Materia: Matemáticas de 4to año Tema: Representación gráfica de una función exponencial Marco teórico Funciones exponenciales Iniciemos esta sección construyendo las gráficas de algunas funciones exponenciales. Ya que todavía no conocemos ninguna propiedad especial de las funciones exponenciales construiremos las gráficas usando tablas de valores. Ejemplo 1 Construir la gráfica de la ecuación usando una tabla de valores. Construyamos una tabla de valores que incluya valores negativos y positivos de. Para evaluar valores positivos de simplemente sustituimos estos valores en la función y evaluamos. -2-1 0 1 1 2 2 4 3 8 Para debemos recordar que un número elevado a la 0 da siempre como resultado 1.
Para evaluar valores negativos de debemos recordar que elevado a un exponente negativo significa uno dividido por elevado al mismo exponente, pero positivo. Cuando dibujamos los puntos en los ejes coordenados obtenemos la gráfica mostrada abajo. Las funciones exponenciales siempre tienen esta forma básica. Esto es, empiezan muy pequeñas y entonces, una vez empiezan a crecer, crecen rápido y luego se vuelven extremadamente grandes. Tal vez ha oído personas diciendo que algo está creciendo exponencialmente. Esto implica que el crecimiento es muy rápido. Una función exponencial empieza lenta, pero luego crece rápido y rápido todo el tiempo. Especialmente nuestra función de arriba se duplica cada vez que incrementa en uno. Esta es la definición de crecimiento exponencial. Hay un período fijo consistente durante el cual la función se va a duplicar o triplicar, o cuadruplicar. El cambio es siempre una proporción fija. Comparación de gráficas de funciones de crecimiento exponencial Grafiquemos algunas funciones exponenciales más y observemos qué pasa cuando cambiamos las constantes en la función. La forma básica de la función exponencial debería de ser la misma. Pero la función podría crecer más rápido o más lenta dependiendo de las constantes que usemos.
Mencionamos que la forma general de la función exponencial es, donde es la cantidad inicial y es el factor que multiplica a la cantidad cada vez que es incrementada en uno. Veamos qué pasa para valores diferentes de. Ejemplo 2 Graficar la función exponencial y compararla con la gráfica de. Hagamos una tabla de valores para. -1 0 1 2 3 Ahora, usemos esta tabla para graficar la función. Podemos ver que la función es más grande que la función. En ambas funciones, los valores de se duplican cada vez que incrementa en uno. Sin embargo, comienza con un valor de 3, mientras que comienza con un valor de 1, por consiguiente, se puede observar que se volverá más grande a medida que sus valores de sigan duplicándose. Pensarías que si el valor inicial de es menor que uno entonces la función exponencial correspondiente sería menor que. Al final esto es correcto. Veamos cómo en la comparación de las gráficas para.
Ejemplo 3 Graficar la función exponencial y compararla con la gráfica de. Hagamos una tabla de valores para. -1 0 1 2 3 Ahora, usemos esta tabla para graficar la función. Como era de esperar, la función exponencial exponencial. es menor que la función Ahora, comparemos funciones exponenciales cuyas bases son diferentes. La función tiene como base 2. Esto significa que el valor de se duplica cada vez que se incrementa en 1. La función tiene como base 3. Esto significa que el valor de se triplica cada vez que se incrementa en 1. La función tiene como base 5. Esto significa que el valor de se multiplica por un factor de 5 cada vez que se incrementa en 1.
La función tiene como base 10. Esto significa que el valor de se multiplica por un factor de 10 cada vez que se incrementa en 1. Qué pasaría si el valor de la base se incrementa? Averigüemos. Ejemplo 4 Graficar las siguientes funciones exponenciales en los mismos ejes coordenados. Para graficar estas funciones empezaremos construyendo una tabla de valores para cada una. -1 0 1 1 1 1 1 2 3 5 10 2 4 9 25 100 3 8 27 125 1000 Ahora, grafiquemos estas funciones. Nota que para los valores de todas las funciones son iguales a 1. Esto significa que el valor inicial de las funciones es el mismo e igual a 1. A pesar que todas las funciones comienzan con el mismo valor, estas se incrementan para diferentes razones. Podemos ver que mientras la base es más grande los valores de crecerán mas rápido. Es razonable que algo que se triplica cada vez crecerá más rápido que algo que solo se duplica. Finalmente, examinemos cómo se vería la gráfica de una exponencial si el valor de fuese negativo.
