TABLA DE CONTENIDO Lista de símbolos............................................................. I Lista de abreviaciones......................................................... II Introducción................................................................. III Planteamiento del problema............................................ III Hipótesis............................................................. IV Objetivo............................................................. IV Alcances y Limitaciones................................................ IV Aportaciones......................................................... V Estructura del documento de tesis....................................... V 1 Calidad de la energía......................................................... 1 1.1 Calidad de la energía en la red eléctrica.................................. 1 1.2 Filtro activo paralelo (FAP)............................................ 7 1.3 Filtro activo serie (FAS)................................................ 11 2 Técnicas geométricas......................................................... 14 2.1 Retratos fase.......................................................... 14 2.2 Bifurcaciones......................................................... 18 2.3 Caos................................................................. 21 2.4 Diagramas de Poincaré................................................ 27 3 Análisis geométrico de la dinámica de los filtros activos de potencia............... 32 3.1 Introducción.......................................................... 32 3.2 Dinámica de los filtros sin variación de parámetros........................ 33 3.2.1 Filtro activo paralelo sin variación de parámetros.................. 33 3.2.2 Filtro activo serie sin variación de parámetros..................... 39 3.3 Dinámica de los filtros con variación de parámetros....................... 43 3.3.1 Filtro activo paralelo con variación de parámetros................. 47 3.3.2 Filtro activo serie con variación de parámetros.................... 51 3.4 Diagramas de órbitas de los filtros...................................... 55 3.4.1 Diagrama de órbitas del filtro activo paralelo...................... 55 3.4.2 Diagrama de órbitas del filtro activo serie......................... 57 3.5 Gráficas del exponente de Lyapunov de los filtros......................... 58 3.5.1 Exponente de Lyapunov del filtro activo paralelo.................. 59 3.5.2 Exponente de Lyapunov del filtro activo serie..................... 61 3.6 Diagramas de estabilidad de los filtros................................... 62 3.6.1 Diagramas de estabilidad del filtro activo paralelo................. 63 3.6.2 Diagramas de estabilidad del filtro activo serie.................... 65
4 Aplicación de técnicas geométricas a controladores............................... 67 4.1 Introducción.......................................................... 67 4.2 Comparación del control PI y el PBC..................................... 69 4.2.1 Comparación del control PI y el PBC en el FAP.................... 69 4.2.2 Comparación del control PI y el PBC en el FAS.................... 74 4.3 Selección de las resistencias de pasividad................................. 78 4.3.1 Selección de las resistencias de pasividad en el FAP................ 79 4.3.2 Selección de las resistencias de pasividad en el FAS................ 83 5 Conclusiones................................................................. 88 5.1 Conclusiones y aportaciones............................................ 88 5.2 Trabajos futuros....................................................... 91 5.3 Logros obtenidos...................................................... 92 Referencias................................................................... 93 A1 Algoritmos de programación................................................... 95 A1.1 Filtros activos de potencia tipo paralelo y serie............................ 95 A1.2 Retratos fase.......................................................... 101 A1.3 Diagramas de Poincaré................................................. 102 A1.4 Diagramas de órbitas................................................... 102 A1.5 Gráficas del exponente de Lyapunov..................................... 104 A1.6 Diagramas de órbitas................................................... 106 A1.7 Tamaño del paso de integración......................................... 107 A2 Ecuación logística............................................................ 109 A2.1 El mapa logístico...................................................... 109 A2.2 Doblamientos de periodo............................................... 111 A2.3 Análisis matemático................................................... 114 A3 Diagramas de estabilidad...................................................... 118 A3.1 Diagramas de estabilidad del FAP....................................... 118 A3.2 Diagramas de estabilidad del FAS....................................... 119
Lista de símbolos µ Señal de control continua δ Distancia entre trayectorias λ Exponente de Lyapunov φ A a A A P-P C d 0 d n h i 0 I 1 I SC I h i L I LOAD I P Fase de los armónicos de tensión o corriente Relación de transformación del transformador Ampers Ampers pico a pico de I P Capacitancia Distancia entre dos condiciones iniciales de un estado Distancia entre los estados después de n iteraciones Armónico Corriente en una carga lineal Componente fundamental de corriente Corriente de corto circuito en el punto de acoplamiento común Componente del h armónico de corriente Corriente en el inductor Corriente máxima en la carga Constante que multiplica a la amplitud de la corriente de carga I PICO Constante que multiplica a la amplitud de la corriente de carga (I P ) L Inductancia L S L t M P P R R S R t Inductancia del a red eléctrica Inductancia del transformador Mapa de Poincaré Periodo Resistencia Resistencia de la red eléctrica Resistencia del transformador Sn Interruptor electrónico ideal n donde n = 1, 2, 3 o 4 u C V 1 V Señal de control discreta Componente fundamental de tensión Volts V P-P v C Volts pico a pico de V PP Voltaje en el capacitor C I
