Conjetura de la suma de los ángulos de un polígono

LECCIÓN CONDENSADA 5.1 Conjetura de la suma de los ángulos de un polígono En esta lección Descubrirás una fórmula para encontrar la suma de los ángulos de cualquier polígono Usarás el razonamiento deductivo para explicar por qué funciona la fórmula para la suma de los ángulos de un polígono Hay triángulos de muchas formas y tamaños distintos. Sin embargo, como descubriste en el Capítulo 4, todos los triángulos tienen la misma suma de ángulos internos, 180. En esta lección investigarás la suma de los ángulos de otros polígonos. Después intentarás encontrar un patrón que te permita encontrar la suma de los ángulos de cualquier polígono. Investigación: Existe una fórmula para la suma de los ángulos de un polígono? Dibuja tres cuadriláteros diferentes. Haz que al menos uno de ellos sea cóncavo. En cada cuadrilátero, mide cuidadosamente los cuatro ángulos y halla la suma de las medidas de los ángulos. Si mides cuidadosamente, debes encontrar que todos tus cuadriláteros tienen la misma suma de los ángulos. Cuál es esta suma? Anótala en una tabla similar a ésta. Número de lados 3 4 5 6 7 8... n Suma de las medidas de los ángulos 180 900 1080 A continuación, dibuja al menos dos pentágonos diferentes, uno de ellos cóncavo. Mide cuidadosamente los ángulos de cada pentágono, y halla la suma de los ángulos. Nuevamente, debes encontrar que la suma de los ángulos es igual para cada pentágono. Anota la suma en la tabla. Usa tus descubrimientos para completar las siguientes conjeturas. Conjetura de la suma de los ángulos de un cuadrilátero La suma de las medidas de los cuatro ángulos de cualquier cuadrilátero es. C-30 Conjetura de la suma de los ángulos de un pentágono La suma de las medidas de los cinco ángulos de cualquier pentágono es. C-31 Ahora dibuja dos hexágonos y halla la suma de sus ángulos. Anótala en la tabla. Las sumas de los ángulos de los heptágonos y octágonos ya están en la tabla, pero puedes verificar las sumas dibujando y midiendo tus propios polígonos. Busca un patrón en la tabla completa. Halla una fórmula general para la suma de las medidas de los ángulos de un polígono, en términos del número de lados, n. (Sugerencia: usa lo que aprendiste en el Capítulo 2 respecto a la fórmula para un patrón con una diferencia constante.) Después, completa esta conjetura. Conjetura de la suma de los ángulos de un polígono La suma de las medidas de los n ángulos internos de un n-ágono es. C-32 (continúa) Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 5 63

Lección 5.1 Conjetura de la suma de los ángulos de un polígono (continuación) Puedes usar el razonamiento deductivo para ver por qué tu fórmula funciona. En cada uno de los polígonos siguientes, se han dibujado todas las diagonales a partir de un vértice, creando triángulos. Observa que, en cada caso, hay 2 triángulos menos que el número de lados. 4 lados 5 lados 3 triángulos 6 lados 4 triángulos 7 lados 5 triángulos El cuadrilátero se ha dividido en dos triángulos, cada uno con una suma de ángulos de 180. Por lo tanto, la suma de los ángulos del cuadrilátero es 180 2, ó 360. El pentágono se ha dividido en tres triángulos, de manera que la suma de los ángulos es 180 3, ó 540. Las sumas de los ángulos del hexágono y del heptágono son 180 4 y 180 5, respectivamente. En general, si un polígono tiene n lados, la suma de sus ángulos es 180 (n 2) ó, de manera equivalente, 180 n 360. Esto debe concordar con la fórmula que ya hallaste. Puedes usar el diagrama a la derecha para escribir una prueba de párrafo de la Conjetura de la suma de los ángulos de un cuadrilátero. Trata de completar los pasos de la siguiente prueba. Prueba de párrafo: Demuestra que m Q m U m A m D 360. q d u 180 y e a v 180 según la Conjetura. Según la Propiedad aditiva de la igualdad, q d u e a v. Por lo tanto, la suma de las medidas de los ángulos de un cuadrilátero es 360. Q q D d e a A u v U He aquí un ejemplo que utiliza tus nuevas conjeturas. EJEMPLO Encuentra las medidas de los ángulos rotulados con letras. a. b. t 95 m 110 60 Solución a. El polígono tiene siete lados, y por eso la suma de los ángulos es 180 5, ó 900. Como todos los ángulos tienen la misma medida, la medida del ángulo m es 900 7, ó aproximadamente 128.6. b. El polígono tiene cinco lados, y por eso la suma de los ángulos es 180 3, ó 540. Por lo tanto, 90 120 110 95 t 540. Si resolvemos para t, se obtiene t 125. 64 CHAPTER 5 Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish

LECCIÓN CONDENSADA 5.2 Ángulos externos de un polígono En esta lección Encontrarás la suma de las medidas de un conjunto de ángulos externos de un polígono Derivarás dos fórmulas para la medida de cada ángulo de un polígono equiangular En la Lección 5.1, descubriste una fórmula para la suma de las medidas de los ángulos internos de cualquier polígono. En esta lección, buscarás una fórmula para la suma de las medidas de un conjunto de ángulos externos. Para crear un conjunto de ángulos externos, extiende cada lado del polígono para formar un ángulo externo en cada vértice. Conjunto de ángulos externos Investigación: Existe una suma de ángulos externos? Dibuja un triángulo y extiende sus lados para formar un conjunto de ángulos externos. Mide dos de los ángulos internos de tu triángulo. Después, usa la Conjetura de la suma de los ángulos de un polígono para encontrar la medida del ángulo restante. (Por ejemplo, si los dos ángulos miden 30 y 110, halla la medida del tercer ángulo, restando 30 + 110 de la suma total de los ángulos, 180.) Rotula cada ángulo de tu triángulo con su medida. Usa la Conjetura del par lineal para calcular la medida de cada ángulo externo. Después halla la suma de las medidas de los ángulos externos. Anota tu resultado en una tabla similar a la siguiente. Crees que obtendrías el mismo resultado con un triángulo diferente? Dibuja otro triángulo y observa. Número de lados 3 4 5 6 7 8... n Suma de las medidas 360... de los ángulos externos A continuación dibuja un cuadrilátero y crea un conjunto de ángulos externos. Usa un procedimiento similar al que usaste para los triángulos, para hallar la suma del conjunto de ángulos externos. Ahora encuentra la suma de los ángulos externos para un pentágono. Comienzas a ver un patrón? Prognostica la suma de las medidas de los ángulos externos para un hexágono. Después dibuja un hexágono y verifica tu predicción. Debes haber descubierto que, sin importar cuántos lados tenga un polígono, la suma de las medidas de sus ángulos externos es 360. Esto puede formularse como una conjetura. Conjetura de la suma de los ángulos externos La suma de las medidas de un conjunto de ángulos externos de cualquier polígono es 360. C-33 (continúa) Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 5 65

