Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) Veamos: Movimiento: Un cuerpo tiene movimiento si cambia de posición a través del tiempo. Rectilíneo: Un movimiento tiene una trayectoria rectilínea si se mueve a lo largo de una línea recta. Uniforme: Se refiere a que el cuerpo que se mueve avanza, o retrocede, la misma distancia en cada unidad de tiempo. También se puede decir que se refiere a que el cuerpo que se mueve lo hace con velocidad constante. Por lo tanto, en este tema MRU se aprenderá a describir el movimiento que tiene un cuerpo que se desplaza a través de una línea recta con velocidad constante. Hay algún ejemplo que nos pueda dar una idea más cercana acerca de lo que se va a plantear? Un automóvil que se mueve en una carretera, en un solo sentido, sin cambiar su velocidad. En realidad no es tan fácil identificar un cuerpo que se mueva con MRU perfecto y en forma natural, donde no intervenga la mano del hombre. Un par de ejemplos de la naturaleza son más precisos, pero no se ven, son: La velocidad del sonido en un medio homogéneo. La luz, también en un medio homogéneo. Por qué no se ven ejemplos muy claros que correspondan perfectamente a un MRU? Puede haber varias causas, pero aparentemente la principal es el hecho de que cada vez que hay un movimiento, en una superficie (una calle por ejemplo) o en un fluido (aire por ejemplo), surge un impedimento al movimiento: el roce. El roce es un tipo de fuerza que se opone al movimiento. Por lo tanto, cada vez que un objeto se mueve actuará sobre él una fuerza de roce que lo irá frenando. Y si va frenando entonces va disminuyendo su velocidad, y debido a ese efecto, el objeto no se moverá con MRU. Trayectoria: forma que tiene el camino por donde se mueve un objeto. La más simple es la rectilínea (camino recto). Sentido: Al decir un solo sentido se refiere a que si el cuerpo se mueve de A a B, en ningún momento modifica su trayectoria. Medio homogéneo: Medio, o ambiente, que tiene la misma densidad en todas sus regiones. Fluido: Medio líquido o gaseoso. 1
En el ejemplo que se mencionó, el del automóvil en una carretera, se tienen que dar algunas condiciones para que sea considerado un MRU: Que efectivamente se mueva en línea recta, esto significa que el conductor no debe mover el volante por motivo alguno. Que el camino por donde se mueve el automóvil sea perfectamente plano y recto. Que el conductor no frena ni acelera más que lo justo para contrarestar el efecto del roce. Lo mencionado como condicionantes puede resultar fácil o difícil según sean las condiciones de la conducción. En un fluido es posible ver un par de ejemplos concretos. Una gota de lluvia en sus últimos metros de caída cae con MRU. Siempre que no haya viento. Un objeto que cae en un líquido luego de entrar al líquido va a frenarse hasta alcanzar una velocidad que la mantendrá hasta llegar al fondo. Siempre que el líquido esté quieto. En las explicaciones que se han dado han aparecido algunos conceptos que es necesario aclararlos, algunos se presentan en un cuadro al lado de donde aparecen, pero hay otros de mayor interés que los trataremos acá: Movimiento Distancia Desplazamiento Cada vez que se hable de movimiento habrá que hacerlo indicando alguna referencia. En física, a esa referencia le llamamos Sistema de Referencia. A veces es un punto. Si el movimiento es en línea recta, bastará un punto de esa línea para usarlo como referencia. Pero si el movimiento es en un plano, o en el espacio, es recomendable usar un sistema de coordenadas. El movimiento rectilíneo uniforme (MRU) fue definido, por primera vez, por Galileo en los siguientes términos: "Por movimiento igual o uniforme entiendo aquél en el que los espacios recorridos por un móvil en tiempos iguales, tómense como se tomen, resultan iguales entre sí", o, dicho de otro modo, es un movimiento de velocidad v constante. El MRU se caracteriza por: a) Movimiento que se realiza en una sola dirección en el eje horizontal. b) Velocidad constante; implica magnitud, sentido y dirección inalterables. c) La magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. Este movimiento no presenta aceleración (aceleración = 0). Concepto de rapidez y de velocidad Muy fáciles de confundir, son usados a menudo como equivalentes para referirse a uno u otro. Pero la rapidez (r) representa un valor numérico, una magnitud; por ejemplo, 30 km/h. En cambio la velocidad representa un vector que incluye un valor numérico (30 Km/h) y que además posee un sentido y una dirección. Cuando hablemos de rapidez habrá dos elementos muy importantes que considerar: la distancia (d) y el tiempo (t), íntimamente relacionados. Así: Rapidez fantástica. Si dos móviles demoran el mismo tiempo en recorrer distancias distintas, tiene mayor rapidez aquel que recorre la mayor de ellas. Si dos móviles recorren la misma distancia en tiempos distintos, tiene mayor rapidez aquel que lo hace en menor tiempo. Significado físico de la rapidez La rapidez se calcula o se expresa en relación a la distancia recorrida en cierta unidad de tiempo y su fórmula general es la siguiente:
Donde v = rapidez d = distancia o desplazamiento t = tiempo Usamos v para representar la rapidez, la cual es igual al cociente entre la distancia (d) recorrida y el tiempo (t) empleado para hacerlo. Como corolario, la distancia estará dada por la fórmula: Según esta, la distancia recorrida por un móvil se obtiene de multiplicar su rapidez por el tiempo empleado. A su vez, si se quiere calcular el tiempo empleado en recorrer cierta distancia usamos hace. El tiempo está dado por el cociente entre la distancia recorrida y la rapidez con que se En este ejemplo, el móvil recorre 8 metros cada 2 segundos y se mantiene constante. Gráficas del movimiento rectilíneo Un modo de describir y estudiar los movimientos es mediante gráficas que representan distanciatiempo (distancia en función del tiempo), velocidad-tiempo (velocidad en función del tiempo) y aceleración-tiempo (aceleración en función del tiempo). Debemos anotar que los vocablos distancia, espacio y desplazamiento se usan como sinónimos. Distancia en función del tiempo El espacio (distancia o desplazamiento) recorrido en un Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) puede representarse en función del tiempo. Como en este movimiento el espacio recorrido y el tiempo transcurrido son proporcionales la gráfica es siempre una rectacuya inclinación (pendiente) es el valor de la rapidez (velocidad) del movimiento. Independientemente del sentido (ascendente o descendente en la gráfica) del movimiento los espacios que recorre el móvil son siempre positivos.
Ecuación de la recta en el Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) Tenemos el siguiente gráfico: Gráfica de posición en función del tiempo (posición contra tiempo). Los cambios de posición con respecto al tiempo son uniformes Dijimos (y así lo vemos arriba) que la gráfica que representa la posición o el espacio recorrido por un móvil en función del tiempo es una línea recta. También sabemos que la expresión matemática de una recta es: y = b + mx Donde: b es la intersección con el eje vertical. m es la pendiente de la recta. La pendiente de la recta (m) se encuentra mediante: En nuestro gráfico, entonces, la pendiente es: En una gráfica de posición contra tiempo (x - t), la pendiente de la recta me indica la velocidad (V), por lo tanto. La ecuación de la recta se encuentra a partir de despejar x de la fórmula para la pendiente También se la conoce como ecuación del movimiento rectilíneo uniforme (uniforme debido a que la velocidad no cambia, siempre es la misma, es una constante). Velocidad en función del tiempo Al realizar la gráfica de velocidad en función del tiempo en el MRU obtenemos una recta paralela al eje X. Podemos calcular el desplazamiento como el área bajo la línea recta.
Gráfica de la velocidad en función del tiempo. Otro camino de razonamiento sobre las gráficas en el MRU Ya aprendimos que un movimiento rectilíneo uniforme es aquel en el que la trayectoria es una línea recta y su velocidad es constante. La fórmula para conocer la velocidad (rapidez) de un móvil es: Entonces, para conocer el espacio recorrido (d) en un MRU basta con despejar d de la expresión de la velocidad: Pero también sabemos que en un MRU el espacio recorrido (d), es igual a la posición final (x), menos la posición inicial (x 0 ): Si despejamos x, queda Entonces, x indica la posición final del móvil, que si la identificamos como (s), nos queda: Ecuación que se corresponde con la ecuación de la recta o ecuación del movimiento rectilíneo: y = b + mx Donde La incógnita (y) es la posición final del móvil (s) La intersección en el eje y (b) corresponde al origen del movimiento (x 0 ) o posición inicial. El valor de la pendiente (m) corresponde al valor de la velocidad del móvil (v). Ejemplos para aclarar el tema Las siguientes gráficas posición-tiempo (posición en función del tiempo) representan dos casos de movimientos rectilíneos uniformes: 1) Gráfica partiendo del origen
El móvil parte del origen y se aleja de él a una velocidad constante de 5m/s. La gráfica es una recta ascendente. Como x 0 = 0, la posición del móvil, en cada instante, será: x = 5 t. 2) Gráfica partiendo de un punto situado a cierta distancia del origen. El móvil parte de un punto situado a 80 m del origen y se acerca a él a 10 m/s. La gráfica es una recta descendente. Como x 0 = 80 m, la posición, en cada instante, será: x = 80 10 t. Nótese que 10 (valor de la rapidez) es negativo porque el móvil se está acercando al origen, aunque mantiene su velocidad constante y su aceleración es cero. Recuerde que si la pendiente en la gráfica es ascendente, significa que el móvil se aleja del origen, y que si la pendiente es descendente el móvil se acerca al origen. Ejercicio 1) Cuál de los dos movimientos representados tiene mayor velocidad?, por qué?