v C1 Voltaje en el capacitor C 1 v C2 Voltaje en el capacitor C 2 v Cb V h V P V PP V red V S x x Voltaje en el capacitor C b Componente del h armónico de tensión Voltaje pico de la tensión de la red Constante que multiplica a las amplitudes de los armónicos de voltaje Voltaje de la red Voltaje de la red eléctrica Variable de estado Derivada de la variable de estado x* Punto de equilibrio de x z z Z S Variable de estado promediada Derivada de la variable de estado promediada Impedancia de la red eléctrica Lista de abreviaciones CD CFE C.I. DAT DTD FAP FAS IEEE IGBT PBC PI PWM SAI T.S. Corriente directa Comisión Federal de Electricidad Condiciones Iniciales Distorsión armónica total Distorsión total de demanda Filtro activo paralelo Filtro activo serie Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos Transistor bipolar de compuerta aislada Controlador basado en pasividad Proporcional e integral Modulación de ancho de pulso Sistema de Alimentación Ininterrumpida Tiempo de Simulación II
Introducción Planteamiento del problema La generación de la energía eléctrica se ha tornado muy complicada en los últimos años debido a que los recursos que se necesitan para llevar a cabo esta generación son cada vez más escasos y, además, la demanda que se tiene sobre el consumo de esta energía está en continuo incremento. Por si esto fuera poco, los consumidores de energía eléctrica presentan una amplia variedad de equipos eléctricos y electrónicos que contaminan la red eléctrica, generando armónicos de corriente y/o voltaje. Esto puede afectar al funcionamiento de equipos de otros usuarios que requieren altos niveles de calidad en el suministro de electricidad para una adecuada operación (cargas críticas). Existen varias alternativas para solucionar la contaminación de la red eléctrica por medio de equipos eléctricos o electrónicos. Entre estas alternativas se encuentran los filtros activos de potencia. Estos son equipos electrónicos que se han estudiado y aplicado en los últimos años por las ventajas que ofrecen sobre otras alternativas de solución. Se asume generalmente que los filtros activos funcionarán siempre bajo las especificaciones de los mismos. Esto es una buena consideración si en la realidad los valores de los parámetros no variaran atípicamente, de manera que el filtro nunca mostrara un patrón de comportamiento diferente al de diseño. Desde el punto de vista de control un estudio de los filtros activos con base en modelos matemáticos, que describen de manera adecuada su comportamiento dinámico, es de vital importancia. Para esto, se esperaría tener una solución analítica de las ecuaciones diferenciales que constituyen el modelo para analizar los diferentes comportamientos que esta solución pueda tener. Sin embargo, esto es sencillo para sistemas lineales, o incluso, es laborioso pero realizable para sistemas con ligeras no linealidades. Desafortunadamente, los filtros activos no están dentro de ninguna de estas dos opciones. Como consecuencia de lo anterior, esta tesis enfrenta la problemática de no entender la dinámica de los filtros activos de potencia tipo paralelo y serie al no poder hallar una solución analítica. Esto significa que los filtros activos de potencia son sistemas no lineales, y más aún, son sistemas variantes en el tiempo, lo que implica una gran riqueza en la diversidad de su comportamiento dinámico. III
Hipótesis Ante la complejidad de encontrar soluciones analíticas con las cuales se pueda hacer un análisis dinámico de los filtros activos de potencia, esta tesis plantea la posibilidad de acceder al conocimiento del análisis dinámico sin hallar soluciones analíticas, sino empleando algunas de las técnicas geométricas que se utilizan para observar la dinámica de sistemas que exhiben comportamiento caótico. Estas técnicas son los retratos fase, los atractores, los diagramas de Poincaré, de órbitas y del exponente de Lyapunov. Estas técnicas permiten visualizar de manera gráfica las dinámicas de los filtros activos de potencia y también permiten establecer conclusiones a partir de la dinámica de dichos filtros. Objetivo Con base en la hipótesis planteada anteriormente, surge el objetivo de esta tesis que es el estudio de técnicas geométricas basadas en la teoría de Caos para analizar la dinámica de los filtros activos de potencia tipo serie y paralelo. Esta información se usará para establecer regiones de estabilidad, en la operación de dichos filtros. La información obtenida también permitirá hacer comparaciones entre algunos esquemas de control aplicados a los filtros activos. Alcances y limitaciones Con el propósito de cumplir el objetivo de esta tesis, a continuación se presentan los alcances de esta tesis mediante los siguientes puntos: Estudio de la calidad de la energía en la red eléctrica. Estudio de los filtros activos de potencia (paralelo y serie), su funcionamiento y modelo matemático. IV
Estudio de la teoría de caos y sus aspectos geométricos como retratos fase, atractores, diagramas de Poincaré, diagrama de órbitas y gráficas del exponente de Lyapunov. Análisis y resultados de la aplicación de las técnicas geométricas en el estudio de las dinámicas de los filtros activos de potencia, y además, el efecto en su desempeño bajo la acción de diferentes controladores. La aplicación de esta teoría se hará por medio de simulación. Las limitaciones se enlistan de la siguiente manera: El análisis dinámico se hará sólamente para el caso monofásico de los filtros, es decir, se dejan de lado las estructuras trifásicas. Este trabajo de tesis no agota todas las posibilidades mediante las cuales exista un comportamiento caótico en cada uno de los filtros, ya que este conjunto de posibilidades resulta muy extenso. Aportaciones La principal aportación de este trabajo de tesis está relacionado con la información obtenida sobre la dinámica de los filtros activos al aplicar las técnicas geométricas a sistemas electrónicos conmutados no lineales variantes en el tiempo. Estructura del documento de tesis A continuación se exponen de manera resumida los contenidos de los capítulos de este documento de tesis. En el capítulo 1 se muestra la información acerca de la calidad de la energía en la red eléctrica, las perturbaciones en ella, así como sus posibles alternativas de solución. Además se hace una breve descripción de los filtros activos de potencia y el funcionamiento de éstos, asi como también sus diagramas eléctricos y sus modelos matemáticos. Información detallada acerca de estos temas se reporta en [1], [4], [6], [10], [13], [15], [19] y [23]. V