Lección 5.2 Ángulos externos de un polígono (continuación) Mira la construcción hecha por computadora en la página 261 de tu libro. Observa que los ángulos externos se mantienen igual al mismo tiempo que el polígono se encoge, hasta convertirse en un punto. Cómo esto muestra la Conjetura de la suma de los ángulos externos? Ahora encontrarás dos fórmulas para medir cada ángulo interno de un polígono equiangular con n lados. (Recuerda: Un polígono equiangular es un polígono en el que todos sus ángulos tienen la misma medida.) Puedes usar la Conjetura de la suma de los ángulos de un polígono para derivar la primera fórmula. Dicha conjetura establece que la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono con n lados es 180 (n 2). Si el polígono es equiangular, entonces cada uno de los n ángulos tiene la misma medida. Usa estos hechos para escribir una fórmula para medir cada ángulo. Para derivar la segunda fórmula, puedes usar la Conjetura de la suma de los ángulos externos. De acuerdo con esa conjetura, la suma de las medidas de los n ángulos externos de un polígono es 360. En un polígono equiangular, cada uno de los ángulos externos tiene la misma medida. Así pues, la medida de cada ángulo externo es 36 0 n. Si cada ángulo externo mide 36 0 n, cuál debe ser la medida de cada ángulo interno? Puedes establecer tus descubrimientos en una conjetura. Conjetura del polígono equiangular Puedes encontrar la medida de cada ángulo interno de un n-ágono equiangular, usando cualquiera de estas fórmulas: 180 36 0 n ó 180 (n 2) n. C-34 EJEMPLO Encuentra las medidas de los ángulos señalados con letras. a. b. s r a q 140 50 p Solución a. Éste es un 9-ágono equilátero. Puedes usar la Conjetura del polígono equiangular para encontrar la medida de a. a 180 36 0 9 180 40 140 b. Según la Conjetura del par lineal, p 130 y q 40, así que r 40 también. Para hallar s, usa la Conjetura de la suma de los ángulos externos. 130 40 40 90 s 360 La solución de esta ecuación da s 60. 66 CHAPTER 5 Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish

LECCIÓN CONDENSADA 5.3 Propiedades de los trapecios y los papalotes En esta lección Investigarás las propiedades de los papalotes Investigarás las propiedades de los trapecios, concentrándote en los trapecios isósceles En esta lección, examinarás dos tipos especiales de cuadriláteros, los papalotes y los trapecios. Recuerda que un papalote es un cuadrilátero con dos distintos pares de lados consecutivos congruentes. Puedes hacer un papalote construyendo dos triángulos isósceles diferentes Ángulos no del vértice en lados opuestos de una base común, y después quitando la base. En un triángulo isósceles, el ángulo entre los dos lados congruentes se llama el ángulo del vértice. Por esta razón, llamaremos a los ángulos entre los pares de lados congruentes de un papalote los ángulos del vértice. Nos referiremos a los otros dos ángulos como los ángulos no del vértice. Ángulos del vértice Un papalote tiene una recta de simetría de reflexión, al igual que un triángulo isósceles. Puedes usar esta propiedad para descubrir otras propiedades de los papalotes. Investigación 1: Cuáles son algunas propiedades de los papalotes? Sigue el Paso 1 en tu libro para construir un papalote en patty paper. Compara cada ángulo con el ángulo opuesto, doblando el papel. Cuáles ángulos son congruentes: los ángulos del vértice o los ángulos no del vértice? Usa tus descubrimientos para completar esta conjetura. Conjetura de los ángulos de un papalote Los ángulos de un papalote son congruentes. C-35 Dibuja las diagonales del papalote. Mide los ángulos que se forman donde las diagonales se intersecan. Usa tus descubrimientos para completar esta conjetura. Conjetura de las diagonales de un papalote Las diagonales de un papalote son. C-36 Observa las diagonales otra vez. Compara las longitudes de los segmentos sobre las diagonales. Alguna diagonal biseca a la otra? Usa tus observaciones para completar esta conjetura. Conjetura de la bisectriz diagonal de un papalote La diagonal que conecta los ángulos del vértice de un papalote es la de la otra diagonal. C-37 Dobla el papel a lo largo de la diagonal que conecta los ángulos del vértice. La diagonal biseca a los ángulos del vértice? Ahora, dobla a lo largo de la otra diagonal. Ésta biseca a los ángulos no del vértice? Completa esta conjetura. (continúa) Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 5 67

