GUIA DIDACTICA. Operaciones Básicas de Números Naturales y Números Enteros. Autor: Prof. Dennar Oropeza

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL YARACUY PROGRAMA DE EDUCACION SEMIPRESENCIAL CIENCIA DEL DEPORTE CURSO INTRODUCTORIO - MATEMÁTICA- GUIA DIDACTICA Operaciones Básicas de Números Naturales y Números Enteros Autor: Prof. Dennar Oropeza San Felipe, Julio 2010

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL YARACUY PROGRAMA DE EDUCACION SEMIPRESENCIAL CIENCIA DEL DEPORTE CURSO INTRODUCTORIO - MATEMÁTICA- GUIA DIDACTICA Operaciones Básicas de Números Naturales y Números Enteros Datos de Identificación Elaborado por: Dennar Oropeza e-mail: dennaroropeza@yahoo.com Fecha Elaboración: Julio de 2010 Fecha de Última Actualización: Febrero de 2011 2

Tabla de Contenidos Introducción... 3 Objetivos Específicos de Aprendizaje 3 Contenidos... 4 Operaciones Básicas de los Números Naturales y Enteros... 4 Evaluación de los Aprendizajes...... Error! Marcador no definido. Desarrollo del Aprendizaje... 4 Operaciones Básicas de los Números Naturales y Enteros... 4 1. Conjunto de Números Naturales (N)... 4 1.1. Operaciones de los Números Naturales.... 4 1.1.1. Adición o Suma en N. Propiedades... 5 1.1.2. Sustracción o Resta en N... 5 1.1.3. Producto o multiplicación en N. Propiedades... 5 1.1.4. Cociente o División en N.... 6 2. Conjunto de Números Enteros (Z)... 6 2.1. Operaciones de los Números Enteros.... 7 2.1.1. Adición o Suma en Z. Propiedades... 7 2.1.2. Sustracción o Resta en Z... 8 2.1.3. Producto o multiplicación en Z. Propiedades... 8 2.1.4. Cociente o División en Z.... 9 3. Operaciones algebraicas con supresiones de signos de agrupación... 10 Referencias Bibliográficas... 14 Valoración... 14 Introducción En esta parte del curso, te invitamos a repasar acerca de los Números Naturales y Enteros, sus operaciones básicas de adición, sustracción, producto y cociente, en las que ahondaremos en la Ley de los Signos. En ti está el lograr el aprendizaje, si con entusiasmo estudias esta guía. Cualquier duda o interés en particular, puedes escribir un correo electrónico a tu facilitador. Entonces, a trabajar!!!! Objetivos Específicos de Aprendizaje Luego de culminar esta unidad de estudio, amigos estudiantes serán capaces de: Identificar las propiedades de las adición, sustracción, producto y cociente en N y Z 3

Resolver las operaciones básicas en N y Z aplicando sus propiedades Aplicar la ley de signos en la resolución de las operaciones básicas en N y Z Contenidos Operaciones Básicas de los Números Naturales y Enteros 1. Conjunto de Números Naturales (N). 1.1. Operaciones en N. Ley de los Signos 1.1.1 Adición en N. Propiedades. 1.1.2 Sustracción en N 1.1.3 Producto en N. Propiedades 1.1.4 Cociente en N. 2. Conjunto de Números Enteros (Z). 2.1. Operaciones en Z. Propiedades. Ley de los Signos 2.1.1. Adición en N. Propiedades. 2.1.2. Sustracción en N 2.1.3. Producto en N. Propiedades 2.1.4. Cociente en N 3. Operaciones algebraicas con supresiones de signos de agrupación. Desarrollo del Aprendizaje Operaciones Básicas de los Números Naturales y Enteros 1. Conjunto de Números Naturales (N) Para hablar del conjunto de Números debemos primero recordar que el número es un concepto mental que define cantidad y su representación se realiza mediante un símbolo. El primero de ese conjunto de números se denomina conjunto de Números Naturales denotada por la letra N, el cual está conformado por: N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, cuyo valor va en ese estricto orden y son todos valores enteros y positivos. 1.1. Operaciones de los Números Naturales. Las operaciones matemáticas de los números naturales son: 4

