AREA DE MATEMÁTICAS. EDUCACIÓN PRIMARIA PRIMER CICLO: GEOMETRÍA. TRABAJANDO CON EL CUADRADO. RAMÓN GALÁN GONZÁLEZ.
INTRODUCCIÓN. Este trabajo pretende abordar el estudio de las formas geométricas, sus propiedades, las simetrías y los aspectos topológicos correspondientes al Ciclo Inicial de la Enseñanza Primaria, partiendo del análisis del cuadrado. Se opta por este polígono dado que es el que mayor sencillez y regularidad presenta: - Sus cuatro lados son iguales. - Sus cuatro ángulos son iguales. - Sus dos diagonales son iguales. - Tiene cuatro ejes de simetría. - Las dos diagonales se cruzan entre sí perpendicularmente y, por ello, son al mismo tiempo ejes de simetría. Este hecho facilita su construcción a partir de los dos triángulos que se obtienen al dividirlo según una de sus diagonales, sin que sea necesario un giro en el espacio, como ocurre con el rectángulo, bastando para ello un giro en el plano. Igualmente, y fieles a nuestra metodología activa, proponemos que el aprendizaje recorra las tres fases del conocimiento: - La fase del conocimiento práctico. - La fase de la representación. - La fase del concepto. Finalmente, con este trabajo se pretende proporcionar al profesorado unas orientaciones sobre recursos, actividades y pautas de actuación que le posibiliten un trabajo efectivo dentro del aula, sin perjuicio de otros que se puedan emplear.
EL CAMPO DE CONTENIDOS. Los campos del contenido matemático que se trabajarán son: - Formas geométricas: El cuadrado, el rectángulo y el triángulo. - Rectas verticales, horizontales e inclinadas. - Paralelismo y perpendicularidad. - Los ejes de simetría. - Las propiedades del cuadrado. - Aspectos topológicos. Arriba, abajo, derecha e izquierda. - Las relaciones numéricas: mitad, cuarta parte, octava parte. - Estructuración espacial: giros y traslaciones en el plano. Estos campos de contenidos se abordarán, en unos casos, únicamente de forma intuitiva o práctica. Es el caso de las relaciones numéricas, los giros y las traslaciones en el plano. El resto de los contenidos se trabajarán a partir de las representaciones gráficas, observando y analizando los casos particulares y concretos que se muestran. Se establecerán semejanzas y diferencias y, finalmente, se sacarán conclusiones teóricas o conceptuales sobre algunos de estos contenidos. PUESTA EN PRÁCTICA O FASES DE REALIZACIÓN. 1ª FASE DE REALIZACIÓN. Comenzaremos la puesta en práctica mediante una sencilla actividad fundamentada en la técnica de la papiroflexia. Se proporcionará un cuadrado de papel a cada uno de los alumnos y se les pedirá que lo doblen a la mitad de manera que las dos partes coincidan. Los alumnos comprobarán que doblando el folio tanto según su eje vertical como según su eje horizontal, ambas mitades coinciden. Igualmente, los alumnos han de comprobar experimentalmente que también doblando el cuadrado de papel por las dos diagonales, ambas partes coinciden y que, por lo tanto, constituyen ejes de simetría. Dado que la actividad tiene lugar en los primeros niveles de la Educación Primaria, no introduciremos el concepto de diagonal, simplemente hablaremos de líneas verticales, horizontales e inclinadas. En el Segundo Nivel, podemos hablarles a los alumnos de ejes
de simetrías horizontal, vertical e inclinado. Reservaremos el término y el concepto de diagonal para el Ciclo Medio. Finalmente, los alumnos trazarán sobre el cuadrado de papel proporcionado, las cuatro líneas rectas correspondientes a cada uno de los ejes de simetría. De este modo y es lo fundamental, los alumnos se relacionarán de forma práctica con el concepto simetría y con el concepto de ejes de simetría como líneas por donde tenemos que doblar el cuadrado para que las dos partes coincidan.
