Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita

Tema 5 Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita Una ecuación es una igualdad ( = ) que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x. Cuando sólo aparece una letra que siempre está elevada a uno, tenemos una ecuación de primer grado con una incógnita. 1 Partes de una ecuación El signo = divide a la ecuación en dos partes llamadas miembros Primer miembro Segundo miembro 7x 10 + x 2 = 6x 3 + 3x 1 términos términos En cada miembro y separados por los signos de + y están los términos. Hay dos clases de términos: Términos con x : 7x, x, 6x, 3x Términos sin x (términos independientes): 10, 2, 3, 1, 2 Resolver una ecuación Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la incógnita x que hacen cierta la igualdad. Hay dos formas de resolver una ecuación: por tanteo y por un método. Por tanteo consiste en ir probando números hasta que encontremos uno que cumpla la igualdad. Ejemplo: 3x + 2 = 2x + 8 Le vamos dando valores a la x para que se cumpla la igualdad: 0, 1, 2, 3,..., 1, 2, 3, 4,... Cuando x = 6, se cumple la igualdad 3 6 + 2 = 2 6 + 8 20 = 20 Fco. Javier Sánchez García Pág. 1/11

3 Método para resolver una ecuación Para resolver ecuaciones de primer grado es conveniente seguir siempre una misma estrategia que facilite su resolución. 1º Quitar denominadores. 2º Quitar paréntesis. 3º Transponer términos semejantes. 4º Reducir términos semejantes. 5º Despejar x 6º Comprobar la solución. 1º Quitar denominadores. Calculamos el m.c.m. de los denominadores. Dividimos el m.c.m. entre cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador. Recuerda que si algún término no tiene denominador, es 1. 2º Quitar paréntesis. Podemos encontrarnos con los siguientes casos: Delante del paréntesis hay un número multiplicando: aplicamos la propiedad distributiva. Delante del paréntesis no hay nada o hay un signo +: quitamos el paréntesis y dejamos igual lo que hay dentro. Delante del paréntesis hay un signo : quitamos el paréntesis y cambiamos de signo todo lo que hay dentro. 3º Transponer términos semejantes. Consiste en tener en el 1º miembro todos los términos con x, y en el 2º miembro todos los términos independientes ( sin x ). Para ello debemos saber la siguiente regla: Cuando un término cambia de miembro, cambia de signo. 4º Reducir términos semejantes. Consiste en sumar y restar los términos semejantes en cada miembro para que sólo nos quede un único término con x y un único término independiente. Fco. Javier Sánchez García Pág. 2/11

5º Despejar x Consiste en dejar la x sola. Para ello el número que está con la x nos lo llevamos al 2º miembro, teniendo en cuenta la siguiente regla: Si está multiplicando, nos lo llevamos dividiendo, y viceversa. Ya tendremos la solución de x. 6º Comprobar la solución. Consiste en sustituir el valor de x en la ecuación y comprobar que se cumple la igualdad. Ejemplo: Resuelve esta ecuación y comprueba la solución 4x _ 2x + 7 = 5 2 5 1º Quitamos denominadores calculando el m.c.m. de los denominadores. m.c.m.( 2 y 5) = 2 5 = 10 Dividimos 10 entre cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador 5 (4x) 2 ( 2x + 7 ) = 10 5 2º Quitamos paréntesis multiplicando y aplicando propiedad distributiva: 20x 4x 14 = 50 3º Transponer términos semejantes. Nos llevamos 14 al 2º miembro cambiado de signo: 20x 4x = 50 + 14 4º Reducir términos semejantes. Sumamos y restamos en cada miembro: 16x = 64 5º Despejar x. Nos llevamos 16, que está multiplicando, al 2º miembro dividiendo: x = 64 Dividimos 64 : 16 = 4 16 x = 4 6º Comprobar la solución. Sustituimos la x por 4 en la ecuación: 4 4 _ 2 4 + 7 = 5 2 5 16 _ 15 = 5 2 5 8 3 = 5 5 = 5 Fco. Javier Sánchez García Pág. 3/11

4 Soluciones de una ecuación Las Ecuaciones de Primer grado con una incógnita tienen una solución única, como en el ejemplo anterior, sólo hay un valor que hace que la igualdad se cumpla: Pero pueden ocurrir los dos siguientes casos: x = 4 1º 2x + 5 x = x + 3 + 2 Resolvemos la ecuación 2x x x = 3 + 2 5 0x = 0 Cuando ocurre esto se llama una identidad y, para cualquier valor que probemos de x se cumple siempre. Los dos miembros son iguales: 2x + 5 x = x + 3 + 2 x + 5 = x + 5 2º 4x + 10 x = 3x + 15 Resolvemos la ecuación 4x x 3x = 15 10 0x = 5 Cuando esto ocurre, la ecuación no tiene solución, porque no hay ningún número que multiplicado por 0 dé 5. Fco. Javier Sánchez García Pág. 4/11

