Los números complejos

7 Los números complejos 1. Forma binómica del número complejo Piensa y calcula Halla mentalmente cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones en el conjunto de los números reales. a) x 2 25 = 0 b) x 2 + 9 = 0 a) Tiene dos soluciones: 5 y 5 b) No tiene solución real. Aplica la teoría 1. Completa con equis las casillas a las que pertenecen los siguientes números. Números /4 2 + 5i 4 π 5 2 Números /4 2 + 5i 4 π 5 2 4. Halla mentalmente las siguientes raíces: a) 16 b) 25 a) ± 4 b) ± 5i 5. Calcula mentalmente x e y para que los siguientes números complejos sean iguales: = x 4i = yi x =, y = 4 2. Escribe cinco números complejos que no sean reales. 2 + i, 5i, 4, 4i, 4 7. Escribe cinco números imaginarios puros. i, i, i, 5i, 5i 6. Halla los números complejos representados en el siguiente plano de Gauss por sus afijos: z 8 z7 z6 z 9 220 SOLUCIONARIO

z 8 = 1 + 5i = = i = i = i = = 0 = 4 + 5i = 4i z 7 = 2i z 8 = 1 + 5i z 9 = 5 = 4 + 5i = i = 0 z 9 = 5 z 7 = 2i = 4i 7. Representa los afijos de los siguientes números complejos en el plano de Gauss. a) = 2 i b) = 4 c) = 4 + 5i d) = i e) = 4i f) = 2 g) z 7 = 5 + i h) z 8 = 5i z 9 = 4 + 5i = 4i = 4 = i z 8 = 5i z 7 = 5 + i = 2 = 2 i 2. Operaciones en forma binómica Piensa y calcula Las raíces de la ecuación de 2º grado x 2 4x + 1 = 0 son x 1 = 2 + i,x 2 = 2 i. Represéntalas en el plano de Gauss. Respecto de qué recta son simétricas? = 2 + i = 2 i Son simétricas respecto del eje de abscisas, Aplica la teoría 8. Sean = 4i, = 2 + 5i a) + b) c) 2 5 d) + 4 a) 1 + i b) 5 9i c) 16 i d) 17 + 2i 9. Sean = + 5i, = 4 2i, = 1 + 6i a) b) c) a) 22 + 14i b) + 1i c) 8 + 26i TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 221

10. a) ( + 2i) 2 b) ( 4 + 7i) 2 c) (2 i) 2 d) (1 + i) 2 a) 5 + 12i b) 56i c) 4i d) 2i 11. Sea z = 4 i. a) el opuesto de z b) el conjugado de z c) el inverso de z d) el producto z z a) z = 4 + i b) z = 4 + i c) z 1 = 4 + i 25 25 d) z z = 25 12. Sea = 2 + 6i, = i, = 4 + 5i a) / b) / c) / 1. Calcula las siguientes potencias: a) i 259 b) i 42 c) i 72 d) i 109 a) i b) 1 c) 1 d) i 14. Dado el número complejo z = + 5i, calcula: z z z 1 5i 15. Dibuja un rectángulo de centro el origen de coordenadas y lados paralelos a los ejes, sabiendo que uno de los vértices es el afijo del número complejo z = 5 + i. Halla las coordenadas de los otros tres vértices en función del opuesto y/o del conjugado de z z = 5 + i z = 5 + i a) 2i b) 22 4 i c) 17 11 i 41 41 41 41 z = 5 i z = 5 i. Forma polar del número complejo Piensa y calcula Dado el número complejo z = + 4i, halla mentalmente la longitud de la hipotenusa, r, del triángulo rectángulo siguiente, la tangente del ángulo α y, utilizando la calculadora, el ángulo α z = + 4i r = 5 tg α = 4/ α= 5 7 48 r α 4 222 SOLUCIONARIO

Aplica la teoría 16. Calcula mentalmente el módulo y el argumento de los siguientes números complejos y pásalos a forma polar. a) = 5i b) = 6 c) = i d) = 4 d) α 2 r 5 = 2 5i a) 5 90 b) 6 180 c) 270 d) 4 0 = ( 29) 291º 48 5 = 17. Representa en el plano de Gauss los siguientes números complejos y pásalos a forma polar y trigonométrica. a) = + 5i b) = 4 6i c) = + 2i d) = 2 5i a) = + 5i = 29(cos 291º 48 5 + i sen 291º 48 5 ) 18. Representa en el plano de Gauss los siguientes números complejos y pásalos a forma trigonométrica y binómica. a) = 60 b) = 4 225 c) = 5 0 d) = 6 150 a) r α 5 = 60 60º = ( 4) 59º 2 10 = = 4(cos 59 2 10 + i sen 59 2 10 ) b) = (cos 60º + i sen 60º) = 1 = ( + i ) = + i b) 4 α 6 r = 4 6i = (2 1) 26º 18 6 = = 2 1(cos 26 18 6 + i sen 26 18 6 ) c) = 4(cos 225º + i sen 225º) = 2 2 = 4 ( i ) = 2 2 2 2i 2 2 c) 225 4 = 4 225 = + 2i r 2 α = ( 1) 146º 18 6 = = 1(cos 146 18 6 + i sen 146 18 6 ) 0º = 5(cos 0º + i sen 0º) = 1 5 5 = 5 ( i ) = i 5 = 5 0 TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 22

d) c) = 6 150 6 150º z 4 0º = 6(cos 150º + i sen 150º) = 1 = 6 ( + i ) = + i 2 2 19. Representa en el plano de Gauss los siguientes números complejos y pásalos a forma polar y binómica. a) = (cos 225 + i sen 225 ) b) = 2 (cos 00 + i sen 00 ) c) = 4 (cos 0 + i sen 0 ) d) = 5 (cos 15 + i sen 15 ) a) 1 = 4 0º = 4( + i ) = 2 + 2i 2 2 d) 2 2 5 2 5 2 = 5 15º = 5( + i ) = + i 5 15º 225º 2 2 2 2 = 225º = ( i ) = i b) 20. Define y representa el lugar geométrico definido por: z = 5 z = 5 00º 2 1 = 2 00º = 2 ( i ) = 1 i 2 2 Es una circunferencia de centro el origen de coordenadas y de radio 5 224 SOLUCIONARIO

4. Operaciones en forma polar Piensa y calcula Dado el número complejo z = 4 + 4i, multiplica reiteradamente tres veces por i. Representa en el plano de Gauss el número complejo z = 4 + 4i y los tres números complejos que has obtenido. Une mediante un segmento cada afijo con el siguiente, y el último con el primero. Qué figura se obtiene? = 4 + 4i = 4 + 4i = 4 4i = 4 4i Se obtiene un cuadrado. Aplica la teoría 21. Sean = 2 120, = 210, = 4 15 a) b) c) a) 6 0 b) 8 75 c) 12 165 a) 125 90 b) 81 180 c) 2 225 24. Un triángulo equilátero de centro el origen de coordenadas tiene un vértice en el punto A(0, 5). Halla las coordenadas de los otros dos vértices y dibuja dicho triángulo. 22. Sean = 6 225, = 150, = 2 00 = 5i = 5 90 = 5 90 1 120 = 5 210 a) / b) / c) / = 5 210 1 120 = 5 0 a) 2 75 b) 285 c) 1,5 210 2. Sean = 5 150, = 225, = 2 45 a) 1 b) 2 c) = 5 210 = 5 90 = 5 0 TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 225

5. Radicación de números complejos Piensa y calcula a) Calcula mentalmente 1. Cuántas raíces tiene? 4 b) Observando que 1 = 1, calcula mentalmente 1. Cuántas raíces tiene? a) 1 y 1, tiene dos raíces. b) 1, 1, i y i, tiene cuatro raíces. 4 Aplica la teoría 25. Halla las raíces cúbicas de z = 8i; represéntalas gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? z = 8 90 27. Halla las raíces quintas de z = + 4i;represéntalas gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? z = 5 126 52 12 = 2 0 = 2 150 = 2 270 = ( 5 5) 25º 22 26 = ( 5 5) 97º 22 26 = ( 5 5) 169º 22 26 = ( 5 5) 241º 22 26 = 2 150 = 2 0 = 2 270 Se obtiene un triángulo equilátero. 26. Halla las raíces cuartas de z = 81; represéntalas gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? = ( 5 5) 1º 22 26 = ( 5 5) 169º 22' 26'' z ( 5 4 = 5) 241º 22' 26'' Se obtiene un pentágono regular. ( 2 = 5) 97º 22' 26' = ( 5 5) 25º 22' 26'' z ( 5 5 = 5) 1º 22' 26'' z = 81 180 = 45 = 15 = 225 = 15 = 15 = 45 28. Resuelve las ecuaciones siguientes; representa las raíces gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? a) + 16 = 0 b) 16i = 0 Se obtiene un cuadrado. = 225 = 15 a) + 16 = 0 z = 4 16 = 4 16 180 = 2 45 = 2 15 = 2 225 = 2 15 226 SOLUCIONARIO

1. Halla una ecuación de 2º grado que tenga las raíces: 6± 5i = 2 15 = 2 45 (x 6) 2 + ( 5 ) 2 = 0 x 2 12x + 41 = 0 = 2 225 = 2 15 Se obtiene un cuadrado. b) 16i = 0 z = 4 16i = 4 16 90 = 2 22 0 = 2 112 0 = 2 202 0 = 2 292 0 = 2 112º 0' Se obtiene un cuadrado. 29. Resuelve la ecuación: x 2 + 6x + 10 = 0 a) Cómo son las raíces? En la parábola correspondiente: b) halla el vértice. c) halla el eje de simetría. d) Represéntala. x 1 = + i x 2 = i a) Las raíces son complejas conjugadas. b) V(, 1) c) x = d) = 2 22 0' = 2 202 0' z4 = 2292 0' y = x 2 + 6x + 10 2. Resuelve la ecuación: x 2 2x + = 0 a) Cómo son las raíces? En la parábola correspondiente: b) halla el vértice. c) halla el eje de simetría. d) Represéntala. x 1 = 1 + 2 i x 2 = 1 2i a) Las raíces son complejas conjugadas. b) V(1, 2) c) x = 1 d) y = x 2 2x + V(1, 2) x = 1. Dado el dibujo de la parábola siguiente, halla: a) el vértice. b) las raíces. c) la ecuación de la parábola. V(, 1) x = 0. Halla una ecuación de 2º grado que tenga las raíces: 2±i (x 2) 2 + 2 = 0 x 2 4x + 1 = 0 a) V(2, ) b) x 1 = 2 + i,x 2 = 2 i c) (x 2) 2 + = 0 y = x 2 4x + 7 TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 227

Ejercicios y problemas 1. Forma binómica del número complejo 4. Completa con equis las casillas a las que pertenecen los siguientes números. 5. Escribe cinco números complejos que no sean reales. 6. Escribe cinco números imaginarios puros. 7. Halla mentalmente las siguientes raíces: a) 6 b) 64 a) ± 6 b) ± 8i Números 7 1 6/5 2 + 5i 28 e 4 + 5i, 7i, 5, 2 i, 6 4 7i, 2i, 4i, 9i, 9i Números 7 1 6/5 2 + 5i 28 e 9. Halla los números complejos representados en el siguiente plano de Gauss por sus afijos: = 2 5i = 5i = 2 = 0 = 5 + i = 5 5i z 7 = 4i z 8 = 5 + 4i z 9 = 40. Representa los afijos de los siguientes números complejos en el plano de Gauss. a) = + 5i b) = 6 c) = 4 6i d) = 2i e) = 2 + 5i f) = 4 g) z 7 = 1 4i h) z 8 = 2i 2. Operaciones en forma binómica z 8 z 8 = 5 + 4i z 9 z 7 = 2 = 2 5i = 2 + 5 = 6 z 7 = l 4i = 5i = 5 + i = 0 z 9 = z 7 = 4i = 5 5i = + 5i = 2i = 4 z 8 = 2i = 4 6i 8. Calcula mentalmente x e y para que los siguientes números complejos sean iguales: = 8 xi = y 5i x = 5, y = 8 41. Sean = 2 i, = 5 4i a) + b) c) 4 d) 5 + 2 a) 7 7i b) + i c) 14 + 7i d) 7i 228 SOLUCIONARIO

42. Sean = 5 2i, = + i, = 6 4i a) b) c) a) 1 + 11i b) 22 2i c) 14 + 18i 4. a) (4 + i) 2 b) ( 5 + 2i) 2 c) ( i) 2 d) (6 + i) 2 a) 15 + 8i b) 21 20i c) 18i d) 5 + 12i 44. Sea z = 5 + 2i a) el opuesto de z b) el conjugado de z c) el inverso de z d) el producto z z a) z = 5 2i b) z = 5 2i c) z 1 = 5 2 i 29 29 d) z z = 29 45. Sean = 5i, = 2 + i, = 6 + 4i. Forma polar del número complejo 48. Calcula mentalmente el módulo y el argumento de los siguientes números complejos, y pásalos a forma polar. a) = 4 b) = 5i c) = 2i d) = a) 4 180 b) 5 90 c) 2 270 d) 0 49. Representa en el plano de Gauss los siguientes números complejos, y pásalos a forma polar y trigonométrica. a) = 4 + 5i b) = 2i c) = 6 i d) = 1 + 5i a) = 4 + 5i 5 4 = ( 41) 128º 9 5 = = 41(cos 128 9 5 + i sen 128 9 5 ) b) r α a) / b) / c) / a) 1 1 i 5 5 b) 19 + 9 i 26 26 c) 2 7 i 1 26 46. Calcula las siguientes potencias: a) i 159 b) i 242 c) i 272 d) i 209 a) i b) 1 c) 1 d) i 47. Dado el número complejo z = 4 5i, calcula: z z z 1 4 + 5i r 2 = 2i = ( 1) 26º 18 6 = = 1(cos 26 18 6 + i sen 26 18 6 ) c) = ( 7) 189º 27 44 = = 7(cos 189 27 44 + i sen 189 27 44 ) α 6 1 r = 6 i α TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 229

Ejercicios y problemas d) = l + 5i r 5 α l d) 15º = 15 = ( 26) 78º 41 24 = = 26(cos 78 41 24 + i sen 78 41 24 ) 50. Representa en el plano de Gauss los siguientes números complejos, y pásalos a forma trigonométrica y binómica. a) = 4 210 b) = 5 15 c) = 6 0 d) = 15 a) = (cos 15 + i sen 15 ) = 2 2 2 2 = ( i ) = i 51. Representa en el plano de Gauss los siguientes números complejos, y pásalos a forma polar y binómica. a) = 4(cos 150 + i sen 150 ) b) = (cos 0 + i sen 0 ) c) = 2(cos 45 + i sen 45 ) d) = 5(cos 240 + i sen 240 ) 210º 4 a) = 4 210 4 150º = 4(cos 210 + i sen 210 ) = b) 1 = 4 ( i ) = 2 2i 2 2 = 5 15 5 15º 1 = 4 150 = 4 ( + i ) = 2 + 2i 2 2 b) 0º = 5(cos 15 + i sen 15 ) = c) 2 2 5 2 5 2 = 5 ( + i ) = + i = 6(cos 0 + i sen 0 ) = 1 = 6( + i ) = + i 2 2 = 6 0 6 0º 1 = 0 = ( i ) = i c) 2 2 = 2 45 = 2( + i ) = 2 + 2 i 2 2 2 45 º 20 SOLUCIONARIO

d) 55. Sean = 8 45, = 4 210, = 2 0 240º 5 a) / b) / c) / a) 2 195 b) 4 75 c) 2 240 1 5 5 = 5 240 = 5( i ) = i 52. Define y representa el lugar geométrico de todos los números complejos que tienen de argumento 45 Es una semirrecta, que nace en el origen de coordenadas O(0, 0), y el ángulo formado por el semieje positivo de l as y dicha semirrecta tiene una amplitud de 45 ; es decir, es la bisectriz del primer cuadrante. 5. Define y representa el lugar geométrico definido por: z = 4 Es una circunferencia de centro el origen de coordenadas y de radio 4 45º 56. Sean = 6 120, = 5 15, = 225 a) z 1 b) z4 2 c) z5 a) 216 0 b) 625 180 c) 24 45 57. Un cuadrado de centro el origen de coordenadas tiene un vértice en el punto A(4, 0). Halla las coordenadas de los otros vértices y dibuja dicho cuadrado. = 4 = 4 0 = 4 0 1 90 = 4 90 = 4i = 4 90 1 90 = 4 180 = 4 = 4 180 1 90 = 4 270 = 4i = 4 = 4i 5. Radicación de números complejos = 4i = 4 z = 4 58. Halla las raíces cúbicas de z = 27i; represéntalas gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? z = 27 270 = 90 = 210 4. Operaciones en forma polar 54. Sean = 4 60, = 5 240, = 6 00 a) b) c) a) 20 00 b) 24 0 c) 0 180 = 0 = 90 = 210 = 0 Se obtiene un triángulo equilátero. TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 21

Ejercicios y problemas 59. Halla las raíces cuartas de z = 16; represéntalas gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? = = i = i z = 16 0 = 2 0 = 2 90 = 2 180 = = = 2 270 = 2 90 Se obtiene un cuadrado. = i = 2 180 = 2 270 = 2 0 b) + 16i = 0 z = 4 16i = 4 16 270 = 2 67 0 = 2 157 0 = 2 247 0 Se obtiene un cuadrado. = 2 7 0 60. Halla las raíces quintas de z = + 5i; represéntalas gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? = 2 157 0' = 2 67 0' z = ( 4) 59º 2 10 = ( 10 4) 11º 48 26 = ( 10 4) 8º 48 26 Se obtiene un cuadrado. = 2 247 0' = 2 7 0' = ( 10 4) 155º 48 26 = ( 10 4) 227º 48 26 = ( 10 4) 299º 48 26 10 = ( 4) 155º 48' 26'' 10 =( 4) 227º 48' 26'' Se obtiene un pentágono regular. 61. Resuelve las ecuaciones siguientes; representa las raíces gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? a) 81 = 0 b) + 16i = 0 a) 81 = 0 = 81 z = 4 81 = = i 10 =( 4) 10 =( 4) 10 =( 4) 8º 48' 26'' 11º 48' 26'' 299º 48' 26'' 62. Resuelve la ecuación: x 2 4x + 5 = 0 a) Cómo son las raíces? En la parábola correspondiente: b) halla el vértice. c) halla el eje de simetría. d) Represéntala. x 1 = 2 + i x 2 = 2 i a) Son complejas conjugadas. b) V(2, 1) c) x = 2 d) y = x 2 4x + 5 V(2, 1) x = 2 22 SOLUCIONARIO

6. Resuelve la ecuación: x 2 + 4x + 7 = 0 a) Cómo son las raíces? En la parábola correspondiente: b) halla el vértice. c) halla el eje de simetría. d) Represéntala. x 1 = 2 + i x 2 = 2 i a) Son complejas conjugadas. b) V( 2, ) c) x = 2 d) V( 2, ) x = 2 64. Halla una ecuación de segundo grado que tenga las raíces: ± 5i (x ) 2 + 5 2 = 0 x 2 6x + 4 = 0 65. Halla una ecuación de segundo grado que tenga las raíces: 2 ± i (x + 2) 2 + ( ) 2 = 0 x 2 + 4x + 7 = 0 y = x 2 + 4x + 7 Para ampliar 66. Las raíces cuadradas de los números reales negativos, qué clase de números son? Pon un ejemplo. Son números imaginarios puros. Ejemplo: 9 = ± i 67. La suma de un número complejo y su conjugado, qué clase de número es? Pon un ejemplo. Es un número real. Ejemplo: z = 2 + i, z = 2 i z + z = 4 68. El producto de un número complejo y su conjugado, qué clase de número es? Pon un ejemplo. Es un número real. z = 4 + 5i, z = 4 5i z z = 41 69. Dado el número complejo: z = + 5i a) el conjugado del opuesto. b) el opuesto del conjugado. c) qué relación hay entre los resultados obtenidos en los dos apartados anteriores? a) z = + 5i b) z = + 5i c) Que son iguales. 70. Calcula x e y para que: a) x + 2i + 5 i = 7 + yi b) 5i 7 + yi = x + 2i a) x = 2, y = 1 b) x = 4, y = 7 TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 2

Ejercicios y problemas 71. Halla los números complejos representados en forma polar: z 7 z4 = 5 20 = 90 = 4 180 = 4 40 = 6 20 = 270 z 8 74. Define y representa el lugar geométrico de todos los números complejos cuya parte imaginaria está comprendida entre 2 y Es una franja horizontal, los números complejos que están comprendidos entre las rectas y = 2 e y =, incluidas las rectas. 2 Imaginaria (z) y = y = 2 z 7 = 5 120 z 8 = 4 0 72. Representa los siguientes números complejos en el eje polar. a) = 5 0 b) = 4 180 c) = 150 d) = 5 90 e) = 2 240 f) = 0 75. Si el producto de dos números complejos no reales es un número real, qué relación hay entre sus argumentos? Pon un ejemplo. La suma de los argumentos tiene que ser 180 o 60 2 60 120 = 6 180 = 6 g) z 7 = 6 60 h) z 8 = 2 270 z 7 76. Resuelve las ecuaciones siguientes. Representa las raíces gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? a) 1 = 0 b) + i = 0 z 8 a) 1 = 0 z = 6 1 = 6 1 0 = 1 0 = 1 60 7. Escribe la condición que deben cumplir los números complejos representados en la siguiente figura: = 1 120 = 1 180 = 1 240 = 1 00 = l 120 = l 60 Que la parte real esté comprendida entre 2 y 5 2 Real (z) 5 = l 180 = l 0 = l 240 = l 00 Se obtiene un hexágono regular. 24 SOLUCIONARIO

b) + i = 0 z = 6 1 = 6 1 270 = 1 45 = 1 255 = 1 15 = 1 105 = l 75 = 1 165 = l 15 = 1 225 = l 15 = 1 285 = l 195 = 1 45 = l 15 = l 165 = l 105 = l 45 = l 255 Se obtiene un hexágono regular. = l 225 = l 285 Se obtiene un hexágono regular. 77. Resuelve las ecuaciones siguientes. Representa las raíces gráficamente y une mediante una línea poligonal los afijos obtenidos. Qué polígono regular se obtiene? a) + 1 = 0 b) i = 0 a) + 1 = 0 z = 6 1 = 6 1 180 = 1 45º 78. Halla la ecuación de una parábola que tiene el vértice en el punto V(1, 4) y que no corta al eje de abscisas. Las raíces son: 1 ± 2i (x 1) 2 + 2 2 = x 2 2x + 5 y = x 2 2x + 5 y = x 2 2x + 5 V(1, 4) x = 1 = 1 0 = 1 90 = 1 150 = 1 210 = 1 270 = 1 0 = l 150 = l 90 = l 0 79. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 4 + 5x 2 6 = 0 b) x 4 + 5x 2 + 4 = 0 a) x 1 = 2, x 2 = 2, x = i, x 4 = i b) x 1 = i, x 2 = i, x = 2i, x 4 = 2i = l 210 = l 0 = l 270 Se obtiene un hexágono regular. b) i = 0 z = 6 i = 6 1 90 = 1 15 = 1 75 = 1 15 = 1 195 80. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 4 + 1x 2 + 6 = 0 b) x 4 x 2 4 = 0 a) x 1 = 2i, x 2 = 2i, x = i, x 4 = i b) x 1 = 2, x 2 = 2, x = i, x 4 = i TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 25

Ejercicios y problemas Problemas 81. Halla un número que sumado con su inverso dé 1. Qué tipo de números son el resultado? z + 1 = 1 z + 1 = 0 z 1 1 z 1 = + i, = i El resultado son dos números complejos conjugados, tal que la suma de sus partes reales es uno. 82. Dados los números complejos z 0 = 0, = + 2i, =1+i, halla + y representa los afijos de z 0,, y +. Únelos mediante segmentos en el siguiente orden: z 0,, +, y z 0. Qué polígono se obtiene? + = 4 + 5i = 1 + i z 0 + = 4 + 5i = + 2i z = 2i 85. Dados los números complejos = 4 + xi, = x i, halla x para que sea: a) un número real. b) un número imaginario puro. = 5x + (x 2 4) i a) x 2 4 = 0 x = ± 2 b) 5x = 0 x = 0 86. Dados los números complejos = 2 6i, = x + i,halla x para que / sea: a) un número real. b) un número imaginario puro. 2x 18 6x + 6 = i x 2 + 9 x 2 + 9 a) 6x + 6 = 0 x = 1 b) 2x 18 = 0 x = 9 Se obtiene un paralelogramo; es equivalente a la suma de vectores. 8. Dado el número complejo z = 5 + i, calcula el conjugado, z, el opuesto, z, y el opuesto del conjugado, z.representa los cuatro números complejos en el plano de Gauss y únelos en el siguiente orden: z, z, z, z,z. Qué polígono se obtiene? z = 5 i z = 5 i z = 5 + i = 5 + i Se obtiene un rectángulo. z z = 5 i 84. Resuelve la siguiente ecuación sabiendo que z es un número complejo: 2z + 6 i = 5z + i z = 5 + i z = 5 + i 87. Dado el número complejo z = x i, halla x para que (x i) 2 sea: a) un número real. b) un número imaginario puro. (x i) 2 = x 2 9 6xi a) 6x = 0 x = 0 b) x 2 9 = 0 x = ± 88. Resuelve la siguiente ecuación: (x 5i)( + yi) = 22 7i x + 5y + (xy 15)i = 22 7i Se transforma en el sistema: x + 5y = 22 xy 15 = 7 x 1 = 4, y 1 = 2 x 2 = 10/, y 2 = 12/5 89. Dados los números complejos = x + i, = 2 + i, halla x para que el afijo de esté en la bisectriz del 1 er cuadrante. 26 SOLUCIONARIO

= 2x 1 + (x + 2)i 2x 1 = x + 2 x = Comprobación: = 5 + 5i 9. Escribe la condición que deben cumplir los números complejos representados en la siguiente figura: 90. Define y representa el lugar geométrico definido por: z = Es una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio Que su módulo sea menor o igual que 2 z 2 z = 91. Escribe la condición que deben cumplir los números complejos representados en la siguiente figura: 94. Define y representa el lugar geométrico de todos los números complejos que tienen de argumento 150 Es una semirrecta que nace en el origen de coordenadas, y el ángulo que forma el semieje positivo de las con dicha semirrecta tiene de amplitud 150 150º Que su módulo sea 4 z = 4 95. Define y representa el lugar geométrico de todos los números complejos que tienen de parte real 4 92. Define y representa el lugar geométrico definido por: z 5 Es el círculo de centro el origen de coordenadas y radio 5, es decir, la circunferencia y su interior. Es una recta vertical de abscisa 4 x = 4 96. Define y representa el lugar geométrico de todos los números complejos que tienen de parte imaginaria TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 27

Ejercicios y problemas Es una recta horizontal de ordenada y = 100. Halla la ecuación de una parábola que tiene el vértice en el punto V(, 2) y que no corta al eje de abscisas. Las raíces son: x 1 = + 2i x 2 = 2i (x ) 2 + 2 = 0 x 2 6x + 11 = 0 y = x 2 6x + 11 97. Dado el número complejo: 2 2 z = + i 2 2 calcula 0. Da el resultado en forma binómica. y = x 2 6x + 11 V(, 2) x = z = 1 45 0 = (1 45 ) 50 = 1 50 50 45º = 1 90 = i 98. Aplicando la fórmula de Moivre,expresa sen 2α y cos 2α en función del seno α y del cos α (cos α + i sen α) 2 = cos 2α + i sen 2α Desarrollando el cuadrado del primer miembro e igualando las partes reales e imaginarias, se obtiene: cos 2α = cos 2 α sen 2 α sen 2α = 2 sen α cos α 99. Halla los vértices de un hexágono regular, sabiendo que uno de ellos es el punto A(5, 0) 101. Halla las raíces cúbicas de i y de i, represéntalas gráficamente en los mismos ejes coordenados y forma el polígono que se obtiene uniendo los afijos de cada una de las raíces. z = i = 1 90º = 1 0º = 1 150º = 1 270º z = i = 1 270º = 1 90º = 1 210º = 1 0º A(5, 0) z = 5 0 5 0 1 60 = 5 60 5 60 1 60 = 5 120 = 1 150 = 1 90 = 1 0 5 120 1 60 = 5 180 5 180 1 60 = 5 240 = 1 210 = 1 270 = 1 0 5 240 1 60 = 5 00 5 180 5 120 5 240 5 60 5 0 5 00 Para profundizar 102. En qué números complejos coincide su inverso con su conjugado? Representa gráficamente la solución. 28 SOLUCIONARIO

x y i = x yi x 2 + y 2 x 2 +y 2 Para que las partes reales e imaginarias sean iguales tiene que ser: x 2 + y 2 = 1 Son los números complejos que tienen de módulo uno, es decir, los números complejos que están sobre la circunferencia unidad. Es una franja vertical comprendida entre las rectas x = 1 y x = 4 1 Real(z) 4 x = 1 x = 4 x 2 + y 2 = 1 106. Dado el número complejo: 2 2 z = i 2 2 10. Define y representa el lugar geométrico determinado por: z 5 Son los números complejos cuyo módulo está comprendido entre y 5, es decir, una corona circular de radios y 5, con el centro en el origen de coordenadas. Ì z Ì 5 calcula 0. Da el resultado en forma binómica. z = 1 15 0 = (1 15 ) 50 = 1 50 50 15 = 1 270 = i 107. Si el cociente de dos números complejos no reales es un número real, qué relación hay entre sus argumentos? Pon un ejemplo. La diferencia de sus argumentos tiene que ser 0 o 180 6 0 :2 0 = 0 = 6 210 :2 0 = 180 = 104. Escribe la condición que deben cumplir los números complejos representados en la siguiente figura: 108. Halla un número complejo cuyo cuadrado sea un número real negativo. z = 5i = 25 109. Halla un número complejo cuyo cuadrado sea un número imaginario puro. 2 z 4 105. Define y representa el lugar geométrico de todos los números complejos cuya parte real está comprendida entre 1 y 4 z = 45 = 9 90 = 9i 110. Aplicando la fórmula de Moivre,expresa sen α y cos α en función del seno α y del cos α.ten en cuenta que: (a + b) = a + a 2 b + ab 2 + b TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 29

Ejercicios y problemas (cos α + i sen α) = cos α + i sen α Desarrollando el primer cubo e igualando las partes reales e imaginarias, se obtiene: sen α = sen α cos 2 α sen α cos α = cos α cos α sen 2 α 111. Halla los vértices de un cuadrado de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto A(, 4). Haz el dibujo. = + 4i = i = 4 + i = i = 4i = i = 4 i = 4 + i = + 4i = 4 162 11. Halla la ecuación de una parábola que tiene el vértice en el punto V(, 1) y que no corta al eje de abscisas. Las raíces son: x 1 = + i x 2 = i (x + ) 2 + 1 = x 2 + 6x + 10 y = x 2 + 6x + 10 = 4 90 = 4 18 = 4 24 = 4 06 y = x 2 + 6x + 10 = 4i = 4 i V(, 1) 112. Halla los vértices de un pentágono regular sabiendo que uno de ellos es el punto A(0, 4) A(0, 4) z = 4 90 4 90 1 72 = 4 162 4 162 1 72 = 4 24 4 24 1 72 = 4 06 4 06 1 72 = 4 18 x = 114. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 7x 2 + 19x 1 = 0 b) x + 6x + 20 = 0 a) x 1 = 1, x 2 = + 2i, x = 2i b) x 1 = 2, x 2 = 1 + i, x = 1 i 240 SOLUCIONARIO

Linux/Windows Windows Derive Paso a paso 115. Multiplica los siguientes números complejos. = 2 + i = 4 + 5i Resuelto en el libro del alumnado. 116. Divide los siguientes números complejos. = 2 + i = 4 + 5i Resuelto en el libro del alumnado. 117. Calcula la siguiente potencia: (2 + i) 5 118. Resuelve la ecuación: x 2 6x + 1 = 0 Haz la interpretación gráfica representando la parábola correspondiente. Resuelto en el libro del alumnado. 119. Representa el lugar geométrico definido por la expresión: z = 5 Resuelto en el libro del alumnado. 120. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es, elige Matemáticas, curso y tema. Resuelto en el libro del alumnado. Practica 121. Sean = 5 4i, = 2 + i a) + b) c) 7 4 d) 5 + 9 a) i b) 7 7i c) 4 40i d) 4 + 47i 122. Sean = + 5i, = 4 2i, = 1 + 6i a) b) c) a) 22 + 14i b) + 1i c) 8 + 26i 124. Sean = 5 + 6i, = 8 9i, = 4 + i a) / b) / c) / 14 9 a) + i 145 145 2 9 b) i 25 25 59 12 c) + i 25 25 125. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) = b) = i c) = 1 d) = i 12. a) ( + 2i) 7 b) ( 4 + 7i) 8 c) (2 i) 9 d) (1 + i) 10 a) 4449 6554i b) 9470207 1511424i c) 718 + 1199i d) 2i a) = i, = i 2 2 2 b) z 2 1 = + i, = i 1 1 c) z 1 = i, = + i, = 1 1 d) z 1 1 = + i, = + i, = i TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 241

Linux/Windows 126. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) = 81 b) = 16 c) + 5 6 = 0 d) + 1 + 6 = 0 a) = i, = i, =, = b) = 2 2i, = 2+ 2i = 2 2i, = 2+ 2i c) = i, = i, = 2, = 2 d) = i, = i, = 2i, = 2i 127. Resuelve la ecuación: x 2 4x + 5 = 0 Haz la interpretación gráfica representando la parábola correspondiente. 129. Halla una ecuación de segundo grado que tenga las raíces complejas conjugadas ± 4i (x ) 2 + 16 = 0 x 2 6x + 25 = 0 10. Halla una ecuación de segundo grado que tenga las raíces: 6 ± 5 i (x 6) 2 + 5 = 0 x 2 12x + 41 = 0 11. Mediante ensayo-acierto halla la fórmula de la siguiente parábola. x 1 = 2 i, x 2 = 2 + i 128. Resuelve la ecuación: x 2 + 4x + 5 = 0 Haz la interpretación gráfica representando la parábola correspondiente. x 1 = 2 i, x 2 = 2 + i y = x 2 6x + 10 242 SOLUCIONARIO