El capítulo 2 aborda lo relacionado a las técnicas geométricas utilizadas en este trabajo de tesis, entre las cuales se muestran los retratos fase, los atractores y los diagramas de Poincaré. Por supuesto, también se hace una descripción de la interpretación de estos conceptos. Para mayor información con respecto a estos temas refiérase a [5], [12], [14], [18], [20], [21] y [22]. En el capítulo 3 se realiza el análisis dinámico de acuerdo a los resultados de la aplicación de las técnicas geométricas a los filtros activos tipo paralelo y serie (retratos fase y diagramas de Poincaré). Esto último, sin variación paramétrica y con variación paramétrica. Análisis de la dinámica hechos a otros sistemas de potencia se encuentran en [2], [8], [9] y [11]. En el capítulo 4 se reporta la diferencia entre el control proporcional e integral y el control basado en pasividad aplicado a cada uno de los filtros activos. Esto se realiza mediante el análisis de la dinámica de los filtros utilizando las técnicas propuestas en el capítulo 2. Además, se plantea un método para hallar valores de las resistencias de pasividad con las cuales los filtros operen de manera más eficiente. En el capítulo 5 se presentan las conclusiones de este trabajo de tesis. En el apéndice 1 se muestran los algoritmos para realizar los programas de implementación de las técnicas geométricas en los filtros activos de potencia. En el apéndice 2 se presenta el desarrollo matemático para elaborar un diagrama de órbitas. Este diagrama corresponde a la ecuación logística, un sistema para modelar el crecimiento de organismos. Por último, en el apéndice 3 se ilustran los diagramas de estabilidad de las variables x 2 y x 3, tanto para el FAP como para el FAS. VI
Capítulo 1 Calidad de la energía Capítulo 1 Calidad de la energía En esta sección se hace una descripción breve de la calidad de la energía en la red eléctrica y la importancia de mantenerla sin contaminarla. Además se ilustran diferentes tipos de perturbaciones en la red, así como sus alternativas de solución, entre ellas los filtros activos de potencia. 1.1 Calidad de la energía en la red eléctrica Cuando la corriente y el voltaje circulan por la red eléctrica sin ser formas de onda puramente senoidales, se dice que la red eléctrica está contaminada. Esto se produce porque muchas de las cargas que están conectadas a la red generan formas de onda de voltaje o corriente diferentes a las senoidales dadas sus características no lineales. Existen diversas formas de clasificar la contaminación en la red, y a cada una de estas formas se le denomina perturbación. Existen dos efectos negativos cuando existen perturbaciones en la red eléctrica: Cuando se genera una perturbación de voltaje en la red, esta variación de voltaje afecta al desempeño de las cargas que lo reciben, e inclusive, puede dañarlas; tal es el caso de las cargas críticas. Por otro lado, cuando una carga no lineal se conecta a la red eléctrica, ésta demanda una forma de onda de corriente diferente a una senoidal pura, por lo que circulan corrientes armónicas por la red y por tanto la contaminan. Esta circulación de armónicos por la red afecta a otros usuarios (posiblemente cargas críticas). 1
Capítulo 1 Calidad de la energía Una carga crítica es una carga que requiere una alimentación eléctrica con características de perturbación muy bajas. Este tipo de cargas se considera de elevada seguridad debido a la función que cumplen. [4] Ejemplos de cargas críticas son sismógrafos, equipo médico de precisión (láser), equipos de medición precisa, etc. Algunas de las perturbaciones que existen en la red se muestran en la figura 1.1. [1], [4], [10], [13], [15], [19] y [23] Ruido Impulsos Microcortes 200 400 200 150 300 150 100 100 50 200 50 Vs 0 Vs 100 Vs 0-50 0-50 -100-100 -150-100 -150-200 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 t tiempo -200 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 empo t ti -200 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 mpo t tie Cortes largos Distorsión Variaciones rápidas 200 200 250 150 150 200 150 100 100 100 50 50 50 Vs 0 Vs 0 Vs 0-50 -50-50 -100-100 -100-150 -150-150 -200-200 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 t tiempo -200 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 t tiempo -250 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 empo t ti Figura 1.1. Perturbaciones en la red eléctrica A través de los años, se han ido desarrollando diversos dispositivos electrónicos que se ocupan de eliminar una o varias de las perturbaciones mencionadas en la figura 1.1. De entre los más usados se encuentran los que se enlistan a continuación: Supresores de picos Filtros sintonizados Transformadores de ultraaislamiento Transformadores ferroresonantes 2
Capítulo 1 Calidad de la energía Reguladores lentos de tensión Reguladores rápidos de tensión Filtros activos de potencia Sistemas de alimentación ininterrumpida (SAI) Es importante señalar que los primeros seis dispositivos sólo se encargan de eliminar algunas de las perturbaciones mencionadas anteriormente. Los filtros activos de potencia son dispositivos que son capaces de eliminar la mayoría de las perturbaciones, a excepción de los cortes largos de tensión; los sistemas de alimentación ininterrumpida son capaces de eliminar cualquier tipo de perturbación. Sólo por la cantidad de perturbaciones a eliminar, los supresores, los filtros sintonizados, los transformadores de ultraaislamiento y los ferroresonantes, los reguladores lentos y rápidos de tensión, no son la mejor alternativa de solución. A pesar de que los sistemas de alimentación ininterrumpida son la mejor opción por la cantidad de perturbaciones que eliminan, llegan a tener un costo demasiado alto, lo cual es su principal desventaja. Los filtros activos de potencia ofrecen un buen compromiso entre desempeño y costo, y por esto mismo, ha sido de suma importancia su estudio en los años recientes. Como consecuencia de lo anterior, se han desarrollado varias topologías (véase referencia [4] ), entre las cuales se encuentran las siguientes: Filtro activo de corriente.- Dispositivo encargado de eliminar variaciones de corriente. Es también llamado filtro activo paralelo por su conexión entre la red y la carga. Su diagrama a bloques se ilustra en la figura 1.2. Figura 1.2. Diagrama a bloques del filtro activo paralelo Filtro activo de tensión.- Es un dispositivo encargado de eliminar variaciones de voltaje provenientes de la red eléctrica. Es también llamado filtro activo serie por su conexión entre la red y la carga, tal como lo muestra la Figura 1.3. Figura 1.3. Diagrama a bloques del filtro activo serie 3
