Introducción a las ecuaciones diferenciales

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1 Matemáticas. 1 de Biología Facultad de Biología Curso Introducción a las ecuaciones diferenciales 1. Probar que cada función dada es solución de la ecuación diferencial considerada: a) y = 9y y 1 = e 3t y 2 = e 3t b) y + y = 3 cos 2t y = C 1 (cos t cos 2t) + C 2 (sen t cos 2t) 2. Resolver: a) y = ye t y() = 2e b) y = 3t 2 (y 2 + 1) y() = 1 c) y = 4t 3 y y y(1) = 3 d) y + 1 = 2y y(1) = 1 Solución: ( a) y(t) = 2e et b) y(t) = tg t 3 + π ) 4 c) y(t) = 3e t4 t d) y(t) = e2(t 1) Calcular una solución de la siguiente ecuación diferencial que pase por el origen de coordenadas. e y t sen t yy =. Solución: e y(t) (y(t) 1) = sen t t cos t Expresar de forma explícita la solución general de la ecuación diferencial y = t 2 (1 y 2 ). Solución: y(t) = ce2/3t3 1 ce 2/3t3 + 1, c R. 5. Resolver el siguiente problema de valores iniciales (Examen de Febrero de 21) (1 + e t )yy = 1 y() = ln 2. ( ) e Solución: (y(t)) 2 t = 2 ln 1 + e t + 3 ln 2. (Examen de Junio de 21) 6. La acción de una enzima sobre una substancia viene dada por la ecuación diferencial y = y 5 y ln t siendo y(t) la cantidad de substancia (substrato) presente en el momento t que está siendo transformada por la enzima. Si y(1) = 6, hallar una ecuación implícita que exprese y en función de t. Solución: y + 5 ln(y 5) = t(ln t 1) + 7. (Examen de Junio de 24) 7. Cierta especie aislada de 1 individuos se encuentra en un proceso de extinción: disminuye la población con una velocidad proporcional a la raíz cuadrada del número de individuos que hay en cada momento. Después de un año la población queda reducida a la mitad. 1

2 a) Obtener y resolver la ecuación diferencial que verifica la función y(t) representativa del tamaño de la población en el instante t. b) Calcular en qué momento se extingue la población. Solución: a) y(t) = (( 2 1 ) t + 1 ) 2 b) 3años, 4 meses y 27 días. 8. Cierta información dudosa relativa a los efectos del cloro en el consumo de agua comenzó a extenderse un día en una ciudad de 1 habitantes. Después de una semana 1 personas habían oído el rumor. Suponiendo que la razón de aumento del número de personas que han oído el rumor es proporcional al de las que todavía no lo han oído, cuánto tiempo pasará hasta que la mitad de la población de la ciudad se entere de esa información? Solución: 6 semanas y 4 días. 9. La siguiente ecuación describe la forma más simple de crecimiento restringido de algunas especies y puede utilizarse para describir el crecimiento de un pez: y (t) = k(a y(t)) donde y(t) representa la longitud del pez en el instante t y k y a son constantes positivas con a > y. Si a = 2 cm y k = 3: a) Calcular la solución del problema de valores iniciales correspondiente a y() = y. b) Calcular la longitud límite del pez. Solución: a) y(t) = 2 + (y 2)e 3t b) y m = 2 cm. (Examen de Septiembre de 23) 1. Una población crece de acuerdo con la ecuación diferencial y (t) = k y(t) 2 donde y(t) nos expresa el número de individuos de la población en millares y el tiempo se mide en meses. Sabiendo que y() = y y que la población se duplica en 5 meses, calcular cuánto tiempo se tardará en decuplicar la población. Esbozar una gráfica de la función población en función del tiempo. Solución: t=9 meses. (Examen de Junio de 25) 1y 2y y Una población crece de acuerdo con el modelo ( 1 y (t) = 5 1 ) y(t) t + 1 y() = 12 (t en años) a) Calcular la expresión y(t) que nos da la población en el instante t. b) Hallar el instante en el que la población es mínima y cuántos individuos la componen en ese momento. c) Se extingue la población en un tiempo real? Cuál es el comportamiento de la población a la larga? d) Comprobar que la población se cuadriplicará cuando hayan transcurrido 22 años, 9 meses y 9 días. e) Esbozar una gráfica de la evolución de la población a lo largo del tiempo. 2