2ª FASE DE REALIZACIÓN. Los distintos alumnos construirán en el franelograma cuadrados a partir de las piezas resultantes de dividir el cuadrado según su eje de simetría horizontal, según su eje vertical, según la combinación de los ejes verticales y horizontales, según la combinación de sus dos diagonales y, por último, según sus cuatro ejes de simetría: vertical, horizontal y los dos inclinados correspondientes a sus diagonales. Para llevar a cabo las actividades de esta segunda fase, se muestra necesario construir estas piezas por duplicado. Estas piezas deben estar plastificadas y con un pequeño trozo de velcro por la parte de atrás para posibilitar adherirlas al franelograma. La plantilla para construirlas se adjunta en el presente trabajo como anexo I. Para elaborarlas procederemos a imprimirlas en cartulina. Después recortaremos las piezas. A continuación, estas piezas de cartulina recortadas se plastifican. Finalmente, se recortan y se le coloca el trozo de velcro por la parte de atrás. Vemos a continuación, algunos ejemplos de actividades que podemos realizar en esta segunda fase. Las actividades que se exponen están secuenciadas según orden de dificultad. En el caso de que el presente trabajo lo aplicáramos en Segundo Ciclo de Educación primaria, las actividades que vamos a mostrar serían las mismas con la diferencia de que el cuadrado que se les proporciona y tienen que construir los alumnos, no aparecería dividido en partes. Con independencia de las actividades que aquí se ofertan, se pueden realizar otras muchas y variadas. Solo mostraremos las fundamentales. - Construye con los dos rectángulos, un cuadrado como el que está en el franelograma.
- Construye con los dos rectángulos, un cuadrado como el que está en el franelograma. - Construye con los dos triángulos, un cuadrado como el que está en el franelograma.
- Construye con los cuatro cuadrados, otro cuadrado como el que está en el franelograma. - Construye con los cuatro triángulos, un cuadrado como el que está en el franelograma.
- Construye con los ocho triángulos, un cuadrado como el que está en el franelograma. A continuación se adjunta la plantilla para elaborar las piezas que utilizaremos en esta fase. Para ello debemos proceder de la siguiente forma: - Imprimir con el ordenador dos copias. Una en cartulina de color rojo y la otra copia en cartulina de color azul. El hecho de elaborar dos juegos de piezas y de distinto color posibilitará la realización de numerosas y diversas actividades que no serían posibles con un único juego de piezas del mismo color. - Recortar las piezas y plastificarlas. - Colocarles a las piezas recortadas y plastificadas, trozos de velcro en la parte posterior. Con independencia de las actividades descritas en el presente trabajo, este recurso material puede emplearse para realizar otras y numerosas actividades tanto en Educación Infantil como en los niveles superiores de la Educación Primaria. Es decir, es un recurso polivalente. Por ejemplo, en Educación Infantil, y con la finalidad de trabajar la estructuración espacial de los alumnos, podemos plantear que reproduzcan la figura:
En los niveles superiores de Educación Primaria podemos emplear este recurso en actividades relacionadas con los porcentajes. Podemos solicitar a los alumnos, por ejemplo, que expresen en forma de porcentaje, la parte de color rojo y la parte de color azul. (La parte de color rojo representa el 25 %, dado que es la cuarta parte de la figura, y la parte azul el 75 %.) En el caso de que los alumnos del primer nivel presenten dificultad en esta fase, se recomienda que realicen el ejercicio, conteniendo tanto el cuadrado total como las piezas, un dibujo sencillo, es decir, como si estuvieran construyendo un puzzle.