Ejemplo 5 Graficar la función exponencial. Hagamos una tabla de valores. -1 0-5 1-10 2-20 3-40 Ahora, grafiquemos la función. Este resultado no debería de sorprender. Ya que el valor inicial es negativo y se duplica cada vez es de esperar que el valor de incremente, pero en una dirección negativa. Nota que la gráfica se mantiene en la forma típica de una función exponencial, pero ahora es una imagen reflejada con respecto al eje horizontal (hacia abajo). de problemas del mundo real que involucran crecimientos exponenciales Ahora vamos a examinar algunos problemas del mundo real donde se pueden aplicar crecimientos exponenciales.
Ejemplo 6 La población de un pueblo se estima que crece el 15% por año. La población actual es de 20 mil. Construir una gráfica para la función de la población y encontrar cuál será la población en 10 años a partir de hoy. Primero necesitamos escribir una función que describa la población del pueblo. La forma general de una función exponencial es Definir como la población del pueblo. Definir como el número de años a partir de hoy. es la población inicial, así (millares) Finalmente, necesitamos encontrar. Se nos ha dicho que la población incrementa el 15% cada año. Para calcular porcentajes es necesario cambiarlos a decimales. 15% es equivalente a 0.15. 15% de es igual a. Esto representa el incremento de la población de un año a otro. Para calcular la población total del siguiente año debemos añadirle a la población actual el incremento en la población. En otras palabras,. Podemos ver que la población debe ser multiplicada por un factor de 1.15 cada año. Esto significa que la base de la función exponencial es. La fórmula que describe este problema es Construyamos una tabla de valores. 4.9-5 9.9 0 20 5 40.2 10 80.9
Ahora, grafiquemos la función. Nota que usamos valores negativos de en nuestra tabla de valores. Es lógico pensar en tiempos negativos? En este caso representa la población que había cinco años atrás, por consiguiente esta información podría ser útil. La pregunta hecha en el problema fue Cuál sera la poblacion de el pueblo en 10 años a partir de hoy? Para encontrar la población exactamente usamos Encontramos. en la fórmula. Ejemplo 7 Peter ganó $1500 el verano pasado. Si él depositó el dinero en una cuenta de banco con un interés anual del 5%. Cuánto dinero tendrá después de 5 años? Este problema trata con interés que es compuesto anualmente. Esto significa que cada año es calculado sobre la cantidad de dinero que se tiene en el banco. Este interés es añadido a la cantidad original y el próximo año el interés es calculado sobre esta nueva cantidad. De esta manera se obtienen intereses sobre intereses. Escribamos una función que describa la cantidad de dinero en el banco. La forma general de una función exponencial es Definir como la cantidad de dinero en el banco. Definir como el número de años a partir de hoy. es la cantidad inicial, por consiguiente.
Ahora debemos encontrar. Se nos ha dicho que el interés es del 5% cada año. Cambiar 5% a decimales, lo cual es equivalente a 0.05. 5% de es igual a. Esto representa el interés ganado por año. Para obtener la cantidad total de dinero para el siguiente año debemos añadir el interés ganado a la cantidad inicial. De aquí podemos ver que la cantidad de dinero debe ser multiplicada por un factor de 1.05 cada año. Esto significa que la base de la exponencial es La fórmula que describe el problema es Para encontrar la cantidad de dinero total en el banco al final de cinco años simplemente usamos en nuestra fórmula. Respuesta: Ejercicios de repaso Graficar las siguientes funciones exponenciales construyendo una tabla de valores. 1. 2. 3. 4. Resolver los siguientes problemas. 5. Una cadena de cartas se manda a 10 personas diciéndole a cada una que haga 10 copias de la carta y envíe cada una a una nueva persona. Asumiendo que cada persona que recibe la carta la envía a diez nuevas personas y que cada ciclo toma una semana, cuántas personas reciben la carta en seis semanas? 6. Nadia recibe $200 por su décimo cumpleaños. Si ella lo deposita en un banco con un interés compuesto anual del 7.5%, cuánto dinero tendrá en el banco en su vigésimo primer cumpleaños?
Respuestas a los ejercicios de repaso 1. 2. 3. 4. 5. 10, 000, 000 6. $443.12