1.1.1. Adición o Suma en N. Propiedades Sean a, b y c N (sean a, b y números pertenecientes al conjunto de números naturales), entonces se cumple que: Conmutativa: a + b = b + a Por ejemplo: 1 + 34 = 34 + 1 = 35 Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) Por ejemplo: (1 + 34) + 2 = 35 + 2 = 37 1 + (34 + 2) = 1 + 36 = 37 Elemento Neutro: es el Cero (0), porque a + 0 = 0 + a = a Por ejemplo: 1 + 0 = 0 + 1 = 1 Ley de Clausura: Sumando dos números naturales, se obtiene otro número natural Todos los elementos son regulares. 1.1.2. Sustracción o Resta en N Sean a y c N, se define a c como la resta, cuyo resultado puede ser un número natural o no. Por ejemplo: 34-1 = 33 (33 N) Pero: 1-34 = - 33 (-33 N) Por qué crees tú que la sustracción de números naturales no está totalmente definida en N? 1.1.3. Producto o multiplicación en N. Propiedades Sean a, b y c N (sean a, b y números pertenecientes al conjunto de números naturales), entonces se cumple que: Conmutativa: a. b = b. a. Asociativa: (a. b). c = a. (b. c) Por ejemplo: 5. 34 = 34. 5 = 170 Por ejemplo: (1. 34). 2 = 1. (34. 2) = 68 Elemento Neutro: es el Uno (1), porque a. 1 = 1. a = a Por ejemplo: 1. 34 = 34. 1 = 34 5

Elemento Absorbente: es el Cero (0), porque a. 0 = 0. a = 0 Por ejemplo: 0. 84 = 84. 0 = 0 Ley de Clausura: Multiplicando dos números naturales, se obtiene otro número natural Todos los elementos excepto el cero (0), son regulares. Distributiva, respecto a la suma: c.(a + b) = c.a + c.b = (a + b). c = a.c + b.c Por ejemplo: 2. (34 + 2) = 2. 34 + 2. 2 = 68 + 4 = 72 También: (34 + 2). 2 = 34. 2 + 2. 2 = 68 + 4 = 72 1.1.4. Cociente o División en N. Sean a y c N, se define a / c como la división, donde c 0 (diferente de cero) cuyo resultado puede ser un número natural o no. Por ejemplo: 6/3 = 2 (2 N) Pero: 3/6 = 0,5 (0,5 N) Por qué crees tú que la división de números naturales no está totalmente definida en N? Actividad de Control 1: Revisa este video, tiene información importante y entretenida para ti 2. Conjunto de Números Enteros (Z) Fibonacci. La Magia de los Números El siguiente conjunto de números es el denominado Números Enteros (Z), donde agrupa al conjunto de números naturales y sus respectivos números opuestos, al igual que los naturales no poseen decimales diferentes de cero. Es decir, Z =, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, cuyo valor va en ese estricto orden; los números antes del cero tienen valores negativos y se pueden llamar Enteros Negativos Z - y representan el opuesto de sus respectivos todos valores enteros positivos. Los números que se ubican a la derecha del cero son Enteros Positivos Z + y representan precisamente al conjunto de Números 6

Naturales: Z + = N. Un número positivo puede llevar o no el signo más (+) (Por ejemplo: +99 = 99) Un número opuesto es por ejemplo: 5, su opuesto es -5; ó también -5, su número opuesto es 5. Ahora, el conjunto de todos los números enteros distintos del cero lo denotamos Z *, es decir Z * = Z - 0 (el cero no forma parte de este conjunto) Actividad de Control 2: Representa en la Recta Real los siguientes números: -10, 9, -3, 1, 0, -1, 5, -6, 10. 2.1. Operaciones de los Números Enteros. En cuanto a sus propiedades se tiene: 2.1.1. Adición o Suma en Z. Propiedades Sean a, b y c Z (sean a, b y números pertenecientes al conjunto de números enteros), entonces se cumple que: Conmutativa: a + b = b + a Por ejemplo: 1 + 34 = 34 + 1 = 35; También; - 57 89 = - 146 Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) Por ejemplo: (1 + 34) + (-2) = 35-2 = 33 1 + (34 + (- 2)) = 1 + 32 = 33 Elemento Neutro: es el Cero (0), porque a + 0 = 0 + a = a Por ejemplo: ((- 34) + 0) = (0+ (-34)) = -34 Elemento Opuesto o simétrico: Todos los elementos de Z menos el cero tiene simétrico : a + (-a) = (-a) + a = 0 Por ejemplo: (1 + 34) + (-2) = 35-2 = 33 Ley de Clausura: Sumando dos números enteros, se obtiene otro número entero Se cumple que: Si se suman dos números enteros del mismo signo, el resultado será un número entero con el mismo signo, es decir: 7

