Funciones exponenciales y logarítmicas

Transcripción

1 6 Funciones eponenciales logarítmicas Para empezar La radiactividad es un fenómeno en el que una sustancia emite radiaciones por ello durante ese proceso se desintegra. Muchos isótopos son radiactivos se utilizan en medicina, por ejemplo, para realizar diagnósticos en tratamientos de radioterapia. El tiempo que tarda un isótopo en reducirse a la mitad se llama período de semidesintegración o vida media. Por ejemplo, gramo de odo- tarda 8 días en reducirse a la mitad, mientras que gramo de radón- tarda casi. Las curvas representan el proceso de desintegración de g de cada uno de esos elementos en función del tiempo, medido en días. Qué curva corresponde a cada sustancia? 8 6 Masa (g) Tiempo (días) De seguir esta tendencia, cuántos gramos de odo- de radón- quedarán a los 6 días de haber comenzado la eperiencia? FUNCIONES EXPONENCIALES 68 Una fuga de combustible de un barco provocó una mancha de petróleo en la superficie del mar. Esta mancha se epande, con el correr de los días, de tal manera que duplica su área diariamente. a. Completa la tabla que muestra el área de la mancha para los primeros 7 días, considerando que se comenzó a observar cuando su área era de m. Tiempo (días) Área (m ) b. Plantea una epresión que permita obtener el área de la mancha en función del tiempo úsala para calcular la que ocupará el día. c. En tu cuaderno, o usando GeoGebra, representa gráficamente los datos de la tabla. Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Le 5.9

2 a. A diferencia de la situación anterior, en la que la variable independiente no toma valores negativos (no tendría sentido hablar de área negativa ), para la función f dada por f() = se consideran todos los valores reales. Completa la tabla representa gráficamente. Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Le 5.9 b. La función tiene raíces? Por qué? c. Qué ocurre con las imágenes de f cuando toma valores negativos cada vez más grandes en valor absoluto? d. Cuál es el recorrido de f? a. Representa las funciones f, g, h dadas por: f() = ; g() = 5 h( ) = en el mismo sistema cartesiano. Puedes hacerlo en GeoGebra. b. Compara los gráficos obtenidos e indica si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas, eplica por qué. I. Todas las funciones tienen la misma ordenada al origen. II. Todas las funciones tienen la misma raíz. III. Todas las funciones tienen una asíntota horizontal. IV. Todas las funciones son crecientes positivas (sus imágenes). c. Copia en tu cuaderno los gráficos de f, g h e inclue el gráfico de la función f dada por f() =. a. Usa el GeoGebra para representar gráficamente las funciones f, g h dadas por: f( ) = ; g( ) h( ) = = en el mismo sistema cartesiano. 5 b. Compara los gráficos e indica si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas eplica por qué. I. Todas las funciones tienen la misma ordenada al origen. II. Todas las funciones tienen la misma raíz. III. Todas las funciones tienen una asíntota horizontal. IV. Todas las funciones son crecientes positivas (sus imágenes). c. Copia en tu cuaderno los gráficos de f, g h e inclue el gráfico de la función f dada por f( ) =. 69

3 5 Representa en el mismo sistema los gráficos de f dada por f() = de g dada por g ( )= a. Compara los gráficos escribe tus observaciones b. Dibuja en un mismo sistema los gráficos de las funciones h t dadas por h ( ) = t ( ) = 7 7 c. Completa: Si las bases de dos funciones eponenciales son inversas a a entonces sus gráficos 6 A f ( partir ) = del gráfico de la función f dada por f ( ) = g, h, j t dadas por: representa las funciones g ( ) = h ( ) + = ; después completa el cuadro. j = g ( ) = t h ( ) + = = ; ; ( ) ( ) + 7 ; j = ; ( ) f f g h j t Ordenada al origen Asíntota horizontal Recorrido Es creciente o decreciente? Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Le 5.9

