestra seguidamente: cocientes y posteriores dividendos restos 9866 0 resto de 9866/6 (primer resto) cociente de 9866/6 24 9 resto de 24/6 cociente de 24/6 77 3 resto de 77/6 (último resto) (último cociente) cociente de 77/6 4 Una vez realizadas todas las divisiones, tomar las cantidades decimales del último cociente y de los restos obtenidos y transformarlas en un dígito hexadecimal, de acuerdo con la tabla de valores base de los dígitos hexadecimales. cocientes y posteriores dividendos restos dígitos hexadecimales 9866 0 A primer resto 24 9 9 77 3 D último resto último cociente 4 4 Construir el número hexadecimal tomando como dígito de mayor peso el de más abajo de la tabla (el que viene del último cociente), y continuando hacia arriba (del último resto al primer resto). cocientes y posteriores dividendos restos dígitos hexadecimales 9866 0 A 24 9 9 77 3 D 4 4 4D9A Por lo tanto, 9866 0 =4D9AH Los métodos descritos para el cambio base entre los sistemas hexadecimal y binario son los siguientes: Paso de hexadecimal a binario: obtener el número binario a partir de los equivalentes binarios de cuatro bits de los dígitos hexadecimales. Por ejemplo: pasar 8C6EH a binario. Sustituir cada uno de los dígitos del número hexadecimal por su equivalente binario de 4 bits. dígitos 8 C 6 E equivalente en binario de 4 bits 000 00 00 0 0 añadido a la izquierda para completar los cuatro bits Formar el número binario buscado juntando los bits procedentes de cada dígito hexadecimal en el mismo orden que éstos. dígitos 8 C 6 E equivalente en binario de 4 bits 000 00 00 0 número binario buscado 00000000 4 Por lo tanto, 8C6E 6 =00000000 2
L gica digital y prog_ U 0-final.qxp 28/02/2007 8:43 PÆgina 5 Introducción a la electrónica digital Paso de binario a hexadecimal: distribuir el número binario en grupos de cuatro bits comenzando por el LSB, y sustituir cada grupo por su equivalente hexadecimal. Por ejemplo: pasar 0000 2 a hexadecimal. Comenzando por el LSB (por la derecha), distribuir el número binario a convertir en grupos de cuatro bits. Si el último grupo no llega a cuatro bits, se deja como está. número binario 0000 orden a seguir en el agrupamiento grupos formados 0 0 0 0 el último grupo puede no ser de cuatro bits A partir del número binario de cuatro bits de cada grupo, obtener el equivalente en hexadecimal, que estará formado por un único dígito por grupo. Número binario 0000 orden a seguir en el agrupamiento grupos formados 0 0 0 0 equivalente hexadecimal 2 B 7 D Formar el número hexadecimal buscado juntando los dígitos procedentes de cada grupo y en el mismo orden que éstos. número binario 0000 orden a seguir en el agrupamiento grupos formados 0 0 0 0 equivalente hexadecimal 2 B 7 D número hexadecimal buscado 2B7D Por lo tanto, 0000 2 =2B7DH. Ejemplo resuelto Pasar los siguientes números hexadecimales a decimal y binario: F7 y D0C5. Solución Paso a decimal: número dígito valor base en decimal peso valor base x peso 7 7 7 F7 F 5 6 240 suma: 247 F7H=247 0 número dígito valor base en decimal peso valor base x peso 5 5 5 C 2 6 92 D0C5 0 0 256 0 D 3 4096 53248 suma: 53445 DC05H=53556 0 5
L gica digital y prog_ U 0-final.qxp 28/02/2007 8:43 PÆgina 6 Lógica digital y microprogramable Paso a binario: dígitos F 7 equivalente en binario de 4 bits 0 F9H=0 2 dígitos D 0 C 5 equivalente en binario de 4 bits 0 0000 00 00 D0C5H=000000000 2 Ejemplo resuelto 2 Pasar los siguientes números decimales a hexadecimal: 236 y 2587. Solución cocientes restos hexadecimal cocientes restos hexadecimal 236 2 C 2587 B 4 E 786 2 2 49 3 3 236 0 =ECH 2587 0 =32BH Ejemplo resuelto 3 Pasar los siguientes números binarios a hexadecimal: 00 y 000000. Solución número binario 00 grupos formados 00 equivalente hexadecimal 7 3 número hexadecimal buscado 73 00 2 =73$ número binario 000000 grupos formados 0 000 00 equivalente hexadecimal 2 8 6 número hexadecimal buscado 286 000000 2 =286$..6 El sistema de numeración octal Del mismo modo que el sistema hexadecimal, el sistema de numeración octal permite manejar cantidades binarias de forma sencilla, permitiendo conversiones entre los sistemas prácticamente inmediatas. No es tan empleado como el hexadecimal ya que los números obtenidos a partir de un número binario resultan más largos, en general, en el sistema octal, y por lo tanto el hexadecimal permite comprimir en menos espacio el número binario transformado. Sin embargo, dado que también se utiliza, conviene conocerlo. 6