positivo + positivo = positivo; Negativo+ negativo = negativo Actividad de Control: Indica cuál es el número simétrico de: -110, 23, 67, 1, 0, -1, 5, -6, 10, -7, 02. 2.1.2. Sustracción o Resta en Z Sean a y c Z, se define a c como la resta, cuyo resultado será un número entero. Recuerden que la diferencia a c es igual a la suma de a y el opuesto de c: a - c = a + (-c) Por ejemplo: 61 + (- 9) = 61 9 = 52 Entonces, si se suman números enteros de diferentes signos, entonces se realiza una sustracción y el número resultante tendrá el signo del número de mayor valor absoluto. Por ejemplo: 33 + (- 2)) = 33-2 = 31; También: - 101 + 100 = -1 Cuando se combinan sumas y restas, la expresión obtenida lleva por nombre Suma Algebraica. 2.1.3. Producto o multiplicación en Z. Propiedades Sean a, b y c Z (sean a, b y números pertenecientes al conjunto de números enteros), entonces se cumple que: Conmutativa: a. b = b. a Por ejemplo: 5. - 34 = - 34. 5 = - 170 Asociativa: (a. b). c = a. (b. c) Por ejemplo: (1. 35). (-2) = 1. (35. (-2)) = - 70 Elemento Neutro: es el Uno (1), porque a. 1 = 1. a = a Por ejemplo: 1. 53 = 53. 1 = 53 Elemento Absorbente: es el Cero (0), porque a. 0 = 0. a = 0 8

Por ejemplo: 0. 53 = 53. 0 = 0 Ley de Clausura: Multiplicando dos números enteros, se obtiene otro número entero. No tiene simétricos Distributiva, respecto a la suma: c.(a + b) = c.a + c.b = (a + b). c = a.c + b.c Por ejemplo: (-2). (43 + 2) = -2. 43 + 2. -2 = (- 86) + ( - 4) = - 86-4 = - 82 También: (43 + 2). (-2) = 43. (-2) + 2. (- 2) = - 86 + (- 4) = - 86-4 = - 82 La ley de los signos que se cumplen para los números enteros se refiere a que al multiplicar dos números enteros del mismo signo, el resultante tendrá signo positivo, mientras que al multiplicar dos números enteros de diferentes signos, su resultado tendrá signo negativo. Visto de otra forma queridos estudiantes: O sea: + a. + b = + a.b ; por ejemplo: + 3. + 6 = 3. 6 = + 18 a. b = + a.b; por ejemplo: 4. 5 = + 20 + a. b = a.b; por ejemplo: + 6. 9 = 6. 9 = 54 a. + b = a.b; por ejemplo: 5. + 10 = - 5. 10 = 50 2.1.4. Cociente o División en Z. Sean a y c Z, se define a / c como la división, donde c 0 (diferente de cero) cuyo resultado puede ser un número entero o no. Por ejemplo: -6/3 = - 2 (2 Z) Pero: 3/ - 6 = - 0,5 (0,5 Z) Con todo esto, Por qué fue preciso crear los números Racionales? De manera análoga se aplica la ley de los signos en la división de números enteros, es decir, que al dividir dos números enteros del mismo signo, el resultante tendrá signo positivo, mientras que al dividir dos números enteros de diferentes signos, su resultado tendrá signo negativo. En otras palabras estimados estudiantes: O sea: + a / + b = + a.b ; por ejemplo: + 3 / + 6 = 3/ 6 = + 1/2 9

a / b = + a.b; por ejemplo: ( 40) / ( 5) = + 8 + a / b = a.b; por ejemplo: + 60 / ( 6) = 60 / 6 = 10 a /+ b = a.b; por ejemplo: ( 55) / + 11 = - 55/ 11 = 5 3. Operaciones algebraicas con supresiones de signos de agrupación Las sumas algebraicas muchas veces resultan de combinar y agrupar los diferentes términos usando diferentes símbolos como paréntesis ( ), corchetes y llaves (. Cuando se plantean dichas sumas, se establece un orden de escritura de adentro hacia afuera: primero paréntesis, seguido de corchetes y más externamente, las llaves: ( ( ( ) ( (. En estos casos se aplica sin falta, la ley de los signos en las cuatro operaciones matemáticas básicas ya mencionadas. Mediante varios ejemplos, amigos estudiantes veremos lo sencillo que es su resolución. Ejemplo: a. (4 + (-12+15)(= Solución: Para resolver esta suma algebraica, se puede escoger hacer los cálculos de adentro hacia afuera: primero paréntesis, seguido de los corchetes. De lo contrario, de afuera hacia adentro: primero corchete y de último los paréntesis. El resultado será el mismo, pero debes escoger solo una forma, manteniendo el orden de tus cuentas para que no pierdas la secuencia. Vamos a hacerlo de las dos formas para que veas lo fácil que es. Primera forma: De adentro hacia fuera 4 + (-12+15) = 4 + (3) = (Al resolver el paréntesis, se observa una suma de diferentes signos) = 7 10

O También: 4 + (-12+15) = 4-12+15 = (Al resolver el paréntesis, se observa una suma de diferentes Signos resultado de multiplicar el signo MÁS (+) por los signos de los valores que están dentro del paréntesis) con = 4-12 +15 = (Se resuelve sumando positivo con positivo y negativo = 19 12 = 7. Negativo) Segunda forma: De afuera hacia adentro 4 + (-12+15) = 4 + (-12+15) = (Al eliminar el corchete, se observa una suma de diferentes Signos dentro del paréntesis) = 4-12 + 15 = 7. O También: 4 + (-12+15) = 4 + (-12+15) = (Al eliminar el corchete, se observa una suma de diferentes Signos dentro del paréntesis) = 4 + 3 (Resultante de sumar número positivo con número negativo) = 7. (Solo se suma lo que queda pendiente) SOLO ESCOGER LA FORMA QUE MEJOR ENTIENDAS b. 2-3. 6+3.(7-11)+1 = No te asustes!!!! Es facilito!!! Solución: Para resolver esta suma algebraica, se puede escoger hacer los cálculos de adentro hacia afuera: primero paréntesis, seguido de los corchetes y finalmente las llaves. 11

Caso contrario, de afuera hacia adentro: primero llaves, después corchete y de último los paréntesis. De cualquier forma, da el mismo resultado, pero debes escoger solo una forma, manteniendo el orden de tus cuentas para que no pierdas la secuencia. Igual lo haremos de las dos formas para que lo veas, es fácil. Ya verás. De adentro hacia afuera: 2-3. 6+3.(7-11)+1 = Resolvemos lo que está dentro del paréntesis y el valor externo a él aplicando propiedad distributiva, desapareciendo los paréntesis, lo demás queda igual, no lo toquen: = 2-3.(6+3.(7-11)+1( (= (2-3.(6+3.7 + 3.(-11)+ 1( ( = (2-3.(6+21-33+1( ( Ahora resolvemos los corchetes de la misma manera, recordando la ley de los signos (si quieren usan paréntesis para agrupar números negativos) y que los términos se separan por sumas y restas: = (2-3.(6+21-33+1( ( = (2 + (- 3). 6 + (-3).21 + ( 3).(-33) +( 3).1 ( = 2-18 - 63 +99-3 También recuerden que la diferencia a c es lo mimo que la suma de a y el opuesto de c: a - c = a + (-c) Lo que queda es hacer la suma algebraica y ya podemos quitar las llaves: = 2-18 - 63 +99-3 = -16-63 +99-3 = - 79 +99-3 = 20 3 = 17. En resumidas cuentas: (2-3.(6+3.(7-11)+1( ( = (2-3.(6+21-33+1( ( = (2-18 - 63 +99-3( = 17. Como se dijo anteriormente, adicionalmente se resolverá de afuera hacia adentro: (2-3.(6+3.(7-11)+1( (= Resolvemos lo que está dentro de las llaves, lo demás queda igual, no lo toquen: = (2-3.(6+3.(7-11)+1( ( = 2-3. 6+3.(7-11)+ 1 = Sigue resolver los corchetes de la misma manera, recordando la ley de los signos (si quieren usan paréntesis para agrupar números negativos) y que los términos se separan por sumas y restas. Recuerden que la diferencia a c es lo mimo que la suma de a y el opuesto de c: a - c = a + (-c). Así: 12