4 - 5 Asocia cada gráfico con la epresión analítica de la - función que representa f ( ) = g ( ) = h ( ) = + j ( ) = k ( ) = + t = ( ) Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Le ( ) f ( ) = g ( ) = a. Usa el GeoGebra para representar en el mismo sistema - los gráficos de f dada por - - f ( ) = b. Compara ( ) g ( ) = los gráficos escribe ( + ) g ( ) = tus observaciones ( + ) g ( ) = , g dada por g ( ) = ( ) f ( ) = h dada por g ( ) = ( + ). = = = = = = =log =log =log 7

5 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE POBLACIONES 9 Una colonia de bacterias en ciertas condiciones triplica el número de sus habitantes cada día. a. Completa la tabla con el número de bacterias que habrá los primeros 6 días, considerando que cuando comenzó el conteo había bacterias durante el proceso no murió ninguna. Tiempo (días) 5 6 Bacterias b. Marca con color la epresión que describe la reproducción de esta colonia en función del tiempo t. Fundamenta tu elección. B(t) = t B(t) = t B(t) = t Javier estudia la reproducción de ciertas langostas. Con lo registrado hasta el momento realizó este gráfico (no consideró las muertes). a. Cuántas langostas había cuando comenzó el estudio? b. Cuántas langostas nacieron en el primer mes? Y en el segundo? Cantidad de langostas Tiempo (meses) c. Qué porcentaje representan los nacimientos del primer mes respecto de la cantidad inicial de langostas? Y los del segundo mes respecto de la cantidad que había en el primer mes? 7 d. Javier sabe que este comportamiento se mantiene durante algún tiempo que la cantidad de langostas puede epresarse con una epresión del tipo P(t) = c a t. Halla c a. e. De continuar con este comportamiento, cuántas langostas habría al cabo de un año? Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Le 5.9

6 Un hongo infectó todos los árboles de una plantación de manzanas de m, por lo que se la está tratando con un fungicida de aplicación mensual. En promedio, el plaguicida cura cada mes la mitad de los árboles infectados. a. Completa la tabla indicando el área que ocupan los árboles que permanecen afectados. Tiempo (meses) Plantas enfermas (m ) b. Escribe una epresión para calcular el área ocupada por las plantas que permanecen enfermas cada mes. c. Qué área ocupan los árboles que en el octavo mes siguen infectados? d. Se considera que el hongo estará eterminado cuando las plantas infectadas ocupen menos de m de terreno. Cuántos meses deberán pasar para que eso suceda? Eplica cómo llegaste al resultado. Se está combatiendo una plaga con un insecticida que elimina el % de los insectos por día. Se calculó que inicialmente había ejemplares. a. Marca la casilla del gráfico que representa la situación. Justifica tu elección. Insectos vivos Insectos vivos Tiempo (días) Tiempo (días) Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Le 5.9 b. Marca la epresión que permite conocer la cantidad de insectos vivos que quedan al finalizar cada día. I(t) =, t I(t) =,6 t I(t) =, t c. Usa la epresión que elegiste para calcular la cantidad de insectos vivos a los días marca un punto que represente esa información en el gráfico que corresponde. 7

7 Para estudiar el desarrollo de una población de seres vivos se deben tener en cuenta factores como los índices de natalidad de mortalidad, la disponibilidad de alimento, etcétera. En muchos casos, al principio la reproducción sigue una le eponencial que luego se frena por la incidencia de esos factores. En ecología se llama capacidad de carga del medio al valor límite de individuos, de una especie dada, que la colonia no puede sobrepasar, curva logística a la que representa este tipo de evolución. En el gráfico, con una curva de esas características, se muestra la evolución de una colonia de peces en una laguna. a. Cuántos peces había inicialmente en la laguna? b. Cuál es el valor límite de peces que esa colonia no podrá superar? Cómo te diste cuenta? Cantidad de peces 6 8 Tiempo (meses) c. La curva representada responde a la epresión P() t =, t + 5e. 7 Calcula la cantidad de peces que habrá en el mes 5 (usa e ;,7). 7 Se está estudiando la evolución de una colonia de roedores que habitan en una isla. A los meses de comenzado el estudio se realiza un conteo se detectan 56 roedores. Dadas las condiciones del medio se establece que no podrán convivir más de ejemplares. a. Marca la epresión que representa esta situación. R() t = R() t = R() t = t + 9 e 5, t + 9 e 5, + 9 e 5 b. Completa la tabla usando la epresión que elegiste verifica si, según esa epresión, la población de roedores no supera los individuos (recuerda aproimar al entero). Tiempo (meses) 5 5 Roedores t Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Le 5.9