L gica digital y prog_ U 0-final.qxp 28/02/2007 8:43 PÆgina 7 Introducción a la electrónica digital Descripción del sistema octal Se trata de un sistema de numeración de base 8: esto quiere decir que el sistema consta de 8 símbolos o dígitos. {0,,2,3,4,5,6,7} Obsérvese que los dígitos elegidos para formar el sistema octal son sólo los 8 primeros dígitos arábigos. Por lo tanto, en un número octal no puede aparecer el dígito 8 ni el 9. Las cantidades se codifican mediante un dígito o combinación de varios, obteniendo un número. tres: 3 8. diez: 0 8. veintiséis: 32 8. dos mil novecientos cuarenta y dos: 5576 8. En un número, cada dígito representa una cantidad, que es su contribución a la cantidad total representada por el número. La cantidad total representada por un número es la suma de las cantidades individuales representadas por cada uno de los dígitos que forman el número. El sistema es posicional, lo que quiere decir que la contribución de un dígito del número depende de la posición de ese dígito. La cantidad con la que contribuye cada dígito se calcula multiplicando el valor base del dígito por un peso atribuido a la posición que ocupa. Tabla de valores base: dígito valor base dígito valor base dígito valor base dígito valor base 0 cero uno 2 dos 3 tres 4 cuatro 5 cinco 6 seis 7 siete pesos: por ser base 8, el peso atribuido a la posición n-ésima es 8 n. Las posiciones se cuentan de derecha a izquierda, empezando por el cero. 4 7 0 3 Posición cero: peso = 8 0 = Posición uno: peso = 8 = 8 Posición dos: peso = 8 2 = 64 Posición tres: peso = 8 3 = 52 El cálculo de la cantidad que representa un número puede hacerse por lo tanto con la ayuda de una tabla como la que sigue: número posición dígito valor base peso=8 posición contribución suma en decimal valor base x peso 0 3 3 3x=3 0 0 8 0x8=0 4703 2 7 7 64 7x64=448 2499 3 4 4 52 4x52=2048 octal decimal Por lo tanto, 4703 8 =2499 0 7
L gica digital y prog_ U 0-final.qxp 28/02/2007 8:43 PÆgina 8 Lógica digital y microprogramable Paso de octal a decimal Igual que ocurría en el hexadecimal, la descripción del sistema octal ya proporciona un método para convertir de octal a decimal, utilizando una tabla como la del ejemplo anterior. Paso de decimal a octal El método propuesto para la conversión de decimal a octal es semejante a los empleados en el paso de decimal a hexadecimal o de decimal a binario, y se basa en divisiones sucesivas por 8: dividir sucesivamente por 8 el número decimal y formar el número octal tomando el último cociente como dígito de mayor peso y los restos de las divisiones hasta llegar al primer resto que será el dígito de menor peso. Relación octal-binario Cada uno de los dígitos octales representa una cantidad del 0 al 7, que es su valor base. Estas cantidades, expresadas en binario, pueden requerir de hasta 3 bits, tal como se indica en la siguiente tabla: octal binario octal binario octal binario octal binario 0 000 00 2 00 3 0 4 00 5 0 6 0 7 La tabla anterior constituye el paso de octal a binario o viceversa para cantidades de 0 a 7. El paso para cantidades mayores se hace en base a la tabla de equivalencias anterior de acuerdo con los métodos siguientes: Paso de octal a binario Obtener el número binario a partir de los equivalentes binarios de tres bits de los dígitos octales, sustituyendo cada uno de los dígitos del número octal por su equivalente binario de 3 bits. Paso de binario a octal Esta conversión sigue el procedimiento inverso a la conversión anterior: distribuir el número binario en grupos de tres bits comenzando por el LSB, y sustituir cada grupo por su equivalente octal. Aclaración importante Igual que en el caso del hexadecimal, la conversión entre octal y binario se hace directamente por la relación dígito octal tres dígitos binarios. De nuevo es necesario insistir en que este método no se puede aplicar para la