Lección 5.3 Propiedades de los trapecios y los papalotes (continuación) Conjetura de la bisectriz de ángulos de un papalote Los ángulos de un papalote son bisecados por una diagonal. C-38 Ahora explorarás algunas propiedades del trapecio. Recuerda que un trapecio es un cuadrilátero con exactamente un par de lados paralelos. Los lados paralelos se llaman las bases. Un par de ángulos que comparten una base como lado común se llaman los ángulos de la base. Investigación 2: Cuáles son algunas propiedades de los trapecios? Sigue los Pasos 1 y 2 en tu libro. Usa tus descubrimientos para completar esta conjetura. Par de ángulos de la base Bases Par de ángulos de la base Conjetura de los ángulos consecutivos de un trapecio Los ángulos consecutivos que están entre las bases de un trapecio son. Un trapecio isósceles es un trapecio cuyos lados no paralelos son de la misma longitud. Un trapecio isósceles tiene una recta de simetría que pasa por los puntos medios de las dos bases. C-39 Recta de simetría Usa los dos lados de tu regla no graduada para dibujar unos segmentos paralelos. Para construir los lados congruentes, traza arcos idénticos, centrados en los extremos de uno de los segmentos, de manera que cada arco interseque al otro segmento. Después conecta los puntos, como se muestra a continuación, para formar el trapecio. Mide cada par de ángulos de la base. En qué se distinguen los ángulos de cada par? Completa esta conjetura. Conjetura del trapecio isósceles Los ángulos de la base de un trapecio isósceles son. C-40 Ahora dibuja las dos diagonales. Compara sus longitudes y completa esta conjetura. Conjetura de las diagonales de un trapecio isósceles Las diagonales de un trapecio isósceles son. C-41 68 CHAPTER 5 Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish

LECCIÓN CONDENSADA 5.4 Propiedades de los segmentos medios En esta lección Descubrirás las propiedades del segmento medio de un triángulo Descubrirás las propiedades del segmento medio de un trapecio En el Capítulo 3 aprendiste que un segmento medio de un triángulo es un segmento que conecta los puntos medios de dos lados. En esta lección, investigarás las propiedades de los segmentos medios. Investigación 1: Propiedades del segmento medio de un triángulo Sigue los Pasos 1 3 en tu libro. Tus conclusiones deben llevarte a la siguiente conjetura. Conjetura de los tres segmentos medios Los tres segmentos medios de un triángulo lo dividen en cuatro triángulos congruentes. C-42 Señala todos los ángulos congruentes de tu triángulo, como se muestra en este ejemplo. Fíjate en uno de los segmentos medios y en el tercer lado del triángulo (el lado que no interseca al segmento medio). Observa los pares de ángulos alternos internos y de ángulos correspondientes asociados con estos segmentos. A qué conclusión puedes llegar? Observa los ángulos asociados con cada uno de los otros segmentos medios y el tercer lado correspondiente. Ahora compara la longitud de cada segmento medio con la longitud del tercer lado correspondiente. Qué relación hay entre las longitudes? Formula tus descubrimientos en forma de conjetura. Conjetura del segmento medio de un triángulo Un segmento medio de un triángulo es al tercer lado y la longitud del tercer lado. C-43 El segmento medio de un trapecio es el segmento que conecta los puntos medios de los lados no paralelos. Investigación 2: Propiedades del segmento medio de un trapecio Sigue los Pasos 1 3 en tu libro. Debes encontrar que los ángulos de la base del trapecio son congruentes con los ángulos correspondientes del segmento medio. Qué puedes concluir en cuanto a la relación entre el segmento medio y las bases? (continúa) Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 5 69

