2 Conducción Unidimensional

2 Conducción Unidimensional 2.1 Soluciones simples en 1D 2.1.1 Conducción estacionaria sin fuentes. Paredes planas Un problema puede presentar características físicas que permiten simplificar las ecuaciones diferenciales del modelo. Condiciones de simetría o de relación de aspecto de un cuerpo ayudan a plantear una ecuación para una sóla dimensión. La figura 2.1 muestra una pared plana de espesor L según la coordenada x. Para las demás coordenadas, podemos considerar que tiene dimensión infinita. La más sencilla de las soluciones aparece para la ecuación de Laplace en 1D, T 2 x 2 = 0. El campo de temperaturas es lineal y depende de las condiciones de borde. De acuerdo con las condiciones de temperatura de la figura 2.1, T (x) = x(t C T H )/L + T H (2.1) Figura 2.1: Conducción en una pared infinita de espesor L. El vector densidad de flujo de calor correspondiente a esta solución es: q = λ T H T C ē x L 1

67.31 Transferencia de Calor y Masa Por otra parte, las condiciones de borde no son necesariamente de temperaturas 1 sino también pueden ser flujos de calor impuestos. Utilizando la ley de Fourier q x = λ T/ x y la condición es sobre la derivada 2. Algunas sutilezas más pueden aparecer cuando el flujo de calor es debido a convección o a radiación. Si integramos el vector densidad de flujo para la superficie de la pared, por uniformidad del mismo, esto equivale a multiplicar q por la superficie para obtener el flujo de calor total Q. Paredes curvas Q = λs T H T C L (2.2) En geometrías cilíndrica o esférica, el cambio de coordenas sobre la ecuación de Laplace y la ley de Fourier modifica la solución. En el caso de un cilindro de largo infinito, por simetría y uniformidad, los cambios en la coordenada angular θ y en la coordenada del eje z son nulos. Luego, 2 T = T = 1 ( r T ) + 1 2 T r r r r 2 θ + 2 T 2 z = 0 2 T = 1 ( r T ) = 0 r r r ( r T ) = A T r r = A (2.3) r = T (r) = A ln r + B (2.4) Para condiciones de Dirichlet en las fronteras, T (r) = T H + (T H T C ) ln(r 1 /R 2 ) ln(r/r 1) (2.5) Por otro lado, la ecuación de Fourier para el flujo de calor: ( T q = λ T = λ ( T q = λ r q = λ ) ē r ( (TH T C ) ln(r 1 /R 2 ) 1 Recordar, de Análisis, condición de tipo Dirichlet. 2 Ídem, Neumann. r, 1 r T θ, T ) z ) 1 ē r (2.6) r 2

Conducción 1D En forma similar, para un cuerpo esférico, la solución unidimensional de la ecuación de Laplace con condiciones de borde Dirichlet resulta: y el flujo de calor asociado: T (r) = T H + R ( ) 2 R1 (T H T C ) R 2 R 1 r 1 (2.7) q = λ R 1R 2 R 2 R 1 (T H T C ) 1 r 2 ēr (2.8) En ambos casos, si integramos el vector densidad de flujo obtenemos el flujo de calor total Q: ( ) (TH T C ) Q c = λ ln(r 1 /R 2 ) 2πL cilindro (2.9) Q e = λ R 1R 2 R 2 R 1 (T H T C )4π esfera (2.10) Resumiendo los 3 casos unidimensionales, el flujo de calor resulta: Q = ( λs L Plana ) ( Cilíndrica ) ( Esférica λ2πl (T H T C ) (T H T C ) λ4π R 1R 2 ln(r 1 /R 2 ) R 2 R 1 ) (T H T C ) 2.1.2 Analogía eléctrica. Resistencia térmica Para cada caso, identificamos la diferencia de temperaturas (T H T C ) multiplicada por una cantidad que llamaremos conductancias térmicas a la conducción. La inversa de este valor es la resistencia a la conducción. Pensando en una analogía con un problema eléctrico, la diferencia de temperaturas es semejante a un potencial mientras que el flujo de calor puede asimilarse a una corriente: T = QR térmica Muchos procesos de transferencia de calor pueden ser escritos en la forma de una resistencia, y la analogía eléctrica permite además la formulación de problemas térmicos como problemas eléctricos aprovechando sus técnicas de resolución. Por ejemplo, problemas de resistencias térmicas en paralelo, en serie o redes de resistencias. 3