TRABAJANDO CON EL CUADRADO. ANEXO I PLANTILLA PARA CONSTRUIR LAS PIEZAS DEL PUZZLE QUE SE EMPLEARÁN EN EL FRANELOGRAMA. RAMÓN GALÁN
3ª FASE DE REALIZACIÓN. En esta tercera fase los alumnos procederán de forma similar a la descrita en la segunda fase pero ahora las piezas estarán impresas en folios de distintos colores y las tendrán que recortar y pegar en un cuaderno de actividades. Existen dos cuadernos de actividades, uno para el Primer Nivel y otro para el Segundo Nivel. La diferencia entre ambos radica en que los alumnos del Primer Nivel colocarán las piezas sobre el cuadrado ya dividido en partes; mientras que los alumnos del Segundo Nivel, fijándose de un modelo, tendrán que situar las piezas en el cuadrado vacío situado debajo del anterior. De igual modo, propondremos a los alumnos del Segundo Nivel que pinten en el modelo, sobre el cuadrado situado en la parte superior, las líneas horizontales, verticales e inclinadas con colores distintos. Por ejemplo, las horizontales con color rojo; las verticales con color azul; las inclinadas con color amarillo. Una vez cumplimentadas todas las actividades propuestas en los dos cuadernos de actividades, se recomienda que los alumnos, de forma libre y según su creatividad, construya otros tipos de figuras que no tengan necesariamente que tener la forma global de un cuadrado. Hay que tener en cuenta que este tipo de ejercicios desarrolla notablemente la estructuración espacial de los alumnos y que para realizarlos, tendrán que efectuar, a menudo, traslaciones y giros en el plano. Al mismo tiempo, para poder realizarlos los alumnos tendrán que considerar, igualmente de forma intuitiva, relaciones de paralelismos y perpendicularidad y diversos aspectos topológicos (encima, debajo, al lado derecho, al lado izquierdo, etc.) Los sendos cuadernos de actividades se adjuntan en el presente trabajo, en los anexos II y III. Los modelos de las piezas del puzzle se adjuntan en el anexo IV. Tanto para un cuaderno de actividades como para el otro, las piezas serán las mismas. Se recuerda de nuevo que las copias necesarias tienen que imprimirse en folios de colores. Otra alternativa, en este sentido, es imprimirlas en folios de color blanco y que sean los propios alumnos quien, después de recortar las piezas, las pinten de colores. Esta opción tiene el inconveniente en que los alumnos invierten mucho tiempo en colorear las piezas. Como es de suponer, para realizar esta fase, además del cuaderno de actividades y las piezas, los alumnos necesitarán tijeras y barra de pegamento.
TRABAJANDO CON EL CUADRADO. ANEXO II CUADERNO DE ACTIVIDADES. ALUMNOS DE PRIMER NIVEL RAMÓN GALÁN
Matemáticas Mi cuaderno de Geometría. Primer Nivel: Alumno/a:
Nombre: Actividad 1.
Nombre: Actividad 2.
Nombre: Actividad 3.
Nombre: Actividad 4.
Nombre: Actividad 5.
Nombre: Actividad 6.
TRABAJANDO CON EL CUADRADO. ANEXO III CUADERNO DE ACTIVIDADES. ALUMNOS DE SEGUNDO NVEL RAMÓN GALÁN
Matemáticas Mi cuaderno de Geometría Segundo Nivel: Alumno/a:
Nombre: Actividad 1.
Nombre: Actividad 2.
Nombre: Actividad 3.
Nombre: Actividad 4.
Nombre: Actividad 5.
Nombre: Actividad 6.
Nombre: Actividad 7.
Nombre: Actividad 8.
Nombre: Actividad 9.
Nombre: Actividad 10. 1
Nombre: Actividad 11. 1 1.
Nombre: Actividad 12. 1
Nombre: Actividad 13. 1
Nombre: Actividad 14. 1
Nombre: Actividad 15. 1
TRABAJANDO CON EL CUADRADO. ANEXO I PLANTILLA PARA ELABORAR LAS PIEZAS DEL PUZZLE DE LOS CUADERNOS DE ACTIVIDADES DE LOS ALUMNOS. RAMÓN GALÁN
CANTIDAD DE FIGURAS A IMPRIMIR PARA LA REALIZACIÓN DEL CUADERNO DE ACTIVIDADES DEL ALUMNO CORRESPONDIENTE AL PRIMER NIVEL. A) POR ALUMNOS: El cuaderno de actividades de cada uno de los alumnos contiene el siguiente número de figuras: - Rectángulos: 5. - Cuadrados pequeños:. 4. - Triángulos grandes : 4. - Triángulos medianos:. 9. - Triángulos pequeños:... 34. B) POR GRUPO DE 25 ALUMNOS: Teniendo en cuenta el número de cada clase de figuras que hay en cada folio de la plantilla que se proporciona y dejando un pequeño margen para el deterioro o pérdida que se pueden producir cuando los alumnos estén trabajando la actividad, el número de folios que debemos para el grupo será el siguiente: - Rectángulos:... 25 folios. - Cuadrados pequeños: 10 folios. - Triángulos grandes : 28 folios. - Triángulos medianos:. 21 folios. - Triángulos pequeños:..... 47 folios.