8 FUNCIONES LOGARÍTMICAS 5 En el problema de la página 68 se estimaba el área de una mancha de petróleo en función del tiempo. Para un trabajo de ecología se necesita conocer la relación inversa, que permite estimar el tiempo transcurrido conocida el área de la mancha. a. Completa la tabla de acuerdo con lo que hiciste en el problema. Área (m ) Tiempo (días) b. Juan dice que cada valor de es el eponente al que ha que elevar el número para obtener. Es cierto? Con qué operación puede calcularse el valor de para cada valor de dado? Auda: si tienes dudas, vuelve a mirar el capítulo. c. Según lo que respondiste en b., escribe la fórmula de la función que epresa el tiempo que tarda en formarse la mancha, según su área. 6 Rodea el par de funciones inversas. Eplica cómo te diste cuenta. f ( ) = 5 g ( ) = 5 h ( ) = log5 t ( ) = ( ) 5 Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Le Si bien Lucas trabaja con las funciones eponenciales, todavía no sabe qué hacer con las logarítmicas. Sabe, por ejemplo, que si f ( ) =, entonces f() = f( ) =. Ahora quiere analizar la función h dada por h( ) log =, que es la inversa de f. a. Con lo que sabe de f, puede hallar la raíz de h? Por qué? b. Cómo le sirven los datos sobre f para calcular h? Y para calcular h? 75

9 8 a. Completa la tabla de la función f dada por f( ) log. = Auda: puedes completar primero la tabla de la función eponencial g dada por g ( ) = luego invertirla. g() f() b. Representa f g en un mismo sistema cartesiano. c. Mirando los gráficos, completa el cuadro. g Raíz Dominio Recorrido Ordenada al origen Es creciente o decreciente? Asíntota 76 f d. Ten en cuenta que f g son funciones inversas, relaciona entre sí el dominio el recorrido de cada una. e. De la misma manera que relacionaste el dominio el recorrido de f g, compara los datos que aparecen en la tabla escribe tus conclusiones. Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Le 5.9

10 9 a. Representa las funciones f g dadas por f() = log g( ) = log en el mismo sistema cartesiano compara sus gráficos. b. Cómo es el gráfico de f dada por j ( ) = log respecto del de h dada por h ( ) log? = c. Generaliza la propiedad que se desprende de los ítems anteriores. Todos estos gráficos corresponden a funciones del tipo f() = a log. Halla el valor de a en cada caso eplica cómo lo obtuviste A A(, ) B(, ) C(, ) B 6 8 C j () h () g () a. Representa las funciones f, g h dadas por f() = log ; g() = log ( 5) h() = log ( + ) en el mismo sistema cartesiano. Puedes hacerlo en GeoGebra (usa lg en vez de log). b. Compara los gráficos obtenidos completa el cuadro. f g Dominio Recorrido Asíntota Raíces Ordenada al origen Recuerda que log a = log a. h Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Le 5.9 El gráfico corresponde a la función f dada por f( ) = log 9. Basándote en él, representa las funciones g, h, j k dadas por: g ( ) = log + ; 9 h ( ) = log ( + ); 9 j ( ) log = 9 ; k ( ) = log 9. 5 f ()