67.31 Transferencia de Calor y Masa Materiales presión Rugosidad intersticio Temp. Área específica cobre-cobre 100kPa 0.2µm vacío 46 C 1.5 10 4 Km 2 /W cobre-cobre 1000kPa 0.2µm vacío 46 C 1.3 10 4 Km 2 /W aluminio-aluminio 100kPa 0.3µm vacío 46 C 2.5 10 3 Km 2 /W aluminio-aluminio 100kPa 1.5µm vacío 46 C 3.3 10 3 Km 2 /W acero inox.-acero inox. 100kPa 1.3µm vacío 30 C 4.5 10 3 Km 2 /W acero inox.-acero inox. 1000kPa 1.3µm vacío 30 C 2.4 10 3 Km 2 /W acero inox.-acero inox. 100kPa 0.3µm vacío 30 C 2.9 10 3 Km 2 /W acero inox.-acero inox. 1000kPa 0.3µm vacío 30 C 7.7 10 4 Km 2 /W acero inox.-aluminio 100kPa 1.2µm aire 93 C 3.3 10 4 Km 2 /W aluminio-aluminio 1000kPa 0.3µm aire 93 C 6.7 10-5Km 2 /W aluminio-aluminio 100kPa 10µm aire 20 C 2.8 10 4 Km 2 /W aluminio-aluminio 100kPa 10µm helio 20 C 1.1 10 4 Km 2 /W aluminio-aluminio 100kPa 10µm hidrógeno 20 C 0.72 10 4 Km 2 /W aluminio-aluminio 100kPa 10µm aceite de silicona 20 C 0.53 10 4 Km 2 /W 2.1.3 Resistencia de contacto Cuadro 2.1: Resistencia de contacto. Cuando dos sólidos entran en contacto, aparece un fenómeno que se conoce como resistencia de contacto. Aún cuando las superficies de ambos sólidos se encuentran bien preparadas mecánicamente, éstas no son perfectamente planas y la transmisión por vibración de la red cristalina (o mediante el pasaje de electrones) se ve alterada. Dado que el flujo de calor a través de lo sólidos es el mismo, dos paredes en serie, se cumple Q 1 = λ 1 S T x = Q 2 = λ 2 S T 1 x (2.11) 2 T = λ 1 T x = λ 2 1 x (2.12) 2 Por otra parte, al modelo de resistencias térmicas en serie, se añadirá entre ellas una resistencia que representa al salto térmico debido al contacto R c = 1/(α c S) que existe entre una pared a T 1 y la otra a T 2. La tabla 2.1 resume algunos valores para α c. Los valores corresponden para presiones y temperaturas moderadas. Resistencia por convección El fenómeno de convección será estudiado en clases posteriores donde estudiaremos el detalle de la interacción térmica entre el sólido y el fluido. La ecuación que caracteriza el flujo de calor por convección es la Ley de Newton: q conv = αs(t s T ) (2.13) α representa el coeficiente de transferencia por convección, S la superficie del sólido expuesto al fluido, T s su temperatura y T es la temperatura del fluido lejos del 4

Conducción 1D sólido. La resistencia térmica es R conv = 1/(αS) y el flujo q conv puede representar una condición de borde para un problema de conducción. Resistencia por radiación La transferencia de calor por radiación ocurre entre superficies debido a la emisión y la absorción de ondas electromagnéticas. El fenómeno será estudiado más adelante aunque adelantamos una expresión para la transferencia: q rad = Sσε(T 4 s T 4 2 ) (2.14) donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann (5,67 10 8 W/m 2 K 4 ), ɛ es la emisividad de la superficie 3 y T 2 es la temperatura de la superficie del segundo cuerpo. Ambas temperaturas se expresan en Kelvin, temperatura absoluta. Dado que la expresión contiene términos de grado 4, se puede reescribir la expresión para llevar a una forma más cercana al planteo de resistencias térmicas: q rad = S σε(t 2 s T 2 2 )(T s + T 2 ) }{{} α rad (T s T 2 ) (2.15) Cuando T s y T 2 no difieren mucho entre sí, siendo valores típicamente altos para que la transmisión por radiación sea efectiva, (T 2 s T 2 2 )(T s + T 2 ) 4 T 3 siendo T la temperatura media. La resistencia por radiación resulta: Resistencia global R rad 1 Sσε4 T 3 (2.16) Cuando queremos caracterizar a un sistema donde se producen distintos modos de transferencia, aparecen éstos formando parte de un circuito. Análogamente a lo utilizado en problemas de circuitos, aparece una resistencia equivalente R eq y su inversa, un coeficiente global de transferencia del calor K. El flujo de calor se escribe para el caso plano según: Q = KS(T 1 T 2 ) 2.1.4 Espesor crítico de un aislante Una forma de conseguir una disminución de la transferencia de calor es mediante el agregado de un material aislante. Consideremos una temperatura interior de T 0 3 La emisividad es un parámetro que varía entre 0, en superficies muy reflectantes, y 1, en superficies muy absorbentes. 5