El movimiento 1 es el más rápido (teniendo en cuenta que se comparan en la misma gráfica). Porque Para el caso 1: Para el caso 2: Para comparar las velocidades debemos igualar los tiempos y consideramos que Entonces para un mismo lapso de tiempo (t 2 = t 1 ) notamos que x 1 > x 2. Ejercicio 2) En el gráfico siguiente se representa un movimiento rectilíneo uniforme, averigüe gráfica y analíticamente la distancia recorrida en los primeros 4 s. Desarrollo Datos: Ejercicio 3) La ecuación del movimiento de una partícula es: x = 4 + 5 t, donde t está expresado en horas, y x, en kilómetros. Completamos una tabla x-t y hacemos su representación gráfica. Posición (km) 4 9 14 24 34 Tiempo (h) 0 1 2 4 6
Estudiando la gráfica deducimos que se trata de un movimiento rectilíneo uniforme. Los parámetros de la ecuación son: Comprobemos la posición del móvil a las 6 horas: Ejercicio 4) Estudiamos el movimiento de una partícula que se desplaza con MRU a velocidad constante de 10 m/s. La posición inicial de la partícula es x0 = 10 m. Los datos nos permiten conformar la siguiente tabla: v (m/s) 10 10 10 10 x (m) 10 30 50 70 t (s) 0 2 4 6 Gráfica del desplazamiento respecto al tiempo (en función del tiempo)
Gráfica de la velocidad respecto al tiempo (en función del tiempo) Otro ejemplo: Un automóvil recorre 70 km cada hora. Con los datos anteriores se puede elaborar la tabla siguiente: punto A B C D F G distancia (km) 0 70 140 210 280 350 tiempo (h) 0 1 2 3 4 5 Los datos de esta tabla nos permiten elaborar una gráfica. Gráfica de un movimiento rectilíneo uniforme Se unen con una línea los puntos desde su origen hasta el final. En la gráfica se observa que al unir los puntos se forma una línea recta, por lo cual se deduce que el movimiento es uniforme, y en este caso el móvil partió del reposo; con ayuda de la gráfica también se puede calcular su velocidad. Problemas o ejercicios sobre el movimiento rectilíneo uniforme: Ejercicio 1 Un automóvil se desplaza con una rapidez de 30 m por segundo, con movimiento rectilíneo uniforme. Calcule la distancia que recorrerá en 12 segundos. Analicemos los datos que nos dan: Apliquemos la fórmula conocida: y reemplacemos con los datos conocidos: Qué hicimos? Para calcular la distancia (d), valor desconocido, multiplicamos la rapidez (v) por el tiempo (t), simplificamos la unidad segundos y nos queda el resultado final en metros recorridos en 12 segundos: 360 metros
Ejercicio 2 El automóvil de la figura se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme cuánto demorará en recorrer 258 kilómetros si se mueve con una rapidez de 86 kilómetros por hora? Analicemos los datos que nos dan: Apliquemos la fórmula conocida para calcular el tiempo: y reemplacemos con los datos que tenemos: Qué hicimos? Para calcular el tiempo (t), valor desconocido, dividimos la distancia (d) por la rapidez (v), simplificamos la unidad kilómetros y nos queda el resultado final en horas: 3 horas para recorrer 258 km con una rapidez de 86 km a la hora. Ejercicio 3 Con qué rapidez se desplaza un móvil que recorre 774 metros en 59 segundos? Analicemos los datos conocidos: Aplicamos la fórmula conocida para calcular la rapidez: Qué hicimos? Para calcular la rapidez (v), valor desconocido, dividimos la distancia (d) por el tiempo (t), y nos queda el resultado final: la rapidez del móvil para recorrer 774 metros en 59 segundos: 13,11 metros por segundo. Ejercicio 4 Los dos automóviles de la figura parten desde un mismo punto, con movimiento rectilíneo uniforme. El amarillo (móvil A) se desplaza hacia el norte a 90 km por hora, y el rojo (móvil B), hacia el sur a 80 km por hora. Calcular la distancia que los separa al cabo de 2 horas. Veamos los datos que tenemos: Para el móvil A:
Para el móvil B: Calculamos la distancia que recorre el móvil A: Calculamos la distancia que recorre el móvil B: Sumamos ambas distancias y nos da 340 km como la distancia que separa a ambos automóviles luego de 2 horas de marcha. Ejercicio 5 El corredor de la figura trota de un extremo a otro de la pista en línea recta 300 m en 2,5 min., luego se devuelve y trota 100 m hacia el punto de partida en otro minuto. Preguntas: Cuál es la rapidez promedio del atleta al recorrer ambas distancias? Cuál es la rapidez media del atleta al recorrer los 400 metros? Veamos los datos que tenemos: Para el primer tramo: Calculamos su rapidez: Para el segundo tramo: Calculamos su rapidez: Rapidez promedio: La rapidez promedio del atleta fue de 110 metros por minuto. Veamos ahora cuál fue la velocidad media (v m )para recorrer los 400 metros: La rapidez media del atleta fue de 114,29 metros por minuto.