= 2 +(-3).6 + (-3).3.(7-11) + (-3).1 = 2-18 - 9.(7-11) 3 Después aplicaremos propiedad distributiva para eliminar paréntesis: = 2-18 - 63 +99-3 Lo que queda es hacer la suma algebraica: = 2-18 - 63 +99-3 = -16-63 +99-3 = - 79 +99-3 = 20 3 = 17. En resumen: 2-3. 6+3.(7-11)+1 = 2-3. 6+3.(7-11)+ 1 = 2-18 -9.(7-11) 3 = 2-18 - 63 +99-3 = 17. Fín!! Ves que fue fácil!! convenga. Da el mismo resultado!!! Solo escoge la forma que más te Se ve largo por los pasos aplicados, pero en realidad es muy corto, chequea el resumen. Ahora, es tu turno de ejercitar lo que está propuesto en esta guía y complementando la lectura y ejercicios de los libros textos que te he recomendado, verás que así se aprende mejor Actividad de Control: Resuelve haciendo las supresiones de signos de agrupación y propiedad distributiva, según el caso. a. 12 (-29) = b. (-90) 9 +1= c. 45 + (- 44) = d. 8. (-10) = e. 5. (-8).(-6). 0 = f. 2-6 (-5+7) = g. 5. 3 (-2)( = h. 1 (-9+4) - ((-8-1)+5( + 9 = i. 7 - (4- (-(-12 +3) - 6( -7 (-2)( = j. (-85).(5 (+4)- (-6)( = k. ((-8) +3 +7.(-5 (+1)(/(-2) = l. -180/12.3 +1= 13

Recuerda algo: los términos se separan en sumas y restas, las multiplicaciones y/o divisiones forman parte de un término Actividad de Control: Resuelve los siguientes problemas a. Al realizar un experimento en el laboratorio, su compañero Juan tomó las siguientes temperaturas en una semana: 12 ºC, -8 ºC, 5 ºC, 6 ºC y 10ºC. Cuál fue la temperatura promedio en la semana? b. Dos grifos llenan un depósito: uno vierte 180 litros en 5 minutos y el otro 120 litros en 4 minutos. Cuánto tiempo emplearan ambos grifos para llenar el depósito cuya capacidad es de 1320 litros? Resuélvelos todos!!, son cortos y fácil de analizar, que así te espero con mucho ánimo en la próxima guía!!!! Referencias Bibliográficas Para el estudio de los números reales te presentamos un valioso contenido que debes reforzar con cualquier texto de de 7mo año de Educación Básica. Sin embargo, te mostramos algunas de ellos: Baldor, A. 2000. Algebra. Edit. Cultura Venezolana, S.A. Baldor, A. 2000. Aritmética. Edit. Cultura Venezolana, S.A. Grupo Editorial Girasol. 2007. Guía- Teórica-Práctica 7. Terra editores. Además puedes revisar esta dirección electrónica: http://www.guiamath.net/index.html Valoración 14

Verdadero y Falso: Decide cuál de estas siguientes proposiciones son verdaderas (colocando una V) y cuáles de ellas son falsas (colocando una F y justificando su respuesta) 1. (-6) +1 = 1 + (-6); por ser 1 elemento neutro para la multiplicación ( ) 2. El conjunto Z* representa los enteros excluyendo el cero ( ) Selección simple: Encierra en un circulo la letra que selecciona solo una (1) respuesta que consideres correcta 1. Decimos que el cociente a/b está definido en Z si: a. Ambos son positivos b. Ambos son negativos c. b 0 d. Ninguna de las anteriores 2. El entero 0 pertenece a: a. Z+ b. Z- c. N d. Ninguna de las anteriores Selección Múltiple: Encierra en un circulo las letras que escojas como las alternativas que son correctas, recuerda que son varias. 1. El 1 es el: a. elemento neutro en Multiplicación en Z b. simétrico de (-89+88) c. elemento neutro en Multiplicación en N d. Ninguna de las anteriores 2. La propiedad asociativa se refiere a: a. w.(t + b) = w.t + w.b b. (x + b) + c = x + (b + c) c. (a. b). w = a. (b. w) d. Todas las anteriores Pareamiento: Coloca dentro del paréntesis de la columna de la derecha el número de la única respuesta correcta que se encuentra en la columna de la izquierda. ( ) Al dividir -605 entre 3 resulta 1. Entero negativo ( ) Al dividir dos enteros del mismo signo, el resultante da un: 2. Un valor que N y Z 3. Entero positivo 4. Un valor que N y Z Desarrollo: Efectúa los siguientes ejercicios en forma ordenada y limpia, justificando los pasos realizados. 15

a. 6-3.(6+3.(7-11)+1( (/-7= b. Un joven de Carúpano compra 5 Kg de carne en PDVAL a razón de 9 BsF cada kilogramo. Así mismo, compra 8 Kg de tomate a 2 BsF el kilogramo y 9 Kg de cebolla a 11 BsF el kilogramo. Si cada 2 kg de compra recibe un descuento de BsF 5, Cuánto gasto en realidad? 16