CANTIDAD DE FIGURAS A IMPRIMIR PARA LA REALIZACIÓN DEL CUADERNO DE ACTIVIDADES DEL ALUMNO CORRESPONDIENTE AL SEGUNDO NIVEL. A) POR ALUMNOS: El cuaderno de actividades de cada uno de los alumnos contiene el siguiente número de figuras: - Rectángulos: 5. - Cuadrados pequeños:. 7. - Triángulos grandes : 5. - Triángulos medianos:. 10. - Triángulos pequeños:... 46. B) POR GRUPO DE 25 ALUMNOS: Teniendo en cuenta el número de cada clase de figuras que hay en cada folio de la plantilla que se proporciona y dejando un pequeño margen para el deterioro o pérdida que se pueden producir cuando los alumnos estén trabajando la actividad, el número de folios que debemos para el grupo será el siguiente: - Rectángulos:... 25 folios. - Cuadrados pequeños: 15 folios. - Triángulos grandes : 32 folios. - Triángulos medianos:. 21 folios. - Triángulos pequeños:..... 61 folios.
4ª FASE DE REALIZACIÓN. En esta ultima fase, se les proyectará a los alumnos, bien empleando el llamado cañón, bien mediante un retroproyector, un conjunto de cuadrados divididos en partes como resultado de aplicar los diversos ejes de simetría. Sobre cada figura proyectada, el profesor realizará una serie de preguntas a los alumnos. Se trata en definitiva, de que el alumno mirando la representación gráfica, observe, analice y saque conclusiones varias sobre las figuras geométricas, Igualmente y durante la proyección, el profesor dará información sobre las características del cuadrado, rectángulo y triángulo, así como sobre los tipos de rectas en relación al suelo: horizontales, verticales e inclinadas, sobre paralelismo y sobre los distintos ejes de simetría que tiene el cuadrado. El conjunto de las figuras que se proyectarán así como el cuestionario correspondiente a cada una de ellas, se adjunta en el anexo V del presente trabajo. Hay que tener en cuenta que, en el caso de emplear el retroproyector, habrá que imprimirlas previamente en transparencias. De igual modo, debemos indicar que las cuestiones que se proponen para cada una de las proyecciones no excluyen cualquier otra que el profesor o la profesora estime conveniente realizar. Por último, cuando proyectemos las láminas a los alumnos procuraremos que no aparezcan deformadas.
TRABAJANDO CON EL CUADRADO. ANEXO V LÁMINAS PARA LA PROYECCIÓN DE FIGURAS. CUESTIONARIOS. RAMÓN GALÁN
Figura 1.
Cuestionario figura 1. - Qué figura geométrica estas viendo? - Cuántos lados tiene el cuadrado? - Los cuatro lados del cuadrado son iguales de largo o tiene algún lado que sea distinto? - De qué color son los dos lados horizontales? - De qué color son los dos lados verticales? - Qué mide más: el ancho o el alto del cuadrado? - Son paralelos entre sí los lados azules? - Son paralelos entre sí los lados rojos? - Un lado azul y otro rojo, son paralelos entre sí?
Figura 2.
Cuestionario figura 2. - Cuántas líneas horizontales hay? - Cuántas líneas verticales hay? - De qué color son las líneas horizontales? - De qué color son las líneas verticales? - Las tres líneas rojas son paralelas? - Las dos líneas azules son paralelas? - Una línea azul con respecto a una roja, son paralelas? - En cuantas partes hemos dividido el cuadrado? - Qué figuras geométricas hemos obtenido al dividir el cuadrado a la mitad? - Los dos rectángulos son iguales o distintos? - Qué mide más, el alto o el ancho de los rectángulos? - Cuántos cuadrados ves? - Cuántos rectángulos ves? -
Figura 3.