3 (Examen de Febrero de 25) Solución: a) y(t) = 12et/5 t + 1 b) t = 4 y(4) = 5, 341 c) nunca se extingue y a la larga aumenta indefinidamente Probar que la ecuación diferencial (y + t) 2 y = a 2 (a > ) con el cambio de variable z = y + t, se convierte en una ecuación diferencial de variables separadas. Encontrar la solución que verifique la condición inicial y() =. Solución: y(t) = a arctan y(t) + t. a 13. La Ley de Newton del enfriamiento viene dada por la ecuación diferencial T (t) = k(t (t) T m ) (Examen de Febrero de 22) donde T m representa la temperatura del medio y k es una constante. Un plasma sanguíneo está almacenado a 4 C. Para poder utilizarlo debe elevarse su temperatura a 9 C. Si el plasma se coloca en un horno que se encuentra a 12 C, tarda 45 minutos en alcanzar los 9 C. a) Calcular el valor de la constante k. b) Cuánto tiempo tardará el plasma en alcanzar los 9 C si el horno se encuentra a 14 C? Solución: a) k =, 218 b) 31 minutos y 48 segundos. (Examen de Septiembre de 22) 14. Un recipiente con agua a 65 o C se coloca a enfriar en el exterior de una ventana, donde la temperatura es de 5 o C. Al cabo de media hora, cuando la temperatura del agua es de 35 o C, se introduce en el interior, donde la temperatura es de 2 o C. Si la temperatura del agua sigue la ley de enfriamiento de Newton T = k (T T m ) calcular cuánto tiempo ha de transcurrir para que la temperatura del agua sea de 25 o C. Solución: t = ln 3 2 ln 2. (Examen de Junio de 24) 15. El carbono extraído de una supuesta reliquia de los tiempos de Cristo contenía 4, átomos de C 14 por gramo. El carbono extraído de un ejemplar actual de la misma sustancia contiene 5, 1 1 átomos de C 14 por gramo. Calcular la edad aproximada de la reliquia. Solución: 685 años, 8 meses y 12 días. 16. Si inicialmente hay 3 g de una sustancia radiactiva y al cabo de 5 años quedan 2 g, cuánto tiempo debe transcurrir antes de queden solamente 1 g? Solución: 36 años, 11 meses y 26 días. 3

4 17. El periodo de semidesintegración del cobalto radiactivo, Co 6 es de 5, 258 años a) Hallar el valor de la constante de radiactividad k de este elemento. b) Si un accidente nuclear ha dejado un nivel de cobalto radiactivo cien veces superior al nivel aceptable para la vida humana, cuánto tiempo deberá transcurrir para que la región vuelva a ser habitable? (Dar el resultado en años, meses y días.) Solución: a) k = ln 1 b) 34 años, 11 meses y 8 días. (Examen de Septiembre de 25) 18. La población mundial en 193 era de 2 millones de personas y en 1975 era de 4 millones. Si la ley de crecimiento fuese malthusiana, cuál hubiera sido la población en 196? Solución: 3175 millones. 19. Cierta población de peces sigue la Ley de Malthus. Si se tiene en cuenta el efecto de la pesca sobre el crecimiento de la población, la ecuación diferencial que modela su evolución a lo largo del tiempo es y = 3y 18. Si la población inicial es y, calcular la función y(t). Estudiar cómo evoluciona la población a la larga según los valores de y. Solución: y(t) = (y 6 )e 3t + 6. Si el tamaño inicial es superior a 6 individuos la población crece indefinidamente; si el tamaño inicial es inferior a 6 individuos la población se extingue; si el tamaño inicial es 6 individuos la población se mantiene constante. 2. Una población de peces que vive en un lago es atacada por una enfermedad en el instante t =, con el resultado de que los peces dejan de reproducirse (es decir, el índice de natalidad es ) y el índice de mortalidad (muertes por semana y pez) es proporcional a 1/y(t). Si originalmente había 9 peces en el lago y 6 semanas después quedaban 441, cuánto tiempo tardarán en morir todos los peces del lago? Solución: 2 semanas. 21. Se considera una especie de conejos cuyos índices de natalidad y mortalidad son proporcionales a la población de conejos y(t). El índice de natalidad es mayor que el índice de mortalidad. a) Demostrar que y(t) = y 1 ky t b) Para qué valor de t la población y(t) tiende a +? Solución: b) t = 1 ky. k constante. 22. Una población crece de acuerdo con el modelo logístico y está compuesta inicialmente por y individuos. Se sabe que esta población se triplica al cabo de 2 años y que k = 1, 4. a) Calcular la población límite y m (en función de y ). b) Calcular el instante en que la velocidad de crecimiento es máxima. c) En qué instante alcanzará el valor y m (límite de la población anterior) otra población que, con las mismas condiciones iniciales, crece de acuerdo con el modelo de Malthus de constante k = 1, 4? Solución: a) y m = 4, 2y b) 1 año, 1 mes y 13 días c) 1 año, 4 meses y 17 días. 23. Un estudiante portador de un virus de gripe regresa a un campus universitario aislado que tiene 1 estudiantes. Suponemos que la rapidez con la que se propaga la enfermedad es proporcional no sólo al número de estudiantes contagiados, sino también al número de no contagiados (modelo logístico). Se observa que después de 4 días hay enfermos. a) Determinar el número de estudiantes contagiados después de 6 días. b) Hallar el momento en el que el virus se propaga con mayor rapidez. 4