11 Asígnale a cada gráfico el cartel la epresión que le corresponde A Tiene asíntota en = Dom f = ( ; ) La base de la función es maor que. I. f () = log ( + ) II. f () = log ( + ) B Tiene asíntota en = Dom f = ( ; ) La base de la función es menor que. III. f ( ) = log ( + ) 6 C Tiene asíntota en = Dom f = ( ; ) La base de la función es maor que. IV. f () = log ( + ) Propon la fórmula de una función logarítmica que se ajuste a lo pedido en cada caso analiza si ha más de una epresión posible. Eplica cómo te das cuenta. a. f tiene una asíntota vertical en = su base es. b. El Dom g = ( 6; + ) su base es. c. h es decreciente, tiene una asíntota vertical en = h(5) = Juliana Mateo escribieron, cada uno en su cuaderno, una epresión para la función representada. Mirá lo que escribió cada uno, indicá si es correcto o no eplica por qué. Auda: puedes mirar las propiedades de los logaritmos en el capítulo. 6 5 Juliana: f( ) log = Mateo: f( ) = log 6 8 Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Le 5.9

12 ecuaciones eponenciales LOGARÍTMICAS + 6 a. Representa gráficamente la función f dada por f ( )=. + b. Usa el gráfico para resolver la ecuación =. + c. Resuelve analíticamente la ecuación = compara la solución con la que obtuviste en b. + 7 a. Usa el gráfico del ejercicio anterior para resolver la ecuación = 8. + b. Resuelve analíticamente la ecuación = 8 compara la solución con la que obtuviste en a. + 8 a. Usa el gráfico del ejercicio anterior para resolver la ecuación = 5. + b. Resuelve analíticamente la ecuación = 5 compara la solución con la que obtuviste en a. Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Le = k + 9 Discute según k la solución de la ecuación = k. + Auda: Usa el gráfico de la función f dada por f ( ) = las soluciones de + los ejercicios anteriores. f ( ) = 79

13 Resuelve analíticamente las siguientes ecuaciones: + a. = 5 b. = 6 c. = d. 9 = 7 e. + + = f. e = e g. 5 ( ) = h. e + = 8 i. e = Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Le 5.9

14 ECUACIONES Y FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS El siguiente gráfico corresponde a la función f dada por f() = ln. a. Mirando el gráfico, estima. ln,5 = ln,5 = ln 5 = b. Mirando el gráfico, estima. ln = = ln =,5 = ln =, = f ( )=ln c. Eplica como hiciste para estimar los valores obtenidos en a b. d. Verifica los resultados obtenidos usando la calculadora científica. Aproima a los centésimos. Resuelve las siguientes ecuaciones. Puedes usar GeoGebra para comprobar las soluciones. a. log = b. log( ) = Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Le 5.9 c. ln( + ) = d. log( + ) =, 5 + log e. + ln = f. log = + 7 8

15 Crecimiento decrecimiento de poblaciones El crecimiento de ciertas poblaciones de seres vivos puede representarse por medio de una función eponencial de la forma P(t) = c a t, donde c representa la población inicial. Además, a se calcula como a = + r r Para recordar (o a = ), si la población aumenta (o disminue) siendo r la tasa de crecimiento (o decrecimiento) por unidad de tiempo. Si una colonia de hormigas aumenta un 8% mensual, la epresión que permite obtener la cantidad de habitantes de la colonia en función del tiempo (epresado en meses) es H(t) =,8 t. En cambio, si una colonia de 5 mosquitos se está etinguiendo al 5% diario, M(t) = 5,75 t representa la cantidad de mosquitos que quedan vivos por día. Muchas colonias de seres vivos se reproducen durante un tiempo de acuerdo con una le eponencial luego el crecimiento se frena. El gráfico muestra el desarrollo de una colonia de truchas en una laguna. 5 La epresión que representa la situación es T( t ) = 9, t + e, 5 es el valor límite de habitantes de esta colonia. Cantidad de truchas 6 5 T( t ) t 8 Funciones eponenciales Las funciones de la forma f() = a se denominan eponenciales porque la variable aparece en el eponente. Ha que tener en cuenta que: La base a es un número real positivo distinto de. Si a >, la función es creciente; si < a < la función es decreciente. Además, si las bases de dos funciones de la forma f() = a son inversas (el producto entre ellas es ) sus gráficos son simétricos respecto del eje. f () g () El gráfico corresponde a la función f dada por f() = a la g dada por g( ) =. f es creciente g es decreciente. El dominio de ambas funciones es el recorrido, (; + ). La recta = es asíntota de los gráficos de ambas funciones Si una función es de la forma h() = k a + c puede anticiparse que = c será asíntota de su gráfico. Además, si k >, el crecimiento de la función respeta lo dicho para f() = a, mientras que si k <, se invierte. En consecuencia, si k >, Rec h = (c; + ), si k <, Rec h = ( ; c) El gráfico corresponde a las funciones f g dadas por f() = a g() = ( ) +. f () g () f tiene una asíntota horizontal en = su recorrido es ( ; + ). La recta = es asíntota del gráfico de g. Su base es maor que, por lo que debería ser creciente; pero al estar multiplicada por, el gráfico se invierte la función es decreciente. En consecuencia, Rec g = ( ; ). Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Le 5.9