Cuestionario figura 3. - Cuántas líneas horizontales hay? - Cuántas líneas verticales hay? - De qué color son las líneas horizontales? - De qué color son las líneas verticales? - Las tres líneas azules son paralelas? - Las dos líneas rojas son paralelas? - Una línea azul con respecto a una roja, son paralelas? - En cuantas partes hemos dividido el cuadrado? - Qué figuras geométricas hemos obtenido al dividir el cuadrado a la mitad? - Los dos rectángulos son iguales o distintos? - Qué mide más, el alto o el ancho de los rectángulos? - Cuántos cuadrados ves? - Cuántos rectángulos ves?
Figura 4.
Cuestionario figura 4. - Cuántas líneas horizontales hay? - Cuántas líneas verticales hay? - De qué color son las líneas horizontales? - De qué color son las líneas verticales? - Las tres líneas rojas son paralelas? - Las tres líneas azules son paralelas? - Una línea azul con respecto a una roja, son paralelas? - En cuantas partes hemos dividido ahora el cuadrado? - Qué figuras geométricas hemos obtenido ahora al dividir el cuadrado en cuatro partes iguales? - Cuántos cuadrados grandes ves? - Cuántos cuadrados pequeños ves? - Todos los cuadrados pequeños son del mismo tamaño? - Cuántos cuadrados ves en total? - Cuántos rectángulos ves en total?
Figura 5.
Cuestionario figura 5. - Cuántas líneas horizontales hay? - Cuántas líneas verticales hay? - Cuántas líneas inclinadas hay - De qué color son las líneas horizontales? - De qué color son las líneas verticales? - De qué color es la línea inclinada? - Es una línea inclinada hacia arriba o hacia abajo? - Las dos líneas rojas son paralelas? - Las dos líneas azules son paralelas? - Una línea azul con respecto a una roja, son paralelas? - Una línea azul con respecto a la línea amarilla son paralelas? - Una línea roja con respecto a la línea amarilla son paralelas? - En cuantas partes hemos dividido ahora el cuadrado? - Qué figuras geométricas hemos obtenido ahora al dividir el cuadrado a la mitad? - Los dos triángulos son iguales o distintos de tamaño? - Cuántos cuadrados ves? - Cuántos rectángulos ves? - Cuántos triángulos ves?
Figura 6.
Cuestionario figura 6. - Cuántas líneas horizontales hay? - Cuántas líneas verticales hay? - Cuántas líneas inclinadas hay - De qué color son las líneas horizontales? - De qué color son las líneas verticales? - De qué color es la línea inclinada? - Es una línea inclinada hacia arriba o hacia abajo? - En cuantas partes hemos dividido ahora el cuadrado? - Qué figuras geométricas hemos obtenido ahora al dividir el cuadrado a la mitad? - Los dos triángulos son iguales o distintos de tamaño? - Cuántos cuadrados ves? - Cuántos rectángulos ves? - Cuántos triángulos ves?
Figura 7.
Cuestionario figura 7. - Cuántas líneas horizontales hay? - Cuántas líneas verticales hay? - Cuántas líneas inclinadas hay - De qué color son las líneas horizontales? - De qué color son las líneas verticales? - De qué color son las líneas inclinadas? - Las dos líneas rojas son paralelas? - Las dos líneas azules son paralelas? - Las dos líneas inclinadas son paralelas? - En cuantas partes hemos dividido ahora el cuadrado? - Qué figuras geométricas hemos obtenido ahora al dividir el cuadrado en cuatro partes? - Los cuatro triángulos son iguales o distintos de tamaño? - Cuántos cuadrados ves? - Cuántos rectángulos ves? - Cuántos triángulos ves?
Figura 8.
Cuestionario figura 8. - Cuántas líneas horizontales hay? - Cuántas líneas verticales hay? - Cuántas líneas inclinadas hay - De qué color son las líneas horizontales? - De qué color son las líneas verticales? - De qué color son las líneas inclinadas? - En cuantas partes hemos dividido ahora el cuadrado? - Qué figuras geométricas hemos obtenido ahora al dividir el cuadrado en ocho partes? - Los ocho triángulos son iguales o distintos de tamaño? - Cuántos cuadrados ves en total? - Cuántos rectángulos ves en total? - Cuántos triángulos ves en total?