Capítulo 1 Calidad de la energía Filtro híbrido.- Es una combinación de uno o dos filtros activos con un filtro pasivo (también llamado filtro sintonizado), por lo que existen varias combinaciones. En estos dispositivos, en general, el filtro pasivo se sintoniza para eliminar específicamente ciertos armónicos de bajo orden, mientras que el filtro activo se encarga de armónicos en un intervalo mayor. El diagrama a bloques de una de sus configuraciones se muestra en la figura 1.4. Figura 1.4. Diagrama a bloques del filtro activo híbrido. Filtro activo universal.- La combinación de filtros activos de corriente y de voltaje con una etapa de interconexión con elemento de energía da lugar a un filtro universal que podría incluso compensar potencia activa y realizar equilibrado de cargas entre las fases. En la figura 1.5 se ilustra el diagrama a bloques de una de sus configuraciones. Figura 1.5. Diagrama a bloques del filtro activo universal. De estas cuatro configuraciones, en este trabajo de tesis sólo se analiza la dinámica de los dos primeros (filtros activos paralelo y serie). Cabe mencionar que esta investigación hace uso sólamente de la distorsión armónica como perturbación a eliminar por dichos filtros. Esto se realizó porque es una de las perturbaciones a la red que más se presenta en la actualidad [4]. Sin embargo, como ya se dijo antes, los filtros activos son capaces de eliminar varios tipos de perturbaciones. A continuación se describe de manera detallada la definición de la distorsión armónica y causas. 4
Capítulo 1 Calidad de la energía La distorsión armónica se define como una distorsión periódica de una forma de onda senoidal [10]. La figura 1.6 muestra como es que una forma de onda distorsionada puede ser expresada como un suma de senoidales, es decir, como series de Fourier. Figura 1.6. Onda distorsionada representada como suma de senoidales. La distorsión armónica en la red eléctrica se puede presentar en voltaje o en corriente, y se cuantifica mediante la distorsión armónica total (DAT) o la distorsión total de demanda (DTD) respectivamente [7] [10]. La distorsión armónica total es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las amplitudes del contenido armónico entre la amplitud de la fundamental, expresada como un porcentaje [7] [10]. En términos matemáticos, la DAT se define mediante la expresión: DAT = 100 H h= 2 V V 1 2 h (1.1) donde: V h = componente del h armónico de tensión V 1 = componente fundamental de tensión h = num. de armónico (1 indica la fundamental) H = num. de armónicos a evaluar 5
Capítulo 1 Calidad de la energía La distorsión total de demanda es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las amplitudes del contenido armónico de corriente entre la amplitud de la fundamental de corriente, expresada como un porcentaje. En términos matemáticos, la DTD se define mediante la expresión: DTD = 100 H 2 Ih h= 2 I 1 (1.2) donde: I h = componente del h armónico de corriente I 1 = componente fundamental de corriente h = num. de armónico (1 indica la fundamental) H = num. de armónicos a evaluar La distorsión armónica se origina por dispositivos no lineales que actúan como cargas a la red eléctrica. Hoy en día, los convertidores de potencia constituyen la clase más importante de cargas no lineales conectadas a la red eléctrica. Algunos de los equipos que utilizan estos dispositivos son los accionadores de motores de velocidad variable, las fuentes de potencia, los accionadores de motores de CD, los cargadores de baterías, los balastros electrónicos y muchas otras aplicaciones que implican rectificadores e inversores [10]. En nuestro país, la Comisión Federal de Electricidad (CFE por sus siglas) recomienda algunas restricciones del contenido armónico presente en la red y generado por los usuarios [7]. Estas restricciones están basadas en normas internacionales del Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (IEEE por sus siglas en inglés). Las normas fijan las perturbaciones permisibles en las formas de onda de tensión y corriente del suministro de energía eléctrica. Cuando la perturbación es la distorsión armónica, las normas establecen las cantidades de DAT y DTD máximas que deben existir en la red bajo diferentes condiciones, como lo muestran las siguientes tablas: Tabla 1.1. Límites máximos de distorsión armónica total de tensión en el punto de acoplamiento común Tensión en kv Clasificación de tensión DAT Menor de 1 Baja tensión 8.0 1 a 69 Distribución 5.0 70 a 138 Subtransmisión 2.5 Mayor de 138 Transmisión 1.5 6
Capítulo 1 Calidad de la energía Tabla 1.2. Distorsión armónica máxima permitida en corriente Tensión en kv Impedancia Relativa (I SC /I LOAD ) DTD Menor de 69 (I SC /I LOAD ) < 20 5 Menor de 69 20 (I SC /I LOAD ) < 50 8 Menor de 69 50 (I SC /I LOAD ) < 100 12 Menor de 69 100 (I SC /I LOAD ) < 1000 15 Menor de 69 (I SC /I LOAD ) 1000 20 donde: I SC es la corriente de corto circuito I LOAD es la corriente máxima en la carga La impedancia relativa se define como la relación de I SC en el punto de acoplamiento común con I SC, a frecuencia fundamental, del propio suministro. La impedancia relativa equivale a dividir la impedancia de la carga entre la que ofrece el sistema en el punto mencionado. Ahora que se tienen presentes los conceptos de perturbaciones en la red eléctrica y la manera en que afectan a cargas críticas, a continuación se presentan las explicaciones de los filtros activos paralelo (sección 1.2) y serie (sección 1.3) que dan solución a dichas perturbaciones. 1.2 Filtro activo paralelo (FAP) El filtro activo paralelo (FAP por sus siglas) es un dispositivo electrónico encargado de inyectar los armónicos de corriente que una carga no lineal requiere para su operación, de manera que estos armónicos no circulen por la red eléctrica y por tanto no la contaminen [23]. En esta aplicación, la ley de control debe cumplir con el objetivo de seguimiento a una señal deseada (referencia). El diagrama eléctrico del FAP se muestra en la figura 1.7. 7