16 Ecuaciones eponenciales logarítmicas A través del gráfico de las funciones eponenciales logarítmicas se pueden estimar soluciones de ecuaciones, analizando para qué valores de la función alcanza un determinado valor de. El gráfico corresponde a la función f() =,5 log ( + ). El dominio de f es ( ; + ) la asíntota vertical es =. Como la base es maor que el número que multiplica es negativo, la función es decreciente. 6 f () + Para estimar la solución de 5, log ( ) = se puede analizar para qué valor de es =. Así, ;. De manera análoga se puede hallar algebraicamente la solución de la ecuación anterior así: ( + ) 5, log = ( + ) 5, log = ( + ) log = + = + = = { } S = ( Dom f) Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Le 5.9 Para recordar Funciones logarítmicas La inversa de una función eponencial del tipo f() = a es otra función de la forma h() = log a, denominada función logarítmica. La base de la función logarítmica es a. Por ser a la misma que en la función eponencial, debe ser un número real positivo distinto de. f () h () 5 5 El gráfico corresponde a la función f dada por: f() = la h dada por: h() = log. Como pasa con todas las funciones inversas, el dominio de una coincide con el recorrido de la otra. En consecuencia, Dom h = (; + ) Rec h =. Además, = es asíntota vertical del gráfico de h. Igual que en la función eponencial, si a > la función logarítmica es creciente; si < a <, la función es decreciente. Además, si las bases de dos funciones del tipo f() = log a son inversas (el producto entre ellas es ) sus gráficos son simétricos respecto del eje. f () El gráfico corresponde a las funciones f g dadas por:. f() = log a g( ) = log 6 8 g () f es creciente g, decreciente. El dominio de ambas es (; + ) la imagen es. La recta = es asíntota de los gráficos de ambas funciones. Si una función es de la forma h() = k log a ( b) + c, su dominio es (b; + ) = b es asíntota de su gráfico. Además, si k >, el crecimiento de la función respeta lo dicho para f() = log a, mientras que si k <, se invierte. El valor de c genera un desplazamiento vertical que no modifica el dominio ni la asíntota vertical. 8