5 c) Esbozar la gráfica de la función y(t) que indica el número de alumnos contagiados en el instante t. Solución: a) 277 estudiantes 1 b) 6 días y 23 horas. (Examen de Febrero de 21) En 198, cierto organismo arrojó en un lago 1 ejemplares de un pez híbrido. En 1987 se calculó que la población de esta especie en el lago era de 2 ejemplares. Sabiendo que el crecimiento de la población sigue el modelo logístico: y = py(6 y) p constante. a) Calcular la población de peces en el año 22. b) Cuál es la predicción de la población a la larga? c) En qué momento la velocidad de crecimiento ha sido máxima? Cuántos peces tenía el lago? (Examen de Junio de 22) Solución: a) 4684 peces b) Población límite: 6 individuos c) 12 años,3 meses y 18 días; 3 peces. 25. a) Deducir, en la Ley Logística, en qué momento se produce el punto de inflexión en el crecimiento de la población (se supone y < y m 2 ). b) La gráfica siguiente muestra el crecimiento de una población que sigue la Ley Logística. Utilizando los datos que aparecen en esta representación gráfica (en t = 4 hay un punto de inflexión), calcular el número de individuos al cabo de 6 años. 1 t en años 1 4 Solución: b) y(6) = 75 individuos. (Examen de Junio de 23) 26. Un alumno hace correr un rumor sobre una pregunta del próximo examen de Matemáticas en su clase, compuesta por 1 alumnos. Después de una hora conocen el rumor, aparte del propalador, 3 alumnos. Suponiendo que la velocidad a la que aumenta el número de alumnos que han oído el rumor es proporcional no sólo al número de los que lo han oído, sino también al número de los que todavía no lo han oído (Modelo logístico), cuánto tiempo pasará hasta que se enteren de esa información 1 alumnos (incluido el propalador)? Esbozar una gráfica de la evolución del número de oyentes del rumor en función del tiempo, indicando los puntos más notables. 5

6 Solución: t=1 hora, 33 minutos y 25 segundos. (Examen de Febrero de 25) Sea y(t) la función de que modela una población que parte de un contingente de y ejemplares. Esta población sigue una Ley Logística con coeficientes k =, 4 e y m = 11y. Calcular el número de individuos al cabo de 6 horas y, en ese momento, su tasa de crecimiento per cápita y (t)/y(t), depende esta tasa del número inicial de individuos? y (6) Solución: y(6) = 5, 77y, =, 19. y(6) 28. La evolución de una población se rige por la ley logística con k = 1. En 198 era de 6 millones de personas 4 y la tasa de crecimiento per cápita era del 1 % (es decir y () y() = 1 ). Calcular la población que habrá en el 1 año 21 y a largo plazo. (Examen de Septiembre de 24) Solución: La población en el año 21 será de 76 millones de personas y a largo plazo se estabiliza en 1 millones. 29. Resolver: a) ty + 3y = 2t 5 y(2) = 1 b) y 3ty = t y() = 5 3 c) y = (1 y) cos t y(π) = 2 d) y = 1 + t + y + ty y() = Solución: a) y(t) = t t 3 b) y(t) = 2e 3/2t c) y(t) = 1 + e sen t d) y(t) = e t 2 + 2t Hallar una solución de la siguiente ecuación diferencial lineal que pase por el origen (t 2 + 2)y (t) + 3ty(t) = 6t. Solución: y(t) = (t 2 + 2) 3/ Hallar la solución general de las ecuaciones siguientes: (Examen de Febrero de 23) a) 2tyy = 4t 2 + 3y 2 b) t 2 y = ty + y 2 c) y 5y = 5 2 ty3 Solución: a) (y(t)) 2 = ct 3 4t 2 b) y(t) = t c ln t c) (y(t)) 2 = 2 ce 1t + 1t 1 6

7 32. Una población evoluciona de acuerdo con la ecuación diferencial y = 2ty t k y2 t en años, siendo y() = 4. a) Calcular la ley de crecimiento, es decir, la expresión de y(t). b) Si k = 1, calcular y(4). c) Analizar el comportamiento a la larga. Qué interpretación das a los resultados obtenidos en los apartados (b) y (c)? Esbozar la gráfica de la población a lo largo del tiempo. (Examen de Septiembre de 25) 2 k 2 Solución: a) y(t) = b) y(t) = y(4) = 1 999, 99 c) La población límite es de Ce t e t2 individuos. Al cabo de 4 años la población está estabilizada Una población evoluciona de acuerdo con la ecuación diferencial y (t) = 3 ( 2 y(t) 1 y(t) ) (t en meses) a) Obtener la expresión y(t) que nos da la población en un instante cualquiera, en los casos i) y() = 1 y ii) y() = 9. b) Calcular, en ambos casos, cuándo la población alcanza los 4 individuos. c) Esbozar las gráficas de los diferentes supuestos, indicando en cada una de ellas los puntos más notables. (Examen de Junio de 25) 4 Solución: a) y 1 (t) = y 1 + 4e 3/2t 2 (t) = b) t 9 4e 3/2t 1 = 1 hora, minutos y 52 segundos; en el segundo caso nunca se alcanza ese valor y = y =

8 34. Hallar la solución de la siguiente ecuación de Bernoulli 2tyy = 4t 2 + 3y 2 t > que pase por el punto (2, 2). (Examen de Febrero de 24) Solución: y(t) = t 2 1t Resolver la siguiente ecuación diferencial: 1 + y 2 + t y y =. Encontrar la solución que satisface la condición inicial y(1) = 2. (Examen de Septiembre de 24) Solución: 1 + y 2 = 5 t 2 8