Capítulo 1 Calidad de la energía Figura 1.7. Filtro activo paralelo El FAP opera de la siguiente manera: la corriente que demanda la carga se sensa, con el objeto de obtener los armónicos de esta corriente para generar una referencia. Esta referencia se ocupa en una etapa de control para producir una señal de modulación de ancho de pulso (PWM por sus siglas en inglés). La señal PWM provoca el corte y la saturación de dos transistores bipolares de compuerta aislada (IGBT s por sus siglas en inglés), los cuales se representan por dos interruptores ideales en la figura 1.7. Con estas conmutaciones la energía de los capacitores pasa al inductor y éste entrega los armónicos de corriente que demanda la carga. En la referencia [23] se elaboró el modelo matemático que describe el comportamiento del sistema. Esta tesis toma dicho modelo para analizar la dinámica del FAP. Las ecuaciones diferenciales que representan el modelo matemático son: R x1 = x1 L 1 x2 = C1 1 x3 = 1 C2 y = x 1 1 x L 2 [ 1 u () t ] x u C C () t 1 + L x 1 [ x + x ] u () t + V () t 2 3 C 1 L S (1.3) donde: x 1 = corriente en el inductor L x 2 = tensión en el condensador C 1 x 3 = tensión en el condensador C 2 y = salida del sistema u C = lógica de conmutación, de los interruptores S 1 y S 2, que tiene la propiedad de que 8
Capítulo 1 Calidad de la energía y u C _ u C 1 = 0 0 = 1 para para para para np t < np + µ np + µ np + µ n ( t) P ( t) Pn t < ( n + 1) P np t < np + µ n ( t) Pn t < ( n + 1) P n n ( t) P donde: n = 0, 1, 2,..., P = periodo de muestreo µ = razón de trabajo En la figura 1.8 se muestra de manera detallada el valor de u C en el tiempo, formando una señal PWM. Figura 1.8. Señal PWM aplicada a los interruptores del FAP La ecuación (1.3) se puede expresar también como la ecuación promediada R 1 µ ( t) z1 = z1 z2 L L 1 µ ( t) z2 = z1 C1 µ ( t) z3 = z1 C2 y = z 1 µ ( t) + z L 3 1 + VS ( t) L (1.4) donde: z 1 = corriente en el inductor L z 2 = tensión en el condensador C 1 z 3 = tensión en el condensador C 2 y = salida del sistema µ = razón de trabajo de una señal PWM 9
Capítulo 1 Calidad de la energía El propósito de obtener un modelo promediado es aproximar el sistema conmutado (ecuación (1.3) ) a un sistema continuo (ecuación (1.4) ). Esto se realiza para poder aplicar el control basado en pasividad, ya que éste no se puede aplicar a una ecuación con discontinuidades [17] (ver ecuaciones (A1.2), (A1.3) y (A1.4) ). La razón por la cual aquí se presenta el modelo promediado es porque algunos de los análisis que se hacen a los filtros activos es cuando actúan controladores basados en pasividad sobre ellos. La interpretación del modelo promediado representado por la ecuación (1.4) es de la siguiente forma: la razón de trabajo durante un periodo P, es el porcentaje del periodo P en el cual uno de los interruptores permanece cerrado (y el otro abierto) en el inversor del filtro activo. Para el modelo dado por (1.3), en donde la ley de control es u C (t), se observa que esta variable únicamente toma los valores de 0 o 1 durante un porcentaje del periodo P de conmutación. Este porcentaje de tiempo lo define el valor de la razón de trabajo. Los modelos (1.3) y (1.4) son equivalentes cuando la frecuencia de conmutación es infinita, lo cual es imposible prácticamente [17]. El análisis del FAP en posteriores capítulos se realiza cuando los valores de los elementos de potencia (parámetros) del filtro son del diseño de un prototipo de 20kVA considerando los armónicos quinto, séptimo, onceavo y treceavo [23]. A continuación se dan los valores de los elementos de diseño del FAP. Bobina L = 2 mh Condensadores C 1 = C 2 = 1500 µf Resistencia R = 0.2 Ω Referencia de tensión en condensadores 220 V Fuente de tensión fase-neutro V S = 170 sen(ωt) Frecuencia de la fuente de tensión 60 Hz Corriente en la carga 10 A Impedancia de la carga 8.5 Ω De manera semejante con la cual se hizo una descripción del funcionamiento del filtro activo paralelo, en la siguiente sección se describe la descripción correspondiente al filtro activo serie. 10
Capítulo 1 Calidad de la energía 1.3 Filtro activo serie (FAS) El filtro activo serie (FAS por sus siglas) es un dispositivo electrónico encargado de compensar armónicos de tensión entre la red y la carga, de manera que cuando armónicos de tensión estén presentes en la red, el FAS genera los mismos armónicos sólo que con distinto signo. De esta manera se consigue cancelar los armónicos y la carga sólo recibe una señal de voltaje senoidal [19]. Al igual que en el FAP, en el FAS el principal objetivo de control es seguimiento a una señal de referencia. Su diagrama eléctrico se muestra en la figura 1.9. Figura 1.9. Filtro activo serie La operación del FAS es de la siguiente forma: la tensión se sensa para obtener los armónicos de tensión, y así generar una señal de referencia. Esta referencia se utiliza en una etapa de control para producir una señal PWM, de manera que esta señal provoque el corte y la saturación de los IGBT s (representados por cuatro interruptores ideales en la figura 1.9). Con las conmutaciones de los interruptores la energía del capacitor C b pasa al secundario de un transformador por medio un capacitor C de un filtro pasa bajas. Este filtro se encarga de eliminar los ruidos generados por la conmutación de los interruptores. Una vez que se tienen los armónicos en el secundario del transformador sólo se escala la amplitud hacia el primario, que está conectado entre la red y la carga. Las ecuaciones diferenciales del FAS que representan el comportamiento que se explicó en el párrafo anterior son: 11