conversión entre binario y decimal, ya que daría resultados erróneos...7 Ejercicios de cambio de base entre los sistemas octal y decimal o binario Los métodos descritos para el cambio base entre los sistemas octal y decimal son los siguientes: Paso de octal a decimal: con la ayuda de una tabla, sumar los valores base de cada dígito octal multiplicados por los pesos correspondientes a la posición que ocupan. Por ejemplo, pasar 4703 8 a decimal. número posición dígito valor base peso=8 posición contribución suma en decimal valor base x peso 0 3 3 3x=3 0 0 8 0x8=0 4703 2 7 7 64 7x64=448 2499 3 4 4 52 4x52=2048 octal Por lo tanto, 4703 8 =2499 0 decimal 8
L gica digital y prog_ U 0-final.qxp 28/02/2007 8:43 PÆgina 9 Introducción a la electrónica digital Paso de decimal a octal: con la ayuda de una tabla, dividir sucesivamente por 8 el número decimal, y formar el número octal tomando el último cociente como dígito de mayor peso y los restos de las divisiones hasta llegar al primer resto que será el dígito de menor peso. Por ejemplo, pasar 98660 a octal. Construcción de la tabla de cocientes y restos: cocientes y posteriores dividendos restos 9866 2 resto de 9866/8 (primer resto) cociente de 9866/8 2483 3 resto de 2483/8 cociente de 2483/8 30 6 resto de 30/8 cociente de 30/8 38 6 resto de 38/8 (último resto) (último cociente) cociente de 38/8 4 Construcción del número octal comenzando por el último cociente y siguiendo por los restos tomados del último al primero: cocientes y posteriores dividendos restos 9866 2 2483 3 30 6 38 6 4 46632 Por lo tanto, 9866 0 =46632 8 Como en el caso del hexadecimal, la conversión entre sistemas decimal y octal tampoco es inmediata, y sólo se hará cuando sea realmente necesario. El verdadero sentido del uso del octal está en su aplicación para manipular cantidades dadas en binario, debido a la sencillez del paso de un sistema al otro. Los métodos descritos para el cambio base entre los sistemas octal y binario son los siguientes: Paso de octal a binario: obtener el número binario a partir de los equivalentes binarios de tres bits de los dígitos octales. Por ejemplo: pasar 3725 8 a binario. Sustituir cada uno de los dígitos del número octal por su equivalente binario de 3 bits. dígitos 3 7 2 5 equivalente en binario de 3 bits 0 00 0 0 añadido a la izquierda para completar los tres bits Formar el número binario buscado juntando los bits procedentes de cada dígito octal en el mismo orden que éstos. dígitos 3 7 2 5 equivalente en binario de 3 bits 0 00 0 número binario buscado 0000 Por lo tanto, eliminando el cero más a la izquierda, que no contribuye con ningún valor (igual que en decimal, los ceros a la izquierda no cuentan), 3725 8 =000 2. Paso de binario a octal: distribuir el número binario en grupos de tres bits comenzando por el LSB, y sustituir cada grupo por su equivalente octal. Por ejemplo: pasar 00 2 a octal. Comenzando por el LSB (por la derecha), distribuir el número binario a convertir en grupos de tres bits. Si el último grupo no llega a tres bits, se deja como salga. 9
L gica digital y prog_ U 0-final.qxp 28/02/2007 8:43 PÆgina 20 Lógica digital y microprogramable número binario 00 orden a seguir en el agrupamiento grupos formados 0 0 el último grupo puede no ser de tres bits A partir del número binario de tres bits de cada grupo, obtener el equivalente en octal, que estará formado por un único dígito por grupo. número binario 00 orden a seguir en el agrupamiento grupos formados 0 0 equivalente octal 3 7 5 Formar el número octal buscado juntando los dígitos procedentes de cada grupo y en el mismo orden que éstos. número binario 00 orden a seguir en el agrupamiento grupos formados 0 0 equivalente octal 3 7 5 número octal buscado 375 Por lo tanto, 00 2 =375 8. Ejemplo resuelto Pasar los siguientes números octales a decimal y binario: 74 y 564. Solución Paso a decimal: número dígito valor base en decimal peso valor base x peso 4 4 4 74 7 7 8 56 suma: 60 74 8 =60 0 número dígito valor base en decimal peso valor base x peso 4 4 4 6 6 8 48 564 5 5 64 320 52 52 suma: 884 564 8 =884 0 Paso a binario: dígitos 7 4 equivalente en binario de 3 bits 00 74 8 =00 2 20