MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE #2 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son congruentes si los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los tres lados del otro, y los tres ángulos de uno son respectivamente congruentes con los tres ángulos del otro. Es decir, dos triángulos son congruentes si tienen la misma forma y tamaño. Si el 4ABC es congruente con el 4EDF, escribimos 4ABC = 4EDF. En la gura, 4ABC = 4EDF ya que AB = ED, BC = DF, AC = EF y ]A = ]E, ] B = ] D, ] C = ] F: Se puede probar que los siguientes criterios permiten determinar si dos triángulos son congruentes, sin necesidad de probar la congruencia de todos los lados y todos los ángulos. Criterios de Congruencia Dos triángulos son congruentes si: 1. Dos pares de lados correspondientes y el ángulo comprendido entre ellos, son congruentes. Este criterio se conoce como L-A-L (Lado-Ángulo-Lado). 2. Los tres pares de lados correspondientes son congruentes. Se conoce como criterio L-L-L (Lado-Lado- 1
Lado). 3. Un lado y los dos ángulos de los extremos de ese lado en un triángulo, son respectivamente congruentes con un lado y los dos ángulos de los extremos de ese lado, en el otro triángulo. Se conoce como criterio A-L-A (Ángulo-Lado-Ángulo). Resultados importantes Si un triángulo ABC es isósceles entonces los ángulos de la base son congruentes. Si AC = BC entonces ] = ] 2
La bisectriz del ángulo vértice de un triángulo isósceles es también altura, mediana y mediatriz de la base. Ejemplo Si ABC es un triángulo rectángulo en A, BD es bisectriz del ]ABC y ]ACB = ]DBC, pruebe que CB = 2 AB. Solución: Observemos que DBC es un triángulo isósceles. Llamemos ] al ]ACB. Construyamos una perpendicular al segmento BC que pase por el punto D: Llamemos E al punto de intersección de la perpendicular con el segmento BC, como se muestra en la siguiente gura: Como DBC es un triángulo isósceles, el segmento DE es la bisectriz de su ángulo vértice y entonces CDE = BDE, además son rectángulos, luego CE = BE. Como DBE y DBA son triángulos rectángulos tienen dos ángulos congruentes y el lado BD es común a ambos, luego, por el criterio A-A-L, son congruentes y entonces BE = AB. En resumen, tenemos que AB = BE = CE. Por lo tanto BC = BE + CE = AB + AB = 2AB. 3
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Razón es el resultado de comparar dos cantidades. La razón geométrica es el resultado de comparar dos cantidades por su cociente, y se puede escribir como una fracción o separando las cantidades por dos puntos. Ejemplo: La razón geométrica de 7 a 3 se puede escribir como 7 3 ó 7 : 3: La razón de 8 a 4 es 2 ya que 8 4 = 2. Se llama Proporción al resultado de igualar dos razones. 7 Ejemplo: 3 = 14 es una proporción. 6 Dos triángulos son semejantes si los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales. Es decir, si tienen la misma forma (pero no necesariamente el mismo tamaño). Los triángulos ABC y DEF son semejantes y escribimos ABC s DEF, si ]A = ]D, ] B = ]E,] C = ]F y AB DE = BC EF = CA F D : Teorema de Thales Toda recta paralela a un lado de un triángulo y que intersecta los otros dos lados, determina un segundo triángulo semejante al primero. Si en ABC trazamos DEkAB, entonces ABC s DEC Como en la congruencia, podemos utilizar criterios para probar la semejanza de triángulos sin necesidad de probar la congruencia de todos los ángulos correspondientes y la proporcionalidad de todos los lados correspondientes. Estos criterios son: 4
Criterios de semejanza Dos triángulos son semejantes si: 1. Dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos del otro triángulo. Se conoce como criterio A-A (Ángulo-Ángulo). En el dibujo, ]A = ]D, ]B = ]E. Es claro que ]C = ]F. 2. Los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados correspondientes del otro triángulo. Se conoce como criterio L-L-L (Lado-Lado-Lado). En el dibujo, AB DE = AC DF = BC EF. 3. Un ángulo de un triángulo es congruente con un ángulo del otro triángulo, y los lados correspondientes que incluyen este ángulo son proporcionales. Se conoce como criterio L-A-L (Lado-Ángulo-Lado). En el dibujo, ]A = ]D, AB DE = AC DF. 5
Ejercicios: 1. Se tiene un tanque en forma de cono recto invertido de 3 m de altura y 2 m de diámetro en la parte superior (ver la gura). Si el tanque está parcialmente lleno de agua, con 1:8 m desde el vértice hasta la super cie, calcule el radio de la super cie de agua. Solución: El tanque, visto de frente, tiene la forma de un triángulo isósceles, con su ángulo vértice en la parte inferior y la base en la parte superior. Tracemos la altura de éste y empleemos la nomenclatura que se muestra en la siguiente gura: Los datos del problema con la nomenclatura de la gura son los siguientes: BC = 2 m, AF = 3 m, AG = 1:8 m. Como los segmentos F C y GE son paralelos, los triángulos AF C y AGE son semejantes y entonces se cumple que AG AF = GE F C o equivalentemente que GE = F C AG : AF Ahora, como el triángulo ABC es isósceles y el segmento AF es altura, entonces AF también es mediatriz y entonces los segmentos BF y F C son congruentes, por lo tanto Reemplazando todos los valores, tenemos: F C = 1 2 BC = 1 2 2 = 1m: GE = F C AG AF Por lo tanto, el radio de la super cie de agua es 0:6 m. = 1 1:8 3 = 0:6 m. 6
2. En la siguiente gura, los segmentos AB y DE son paralelos. Si las longitudes de AB, BC y CD son 18, 12 y 10 respectivamente, calcule el valor de x. Solución: Observemos que ]BCA = ]ECD por ser opuestos por el vértice, ]BAC = ]CED por ser alternos internos y que los ]ABC = ]CDE por ser alternos internos. Tenemos entonces que ABC s CED ya que los tres ángulos interiores de ABC son congruentes con los tres ángulos interiores de CED. De esta forma, se cumple que los lados correspondientes son proporcionales, esto es: BC CD = AB x 12 10 = 18 x x = 180 12 x = 15: 7