Matemáticas
1 Sesión No. 7 Nombre: Sistemas de ecuaciones lineales Contextualización En un principio debemos de saber que en realidad para resolver adecuadamente un sistema de ecuaciones lineales consideremos que esto es un proceso que consta de dos fases: discusión y resolución. La discusión que es antes que la resolución se basa en saber y analizar si el sistema tiene solución o no, y si la tiene iniciaremos el proceso de decidir por cuál de los métodos lo realizaremos. Los métodos que se tienen pueden ser analíticos o gráficos, en esta sesión aprenderemos a resolver un sistema a través de los analíticos, que iremos conociendo uno por uno, los cuales son los mayormente utilizados: sustitución e igualación.
2 Introducción al Tema Podre conocer la base y la altura de un rectángulo si solamente conozco su área y su perímetro? Fuente: http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/images/a/areaofasquareorarectangle.gif La resolución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es comúnmente utilizado al tener dos conceptos que tienen relación entre sí, tal es el caso del área y el perímetro de un rectángulo, en los dos se utiliza la base y la altura para el cálculo de ellos, si estos valores llegaran a no ser conocidos pero se conoce el área y perímetro podemos encontrar estos valores desconocidos tomándolos como las incógnitas de nuestro sistema de ecuaciones y dar solución a través de cualquiera de sus métodos.
3 Explicación Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con 2 o más incógnitas y se requiere de encontrar los valores de estas incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones. Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas. Existen algunos métodos para la solución de este tipo de sistemas, a continuación se explicara cada uno de ellos. Método de sustitución. Para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas se siguen los siguientes pasos: 1. Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones. 2. Se sustituye el despeje en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de que resulta de esta sustitución. 3. Una vez encontrado el valor de la primera variable, se calcula la otra en la ecuación despejada obtenida en el primer paso. 2x + y = 7 Ejemplo: Resuelve x + 3y = 11 Paso 1: y= 7-2x Paso 2: x+ 3(7-2x) = 11 Se multiplica el 3. x + 21-6x = 11 x -6x = 11-21 Se juntan términos semejantes. -5x = -10 El -5 pasa dividiendo al otro lado de la igualdad
4 x= 2 Paso 3. y= 7-2x y= 7-2(2) = 7-4 -- y = 3 Por lo tanto la solución del sistema es: (2,3) Método de igualación. Para utilizar este método hay que despejar una variable, la misma, en las dos ecuaciones y se igualan ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Los pasos a seguir son: 1. Se despeja la misma variable en ambas ecuaciones. 2. Se igualan los despejes obtenidos y se resuelve la ecuación lineal. 3. Se calcula el valor de la otra variable sustituyendo el valor de la que ya se tiene en una de las ecuaciones despejadas de primer paso. 2x + y = 7 Ejemplo: Resuelve x + 3y = 11 Paso 1. 2x + y = 7 x + 3y = 11 x = 7 y 2 x = 11 3y Paso 2. 7 y 2 = 11 3y 3y y 2 = 11 7 2 5y = 15 2 2 10y = 30 y = 3 Se juntan términos semejantes Se saca factor común en 2 y se resuelve la resta Se multiplica por 2 cada lado Paso 3. x = 11 3y x = 11 3(3) X = 2 Por lo tanto la solución del sistema es: (2,3)
5 Solución de sistemas de tres ecuaciones lineales en tres incógnitas Los métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos variables también pueden ser utilizados para resolver sistemas de tres variables. Una ecuación lineal general con tres variables x, y y z tiene la forma: Ax + By + Cz = D Ejemplo Resolución de un sistema lineal con tres variables 2x + y + z = 3 -x + 2y + 2z = 1 x y - 3z = -6 De la tercera ecuación se despeja x quedando x = y+3z-6 y se sustituye en las otras dos ecuaciones: 2(y + 3z - 6) + y + z = 3 -(y + 3z 6) + 2y + 2z = 1 Simplificando nos queda: 3y + 7z = 15 y z = - 5 De la segunda ecuación se despeja y quedando y = z 5 y se sustituye en la otra ecuación: 3( z 5) + 7z = 15 Despejamos en z dando como resultado z = 3
6 Sustituimos en y = z 5 = 3 5 = -2, por lo tanto z = 3, y = -2. Ahora estos dos valores los sustituimos en nuestro primer despeje en x = y + 3z 6 dando como resultado x = 1. Podrás comparar en cada ecuación para verificar que se cumpla la igualdad en cada caso. Solución: X = 1, y = -2 y z = 3 2x + y + z = 3 2(1) +(-2) + 3 = 3 2-2 +3 = 3 3 = 3 -x + 2y + 2z = 1 -(1) + 2(-2) +2(3) = 1-1 -4 + 6 = 1 1 = 1 x y - 3z = -6 (1) (-2) -3(3) = -6 1 + 2 9 = -6-6 = -6 En las tres ecuaciones se cumplió la igualdad, la solución es correcta.
7 Conclusión Como nos habremos dado cuenta no importa el método que se utilice para la solución a un sistema de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas, todos nos llevaran a la misma solución pero con diferentes procedimientos es de elección particular el elegir cual método utilizar. La siguiente sesión iniciaremos el uso de los determinantes los cuales representan un sistema de ecuaciones y aprenderemos a dar solución a los sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Extraído de: http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/algebralineal/determinante1.gif solo para fines educativos.
8 Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet. Vitutor. (2010). Sistemas de dos ecuaciones. Recuperado de: http://www.vitutor.net/1/36.html Duarte, J. (s.f). Métodos analíticos de resolución: Sustitución. Recuperado de: http://thales.cica.es/rd/recursos/rd99/ed99-0045- 01/secciones/sustitucion.html Duarte, J. (s.f). Métodos analíticos de resolución: Igualación. Recuperado de: http://thales.cica.es/rd/recursos/rd99/ed99-0045- 01/secciones/igualacion.html Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.
9 Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión acerca de los métodos para la solución a los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, resuelve los siguientes ejercicios por medio del método que más te convenga. x + 2y = 9 1. 3x y = 20 3x 2y = 8 2. x + y = 6 Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la plataforma. Recuerda que la actividad vale el 5% de la calificación final.
10 Bibliografía Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall hispanoamericana, S.A.