Lección 17: Polígonos básicos Un polígono es una figura cerrada formada por segmentos de recta que no se cruzan entre sí. Los segmentos se llaman lados del polígono. Los polígonos pueden ser convexos, como los primeros cinco de la siguiente figura, o no convexos, como los últimos dos, (observe que en estos últimos se pueden encontrar puntos que si se unen con un segmento, éste no queda totalmente en el interior del polígono, cosa que no sucede en los convexos). En este libro, cuando hablemos de polígonos nos referiremos exclusivamente a los polígonos convexos. Los polígonos se pueden clasificar de muchas maneras: por el número de lados que tienen, por el tamaño de los l a d o s, por la relación que guardan entre sí, por los ángulos que f o r m a n, etc. A continuación veremos algunas de las clasificaciones más usuales, y cómo se trazan algunos polígonos. 175
GUÍA DE MATEMÁTICAS I Triángulos Los triángulos tienen tres lados y, como su nombre lo indica, tres ángulos. En un triángulo, todos los lados pueden ser congruentes (es decir, tener la misma medida), en cuyo caso decimos que el triángulo es equilátero. Si dos de los lados son congruentes y el tercero es diferente, decimos que el triángulo es isósceles. Si los tres lados son diferentes entre sí, decimos que el triángulo es escaleno. triángulo equilatero triángulo isósceles triángulo escaleno Consideremos ahora los ángulos que forman los tres lados de un triángulo. Si el triángulo es equilátero, también los tres ángulos miden lo mismo: todos miden 60º. Si el triángulo es isósceles, dos de los ángulos miden lo mismo y el tercero es diferente: los que miden lo mismo son los que se forman con cada uno de los lados congruentes y el tercer lado. Si el triángulo es escaleno, los tres ángulos tienen distinta medida. Sea como fuere el triángulo, siempre es cierto lo siguiente: la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º. Un tipo particular de triángulo es el triángulo rectángulo, que se caracteriza porque uno de sus ángulos es recto. Los lados de un triángulo así reciben nombres específicos: los dos que forman el ángulo recto se denominan catetos y el tercero, que es siempre el más grande, se denomina hipotenusa. Un triángulo rectángulo puede ser isósceles o escaleno. catetos 176 hipotenusa
Cuando se conoce cuánto miden los lados de un triángulo, el triángulo se puede trazar con regla y compás de la siguiente manera: 1. Se traza un segmento de la longitud de uno de los lados. 2. Con la apertura del compás del tamaño de otro lado, se coloca la punta de metal en un extremo del segmento trazado y se traza un arco. 3. Con la apertura del compás del tamaño del tercer lado, se coloca la punta de metal en el otro extremo del segmento y se traza un arco, que se cruce con el otro. 4. Se traza con la regla un segmento desde cada uno de los extremos del segmento inicial hasta el cruce de los dos arcos. a) Trace triángulos con las siguientes medidas: 10 cm., 8 cm. y 6 cm. 9 cm., 5 cm. y 10 cm. 7 cm., 12 cm. y 7 cm. 12 cm., 7 cm. y 7 cm. b) Cómo es el primer triángulo trazado? c) Cómo son los últimos dos triángulos trazados? Se puede trazar un triángulo cuyos lados midan 15 cm., 5 cm. y 7 cm.? Por qué? 177
GUÍA DE MATEMÁTICAS I a) Realice la siguiente construcción: 1. Trace un círculo y marque un punto cualquiera sobre la circunferencia; llámelo A. 2. Con la misma apertura de compás, coloque la punta de metal sobre el punto A y marque otro punto sobre la circunferencia; llámelo B. 3. Repita el paso 2 cuatro veces más, poniendo cada vez la punta de metal sobre el punto anterior; llame a los nuevos puntos C, D, E y F. 4. Trace el triángulo ACE y el triángulo BDF. b) Cómo son los triángulos trazados? a) Puede haber un triángulo con dos ángulos rectos? Por qué? b) Puede haber un triángulo rectángulo equilátero? Por qué? c) Cuánto miden los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles? Cuadriláteros Un c u a d r i l á t e r oes un polígono formado por cuatro segmentos de recta. 178
