3.. Pendiente de una recta. Definición 3. 3. Se llama Angulo de Inclinación α de una recta L, al que se forma entre el eje en su dirección positiva y la recta L, cuando esta se considera dirigida hacia arriba (º α 8º). O α L Definición 3.4. Se denomina Pendiente de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación α. Se denota por m. Es decir m tg α. Nota. 3.3. De las propiedades de la función tangente se deduce que: a) Toda recta paralela al eje (o bien perpendicular al eje ) tiene pendiente cero, ya que en este caso α º y tg º. b) Toda recta perpendicular al eje (o bien paralela al eje ) no tiene pendiente, ya que en este caso α 9º y tg 9º no está definida. Teorema 3.3. Si P (x, y ) y P (x, y ) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta. y y Entonces la pendiente de L es m L con P x x x x Sea α el ángulo de inclinación de la recta L. (ver Fig. 3.) P Como las rectas P y A A son paralelas entonces α P P (ángulos correspondientes). α P En el triángulo rectángulo P P se tiene: m tg α P P y x y x ; x x Nota 3.4. A A a) El valor de m dado por el teorema 3.3 no está definido para x x ; este caso corresponde a una recta paralela al eje, de la que se observó anteriormente, no tiene pendiente.
b) El orden en que se toman las coordenadas para calcular la pendiente de una recta no tiene importancia, ya que: y y y y ; x x x x x x Ejemplo 3.. Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 4, ) y (, 3). También hallar el ángulo de inclinación. m 3 + + 4. Además α TG - () 4º. Teorema 3.4. m m Un ángulo θ formado por dos rectas se determina por tg θ con m m. Donde m + mm es la pendiente de la recta Inicial L y m es la pendiente de la recta Terminal L, del ángulo θ. L L θ C Por geometría elemental en triángulo AC se tiene que α α + θ (un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores opuestos). Luego: θ α α, entonces m m tg θ tg (α α ), + + m m A α α m m ya que m tg α y m tg α Ejemplo 3.6. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 4º. La recta inicial pasa por los puntos (, ) y (9, 7) y la recta final pasa por el punto (3, 9) y el punto A cuya abscisa es. Hallar la ordenada de A. 7 3 6 m 9 ( ) Teorema 3.3, m g θ tg 4º 9 y 3 ( ) 9 y m 6 6 + 9 y. Luego, m, despejando se tiene: m 7 y 8. 7. Por
Corolario 3.. Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales. Sean L y L dos rectas, de pendientes m y m respectivamente y θ el ángulo formado por ellos. m m ) Si L L entonces θ º o θ 8º, luego tg θ, m m, entonces, + mm m m m m. ) Si m m entonces tg θ tg θ θ º o θ 8º, luego L L. + m Corolario 3.. Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es. Sean L y L dos rectas, de pendientes m y m respectivamente y θ el ángulo formado por ellos. ) Si L L entonces θ 9º, luego del Teorema 3.4., en términos de la cotangente, se tiene + mm que: cot θ ; m m (cot 9º º) entonces + m m m m. m m ) Si m m cot θ ; entonces θ 9º, luego L L. m m Ejemplo 3.7. Sea el triángulo isósceles de vértices P (, 4), Q (, ) y R (, ). Verificar que la recta que une P y el punto medio de la base QR, es perpendicular a QR. P y R Sea M el punto medio de QR entonces sus coordenadas son: - x Q M x m + ; y m pendiente de PM es m Pendiente de QR es m + 3, luego 3 4 ( ). - Como m m entonces PM y QR son perpendiculares.
Ejemplo 3. 8. Verificar si los tres puntos P (, ), Q (, 3) y R (7, ) son colineales (es decir están en una misma recta). 3 ( ) La recta PQ tiene pendiente m 4. Si R esta en la recta PQ, la recta RQ debe 3 ( ) coincidir con ella de modo que deben tener la misma pendiente. La pendiente de recta RQ es m colineales. Ejemplo 3.9. 3 7 3. Como m m se tiene P, Q, y R no son Verificar por medio de pendientes que los cuatro puntos A (6, ), (8,6), C (4, 8) y D (, 4) son los vértices de un rectángulo. Considerando el cuadrilátero de lados A, C, DC y AD como en la figura se tiene: C D - - A Entonces: 6 6 m A m C 8 6 8 6 8 4 4 m DC m AD 4 6 Como: m A m DC entonces A DC m C m AD entonces C AD m A. m C entonces A C m DC. m AD entonces DC AD Luego el cuadrilátero tiene lados opuestos paralelos y los lasos adyacentes perpendiculares, por lo que se concluye que ACD es un rectángulo.
Ejercicios Propuestos.. Determinar el ángulo de inclinación de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos. a) (4, 6) y (, 3) b) ( 3, ) y (, ) c) (, 3 ) y (, ) d) (, 4) y (, 4). Si los puntos (3, ); (4, ) y (6, ) son los vértices de un triángulo. a) Verificar que es un triángulo rectángulo. b) Calcular el área del triángulo. c) Calcular los ángulos interiores del triángulo. 3. La recta L forma un ángulo de 6º con la recta L. Si la pendiente de L es determinar la pendiente de L. 4. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 4º. La recta inicial pasa por los puntos ( 3, ) y (8, 6) y la recta final pasa por los puntos (, 8) y el punto A cuya ordenada es 7. Hallar la abscisa de A.. Demostrar que los puntos (, ), (, 6), (9, 9) y (6, ) son los vértices de un rombo, sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio. 6. Si la recta que pasa por los puntos (, ) y (, ) es perpendicular a la recta que pasa por ( 4, ) y (k, 3). Hallar k. 7. Usando el concepto de pendiente de una recta, demuestre en cada caso siguiente que los tres puntos A, y C son colineales. a) A ( 6, 6), (, 3) y C (4, ) b) a) A (, 3), (, 7) y C (, )