Capítulo 1 Calidad de la energía y = x 1 () t x2 i0 x1 = + a C C x1 x2 x3 x2 = R + L L L x2 x3 = [ 1 2uC () t ] Cb [ 2u () t 1] C (1.5) donde: x 1 = tensión en el condensador C x 2 = corriente en el inductor L x 3 = tensión en el condensador C b a = relación de transformación en el transformador y = salida del sistema u C = lógica de conmutación para los interruptores S 1, S 2, S 3 y S 4, con la convención usada para el FAP Este modelo matemático se desarrolló en la referencia [19], en la cual se puede observar de manera detallada el modelado. En esta referencia también se elaboró la ecuación (1.6), que es la ecuación promediada de la ecuación (1.5). y = z 1 () t z2 i0 z1 = + a C C z1 z2 z3 z2 = R + L L L z2 z3 = [ 1 2µ () t ] Cb [ 2µ () t 1] (1.6) donde: z 1 = tensión en el capacitor C z 2 = corriente en el inductor L z 3 = tensión en el condensador C b y = salida del sistema µ = razón de trabajo de una señal PWM La razón de trabajo µ(t) es el tiempo (en un periodo T) en que los interruptores S 1 y S 4 (figura 1.9) permanecen cerrados, mismo tiempo en el que S 2 y S 3 permanecen abiertos. 12
Capítulo 1 Calidad de la energía Los valores de los parámetros que se eligieron para poder compensar eficientemente los armónicos de tensión 3º, 5º y 15º son para un prototipo de trabaja en baja tensión (Tensión menor a 1kV). Dichos valores se muestran a continuación [19]. Condensador del filtro pasabajas C = 50 µf Inductor del filtro pasabajas L = 5 mh Resistencia del filtro pasabajas R = 0.25 Ω Condensador del bus de CD C b = 300 µf Relación de transformación a = 0.2 Inductancia del transformador L t = 1 mh Resistencia del transformador R t = 0.2 Ω Corriente en la carga i 0 = 10 sen(ωt) En el presente capítulo se presentaron los sistemas para eliminar las perturbaciones de la red eléctrica, con los que se trabaja en esta tesis. Dichos sistemas son los filtros activos de potencia tipo paralelo y serie. En el capítulo siguiente se presentan las herramientas con las cuales se analizará la dinámica de tales filtros. 13
Capítulo 2 Técnicas geométricas Capítulo 2 Técnicas geométricas En este capítulo se verán las herramientas geométricas necesarias para el estudio de la dinámica de los filtros activos de potencia tipo paralelo y serie. Estas técnicas son parte de la teoría de Caos, es decir, son algunas de las herramientas para analizar la dinámica de sistemas que exhiben caos. Las herramientas que se mencionan son los retratos fase, diagramas de Poincaré, diagramas de órbitas y gráficas del exponente de Lyapunov. En este capítulo también se presentan los conceptos de trayectorias, atractores, bifurcaciones, rutas a caos, entre otros. Esta información es necesaria para conocer la dinámica de los filtros activos de potencia tipo paralelo y serie, sin enfrentar la dificultad o imposibilidad de hallar soluciones a expresiones matemáticas complejas que logren describir dichas dinámicas. 2.1 Retratos fase Una de las herramientas geométricas que se utilizan para conocer la dinámica de diversos sistemas es el retrato fase, cuya definición es la siguiente: Un retrato fase es una gráfica que muestra cualitativamente mediante trayectorias los estados de un sistema [21]. Una trayectoria es una función que representa la solución de una ecuación diferencial de la forma: donde x es un vector de estados, x = f ( x) (2.1) x es un vector de las derivadas de los estados y f ( x) es un vector de funciones que dependen de los estados. La solución de la ecuación (2.1) se expresa empezando en una condición inicial x 0. 14
Capítulo 2 Técnicas geométricas Dependiendo del tipo de sistema, un retrato fase puede mostrar diferentes tipos de comportamiento; trayectorias que tienden a valores infinitos, o a uno o varios valores finitos dentro del retrato fase. Con esto, se puede definir el concepto de atractor como un conjunto al cual todas las trayectorias en una vecindad del retrato fase pueden converger [21]. Principalmente existen tres tipos de atractores: puntuales, periódicos y caóticos, los cuales se muestran a continuación. Atractores puntuales En los puntos del retrato fase en donde x = 0 no existe cambio en los valores de los estados; por tanto, tales puntos se denominan puntos de equilibrio. En un retrato fase, los puntos negros (figura 2.1) representan puntos de equilibrio estables o atractores puntuales porque sus trayectorias vecinas tienden a acercarse hacia ellos. Los puntos blancos representan puntos de equilibrio inestables, ya que sus trayectorias vecinas tienden a alejarse de ellos. Un ejemplo de estos dos tipos de puntos de equilibrio se muestra en el retrato fase de la figura 2.1. Nótese el sentido de las flechas correspondientes. X2 X1 Figura 2.1. Atractores puntuales (puntos de equilibrio estables) a la derecha e izquierda del punto de equilibrio inestable Los atractores puntuales son equivalentes a soluciones que tienden a un valor fijo en estado estacionario. 15
Capítulo 2 Técnicas geométricas Atractores periódicos Un atractor periódico o ciclo límite estable es una trayectoria cerrada aislada, donde el término aislada significa que las trayectorias vecinas no son cerradas, sino que se enroscan hacia el atractor [20] [21]. En la figura 2.2 se muestra un atractor periódico con un par de trayectorias vecinas. Figura 2.2. Atractor periódico Los atractores periódicos son equivalentes a soluciones que tienen a una solución periódica en estado estacionario. Otros ciclos límite que existen son los inestables y los medio estables, dependiendo de sus trayectorias vecinas. De manera precisa, se dice que un ciclo límite es inestable si las trayectorias fuera y dentro de la órbita cerrada giran alejándose de ella. Un ciclo límite medio estable es una órbita cerrada cuyas trayectorias vecinas internas giran hacia la órbita cerrada y sus trayectorias vecinas externas giran alejándose de ella, o viceversa. Ejemplos de estos ciclos límites se ilustran en la figura 2.3. Figura 2.3. Ciclo límite inestable (izquierda) y ciclo límite medio estable (derecha) 16