Figura 9.
Cuestionario figura 9. - En cuantas partes hemos dividido el cuadrado? - Qué eje de simetría hemos empleado para dividir el cuadrado a la mitad? El eje de simetría vertical u horizontal? - Qué figuras geométricas hemos obtenido al dividir el cuadrado según su eje de simetría vertical? - Los dos rectángulos que hemos obtenido son iguales o distintos de tamaño? - Qué mide más el ancho o el alto de los rectángulos formados? - De qué color es el rectángulo que está colocado en la parte izquierda? - De qué color es el rectángulo que está colocado en la parte derecha?
Figura 10.
Cuestionario figura 10. - En cuantas partes hemos dividido el cuadrado? - Qué eje de simetría hemos empleado para dividir el cuadrado a la mitad? El eje de simetría vertical u horizontal? - Qué figuras geométricas hemos obtenido al dividir el cuadrado según su eje de simetría horizontal? - Los dos rectángulos que hemos obtenido son iguales o distintos de tamaño? - Qué mide más el ancho o el alto de los rectángulos formados? - De qué color es el rectángulo que está colocado en la parte de arriba? - De qué color es el rectángulo que está colocado en la parte de abajo?
Figura 11.
Cuestionario figura 11. - En cuantas partes hemos dividido el cuadrado? - Qué eje de simetría hemos empleado para dividir el cuadrado a la mitad? El eje de simetría vertical, horizontal o inclinado? - Qué figuras geométricas hemos obtenido al dividir el cuadrado según su eje de simetría inclinado? - Los dos triángulos que hemos obtenido son iguales o distintos de tamaño? - Los tres lados de cada triángulo miden lo mismo de largo? - Qué lado mide más: el vertical, el horizontal o el inclinado?
Figura 12.
Cuestionario figura 12. - En cuantas partes hemos dividido el cuadrado? - Cuántos ejes de simetría hemos empleado para dividir el cuadrado en cuatro partes iguales? - Qué dos ejes de simetría hemos empleado para dividir el cuadrado en cuatro partes iguales? - Qué figuras geométricas hemos obtenido al dividir el cuadrado según sus ejes de simetría vertical y horizontal? - Los cuatro cuadrados que hemos obtenido son iguales o distintos de tamaño? - Qué mide más el ancho o el alto de los cuadrados formados? - De qué color es el cuadrado que está colocado en la parte izquierda y arriba? - De qué color es el cuadrado que está colocado en la parte derecha y arriba? - De qué color es el cuadrado que está colocado en la parte izquierda y abajo? - De qué color es el cuadrado que está colocado en la parte derecha y abajo?
Figura 13.
Cuestionario figura 13. - En cuantas partes hemos dividido el cuadrado? - Cuántos ejes de simetría hemos empleado para dividir el cuadrado en cuatro partes iguales? - Qué dos ejes de simetría hemos empleado para dividir el cuadrado en cuatro partes iguales? - Qué figuras geométricas hemos obtenido al dividir el cuadrado según sus dos ejes de simetría inclinados? - Los cuatro triángulos que hemos obtenido son iguales o distintos de tamaño? - De qué color es el triángulo que está colocado en la parte de arriba? - De qué color es el triángulo que está colocado en la parte de abajo? - De qué color es el triángulo que está colocado en la parte izquierda? - De qué color es el triángulo que está colocado en la parte derecha? - Los tres lados de cada uno de los cuatro triángulos formados miden lo mismo de largo?
Figura 14.
Cuestionario figura 14. - En cuantas partes hemos dividido el cuadrado? - Cuántos ejes de simetría hemos empleado para dividir el cuadrado en ocho partes iguales? - Cuántos ejes de simetría horizontal tiene el cuadrado? - Cuántos ejes de simetría vertical tiene el cuadrado? - Cuántos ejes de simetría inclinados tiene el cuadrado? - Cuántos ejes de simetría tiene en total el cuadrado? - Si dividimos el cuadrado según sus cuatro ejes de simetría, qué figuras geométricas obtenemos? - Si dividimos el cuadrado según sus cuatro ejes de simetría, cuántos triángulos iguales obtenemos?