67.31 Transferencia de Calor y Masa y una temperatura exterior de un fluido a T. Para el caso de una pared plana de conductividad λ 1 y espesor e 1, si agregamos un aislante de conductividad λ 2 y espesor x, podemos deducir una expresión para la resistencia térmica: Q = λ 1S e (T 0 T 1 ) Q = λ 2S x (T 1 T 2 ) Q = αs(t 2 T ) definimos R 1 = e R 2 = x R 3 = 1 λ 1 S λ 2 S αs R 1 Q + R 2 Q + R 3 Q = (T 0 T ) Siendo R eq = R eq Q = (T 0 T ) e λ 1 S + x λ 2 S + 1 αs (2.17) (2.18) Cuanto más espesor de aislante de conductividad λ 2 agreguemos, mayor será la resistencia al flujo de calor. Un caso más interesante surge para geometrías curvas. Para un cilindro que se recubre con un aislante, la expresión de la resistencia global es: R eq = ln(r 2/R 1 ) 2πλ 1 L + ln(r/r 2) 2πλ 2 L + 1 2πrLα siendo r el radio que toma el aislante en su frontera con el fluido. La expresión no es lineal respecto a r y podemos plantear un problema de extremo. En efecto, cuál será el espesor crítico para el cual la resistencia térmica global es mínima? Al contrario que en el caso anterior, la respuesta no es r = 0. Como R eq es sólo función de r: dr eq dr dr eq dr = 1 1 r 2πλ 2 L 1 2πr 2 Lα ( 1 = r λ ) 2 2πr 2 λ 2 L α Podemos deducir un valor crítico R c = λ 2 /α para el cual R eq es mínimo 4. Luego, paradójicamente, agregar un espesor r = R c de aislante transmite más calor que si no hubiera aislante alguno. Dos casos pueden suceder de acuerdo a la relación entre R c y R 2. Para R c < R 2 El aislamiento térmico comenzará a resultar efectivo cuando R eq > R(r = 0), en la figura 2.1.4 será para r 15. 4 Es mínimo pues la derivada segunda es siempre positiva. 6

Conducción 1D Figura 2.2: Cambio en la resistencia global en función del espesor del aislante. 2.2 Conducción con generación de calor Como habíamos anteriormente presentado, la ecuación para el problema unidimensional de transmisión de calor con generación de calor se describe mediante la ecuación de Poisson T = q v /λ. Varios ejemplos de la práctica responden a este modelo:i) Sólidos atravesados por una corriente eléctrica; ii) Reacciones de fisión en barras de combustible nuclear; iii) sistemas con reacciones químicas; iv) cuerpos que absorben radiación;... La ecuación para la geometría plana es: 2 T x 2 + q v λ = 0 La solución general es un polinomio de grado 2, Sean las condiciones frontera: T = q v 2λ x2 + C 1 x + C 2 (2.19) T x=0 = T H T x=l = T C Sustituyendo C 2 = T H C 1 = q v 2λ L (T H T c ) L = T = q [ vl 2 x ( x ) ] 2 2λ L + q v L 2λ L (T H T c ) x + T H L 7

67.31 Transferencia de Calor y Masa Figura 2.3: Campo de temperaturas para el problema de conducción en una pared plana con generación de calor. Fácilmente comprobamos que para q v 0 recuperamos la solución lineal (Figura 2.2). 2.3 Aletas Una forma de mejorar un diseño térmico se logra mediante la introducción de elementos que aumentan la superficie de intercambio, las aletas. De esta manera, un sólido puede evacuar más calor por convección de acuerdo a la ley de Newton (2.13). Existen numerosos ejemplos: la piel de algunos reptiles presenta formaciones tipo aleta para intercambiar calor en forma más eficiente; en condensadores y en muchos intercambiadores de calor industriales es muy común encontrar aletas; en motores; en componentes electrónicos; etc. Idealmente, la aleta aumenta la superficie pero debe considerarse también que el agregado de aletas a un cuerpo produce una diferencia de temperatura entre la punta de la aleta y su base. Así se define la efectividad de una aleta. Si R aleta = 1 αsη 0 < η < 1 siendo η la efectividad, para el caso ideal η = 1 y no hay salto térmico. La figura 2.3 muestra esquemáticamente una aleta de espesor th, largo L, cuya temperatura es en la base T b, la temperatura del fluido que la rodea es T y el coeficiente de convección es α. La primera hipótesis que necesitamos para considerar flujo 1D, es que la temperatura es uniforme en cada sección de la aleta, es 8

Conducción 1D Figura 2.4: Parámetros de la aleta. decir, despreciamos la conducción en la dirección r. Podemos plantear la ecuación de conservación de la energía para un diferencial dx: q 1 S t }{{} calor que entra = q 2 S t }{{} calor que sale axialmente + q r P }{{} calor que sale radialmente donde S t es la sección transversal y P el perímetro de la aleta. Si desarrollamos: q 2 = q 1 + q 1 x dx q 1 = λ T x q r = α(t T ) = λs t 2 T x 2 = αp (T T ) Podemos plantear distintas condiciones de borde, mientras que en la base de la aleta (x = 0) T = T b, en el extremo x = L puede considerarse: a. Convección: b. Transmisión nula: T λs t x = α S t (T T ) x=l T x = 0 x=l c. Temperatura del fluido (para aletas muy largas): T x=l = T 9

67.31 Transferencia de Calor y Masa Figura 2.5: Campo de Temperaturas. 2.3.1 Determinación del campo de temperaturas. La condición de borde (b) se acepta cuando S t << P L, la fracción de calor que se va por el extremo S t es muy pequeña comparada con la que sale por la superficie de la aleta restante P L. A fin de tener soluciones generales, realizamos un cambio de variable sobre la temperatura, θ = T T : 2 θ x 2 β2 θ = 0 λs t 2 θ x 2 αp θ = 0 con β = αp λs t La solución general: θ = C 1 e βx + C 2 e βx (2.20) Con la condición en el extremo θ x = 0 y en la base θ x=0 = (θ 0 = T b T ). x=l Luego θ 0 = C 1 + C 2. Obtenemos: [ ] e βx e βx cosh(β(l x)) θ = θ 0 + = θ 1 + e2βl 1 e 2βL 0 (2.21) cosh(βl) 2.3.2 Flujo de calor. El calor disipado lo obtenemos a partir de: Q = L 0 αp θdx (2.22) 10

Conducción 1D Figura 2.6: Efectividad de la aleta. de acuerdo a (2.21): Q = θ 0αP β tanh(βl) (2.23) Otra forma de obtener (2.23) es evaluando el flujo de calor en la base. Q = λs t θ/ x x=0 (2.24) 2.3.3 Efectividad de la aleta. Para evaluar la efectividad η comparamos el calor que disipa la aleta frente al calor que disiparía si la temperatura fuese uniforme(θ = θ 0 ) a lo largo de la aleta, es decir: Q θ 0 αp L = tanh(βl) = η (2.25) βl La resistencia térmica de una aleta es, como habíamos definido, R aleta = 1/(αP Lη). Si consideramos el área de cuerpo que no tiene aleta (FIGURA), tenemos una superficie que intercambia calor con una resistencia R resto = 1/α(S P L). Esta resistencia está en paralelo con la de la aleta, luego R = 1/(α(S P L) + αp Lη). Se puede así definir una efectividad total η T según: Sη T = (S P L) + ηp L entonces, η T = 1 P L (1 η) (2.26) S 11

67.31 Transferencia de Calor y Masa 12

Índice general 2. Conducción Unidimensional 1 2.1. Soluciones simples en 1D........................ 1 2.1.1. Conducción estacionaria sin fuentes............... 1 2.1.2. Analogía eléctrica........................ 3 2.1.3. Resistencia de contacto..................... 4 2.1.4. Espesor crítico de un aislante................. 5 2.2. Conducción con generación de calor.................. 7 2.3. Aletas.................................. 8 2.3.1. Determinación del campo de temperaturas........... 10 2.3.2. Flujo de calor........................... 10 2.3.3. Efectividad de la aleta...................... 11 13