Capítulo 2 Técnicas geométricas Atractores caóticos Un atractor caótico es un atractor que es sensible ante ligeras diferencias en sus condiciones iniciales, produciendo órbitas abiertas [21]. Figura 2.4. Atractor caótico La figura 2.4 muestra un ejemplo de un atractor caótico en un espacio fase de 3 dimensiones. Este conjunto extraño tiene algunas propiedades interesantes, como lo es tener dimensión fuera de los números naturales. Esto significa que los atractores caóticos en espacios fase no son superficies (como aparenta serlo en la figura 2.4) ni volúmenes. Los atractores caóticos son figuras geométricas que tienen dimensión fraccionaria, por lo cual también son estudiados en el área de fractales. Además, el hecho de que una trayectoria en un atractor caótico sea una órbita abierta implica que no hay soluciones periódicas, sino aperiódicas. Sin embargo, estas oscilaciones aperiódicas no van mas allá de 2 valores límite como amplitudes máxima y mínima. Esto obedece a que el atractor caótico está en una región acotada. El atractor caótico de la figura 2.4 es un ejemplo de un sistema mecánico descrito mediante la ecuación de Lorenz, sin embargo, esto no implica que todos los sistemas caóticos muestren una figura geométrica como ella, sino que todos los sistemas caóticos muestran las propiedades mencionadas de esta figura. En las secciones 3.3.1 y 3.3.2 se ilustra que los atractores caóticos correspondientes al FAP y al FAS son geométricamente diferentes entre ellos y con respecto del atractor de la figura 2.4. Más adelante, en la sección 2.3, se detallarán las propiedades del atractor caótico. Mientras tanto, la siguiente sección muestra como es que puede existir un cambio de atractores en un sistema, esto al variar el valor numérico de un parámetro de tal sistema. 17
Capítulo 2 Técnicas geométricas 2.2 Bifurcaciones Como se comentó en la sección anterior, un retrato fase es capaz de mostrar la dinámica de un sistema ante diferentes condiciones iniciales. Sin embargo, también es interesante conocer la dinámica de un sistema ante diferentes valores de uno o varios parámetros del mismo. Esto se comenta porque la forma en que opera un sistema puede ser completamente diferente al variar el valor de tan sólo uno de sus parámetros. Es por esto que a continuación se definen los conceptos de dependencia paramétrica, bifurcaciones y puntos de bifurcación. La estructura cualitativa de las trayectorias de un retrato fase, para un determinado sistema, puede cambiar en tanto los parámetros cambien; esto se conoce como dependencia paramétrica. En particular, los atractores pueden llegar a crearse o a destruirse, o la estabilidad de los atractores puntuales o periódicos puede cambiar. Estos cambios cualitativos en la dinámica se llaman bifurcaciones. Los valores de los parámetros en los cuales las bifurcaciones ocurren se conocen como puntos de bifurcación [21]. Algunos tipos de bifurcaciones se muestran en la siguiente lista: Bifurcación nodo-silla Bifurcación transcrítica Bifurcación pitchfork Bifurcación hopf supercrítica Bifurcación nodo-silla de ciclos Bifurcación de periodo infinito Bifurcación homoclínica A continuación se explica la bifurcación nodo-silla de modo que el concepto de bifurcación sea claro. Para una explicación detallada del resto de las bifurcaciones, ver las referencias [5], [12], [14], [18], [21] y [22] Bifurcación nodo-silla La bifurcación nodo-silla es el mecanismo por el cual los puntos de equilibrio pueden crearse o destruirse. En tanto un parámetro se varíe, los puntos de equilibrio se mueven hacia ellos mismos, se colapsan y eventualmente se aniquilan. 18
Capítulo 2 Técnicas geométricas El ejemplo típico de este tipo de bifurcación se representa por la ecuación 2 x = r + x (2.2) donde r es un parámetro, el cual puede ser positivo, cero o negativo. Como se comentó en la sección anterior, un punto de equilibrio existe cuando no hay variación del estado x conforme el tiempo transcurre ( x = 0 ). Por esto, igualando la ecuación (2.2) a cero se tiene es decir y despejando x x = r + x 2 = 0 2 x = r x = ± r Es por esto que se pueden presentar los tres siguientes casos: Si r = 0 hay un punto de equilibrio en el origen (x = 0) Si r < 0 hay dos puntos de equilibrio en x1 = + r y en x2 = r Si r > 0 no hay puntos de equilibrio porque x = ± ri, lo cual no tiene significado físico Esto significa que, con el cambio de valor del parámetro r, se obtiene un cambio en la estructura de las trayectorias en el retrato fase, como lo indica la figura 2.5. 1,2 Figura 2.5. Bifurcación nodo-silla En este ejemplo la bifurcación ocurre en r = 0, ya que el campo vectorial es cualitativamente diferente para r < 0 y r > 0. 19
Capítulo 2 Técnicas geométricas En la figura 2.6 se muestra un grupo de campos vectoriales para diferentes valores de r, donde también se muestran los puntos de equilibrio. r > 0 r = 0 x r < 0 Figura 2.6. Campos vectoriales de la ecuación (2.2) Obtener un retrato fase o los campos vectoriales de un sistema para cada uno de los diferentes valores que pueda tener un parámetro es laborioso, además de tedioso de visualizar e interpretar. Sin embargo, existe otra manera de ver la dependencia de los puntos de equilibrio sobre r. Esto se realiza mediante un diagrama de bifurcación [21]. La figura 2.7 es un diagrama de bifurcación del sistema representado por la ecuación (2.2), en el cual se usan círculos negros para los puntos de equilibrio estables y círculos blancos para los inestables. Este diagrama se parece a la figura 2.6, sólo que los ejes están invertidos. Figura 2.7. Diagrama de bifurcación de la ecuación (2.2) Es importante saber interpretar un diagrama de bifurcación, ya que es la gráfica básica con la cual se analiza un sistema ante la variación de un parámetro. En la siguiente sección se muestran los conceptos básicos de caos, y entre ellos, se muestra una gráfica semejante a un diagrama de bifurcación. En esa gráfica, en vez de mostrar puntos de equilibrio y su localización, muestra el número de periodicidades que tiene una oscilación. 20
Capítulo 2 Técnicas geométricas 2.3 Caos En esta sección se define de manera precisa el concepto de Caos en sistemas dinámicos. También se muestran sus principales características y la maneras de obtener un comportamiento caótico. El enunciado siguiente es una definición tentativa de un comportamiento caótico. No obstante, aún no hay una definición precisa para una solución caótica porque ésta no puede representarse por medio de funciones matemáticas estándar [14]. Caos es un comportamiento aperiódico a largo plazo en un sistema determinístico, no lineal y de dimensión n 3, que exhibe sensibilidad ante ligeras diferencias en las condiciones iniciales [21]. El comportamiento aperiódico a largo plazo significa que hay trayectorias que no se establecen en puntos de equilibrio, órbitas periódicas u órbitas cuasiperiódicas en tanto t. Además una oscilación aperiódica también puede definirse como una oscilación que nunca se repite. Un ejemplo de una oscilación aperiódica se ilustra en la figura 2.8. X1 t Figura 2.8. Oscilación aperiódica El término determinístico significa que el sistema no tiene entradas o parámetros aleatorios o ruidosos. El comportamiento irregular se origina por las no linealidades del sistema y no de señales aleatorias o ruidosas. 21
