RAZONES Y PROPORCIONES Fundamentos de Matemáticas I Razones y proporciones Problemas de aplicación Video Previo a la actividad: I) Problemas de aplicación. Aunque no hay un método fijo para resolver los problemas de aplicación, si te respondes seriamente las siguientes preguntas, es más probable que tengas éxito: Leí todo el problema antes de comenzar a resolverlo? Estoy seguro de entender el significado del problema? Cuáles son las condiciones del problema? Qué es lo que se pide? He resuelto un problema similar? Puedo experimentar? Puedo hacer un dibujo? Puedo demostrar la solución que propongo? Porcentajes: 1) Este mes, unos almacenes hicieron una rebaja del 15% sobre los precios de junio, en los artículos de ropa para jóvenes. Un pantalón costaba originalmente $220. Cuál es el precio después de la rebaja? Si el descuento es 15% del precio original, entonces: ( Original )(15) (220)(15) Descuento 33 100 100 Rebajado Original Descuento 220 33 187 Por lo que el precio rebajado seria de $187. Otra manera de considerar este tipo de problemas es: si hacen el 15% de descuento, en realidad se pagará un 85%. Así: Original (85) (220)(85) Rebajado 187 100 100
2) El promedio de los exámenes de ingreso a la preparatoria el año pasado fue de 70. Este año fue más alto en un 20% Si el incremento es el 20% de 70, entonces: incremento 70(0.20) 14 Por lo tanto el promedio de este año es promedio 70 14 84 3) Una pastelería anuncia que sus pasteles son 25% más grandes que antes. Si un pastel pesa ahora 10Kg, cuanto pesaban antes del incremento? Como no sabemos el peso del pastel antes del incremento, llamémosle p. De esta forma, el incremento sería el 25% de p: incremento p(0.25) Por lo que el nuevo peso será el peso original (p) más el incremento: nuevo p incremento 10Kg p 0.25 p Sumando los términos semejantes y despejando para p: 10Kg 1.25 p 10Kg p 1.25 8Kg Por lo que concluimos que el peso original era de 8 kilogramos. 4) En el campeonato escolar el equipo de fútbol del colegio jugó 40 partidos de los que ganó 25, empató 10 y perdió 5 partidos. Qué porcentaje representan los partidos ganados? 25 Porcentagede ganados (100) 62.5% 40
Razones y proporciones. 5) Una máquina ha producido 100 piezas en 4 horas, Cuántas producirá en 6 horas? Es obvio que mientras más horas trabaje la máquina, más piezas producirá. Por ello, se puede concluir que las razones son directamente proporcionales: al aumentar la cantidad de horas, también aumentará la producción. 100 piezas Razón1 4horas xpiezas Razón2 6horas Como son razones directamente proporcionales: 100 x 4 6 100(6) x 150 4 En conclusión, la máquina producirá 150 piezas en 6 horas. 6) Si un ciclista tarda 2.5 horas en llegar de una ciudad a otra a una velocidad de 30 km/h. Cuánto tardará en llegar a una velocidad de 25 km/h? Como la distancia recorrida no varía, cuando disminuye su velocidad el tiempo aumenta. Si su velocidad se incrementa, el tiempo que necesita disminuye. Por lo tanto, las razones son inversamente proporcionales: al disminuir la velocidad, el tiempo aumentará. 2.5horas Razón1 30 Km / h xhoras Razón2 25 Km / h Como son razones inversamente proporcionales: (2.5 horas)(30 Km / k) ( x horas)(25 Km / h) (2.5 horas)(30 Km / k) x horas 3 horas 25 Km / h El ciclista necesitará 3 horas si su velocidad es de 25 Km/h. 7) Si deseas medir la altura de un árbol, pero es muy alto, lo más fácil será utilizar su sombra y la tuya. Sabes que mientras mas alto seas, más alta será tu sombra. Por ello se trata de una proporción directa de las razones:
Tu sombra Razón1 Tu estatura Sobra del árbol Razón2 Altura del árbol Observa que las longitudes de los lados de los triángulos formados en la figura son directamente proporcionales, por lo que los llamamos triángulos semejantes. Si obtienes las siguientes mediciones: Tu estatura: 170 cm. Tu sombra: 250 cm. Sombra del árbol: 520cm. Las razones directamente proporcionales serían: 170cm x cm 250cm 520cm (170)(520) x 353.6 (250) Con esto, sabes que el árbol mide un poco más de 3.53 metros.
Ejercicios para practicar Nombre: Matrícula: Gpo: 1) En cuatro diferentes dulcerías venden barras de chocolate de a 5 pesos. Por el día del niño, las tiendas ofrecen diferentes ofertas. Cuál es la más conveniente? Explica la razón. Local 1: Compre 3 chocolates de 100g. Y se lleva uno gratis. Local 2: Lleve 1 chocolate de 100g. Y le damos el segundo con un 50% de descuento. Local 3: Descuento del 25% en los chocolates de 100g. Local 4: Chocolates más grandes, con un 25% más, por el mismo precio. 2) En un comercio han rebajado el precio de una chaqueta un 20% y ahora se puede comprar a $288. Cuál era el precio original, es decir, sin rebajar? 3) El primer parcial, Pedro obtuvo un promedio de 85. Este parcial Pedro ha bajado su promedio en un 30%. Cuál es el promedio de Pedro este parcial? 4) Entre 6 compañeros realizan un trabajo en 12 horas. Cuánto tardarían si lo hicieran con tres compañeros más? 5) Andando a 30 pasos por minuto tardo 25 minutos en llegar de la escuela a mi casa. Cuánto tardaré si camino a 100 pasos por minuto?
6) Si Josué necesita $45,000 para cubrir sus gastos de 6 meses, cuánto necesitará para cubrir los gastos de 10 meses? 7) Araceli calcula que con 4 albañiles, su obra quedará terminada en 6 meses. Si contrata 5 albañiles más, en cuánto tiempo tendrá lista su obra? 8) Un transportista cobra $50 por cada 4 km Cuánto cobrará por un recorrido de 150 km? 9) A cierta hora de día, mides la altura de un poste y su sombra. Obtienes las mediciones de 120cm y 60cm respectivamente. También mides la sombra de un poste telefónico y resulta ser de 2.4 metros. Cuál es la altura del poste telefónico? 10) Estas de pie a una distancia de un metro de un pozo, como se ilustra en la figura. Si sabes que tus ojos están a 160 cm. Sobre el suelo, y el pozo tiene un ancho de 2 metros, utiliza los triángulos semejantes para encontrar la profundidad del pozo.