Lección 5.4 Propiedades de los segmentos medios (continuación) Ahora sigue los Pasos 5 7. Debes encontrar que el segmento medio cabe dos veces en el segmento que representa la suma de las dos bases. Es decir, la longitud del segmento medio es la mitad de la suma de las longitudes de las dos bases. En otras palabras, la longitud del segmento medio es el promedio de las longitudes de las bases. Usa lo que has aprendido sobre el segmento medio de un trapecio para completar esta conjetura. Conjetura del segmento medio de un trapecio El segmento medio de un trapecio es a las bases e igual en longitud al. C-44 Lee el texto que viene después de la investigación en la página 275 de tu libro y estudia la construcción hecha por computadora. Asegúrate de que comprendes la relación existente entre las conjeturas de los segmentos medios del trapecio y del triángulo. EJEMPLO Encuentra las medidas rotuladas con letras. a. b. b y 13 cm c 9 cm 72 x m 58 12 cm Solución a. Según la Conjetura del segmento medio del triángulo, x 1 (13 2 cm) 6.5 cm. La Conjetura del segmento medio del triángulo también te dice que el segmento medio es paralelo al tercer lado. Por lo tanto, los ángulos correspondientes son congruentes, de manera que m = 72. b. Según la Conjetura del segmento medio del trapecio, 1 (12 2 y) 9. Si resolvemos para y, obtenemos y 6. La Conjetura del segmento medio del trapecio también te dice que el segmento medio es paralelo a las bases. Por lo tanto, los ángulos correspondientes son congruentes, de manera que c 58. Según la Conjetura de los ángulos consecutivos del trapecio, b 58 180, por lo que b 122. 70 CHAPTER 5 Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish

LECCIÓN CONDENSADA 5.5 Propiedades de los paralelogramos En esta lección Descubrirás cómo se relacionan los ángulos de un paralelogramo Descubrirás cómo se relacionan los lados de un paralelogramo Descubrirás cómo se relacionan las diagonales de un paralelogramo Ya has explorado las propiedades de los papalotes y los trapecios, y las de los segmentos medios de los triángulos y los trapecios. En esta lección, estudiarás los paralelogramos. Investigación: Cuatro propiedades de paralelogramos Sigue las instrucciones del Paso 1 en tu libro para construir y rotular un paralelogramo. E V L O Compara las medidas de los ángulos opuestos usando patty paper o un transportador. Usa tus descubrimientos para completar esta conjetura. Conjetura de los ángulos opuestos de un paralelogramo Los ángulos opuestos de un paralelogramo son. C-45 Los ángulos consecutivos son ángulos que comparten un lado común. En el paralelogramo LOVE, LOV, y EVO son ángulos consecutivos y VEL y OLE son ángulos consecutivos. Halla la suma de las medidas de cada par de ángulos consecutivos. Debes encontrar que la suma es igual para ambos pares. Cuál es la suma? Completa esta conjetura. Conjetura de los ángulos consecutivos de un paralelogramo Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son. C-46 Supongamos que se te da la medida de un ángulo de un paralelogramo. Describe cómo podrías usar las anteriores conjeturas para hallar las medidas de los otros tres ángulos. Si no lo sabes, observa este ejemplo. Cuáles son los valores de a, b, y c? (Recuerda todas tus conjeturas de rectas paralelas.) a b 58 c (continúa) Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 5 71

Lección 5.5 Propiedades de los paralelogramos (continuación) Compara las longitudes de los lados opuestos de tu paralelogramo. Qué relación hay entre las longitudes? Completa esta conjetura. Conjetura de los lados opuestos de un paralelogramo Los lados opuestos de un paralelogramo son. C-47 Ahora dibuja las diagonales de tu paralelogramo. Rotula el punto donde se intersecan las diagonales con la letra M. Cómo se comparan LM y VM? Cómo se comparan EM y OM? Qué te dice esto respecto a la relación que existe entre las diagonales? Completa esta conjetura. Conjetura de las diagonales de un paralelogramo Las diagonales de un paralelogramo entre sí. C-48 En tu libro, lee el texto sobre los vectores que sigue a la investigación. He aquí un ejemplo que usa tus nuevas conjeturas. EJEMPLO En las partes a y b, las figuras son paralelogramos. Encuentra las medidas señaladas con letras e indica las conjeturas que usaste. a. m b. n s 112 13 cm t 28 cm Solución a. Según la Conjetura de los lados opuestos de un paralelogramo, m 28 cm. Según la Conjetura de las diagonales de un paralelogramo, n 13 cm. b. Según la Conjetura de los ángulos opuestos de un paralelogramo, t 112. Según la Conjetura de los ángulos consecutivos de un paralelogramo, s 180 112 68. 72 CHAPTER 5 Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish

LECCIÓN CONDENSADA 5.6 Propiedades de los paralelogramos especiales En esta lección Descubrirás las propiedades de los rombos y sus diagonales Descubrirás las propiedades de los rectángulos y sus diagonales Descubrirás las propiedades de los cuadrados y sus diagonales En la Lección 5.5 investigaste los paralelogramos. En esta lección te concentrarás en tres paralelogramos especiales: rombos, rectángulos, y cuadrados. Investigación 1: Qué puedes dibujar con una regla no graduada de doble filo? Sigue los Pasos 1 3 en tu libro. Debes encontrar que todos los lados del paralelogramo que creas son de la misma longitud. Usa tus descubrimientos para completar esta conjetura. Conjetura de la regla no graduada de doble filo Si dos rectas paralelas son intersecadas por un segundo par de rectas paralelas que están a la misma distancia que el primer par, entonces el paralelogramo formado es un. C-49 Ahora que conoces una forma rápida de construir un rombo, explorarás algunas propiedades especiales de los rombos. Investigación 2: Las diagonales de los rombos tienen propiedades especiales? En esta investigación considerarás las diagonales de un rombo. Sigue los Pasos 1 y 2 en tu libro. Después completa esta conjetura. Conjetura de las diagonales de un rombo Las diagonales de un rombo son y entre sí. C-50 Sigue el Paso 3 para comparar los dos ángulos formados en cada vértice por una diagonal y los lados. Después, completa esta conjetura. Conjetura de los ángulos de un rombo Las diagonales de un rombo los ángulos del rombo. C-51 Acabas de explorar los rombos: cuadriláteros con cuatro lados congruentes. Ahora observarás los rectángulos: cuadriláteros con cuatro ángulos congruentes. Según la Conjetura de la suma de los ángulos de un cuadrilátero, sabes que la suma de las medidas de los ángulos de un rectángulo es 360. Como todos los ángulos tienen las mismas medidas, cada ángulo debe medir 90. En otras palabras, un rectángulo tiene cuatro ángulos rectos. (continúa) Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 5 73

Lección 5.6 Propiedades de los paralelogramos especiales (continuación) Como dos rectas en un plano que son perpendiculares a la misma recta son paralelas entre sí, los lados opuestos de un rectángulo son paralelos. Así que puedes definir un rectángulo así: Un rectángulo es un paralelogramo equiangular. Investigación 3: Las diagonales de un rectángulo tienen propiedades especiales? Dibuja un rectángulo grande usando las rectas, sobre un papel cuadriculado como guía. Dibuja ambas diagonales y compara sus longitudes. Qué observas? Como un rectángulo es un paralelogramo, sabes que sus diagonales se bisecan entre sí. Puedes resumir estas ideas respecto a las diagonales en una conjetura. Conjetura de las diagonales de un rectángulo Las diagonales de un rectángulo son y se bisecan entre sí. C-52 Un cuadrado es un cuadrilátero que es tanto equiangular como equilátero. Aquí hay dos definiciones de un cuadrado. Un cuadrado es un rombo equiangular. Un cuadrado es un rectángulo equilátero. Como un cuadrado es un paralelogramo, un rombo, y un rectángulo, todas las propiedades de estos cuadriláteros también son ciertas para los cuadrados. Revisa lo que sabes sobre las diagonales de cada uno de estos cuadriláteros, y usa tus descubrimientos para completar esta conjetura. Conjetura de las diagonales de un cuadrado Las diagonales de un cuadrado son,, y. C-53 EJEMPLO Encuentra las medidas rotuladas con letras. W Z b 5 cm X a 23 d c Y Solución La figura es un rombo, así que según la Conjetura de los ángulos de un rombo, las diagonales bisecan a los ángulos. Por lo tanto, a 23. Según la Conjetura de los ángulos consecutivos de un paralelogramo, WXY y XWZ son suplementarios, por lo que m XWZ 46 180. Entonces, m XWZ 134, así que b 1 (134 ) 2 67. Según la Conjetura de las diagonales de un rombo, las diagonales son perpendiculares y se bisecan entre sí, de manera que c 90 y d 5 cm. 74 CHAPTER 5 Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish

LECCIÓN CONDENSADA 5.7 Probar las propiedades de los cuadriláteros En esta lección Conocerás la estrategia del razonamiento retrospectivo para escribir pruebas Probarás muchas de las conjeturas sobre los cuadriláteros de este capítulo En el presente capítulo has hecho muchas conjeturas respecto a las propiedades de los cuadriláteros. En esta lección, escribirás las pruebas de varias de estas conjeturas. Observa la ilustración de los bomberos en tu libro. El bombero que sostiene la manguera le ha pedido al otro bombero que abra una de las bocas de incendio. Cuál debe abrir? Una forma de solucionar este problema es partir del extremo de la manguera que sostiene el primer bombero y seguirla hasta llegar a la boca de incendio. Puedes usar una estrategia similar para ayudarte a escribir pruebas. Para planear una prueba, con frecuencia es útil comenzar con la conclusión (esto es, la proposición que deseas probar) y retroceder hasta el principio, dando un paso a la vez. Hacer un organigrama puede ayudarte a visualizar el flujo del razonamiento. El ejemplo en tu libro ilustra cómo funciona esta estrategia. Lee ese ejemplo con mucha atención. Después lee el ejemplo siguiente, que muestra cómo probar la proposición del Ejercicio 4. EJEMPLO Prueba la conjetura: Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. R Dado: Demuestra: El cuadrilátero WATR, donde WA RT y WR AT, y con la diagonal WT WATR es un paralelogramo 4 W 1 T 2 3 A Solución Construye tu prueba trabajando hacia atrás. Tu razonamiento puede funcionar de esta forma: Puedo demostrar que WATR es un RT WA paralelogramo si puedo probar que los lados opuestos son paralelos. Esto es, necesito WATR es un paralelogramo demostrar que RT WA y WR AT. Puedo demostrar que RT WA si puedo WR AT probar que los ángulos alternos internos 1 y 2 son congruentes. Puedo demostrar que 1 2 RT WA WR AT si puedo probar que los ángulos alternos internos 4 y 3 son congruentes. 4 3 WR AT WATR es un paralelogramo (continúa) Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 5 75

Lección 5.7 Probar las propiedades de los cuadriláteros (continuación) Puedo demostrar que 1 2 y 4 3 si son partes correspondientes de triángulos congruentes. 1 2 RT WA WRT TAW WATR es un paralelogramo 4 3 WR AT Puedo demostrar que WRT TAW? Sí, utilizando SSS, porque se da que WA RT y WR AT, y WT WT porque es el mismo segmento en ambos triángulos. WA RT 1 2 RT WA WR AT WRT TAW WATR es un paralelogramo WT WT 4 3 WR AT Al añadir la razón de cada proposición debajo de cada caja, puedes convertir el organigrama en una prueba completa de organigrama. WA RT Dado WR AT Dado WT WT Mismo segmento WRT TAW Conjetura de congruencia SSS 1 2 CPCTC 4 3 CPCTC RT WA Inverso de la conjetura de rectas paralelas WR AT Inverso de la conjetura de rectas paralelas WATR es un paralelogramo Definición de un paralelogramo Si lo prefieres, puedes escribir la prueba en forma de párrafo: Tenemos que WA RT y WR AT. WT WT porque es el mismo segmento. Así, WRT TAW según la Conjetura de congruencia SSS. Según CPCTC, 1 2 y 4 3. Según el inverso de la Conjetura de los ángulos alternos internos, RT WA y WR AT. Por lo tanto, WATR es un paralelogramo porque, por definición, un paralelogramo es un cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos. Q.E.D. 76 CHAPTER 5 Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish