Actiidades del final de la unidad 1. El extremo A de un imán recto, A, repele al extremo C de otro imán recto, CD. Si suspendemos el imán CD mediante un hilo, su extremo D apunta hacia el sur geográfico. ndica qué extremo es el polo norte en cada imán. Si el extremo D del imán CD apunta hacia el polo sur geográfico (polo norte magnético), es el polo sur de ese imán, luego el C será el polo norte, y como este repele al extremo A del imán A, este extremo será el polo norte del imán A.. ndica si son ciertas las afirmaciones siguientes: a) Cuando partimos un imán por la mitad, se obtienen dos polos magnéticos separados. b) En cualquier superficie cerrada situada en un campo magnético, entran el mismo número de líneas de campo que salen. c) Una carga eléctrica siempre produce un campo magnético. d) Las líneas del campo magnético salen por el polo sur y entran por el polo norte. a) alsa; se obtienen dos imanes más pequeños, orientados igual que el inicial. b) Cierta, pues al ser las líneas de campo cerradas, siempre, en cualquier superficie cerrada, entran las mismas líneas que salen. c) alsa, ya que una carga eléctrica solo produce campo magnético cuando está en moimiento. d) alsa, pues las líneas del campo magnético, al ser líneas cerradas, no nacen (ni mueren) en ningún punto, pero por conenio se considera que el punto por el que salen de un cuerpo es su polo norte y que entran por el polo sur. 3. Puede separarse la carga positia de la negatia de un dipolo eléctrico? en un imán, es decir, un dipolo magnético, puede separarse el polo norte del polo sur? Un dipolo eléctrico (dos cargas iguales de distinto signo separadas una cierta distancia) puede separarse, suministrando la energía adecuada, en sus cargas positia y negatia, pero un dipolo magnético, como un imán, nunca puede separarse en su polo norte y su polo sur, pues estos no existen aisladamente. Es decir, no existen polos magnéticos aislados, sino que siempre aparecen conjuntamente formando un dipolo magnético. Si existiesen polos magnéticos aislados, las líneas de campo magnético serían líneas abiertas que nacerían en el norte y morirían en el sur, pero esto nunca se ha obserado. 4. De las afirmaciones siguientes, modifica adecuadamente las que no sean correctas: a) En el interior de un material ferromagnético, el campo magnético es menos intenso que el campo magnético externo. b) Los materiales ferromagnéticos son los que se usan para construir imanes. c) Si disminuimos excesiamente la temperatura de un material ferromagnético, desaparecen sus propiedades magnéticas. Unidad 7. Campo magnético 43
a) alsa; si colocamos un material ferromagnético en un campo magnético, las líneas del campo son mucho más abundantes dentro del material que fuera; por tanto, el campo magnético en el interior es mucho más intenso que fuera. b) Cierta, tanto para imanes permanentes como temporales. c) alsa; es al aumentar la temperatura de un material ferromagnético, por encima de su temperatura Curie, cuando este pierde las propiedades magnéticas, debido a que la agitación térmica produce un desorden de los momentos magnéticos atómicos. 5. Calcula el campo magnético producido por una carga puntal q = +00 C que se muee con una elocidad 8 = 4 10 6 k 8 m/s cuando pasa por el origen de coordenadas, en los puntos siguientes: A(1, 0, 0), (0, 1, 0), C(0,, 0) y D(, 0, 0). Las coordenadas están en centímetros. Dibuja la línea de campo que pasa por cada uno de esos puntos. Cuando la carga pasa por el origen, para cada uno de los puntos indicados en el enunciado los alores de r y u 8 son, respectiamente: r r A = 0,01 m ; u 8 A = i8 r = 0,01 m ; u 8 = j8 r C = 0,0 m ; u 8 C = j8 r D = 0,0 m ; u 8 D = i8 Por tanto, aplicando la expresión del campo creado por una carga en moimiento, tenemos: 8 q 8 Ò u 8 r = 4 π r 8 = q 8 Ò u 8 = 4 π 10 7 00 10 6 4 10 6 k 8 Ò i 8 A = 0,8 A j8 T 4 π r 4 π 0,01 A 8 = q 8 Ò u 8 = 00 10 6 4 10 6 k 8 Ò 8 4 π 10 7 j = 0,8 i8 T 4 π r 4 π 0,01 8 = q 8 Ò u 8 = 00 10 6 4 10 6 k 8 Ò 8 C 4 π 10 7 j = 0, C i8 T 4 π r 4 π 0,0 C 8 = q 8 Ò u 8 = 00 10 6 4 10 6 k 8 Ò ( i 8 D 4 π 10 7 ) = 0, D j8 T 4 π r 0,0 D 4 π En la siguiente figura se representan los ectores campo magnético en cada uno de los puntos: 0,0 0,01 A 0,01 0,0 D 0,0 0,01 C 0,01 0,0 A C 44 Unidad 7. Campo magnético
6. Por un conductor rectilíneo de gran longitud situado erticalmente, que elegimos como eje, circula una corriente eléctrica de 15 A en sentido ascendente, que tomamos como sentido positio. Calcula el módulo, la dirección y el sentido del campo magnético creado por el conductor en los puntos siguientes: A(3, 0, 0), (5, 0, 0), C(0, 3, 0) y D(3, 0, 4). Las coordenadas están en cm. Dibuja la línea de campo que pasa por cada uno. La distancia de la corriente al punto A ale 3 cm, luego el alor del campo magnético en A es: 4 π 10 7 0 15 A = = = 1 10 4 T π R π 0,03 Aplicando la regla del tornillo, se deduce que está dirigido según el sentido positio del eje, como muestra la figura. Del mismo modo, la distancia de la corriente al punto ale 5 cm; por tanto, el alor del campo magnético en es: 4 π 10 7 0 15 = = = 6 10 5 T π R π 0,05 está dirigido según el sentido positio del eje, como muestra la figura. La distancia de la corriente al punto C ale 3 cm; luego, el alor del campo magnético en C es: 4 π 10 7 0 15 C = = = 1 10 4 T π R π 0,03 está dirigido según el sentido negatio del eje, como muestra la figura (la línea de campo que pasa por C es la misma que pasa por A). La distancia de la corriente al punto D ale 3 cm. Este punto y la línea de campo que pasa por él están situados en otro plano paralelo al que contiene a los puntos anteriores. El alor del campo magnético en D es: 4 π 10 7 0 15 D = = = 1 10 4 T π R π 0,03 está dirigido según la dirección positia del eje, como muestra la figura. 7. Si el campo magnético creado por un conductor recto muy largo a una distancia de 4 cm ale 0,05 T, cuánto ale a 5 cm de distancia? A qué distancia el campo magnético aldrá 0,0 T? Para el primer punto, a 4 cm de distancia, tenemos: para el segundo: 0 1 = 8 0 0,05 = [1] π d 1 π 0,04 0 = 8 0 = [] π d π 0,05 A D D A C C Unidad 7. Campo magnético 45
Diidiendo miembro a miembro las ecuaciones [] y [1], el campo a 5 cm es: 0,05 0 π 0,05 0,04 = = 8 = 0,04 T 0 0,05 Para el tercer punto, tenemos: 0,0 = 0 π d Al diidir la expresión anterior entre la ecuación [1], resulta: 0 0,0 π d 0,04 0,04 0,05 = = 8 d = = 0,10 m 0,05 0 d 0,0 π 0,04 π 0,04 8. Calcula el sentido y el alor de la intensidad de la corriente que ha de circular por un conductor rectilíneo situado a lo largo del eje si el campo magnético en el punto (0, 4, 0) ale 8 = 10 4 i 8 T. Las coordenadas están en cm. Despejando la intensidad en la expresión del campo magnético creado por una corriente rectilínea, tenemos: = 0 π d 10 8 = 8 4 π 0,04 = = 40 A π d 4 π 10 7 0 La dirección y el sentido del campo magnético ienen dados por el siguiente producto ectorial: u 8 = u8 Ò u8 r El ector r 8 está en la dirección del eje positio; luego, u 8 r = j8. Para la corriente, sabemos que está sobre el eje, pero no sabemos su sentido, por lo que u 8 = ±k8. Analicemos los dos casos posibles: Para u 8 = k8 : u 8 Ò u8 r = k8 Ò j 8 = i 8 Para u 8 = k8 : u 8 Ò u8 r = ( k8 ) Ò j 8 = +i 8 como sabemos que u 8 = i8 en el punto indicado, entonces la corriente debe circular en sentido descendente: u 8 = k8. Resulta más sencillo deducir este resultado gráficamente: para que el campo en el punto P(0, 4, 0) esté dirigido según el semieje positio, la línea de campo que pasa por ese punto debe estar orientada en sentido horario ista desde arriba; para ello, la corriente ha de circular hacia abajo. P (0, 4, 0) 46 Unidad 7. Campo magnético
9. Por una espira circular de 0 cm de diámetro, situada sobre el plano del papel, pasa una corriente continua de 1 A en sentido horario: a) Calcula el módulo del campo magnético producido en el centro de la espira. b) Hacia dónde está dirigido el campo? c) Cuál es la cara norte de la espira? a) El alor del campo es: = 0 4 π 10 7 1 = = 7,5 10 5 T R 0,1 b) Aplicando la regla del tornillo, al circular la corriente en sentido horario, el campo magnético que produce en su centro está dirigido hacia el interior del papel, es decir, penetra en el plano del papel. c) Las líneas del campo magnético penetran en la espira por la cara que mira hacia nosotros, luego esta es su cara sur, y la que mira hacia el dorso del papel, por la que salen las líneas de fuerza, es la cara norte. = 1 A R = 0,10 m 10. La figura muestra dos conductores rectilíneos, 1 y, muy largos, paralelos entre sí y dirigidos perpendicularmente al plano del papel. Por cada uno circula una corriente de 0 A dirigida hacia el lector. El 1 está sobre el eje, y el pasa por el punto (4, 0, 0). Las coordenadas están en cm. A 1 1 C Calcula las componentes cartesianas del campo magnético en los puntos A (,, 0), (, 0, 0) y C (,, 0) de la figura. El dibujo de las líneas del campo magnético producido por cada uno de los conductores en cada uno de los puntos pedidos es el siguiente: 1A A A 1 1 1 1C C C Unidad 7. Campo magnético 47
Las distancias de cada conductor a los puntos A, y C son: d 1A = d A = 0,0 m ; d 1 = d = 0,0 m ; d 1C = d C = 0,0 m Como las corrientes son iguales y los puntos están a la misma distancia de cada conductor, tenemos: Punto A: los módulos de los campos magnéticos producidos por cada corriente son: 1A = A = 0 4 π 10 7 1 = 0 0 = = 10 4 T π d 1A π d A π 0,0 Siendo el ector campo magnético en cada caso: 8 1A = 1A cos 45 i8 + 1A sen 45 j 8 = = 10 4 i 8 + 10 4 j 8 = 10 4 i 8 + 10 4 j 8 T 8 A = A cos 45 i8 A sen 45 j 8 = = 10 4 i 8 + 10 4 j 8 = 10 4 i 8 10 4 j 8 T 8 A = 8 1A + 8 A = 10 4 i 8 T Punto : los módulos de los campos magnéticos son ahora: 1 = 0 4 π 10 7 1 0 = = 10 4 T π d 1 π 0,0 = 0 4 π 10 7 0 = = 10 4 T π d π 0,0 teniendo en cuenta la figura de la página anterior: 8 1 = 10 4 j 8 T ; 8 = 10 4 j 8 T 8 = 8 1 + 8 = 0 Punto C: en este último punto tenemos: 1C = 0 4 π 10 7 1 0 = = 10 4 T π d 1C π 0,0 C = 0 4 π 10 7 0 = = 10 4 T π d C π 0,0 teniendo en cuenta la figura, resulta: 8 1C = 1C cos 45 i8 + 1C sen 45 j 8 = = 10 4 i 8 + 10 4 j 8 = 10 4 i 8 + 10 4 j 8 T 8 C = C cos 45 i8 C sen 45 j 8 = = 10 4 i 8 10 4 j 8 = 10 4 i 8 10 4 j 8 T 8 C = 8 1C + 8 C = 10 4 i 8 T 48 Unidad 7. Campo magnético
11. Por dos conductores rectilíneos paralelos y separados 60 cm, circulan las corrientes 1 = 0 A y = 10 A, respectiamente, en el mismo sentido. Calcula: a) El campo magnético en el punto medio entre ellos. b) El punto donde se anula el campo. a) El módulo del campo magnético producido por cada conductor en el punto medio entre ellos es: 1C = 0 4 π 10 7 1 0 = = 1,33 10 5 T π d 1C π 0,3 C = 0 4 π 10 7 10 = = 0,67 10 5 T π d C π 0,3 En la figura se representan los campos creados por cada conductor en el punto medio de la línea que los une: De acuerdo con ella, ambos campos tienen sentidos opuestos; por tanto, el campo resultante en el punto medio es: C = 1C C = 1,33 10 5 0,67 10 5 C = 0,66 10 5 T b) Como las corrientes tienen el mismo sentido, los campos magnéticos producidos por cada una tienen sentidos opuestos en cualquier punto entre ellas; por tanto, el campo se anula en uno de esos puntos, que debe ser aquel en el que los módulos de ambos campos sean iguales. Para un punto situado a una distancia x de la corriente 1 y 0,6 x de, los alores de los campos en ese punto son: 1 = 0 4 π 10 7 1 0 = ; = 0 = π d 1 π x π d mponiendo la condición de que los campos se igualen: 4 π 10 4 π 10 1 = 8 7 0 7 10 = 8 x = π x π (0,6 x) (0, 6 x) = x 8 1, x = x 8 3 x = 1, 8 x = 0,4 m El campo se anula a 40 cm de la corriente 1 y a 0 cm de. 4 π 10 7 10 π (0,6 x) 1 0,6 x 1. Por cada uno de los értices de los cuadrados de la figura pasan conductores rectilíneos, perpendiculares al cuadrado; la intensidad de corriente,, es igual en todos ellos y circula en el sentido que se indica. Dibuja el campo magnético producido por cada conductor en el centro del cuadrado en cada caso y el campo resultante. Calcula su alor si = 4 A y el lado del cuadrado mide cm. 1 d = 60 cm C 1C A C D Unidad 7. Campo magnético 49
La distancia desde cada értice al centro del cuadrado es la mitad de su diagonal: D d = = + = 8 = cm El módulo del campo producido por cada uno de los conductores en el centro del cuadrado es el mismo, pues la intensidad de la corriente y la distancia al centro es la misma en todos los casos: 4 π 10 7 4 1 = = 3 = 4 = = 0 = = 4 10 5 T π x π 10 La dirección y el sentido de cada campo, en cada caso, se muestra en las siguientes figuras: 4 1 3 4 3 4 3 1 3 4 4 1 4 4 3 4 3 1 3 1 1 1 3 A C D El campo resultante, por tanto, en cada caso, es: En A, el campo es nulo, pues se contrarrestan los cuatro campos. En, el campo está dirigido erticalmente hacia arriba, y su módulo es: = 4 sen 45 = 4 4 10 5 = 1,6 10 4 T En C, el campo es nulo, pues la suma ectorial de los cuatro campos es nula. En D, el campo está dirigido hacia el hilo 3, y su alor es: 1 D = + 4 = 8 10 5 T = 1,13 10 4 T 13. Las corrientes rectilíneas 1 e de la figura son perpendiculares al plano del papel: 1 = 4 A Calcula el alor y el sentido de la corriente para que el campo magnético en el punto P sea nulo. Cuál es el alor del campo en el punto M? El campo producido por 1 en P está dirigido hacia arriba, y su alor es: 1P = 0 4 π 10 7 4 = = 4 10 5 T π d π 10 1P Para que el campo se anule en el punto P, se debe cumplir que: P 3 cm 3 cm 8 P = 8 1P + 8 P = 0 8 8 P = 8 1P [1] M 1 = 4 A 1P P 3 cm 3 cm M P 50 Unidad 7. Campo magnético
Por tanto, ambos ectores deben tener el mismo módulo: P = 1P = 4 10 5 T Teniendo en cuenta la distancia de a P, de 1 cm, el alor de la corriente lo despejamos de la expresión del módulo del campo magnético producido por : P = 0 4 10 5 8 = P π d P π 0,01 = = A π d 4 π 10 7 P 0 De la ecuación [1] deducimos que el ector tiene que estar dirigido hacia abajo, y, por tanto, para producir un campo magnético con esa dirección en P, la corriente debe salir del plano del papel; por tanto, tiene el mismo sentido que 1. La siguiente figura representa la situación correspondiente al punto M: 1 = 4 A P 3 cm 3 cm M M 1M El campo magnético producido por 1 en M está dirigido hacia arriba y ale: 1M = 0 4 π 10 7 1 4 4 = = 10 5 T π d π 6 10 1M 3 El campo magnético producido por en M también está dirigido hacia arriba y ale: M = 0 4 π 10 7 4 = = 10 5 T π d π 3 10 M 3 Entonces, el campo total en M está dirigido hacia arriba y su alor es: 4 4 8 M = 1M + M = 10 5 + 10 5 = 10 5 T 3 3 3 14. Por un solenoide de longitud 19 cm, formado por 500 espiras circulares de 7 cm de radio, pasa una corriente de 3 A. Calcula: a) El campo magnético en su interior si está acío y si contiene un material ferromagnético de r = 1 00. b) La longitud de alambre necesaria para construirlo. a) El alor del campo magnético en el interior del solenoide cuando está acío es: = 0 N 4 π 10 7 3 500 = = 0,05 T L 0,19 cuando en su interior hay un material ferromagnético de r = 100: N 100 4 π 10 7 3 500 4 = = r 0 N = = 60 T L L 0,19 b) El alambre necesario para construir 500 espiras de radio 7 cm es: L = N π R = 500 π 0,07 = 1100 m 15. Describe la acción de un campo magnético uniforme sobre las partículas siguientes: a) Un neutrón que se muee perpendicularmente al campo. b) Un protón que se muee paralelamente al campo. c) Un ion positio en reposo. d) Un electrón que se muee perpendicularmente al campo. Unidad 7. Campo magnético 51
a) Como el neutrón no tiene carga eléctrica, sobre él no actúa el campo magnético y, por tanto, la fuerza magnética es nula y el neutrón mantiene su elocidad constante, realizando un moimiento rectilíneo uniforme. b) Si el protón se muee paralelamente al campo, 8 y 8 son paralelos y entonces 8 = q 8 Ò 8 = 0, por lo que el protón realiza un moimiento rectilíneo uniforme. c) Cualquier carga positia o negatia, si está en reposo en un campo magnético, continúa en reposo, pues sobre ella no se ejerce ninguna fuerza. d) Si el electrón se muee perpendicularmente al campo magnético, actúa sobre él una fuerza magnética, perpendicular a su elocidad, 8 = q 8 Ò 8, que le obliga a describir una trayectoria circular. 16. Dibuja la fuerza que actúa sobre cada una de las partículas de la figura al entrar en el campo magnético, 8, que penetra en el plano del papel, y la trayectoria que describen en él, teniendo en cuenta que las esferas rojas representan cargas positias; las azules, negatias, y las grises, partículas neutras. Sobre las partículas grises, al ser neutras, no actúa ninguna fuerza magnética; luego, continúan con la misma elocidad, realizando un m.r.u. Aplicando la regla del tornillo asociada al producto ectorial, la fuerza que ejerce el campo magnético sobre cada una de las cargas, 8 = q 8 Ò 8, es la representada en la figura; también se ha indicado hacia dónde se desía cada una de esas cargas. En el caso de las esferas rojas, al ser cargas positias, el sentido de la fuerza coincide con el del producto ectorial 8 Ò 8. Con las esferas azules sucede al contrario, pues, al ser cargas negatias el sentido de la fuerza es el opuesto al del producto ectorial 8 Ò 8. 5 Unidad 7. Campo magnético
17. Un protón penetra perpendicularmente en un campo magnético uniforme de alor 0,0 T con una elocidad de 3 10 4 m/s. Calcula: a) El módulo de la fuerza que actúa sobre el protón. b) El módulo de su aceleración. c) El radio de su trayectoria circular. d) Su elocidad angular. e) El tiempo que tarda en dar una uelta. f) El trabajo realizado por el campo magnético cuando ha recorrido media circunferencia. Dato: m protón = 1,67 10 7 kg. a) Como el protón penetra perpendicularmente al campo, el módulo de la fuerza que actúa sobre él es: 8 = q 8 Ò 8 8 = q sen 90 = 1,6 10 19 3 10 4 0,0 1 = 9,6 10 17 N b) De la segunda ley de la dinámica se deduce que el módulo de la aceleración del protón es: 8 9,6 10 = m a 8 17 8 a = = = 5,7 10 10 m/s m 1,67 10 7 c) Como la fuerza es perpendicular a la elocidad, el protón describe un moimiento circular uniforme cuya aceleración solo tiene componente normal: (3 10 4 ) a = a n = 8 5,7 10 10 = R R Despejando, el radio de la trayectoria es: R = (3 10 4 ) 5,7 10 10 = 0,016 m = 1,6 cm d) En todo moimiento circular se cumple que = u R; por tanto, la elocidad angular es: 3 10 4 u = = = 1,9 10 6 rad/s R 0,016 e) El tiempo que tarda en dar una uelta, o período, ale: π R π π T = = = = 3,31 10 6 s u 1,9 10 6 f) El trabajo realizado por el campo magnético es nulo, pues la fuerza magnética es perpendicular al desplazamiento. 18. Un electrón, al penetrar perpendicularmente en un campo magnético, describe una trayectoria circular de radio cm. Si tarda,36 10 7 s en dar una uelta, calcula el alor del campo magnético y la elocidad del electrón. Dato: m electrón = 9,1 10 31 kg. Si el electrón tarda,36 10 7 s en dar una uelta a una circunferencia de cm de radio, su elocidad es: π R π 0,0 = = = 5,3 10 5 m/s T,36 10 7 como penetra perpendicularmente en el campo, este y la elocidad son perpendiculares; por tanto, la fuerza magnética produce sobre el electrón una aceleración normal: = q = m R Despejando, el alor del campo es: m 9,1 10 31 5,3 10 5 = = = 1,5 10 4 T q R 1,6 10 19 0,0 Unidad 7. Campo magnético 53
19. La energía cinética y el momento lineal de una partícula cargada, se modifican cuando atraiesa una zona donde existe un campo magnético? La fuerza que ejerce un campo magnético sobre una partícula cargada es perpendicular a su elocidad y, por tanto, solo produce aceleración normal, es decir, solo se modifica la dirección de la elocidad, pero no su módulo. De acuerdo con ello, la energía cinética permanece constante al atraesar un campo magnético. 1 E c = m = cte Sin embargo, aunque también el módulo del momento lineal permanece constante, p = m = cte, no ocurre lo mismo con su dirección, que cambia continuamente al ariar la de la elocidad. Por tanto, el momento lineal de la partícula cargada, que es una magnitud ectorial, aría al atraesar un campo magnético (salo en el caso de que la elocidad de la partícula cargada sea paralela a la dirección del campo magnético, pues entonces la fuerza magnética es nula, y no existe ningún tipo de ariación de la elocidad y tampoco del momento lineal). 0. Calcula la masa del catión Na + si cuando penetra en un campo magnético uniforme de 0,03 T, con una elocidad de 5 10 3 m/s, perpendicular a la dirección del campo, describe una trayectoria circular de 8 cm de diámetro. El catión Na + es un ion formado al perder un electrón el átomo neutro de sodio. Por tanto, al haber perdido un solo electrón, su carga es la misma que la del electrón pero de signo positio: q = +1,6 10 19 C. Como el catión penetra en el campo en dirección perpendicular a este, la fuerza que ejerce el campo sobre él es perpendicular a su elocidad, y produce una aceleración normal: = q = m R Para que el diámetro de la trayectoria sea de 8 cm, la masa del catión ha de ser: q R 1,6 10 19 0,03 0,04 m = = = 3,8 10 6 kg 5 10 3 1. Un protón ( 11 H + ) y una partícula alfa ( 4 He + ) penetran con la misma energía cinética en un campo magnético uniforme perpendicular a la elocidad de las partículas. Calcula la relación: a) Entre las elocidades lineales de ambas partículas. b) Entre los radios de sus trayectorias. c) Entre sus frecuencias de rotación. Datos: m alfa = 4 m protón ; q alfa = q protón. a) Como la energía cinética es la misma para ambas partículas, tenemos: 1 1 1 1 E cp = E ca 8 m p p = m a a 8 m p p = 4 m p a 8 p = a La elocidad del protón es el doble que la de la partícula alfa. b) Los radios de las circunferencias que describen ambas partículas en un campo uniforme perpendicular a sus elocidades son, respectiamente: R p = m p p q p ; R a = m a a q a 54 Unidad 7. Campo magnético
Sustituyendo los datos en la segunda expresión: 4 mp m a a m p p R a = = = = R q p a q p q p Por tanto, el radio de la trayectoria del protón es igual que el de la partícula alfa. c) La frecuencia de rotación del moimiento circular que describen el protón y la partícula alfa en el campo magnético es la inersa del período; por tanto: 1 f = = T π R Para cada una de las partículas, su alor es: p a 1 p 1 f p = ; f a = = = = f π R p p π R a π R p π R p La frecuencia del protón es el doble de la frecuencia de la partícula alfa; es decir, en el mismo tiempo, el protón da el doble de ueltas que la partícula alfa.. Determina la expresión de la fuerza sobre una partícula cargada (alor absoluto de su carga: q) al entrar con elocidad 8 en una zona donde hay un campo magnético uniforme, 8, si: a) La carga es negatia, 8 = 0 i 8 y 8 = 0 k 8. b) La carga es positia, 8 = 0 (i 8 + j 8 ) y 8 = 0 j 8. c) La carga es positia, 8 = 0 j 8 y 8 = 0 j 8. Describe el tipo de moimiento de la partícula dentro del campo magnético en cada caso. a) En este caso, la elocidad es perpendicular al campo, por lo que la fuerza es: 8 = q 8 Ò 8 = q 0 i 8 Ò ( 0 k 8 ) = q 0 0 j 8 La partícula describe un moimiento circular uniforme en el plano, pues la fuerza es perpendicular a la elocidad. p p = q 0 0 j = 0 i = 0 k b) Ahora, la elocidad forma un ángulo con el campo magnético. La fuerza resulta: 8 = q 8 Ò 8 = q 0 (i 8 + j 8 ) Ò ( 0 j 8 ) = q 0 0 k 8 q < 0 La partícula describe un moimiento helicoidal; el eje de la hélice es paralelo al eje, y gira en el plano, pues la componente y de la elocidad no cambia su alor. Unidad 7. Campo magnético 55
c) La trayectoria que sigue la partícula se representa en la siguiente figura, en la que también se muestran las magnitudes físicas implicadas en el problema: = q 0 0 k q > 0 = 0 j = 0 (i + j ) c) La elocidad, en este caso, es paralela al campo magnético. Por tanto: 8 = q 8 Ò 8 = q 0 j 8 Ò ( 0 j 8 ) = 0 Al ser nula la fuerza, la partícula describe un m.r.u. manteniendo la elocidad que llea, en la dirección del eje, y en sentido positio. 3. Un haz de iones Cl, al salir de un selector de elocidades, entra perpendicularmente con una elocidad de 5 10 4 m/s en un campo magnético de 0,5 T. Se producen dos trayectorias distintas de diámetros d 1 = 7,6 cm y d = 7, cm. Calcula: a) La masa de cada uno de los isótopos del cloro. b) El campo eléctrico en el selector de elocidad, si el campo magnético en su interior es el mismo que existe a la salida. a) El radio de la trayectoria descrita por una carga que penetra perpendicularmente en un campo magnético ale: m R = q Entonces, si dos partículas penetran con la misma elocidad en un campo magnético y describen trayectorias de distinto radio, sus masas deben ser distintas. Las masas de las partículas son: 0,076 1,6 10 19 0,5 q R 1 m 1 = = = 6,08 10 6 kg 5 10 4 0,07 1,6 10 19 0,5 q R m = = = 5,76 10 6 kg 5 10 4 b) En el selector de elocidades, todas las partículas son desiadas y no salen de él, salo aquellas que tengan la elocidad seleccionada, pues para ellas la fuerza eléctrica es contrarrestada por la fuerza magnética y lo atraiesan sin sufrir ninguna desiación. De acuerdo con ello, la intensidad del campo eléctrico del selector de elocidad se calcula como sigue: e = m 8 q E = q 8 E = = 5 10 4 0,5 =,5 10 4 N/C 56 Unidad 7. Campo magnético
4. En una región del espacio hay un campo eléctrico E 8 = 5 10 3 i 8 N/C y otro magnético 8 = 0, j 8 T. Cuál debe ser el ector elocidad de un electrón que penetre en esa región para que su trayectoria sea rectilínea? si es un protón? La partícula cargada está sometida a dos fuerzas: la eléctrica, que actúa a lo largo del eje sea cual sea la elocidad de la partícula, y la magnética, cuya dirección depende de la elocidad de la partícula y que, en este caso, siempre es perpendicular al eje : 8 e = q E8 = q 5 10 3 i 8 ; 8 m = q 8 Ò 8 = q 8 Ò ( 0, j 8 ) Para que la partícula cargada describa una trayectoria rectilínea, la fuerza resultante ha de ser nula, pues si predomina la fuerza eléctrica, se desiará en un sentido, y se predomina la fuerza magnética, se desiará en otro distinto; por tanto, la fuerza magnética tiene que ser igual a la eléctrica, pero de sentido contrario: 8 = m 8 8 q 8 Ò ( 0, j 8 ) = q 5 10 3 i 8 8 e 8 8 Ò j 8 5 10 = 3 i 8 8 8 Ò j 8 =,5 10 4 i 8 0, Como emos, la partícula se muee a 5000 m/s en una dirección cuyo producto ectorial por j 8 está en la dirección del semieje positio (en la dirección del ector unitario i 8 ). Esa condición se cumple cuando la dirección de la partícula es la del semieje negatio, k 8, pues k 8 Ò j 8 = i 8 ; por tanto, la elocidad de la partícula, independientemente de la carga de esta, es 8 =,5 10 4 k 8. La diferencia en el caso de que se trate de un electrón o de un protón está en el sentido de las fuerzas magnética y eléctrica ejercidas sobre ellas, como se muestra en la siguiente figura, pero la elocidad es la misma: e m m E q < 0 e E q > 0 5. Por un conductor rectilíneo indefinido situado sobre el eje, circula una corriente de 5 A en el sentido positio de dicho eje. Determina las componentes cartesianas de la fuerza y de la aceleración instantáneas que experimenta un electrón situado en el eje a cm del conductor si: a) Se encuentra en reposo. b) Su elocidad es de 500 m/s según la dirección positia del eje. c) Su elocidad es de 500 m/s según la dirección positia del eje. d) Su elocidad es de 500 m/s según la dirección positia del eje. Unidad 7. Campo magnético 57
Teniendo en cuenta la regla del tornillo para calcular la dirección y el sentido del campo producido por una corriente rectilínea y el alor de dicho campo, tenemos que el ector campo magnético producido por la corriente rectilínea en dicho punto es: = 0 4 π 10 7 5 = =,5 10 4 T 8 8 =,5 10 4 i 8 T π d π 10 Por otra parte, la fuerza magnética ejercida sobre una carga colocada en un campo magnético es 8 m = q 8 Ò 8. Por tanto: a) Si el electrón está en reposo, no actúa ninguna fuerza sobre él y sigue en reposo: la fuerza y la aceleración son nulas. b) Si su elocidad es 8 = 500 j 8 m/s, entonces la fuerza que actúa sobre él en ese punto y la aceleración que produce esta fuerza son: 8 = q 8 Ò 8 = 1,6 10 19 500 j 8 Ò (,5 10 4 i 8 ) = 10 0 k 8 N 8 10 a 8 0 = = k 8 =, 10 10 k 8 m/s m 9,1 10 31 c) Si su elocidad es 8 = 500 k 8 m/s, entonces la fuerza y la aceleración alen: 8 = q 8 Ò 8 = 1,6 10 19 500 k 8 Ò (,5 10 4 i 8 ) = 10 0 j 8 N 8 10 a 8 0 = = j 8 =, 10 10 j 8 m/s m 9,1 10 31 d) Si su elocidad es 8 = 500 i 8 m/s, entonces la fuerza es nula, pues los ectores 8 y 8 son paralelos: 8 = q 8 Ò 8 = 1,6 10 19 500 i 8 Ò (,5 10 4 i 8 ) = 0 Por tanto, la aceleración es nula y el electrón seguirá con su elocidad constante. En la siguiente figura se representan los cuatro casos analizados: a) b) c) d) = 0 58 Unidad 7. Campo magnético
6. Calcula la fuerza sobre un conductor rectilíneo de 40 cm de longitud por el que circula una corriente de 3 A colocado en un campo magnético de 0,05 T si la dirección del campo y la de la corriente: a) Son paralelas. b) orman un ángulo de 45. c) Son perpendiculares. La fuerza que experimenta un conductor rectilíneo colocado en un campo magnético es: 8 = L 8 Ò 8 a) Si la corriente y el campo magnético son paralelos, la fuerza es nula, pues el producto ectorial de dos ectores paralelos es nulo: = L sen 0 = 0 N b) Si forman un ángulo de 45, la fuerza es perpendicular al plano que forman la corriente y la dirección del campo, y su módulo es: = L sen 45 = 3 0,4 0,05 0,71 = 0,043 N c) Si ambos son perpendiculares, la fuerza es máxima, y su alor es: = L sen 90 = L = 3 0,4 0,05 = 0,06 N En las siguientes figuras se representan cada uno de los casos analizados: = 0 = L sen α α = L Unidad 7. Campo magnético 59
7. Por dos conductores rectilíneos paralelos separados 50 cm circulan corrientes en el mismo sentido de intensidades 1 = 0 A e = 10 A, respectiamente. a) Calcula la fuerza por unidad de longitud que ejerce el uno sobre el otro. b) Se atraen o se repelen? a) La fuerza por unidad de longitud es: L = 0 4 π 10 7 1 0 10 = = 8 10 5 N/m π d π 0,5 b) Se atraen, pues las corrientes circulan en el mismo sentido: 1 = 0 A d = 50 cm = 10 A 1,1 1, 8. Calcula la distancia entre dos corrientes paralelas de intensidades 1 = 8 A e = 1 A para que se repelan con una fuerza de 4,8 10 5 N/m. La corriente eléctrica, circula por ambos en el mismo sentido o en sentidos opuestos? Las corrientes han de circular en sentidos opuestos para que se repelan. Conociendo el alor de la fuerza por unidad de longitud, podemos sustituir alores en la expresión de la fuerza entre dos corrientes paralelas y despejar para hallar la distancia que las separa: L = 0 4 π 10 7 1,9 10 5 1 8 1 8 4,8 10 5 = = 8 d = 0,4 m π d π d d 9. Por una espira circular de radio R = 0 cm circula una corriente continua de 4 A. Calcula: a) El módulo de su momento magnético. b) El máximo momento de torsión que experimenta la espira al colocarla en un campo magnético de 0,5 T. a) El módulo del momento magnético de la espira es: m = S = π R = 4 π 0, = 0,5 A m b) El máximo momento que actúa sobre la espira al colocarla en un campo magnético es: M = S = m = 0,5 0,5 = 0,5 N m 30. Un conductor rectilíneo por el que circula una corriente 1 está colocado a lo largo del eje de un solenoide muy largo, de n espiras circulares por unidad de longitud, recorrido por una corriente. Calcula la fuerza sobre el conductor rectilíneo. El campo magnético en el interior de un solenoide es paralelo al eje del solenoide; por tanto, el campo magnético creado por el solenoide y la corriente rectilínea son paralelos; por consecuencia, la fuerza sobre el conductor rectilíneo es nula: 8 = L 8 Ò 8 = 0 60 Unidad 7. Campo magnético
Las líneas del campo magnético producido por el conductor rectilíneo son circunferencias concéntricas con él; por tanto, las espiras circulares del solenoide coinciden con líneas del campo. Entonces, el ector dl 8 de la espira circular es paralelo al campo del conductor rectilíneo, y la fuerza sobre las espiras también es nula: d 8 = dl 8 Ò 8 = 0 31. Calcula la intensidad y el sentido de la corriente que debe circular por el conductor inferior de la figura para que el alambre recto A, de 0,5 g de masa, se mantenga en equilibrio suspendido en el aire cuando por él circula una corriente de 40 A. L = 5 cm A 1 d = 5 cm Para que el alambre A se mantenga en equilibrio, la fuerza magnética debe contrarrestar al peso; es decir, debe estar dirigida hacia arriba y su alor debe ser: m = P = m g 8 m = m g = 0,5 10 3 9,8 =,45 10 3 N Como la corriente en el alambre A está dirigida hacia la derecha, el campo magnético sobre ella debe de estar dirigido hacia dentro del papel para que la fuerza magnética sobre ella esté dirigida hacia arriba, de acuerdo con la expresión de la ley de Laplace aplicada a una corriente rectilínea: 8 m = L8 Ò 8 como m = L, entonces el alor del campo magnético debe ser: m,45 10 3 = L = =,45 10 4 T 40 0,5 Para que el conductor rectilíneo inferior produzca un campo magnético de,45 10 4 T a una distancia de 5 cm, por él ha de circular una corriente de intensidad, cuyo alor es: = 0 π d,45 10 4 π 0,05 8 = = = 61,5 A π d 4 π 10 7 0 para que el campo magnético que produce esté dirigido hacia dentro en la región donde está el alambre A, la corriente tiene que estar dirigida hacia la izquierda. Se puede llegar a la misma conclusión argumentando que, para que los dos conductores se repelan, las corrientes en ellos tienen que circular en sentido contrario. Unidad 7. Campo magnético 61