17 Más actividades Analiza la epresión de cada función eponencial determina su imagen, la ecuación de la asíntota, su ordenada al origen si se trata de una función creciente o decreciente. a. f ( ) = 5 c. h ( ) = 5, b. g ( ) = + d. j ( ) = ( 7 ), + Representa las funciones del ejercicio anterior verifica si se cumple lo que anticipaste. Puedes usar GeoGebra. 5 Escribe una epresión del tipo f() = a + c para la cual: a. Rec f = (; ) sea creciente. b. Rec f = (; ) sea decreciente. c. Su asíntota sea = 5 sea decreciente. 6 En la actividad anterior, cuántas epresiones puedes escribir en cada ítem? Si ha más de una, eplica por qué qué características tienen todas. 7 La ordenada al origen de una función del tipo f() = a + c es 8; además, f() =. Halla el valor de a c, reescribe la epresión. 8 Escribe la epresión de una función de la forma f() = k a + c cua imagen inclua todos los números menores que. Puede ser esta una función creciente? Y decreciente? 9 Esteban dice que si la epresión de una función es de la forma f() = k a + c la función es creciente, entonces a es maor que. Siempre se cumple esto? Por qué? Se estima que en un bosque ha 8 m de madera que esa cantidad aumenta,% por año. a. Cuánta madera se espera tener en 8 años? b. No se permite la eplotación del bosque hasta que la cantidad de madera supere los m. Cuánto tiempo habrá que esperar para comenzar a talar? 8 Una colonia de ranas está en un proceso de etinción. El gráfico muestra la cantidad de ejemplares que aún quedan vivos por mes. 6 8 Ranas vivas 5 6 Tiempo (meses) a. Cuántas ranas había inicialmente? b. Qué porcentaje de ranas se muere cada mes? c. Escribe una epresión del tipo R(t)= k a t con la que se pueda calcular la cantidad de ranas vivas que ha cada mes. Una colonia de iguanas se reproduce de acuerdo con la fórmula I( t) =, donde I es la, t + 9e cantidad de iguanas en función del tiempo medido en meses. a. Cuántas iguanas ha inicialmente? b. Cuál es el valor límite de iguanas que la colonia no podrá sobrepasar? c. Cuántas iguanas se espera tener al año de comenzada la reproducción? Representa en el mismo sistema cartesiano las funciones f g dadas por f() = g() = log (puedes usar el GeoGebra). Respecto de qué recta son simétricas sus gráficos? Escribe sus diferencias similitudes. Escribe la epresión de una función del tipo f() = log a ( + c) para cada caso. a. Dom f = (, ) f(6) =. b. Dom f = (6, ) f(5) =. c. Dom f = (, ) f(,5) =. 5 Analiza la epresión de cada función determina su dominio, la ecuación de su asíntota, sus raíces si se trata de una función creciente o decreciente. a. f() = log 7 ( 9) b. g() = log, ( + ) c. h() = ln ( ) Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Le 5.9

18 9 A partir del gráfico de la función f dada por f() = log,7 ( +,5) estima el valor de para el que: a. f() = c. f() = 5 b. f() =,5 d. f() = 6,5 Para representar puedes usar el GeoGebra, luego resuélvelas analíticamente. Resuelve gráfica analíticamente las siguientes ecuaciones: a. = 8 c. + = b. = 7 d. = 5 Se depositan $ en un banco que ofrece un interés del % anual. Al finalizar cada año, los intereses acumulados pasan a formar parte del capital. a. Si no se efectúa ningún retiro de dinero, cuánto habrá a los 8 años de realizado el depósito? b. Planteá una fórmula que permita calcular el dinero que habrá en el banco, en función del tiempo (en años), si no se realizan etracciones. c. Cuánto tiempo deberá transcurrir hasta que el depósito inicial se triplique? Autoevaluación Analizando cada epresión completa el cuadro sobre cada función. Creciente o decreciente? Asíntota Dominio Recorrido Ordenada al origen Cero o raíz f()=,7 g()= 9, + 8 h()= log 7 ( + ) Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Le 5.9 En el gráfico se representó una función del tipo f() = log a ( k). a. Determina el valor de a de k, reescribe su epresión. b. Indica el dominio, el recorrido, la raíz la asíntota de la función. c. A partir del gráfico, estimá el valor de para que f() =. Una colonia de monos se reproduce de acuerdo con una función eponencial el número de sus habitantes aumenta un 8% cada año. Ho se realizó un conteo se determinó que ha ejemplares. a. Cuántos monos habrá dentro de 5 años, sin considerar ninguna muerte? b. Cuánto tiempo habrá pasado cuando haa más de ejemplares? f () 85