5 Problemas de Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita Son problemas que se resuelven planteando y resolviendo una ecuación de 1º grado con una incógnita. Es aconsejable seguir los siguientes pasos en el problema: Comprender el enunciado: Se debe leer el problema las veces que sean necesarias para distinguir los datos conocidos y el dato desconocido que se quiere encontrar, es decir, la incógnita x. Escribimos los datos del problema. Pensamos a que dato le vamos a llamar x y los demás datos los ponemos en función de x. Plantear la ecuación: Con los datos y traduciendo el lenguaje ordinario a lenguaje algebraico planteamos (escribimos) la ecuación. Resolver la ecuación: Mediante el método de resolución de ecuaciones, obtenemos la solución. Comprobar la solución: En los datos sustituimos x por el valor obtenido y comprobamos que se cumplen las condiciones del problema. Ejemplos: 1. Si al doble de un número le sumamos 15 obtenemos 51. Qué número es? Datos: (Al número le vamos a llamar x ) Número : x Planteamos la ecuación: (Traducimos a lenguaje algebraico) 2 x + 15 = 51 Resolvemos la ecuación: (Método de resolución de ecuaciones) 2 x = 51 15 2 x = 36 x = 36 2 x = 18 Comprobamos el resultado: (Comprobamos si 18 cumple las condiciones del problema) 2 18 + 15 = 51 36 + 15 = 51 51 = 51 Solución: El número es 18 Fco. Javier Sánchez García Pág. 5/11

2. En una ferretería se venden tornillos en cajas de tres tamaños: pequeña, mediana y grande. La caja grande contiene el doble que la mediana y la mediana 25 tornillos más que la pequeña. He comprado una caja de cada tamaño y en total hay 375 tornillos, cuántos tornillos hay en cada caja? Datos: (Hay que llamarle x a una de las tres cajas. Como la grande nos la dan en función de la mediana y la mediana en función de la pequeña, llamaremos x a la caja pequeña) Caja pequeña : x Caja mediana: x + 25 Caja grande: 2 ( x + 25 ) Planteamos la ecuación: (Traducimos a lenguaje algebraico: la suma de los tornillos de las tres cajas es igual a 375) x + ( x + 25 ) + 2 ( x + 25 ) = 375 Resolvemos la ecuación: (Método de resolución de ecuaciones) x + x + 25 + 2x + 50 = 375 x + x + 2x = 375 25 50 4x = 300 x = 300 4 x = 75 Comprobamos el resultado: (Sustituimos x por 75 en los datos y sumamos) Solución Caja pequeña : x = 75... 75 Caja mediana: x + 25 = 75 + 25 = 100... 100 Caja grande: 2 ( x + 25 ) = 2 ( 75 + 25 ) = 2 100 = 200... 200 + 375 Fco. Javier Sánchez García Pág. 6/11

6 Otros Problemas de Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita 6.1 Problemas de Edades. Son problemas en los que nos piden calcular la edad de varias personas. Para poner los datos, a la edad de una persona la llamamos x y las edades de las demás personas las ponemos en función de x. En los datos vamos a diferenciar la edad que tienen hoy, de la edad que tendrán dentro de varios años y de la edad que tenían hace varios años. Ejemplos: 1. Juan tiene 8 años más que su hermana Inés. Dentro de 5 años, la edad de Juan será el doble que la de Inés. Qué edad tiene cada uno hoy? Datos: Edad Hoy Edad dentro de 5 años Inés: x x + 5 Juan: x + 8 x + 8 + 5 Planteamos la ecuación: Para plantear la ecuación cogemos los datos de dentro de 5 años La edad de Juan dentro de 5 años será el doble que la de Inés dentro e 5 años x + 8 + 5 = 2 ( x + 5 ) Resolvemos la ecuación: x + 8 + 5 = 2 x + 10 x 2x = 10 8 5 x = 3 x = 3 Damos las soluciones y comprobamos el resultado: Edad Hoy x = 3 Comprobamos la edad dentro de 5 años Inés: x = 3 años 3 + 5 = 8 años Juan: x + 8 = 11 años 11 + 5 = 16 años, que es el doble de Inés Solución: Inés tiene 3 años y Juan tiene 11 años Fco. Javier Sánchez García Pág. 7/11