Como para cualquier polígono con un número par de lados, podemos hablar de las diagonales de un cuadrilátero: son los segmentos que unen vértices opuestos. Algunos de los cuadriláteros más notables y sus propiedades son los siguientes: Un rectángulo es un cuadrilátero cuyos ángulos miden 90º. Los lados opuestos de un rectángulo son congruentes. Sus diagonales son congruentes y se cruzan en su punto medio. Un rombo es un cuadrilátero cuyos cuatro lados son congruentes. Los ángulos opuestos de un rombo miden lo mismo. Sus diagonales se cruzan en su punto medio y además son perpendiculares. Un cuadrado es un cuadrilátero cuyos cuatro lados son congruentes y cuyos ángulos miden 90º. Observe que esto quiere decir que el cuadrado es un rectángulo que además es rombo (o un rombo que además es rectángulo). Por esta razón, sus diagonales son congruentes, se cruzan en su punto medio y son perpendiculares. Los tres cuadriláteros recién vistos poseen otra característica en común: los lados opuestos son paralelos. Por esta razón se llaman paralelogramos. Hay paralelogramos que no son rectángulos ni rombos n i cuadrados, como el que se muestra a la derecha. Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales. Sus diagonales se cruzan en su punto medio. 179
GUÍA DE MATEMÁTICAS I a) Qué clase de polígono es el cuadrilátero del box? b) Qué clase de polígono es el diamante de una cancha de beisbol? c) Qué clase de polígono es una cancha de volibol? Para cada uno de los incisos de este ejercicio, recorte cuatro tiras de cartón delgado y perfórelas en ambas orillas. Únalas de dos en dos por las perforaciones utilizando una chinche de dos patas o un hilito amarrado, de tal modo que puedan girar libremente una sobre la otra. Al final una la primera con la cuarta del mismo modo. Mueva dos de las tiras y observe cómo se mueven las otras dos. a) Utilice cuatro tiras del mismo tamaño. Qué cuadriláteros se pueden formar? b) Utilice dos tiras del mismo tamaño y otras dos, también iguales, pero distintas de las primeras. Únalas de este modo: una grande, una pequeña, una grande y una pequeña. Qué cuadriláteros se pueden formar? c) Utilice las mismas tiras del inciso anterior, pero ahora únalas así: una grande, una grande, una pequeña y una pequeña. Se pueden formar los mismos cuadriláteros del inciso anterior? d) Utilice cuatro tiras de distintos tamaños. Se puede formar un rectángulo? Se puede formar un cuadrilátero con un ángulo recto? Y con dos? Y con tres? 180
Trace un rombo cuyas diagonales midan 8 cm. y 6 cm. Polígonos de más lados Algunos de los polígonos que tienen más de cuatro lados tienen nombres específicos, dependiendo del número de lados que tienen. Estos nombres se presentan en la siguiente tabla: número de lados nombre del polígono 5 pentágono 6 hexágono 7 heptágono 8 octágono 9 nonágono Polígonos regulares Un polígono regular es un polígono cuyos lados son todos congruentes y cuyos ángulos tienen la misma medida. A continuación se muestran los primeros seis polígonos regulares. triángulo equilatero cuadrado pentágono regular 181
GUÍA DE MATEMÁTICAS I hexágono regular heptágono regular octágono regular Todos los polígonos regulares pueden ser inscritos en un círculo; es decir, se puede trazar una circunferencia que pase por todos sus vértices. Los lados del polígono forman cuerdas del círculo. Los radios de ese círculo a cada uno de los vértices forman, con los lados respectivos, triángulos isósceles, y se forman tantos triángulos de éstos como lados tiene el polígono regular. Esto se puede ver en la siguiente figura. 182 Esta propiedad de los polígonos regulares permite dar una regla general para su construcción. Si queremos trazar un polígono regular de n lados, entonces: 1. Trazamos un círculo.
2. Dividimos 360º entre n: esto nos da la medida del ángulo al centro de cada triángulo. 3. Con ayuda del transportador, trazamos n ángulos con vértice en el centro del círculo y esa medida, de tal modo que los lados sean consecutivos. Llevamos cada lado (radio) hasta la circunferencia. 4. Unimos los puntos consecutivos en los que los lados d e los ángulos trazados se cruzan con la circunferencia. En qué caso el triángulo que se forma con dos radios y un lado de un polígono regular es equilátero? En qué caso es rectángulo? Siga las instrucciones para la construcción de un polígono regular y construya: a) Un cuadrado. b) Un pentágono regular. c) Un hexágono regular. Siga las instrucciones del ejercicio 3 de esta lección, pero al final, en vez de trazar los triángulos, una A con B, B con C, C con D, D con E, E con F y F con A. Qué polígono obtiene? Esta es otra manera de trazar ese polígono regular. 183