Capítulo 2 Técnicas geométricas Para que un sistema exhiba caos es necesario que tenga dimensión mayor o igual a tres. Un sistema que es de dimensión n < 3 no puede mostrar un comportamiento caótico de acuerdo al teorema de Poincaré-Bendixson: Teorema de Poincaré-Bendixson: Si una trayectoria en el plano fase (n = 2) está confinada en una región acotada y cerrada que no contiene puntos de equilibrio, entonces la trayectoria debe aproximarse eventualmente a una órbita cerrada y nada más es posible [18] [21]. Por ello, una órbita abierta no se puede obtener para n < 3. La sensibilidad ante diferentes condiciones iniciales significa que trayectorias cercanas se separan rápida y exponencialmente. Como consecuencia práctica de la separación de trayectorias cercanas se tiene que la predicción a largo plazo es imposible. La sensibilidad ante diferentes condiciones iniciales se cuantifica mediante el exponente de Lyapunov. El exponente de Lyapunov de un sistema caótico mide la separación de trayectorias en un espacio fase [5]. Supóngase que en un sistema con comportamiento caótico se dejan desaparecer los transitorios, de manera que una trayectoria se encuentra sobre el atractor. Supóngase también que x(t) es un punto sobre el atractor en un tiempo t y considérese un punto cercano en una trayectoria cercana, como por ejemplo x ( t) + δ( t). La letra δ representa un vector de separación diminuta (figura 2.9) de longitud inicial m δ 0 = 10 donde m es un número grande (entre 10 o 20 como ejemplo). Figura 2.9. Trayectorias cercanas En estudios numéricos de atractores caóticos (referencias [5], [12], [14], [21] y [22]) se ha notado que δ(t) crece de acuerdo a la expresión δ 0 λt ( t) δ e donde λ es un número positivo. De aquí que las trayectorias vecinas se separan exponencialmente rápido. En esta explicación cabe resaltar un par de restricciones: a) La separación (divergencia exponencial) de trayectorias en un atractor caótico no puede ser mayor que el diámetro del atractor, es decir, las trayectorias obviamente no pueden salir de éste. 22
Capítulo 2 Técnicas geométricas b) Al número λ se le denomina exponente de Lyapunov, sin embargo para un sistema de dimensión n, hay n diferentes exponentes de Lyapunov, siendo λ el exponente de Lyapunov más grande y de valor positivo. Los exponentes de Lyapunov para un sistema lineal, son semejantes a sus eigenvalores (valores propios). Es decir, describen de manera precisa el comportamiento de dicho sistema, tal como un nodo silla, un nodo estable o inestable, un espiral estable o inestable, etc. Ahora que se ha detallado en las características de un comportamiento caótico, en seguida se explican las formas de obtener un comportamiento caótico, esto ante la variación numérica de los parámetros de un sistema. Rutas a caos La variación paramétrica en los sistemas puede tornarse en un cambio en el comportamiento de, por lo menos, una de las variables de estado de dichos sistemas. Como se mencionó en la sección 2.2, la variación paramétrica puede dar lugar a bifurcaciones y, por tanto, la solución de una ecuación diferencial puede cambiar de un comportamiento deseado a uno no deseado. Salvo algunas excepciones, un comportamiento caótico es un comportamiento no deseado en un sistema, por las características que este comportamiento conlleva. De acuerdo con [12] existen cuatro formas de obtener un comportamiento caótico, y éstas son mediante Doblamientos de periodo Cuasiperiodicidad Intermitencia y crisis Transitorios caóticos y órbitas homoclínicas Doblamientos de periodo.- La ruta a caos mediante doblamientos de periodo empieza con el comportamiento de un ciclo límite en el sistema. Cuando el valor de un parámetro cambia, este ciclo límite llega a ser inestable. En muchos sistemas el nuevo movimiento se mantiene periódico pero tiene el doble de periodo con respecto del movimiento original. En tanto siga cambiando el valor del parámetro de control, el ciclo límite de periodo 2 llega a ser inestable y da nacimiento a un ciclo de periodo 4, y así sucesivamente hasta llegar a un ciclo de periodo infinito (aperiodicidad). Esta ruta a caos puede verse de dos maneras principalmente. En una se podría observar la solución de una variable de un sistema contra el tiempo, para un valor del parámetro a variar; enseguida se varia el valor del parámetro y se observa la gráfica 23
Capítulo 2 Técnicas geométricas resultante, y así sucesivamente para varios valores de un parámetro; sin embargo, esto es tedioso por la cantidad de gráficas a observar. Otra forma de visualizar los doblamientos de periodo es mediante un diagrama de órbitas [12] [21], como lo muestra la figura 2.10. En esta gráfica se puede observar cuantos periodos tiene la solución de una variable de un sistema ante diferentes valores de un parámetro. Por ejemplo, en la ecuación x = rx ( x ) n+ 1 n 1 n (2.3) para r = 3.4 existe un ciclo de periodo 2; para r = 3.5 un ciclo de periodo 4; y para r = 3.9 un ciclo de periodo infinito, es decir, una solución aperiódica. Figura 2.10. Diagrama de órbitas El apéndice 2 presenta detalladamente el análisis matemático de la ecuación (2.3). Dicho análisis se muestra para entender la obtención de los doblamientos de periodo al variar el parámetro r. Cuasiperiodicidad.- En el escenario cuasiperiódico, el sistema empieza también con un ciclo límite. Conforme el valor de un parámetro cambie, una segunda periodicidad aparece en el comportamiento del sistema. Este evento de bifurcación es una generalización de la bifurcación Hopf, y por tanto, es llamada también bifurcación Hopf. Si la razón entre el periodo del segundo movimiento y el del primero es un número irracional, entonces se dice que el movimiento es cuasiperiódico. Bajo algunas circunstancias, si el parámetro de control sigue cambiando, el movimiento llega a ser caótico. El principal punto aquí es darse cuenta de como una larga secuencia de frecuencias diferentes aparecen en tanto un parámetro del sistema varía numéricamente. 24