2. Un padre tiene 43 años y su hijo19 años. Cuántos años hace que la edad del padre era el triple que la del hijo? Datos: Edad Hoy Edad hace x años Padre: 43 43 x Hijo: 19 19 x Planteamos la ecuación: Para plantear la ecuación cogemos los datos de hace x años La edad del padre hace x años era el triple que la del hijo hace x años 43 x = 3 ( 19 x ) Resolvemos la ecuación: 43 x = 57 3 x x + 3 x = 57 43 2 x = 14 x = 14 2 x = 7 Damos las soluciones y comprobamos el resultado: Datos: Edad Hoy Edad hace 7 años Padre: 43 43 7 = 36 años, era el triple de su hijo Hijo: 19 19 7 = 12 años Solución: Hace 7años la edad del padre era triple que la del hijo. Fco. Javier Sánchez García Pág. 8/11

6.2 Problemas de Geometría. Son problemas en los que aparecen figuras geométricas. Se resuelven igual que los problemas anteriores, pero para comprenderlos mejor dibujamos la figura y en ella ponemos los datos. Hay que repasar las fórmulas de los perímetros y áreas de las figuras planas: triángulo, cuadrado, rectángulo... Ejemplos: 1. Una parcela rectangular es 15 metros más larga que ancha. La valla que la rodea tiene una longitud de 150 metros. Cuáles las dimensiones de la parcela? Dibujamos el rectángulo y si al ancho lo llamamos x el largo será x + 15 Datos: Ancho: x Largo: x + 15 x + 15 Perímetro: 150 metros Planteamos la ecuación: x Hay que saber como se calcula el perímetro de un rectángulo: El perímetro es igual a la suma de todos sus lados: 2 largos + 2anchos 2 x + 2 ( x + 15 ) = 150 Resolvemos la ecuación: 2 x + 2 x + 30 = 150 2 x + 2x = 150 30 4 x = 120 x = 120 4 x = 30 Damos las soluciones y comprobamos el resultado: Ancho: x = 30 m Largo: x + 15 = 30 + 15 = 45 m Comprobamos: 2 30 + 2 45 = 60 + 90 = 150 metros Solución: La parcela mide 30 m de ancho y 45 m de largo Fco. Javier Sánchez García Pág. 9/11

2. Los dos lados iguales de un triángulo isósceles son 3 cm más cortos que el lado desigual, y su perímetro es de 48 cm. Cuánto mide cada lado? Dibujamos el triángulo isósceles (2 lados iguales y uno desigual) llamamos x al lado desigual y x 3 a los lados iguales x 3 x 3 Datos: x Lado Desigual: x Lado igual: x 3 Perímetro: 48 cm Planteamos la ecuación: Hay que saber como se calcula el perímetro de un triángulo: El perímetro es igual a la suma de todos sus lados: 2 lados iguales + 1 lado desigual 2 ( x 3 ) + x = 48 Resolvemos la ecuación: 2 x 6 + x = 48 2 x + x = 48 + 6 3 x = 54 x = 54 3 x = 18 Damos las soluciones y comprobamos el resultado: Lado Desigual: x = 18 cm Lado igual: x 3 = 18 3 = 15 cm Comprobamos: 2 15 + 18 = 30 + 18 = 48 cm Solución: Los lados iguales miden 15 cm cada uno y el desigual 18 cm Fco. Javier Sánchez García Pág. 10/11

6.3 Problemas de Mezclas. Son problemas en los que mezclamos productos de distintas calidades con precios diferentes para obtener un solo producto a un precio único. Estos problemas se hacen con la ayuda de una tabla: Producto Clase A Clase B Mezcla Cantidad de kg. litros.. Precio del kg. del litro... Coste Total Cantidad Precio Ejemplos: 1. En una bodega hay dos clases de vino, uno barato a 3 /litro y otro caro a 7 /litro. Cuantos litros tiene que coger de cada clase para obtener 80 litros de mezcla a 5,50 /litro? Datos: Producto Cantidad litros Precio del litro Coste Total Cantidad Precio Vino Barato x 3 3x Vino Caro 80 x 7 7( 80 x ) Mezcla 80 5,5 80 5,5 = 440 Planteamos la ecuación: Para plantear la ecuación cogemos los datos del Coste Total: el coste del vino barato + el coste del vino caro es igual al coste de la mezcla. 3x + 7 ( 80 x ) = 440 Resolvemos la ecuación: 3x + 560 7 x = 440 3x 7x = 440 560 4 x = 120 x = 120 4 Damos las soluciones y comprobamos el resultado: Vino barato: x = 30 litros Vinocaro: 80 x = 80 30 = 50 litros Comprobamos: 30 3 + 50 7 = 80 5,5 90 + 350 = 440 440 = 440 x = 30 Solución: Mezclamos 30 litros del vino barato con 50 litros del vino caro Fco. Javier Sánchez García Pág. 11/11