Funciones de Clase C 1

Capítulo 7 Funciones de Clase C 1 Vamos a considerar ahora la extensión a varias variables del concepto de función de clase C 1. Cada vez que establezcamos una propiedad de las funciones diferenciables, trataremos de establecer, paralelamente, el mismo resultado para las aplicaciones de clase C 1. Preliminares Definición 7.1 Sea f : U E F donde U un conjunto abierto de E. Diremos que f es de clase C 1 sobre A U, lo que denotaremos por f C 1 (A), si (i) f es diferenciable en cada punto x de A. (ii) La aplicación Df : x Df(x) es continua en A. Aunque no se exprese explicitamente, siempre que escribamos f C 1 (A) supondremos que f está definida sobre algún conjunto abierto que contiene a A. Veremos en este capítulo un teorema de caracterización para estas aplicaciones, en términos de derivadas parciales. Para establecer con comodidad dicho teorema y también otros posteriores, necesitaremos algunos resultados previos. Proposición 7.2 Sea f : A E F 1 F 2... F k. Es decir f = (f 1, f 2,..., f k ) y sea a A o. Entonces, f es diferenciable en a (f C 1 (A)) si y sólo si cada función coordenada f i es diferenciable en a (f i C 1 (A)). Se verifica entonces que Df(a)h = (Df 1 (a)h, Df 2 (a)h,..., Df k (a)h). 69

70 Funciones de Clase C 1 7.2 Demostración. Supongamos que cada f i es diferenciable en a, entonces teniendo en cuenta la proposición 2.11 0 = ( ) f 1 (a + h) f 1 (a) Df 1 (a)h f k (a + h) f k (a) Df k (a)h,..., h 0 h 0 ( f1 (a + h) f 1 (a) Df 1 (a)h =,..., f ) k(a + h) f k (a) Df k (a)h h 0 f(a + h) f(a) (Df 1 (a)h,..., Df k (a)h) =, h 0 y puesto que la aplicación h (Df 1 (a)h, Df 2 (a)h,..., Df k (a)h) es lineal y continua (está en L (E, F 1... F k )), se deduce que f es diferenciable en a, siendo Df(a)h = (Df 1 (a)h, Df 2 (a)h,..., Df k (a)h). Recíprocamente, si f es diferenciable en a entonces f(a + h) f(a) Df(a)h = 0, h 0 lo que implica, usando de nuevo 2.11, que f i (a + h) f i (a) π i (Df(a)h) = 0, i = 1, 2,..., k h 0 donde π i es la proyección sobre F i. Esto significa que f i es diferenciable en a, y Df i (a) = π i Df(a). Veamos por último que f es de clase C 1 si y sólo si cada f i es de clase C 1, es decir que la aplicación Df : x Df(x) es continua si y sólo si la aplicación x (Df 1 (x),..., Df k (x)) es continua. En efecto, Df(x) Df(a) ε (Df(x) Df(a))h ε, h ( (Df 1 (x) Df 1 (a))h,..., (Df k (x) Df k (a))h ) ε, (Df j (x) Df j (a))h ε, h, j = 1..., k Df j (x) Df j (a) ε, j = 1..., k. h Nota. Obsérvese que a pesar de la fórmula Df(x)h = (Df 1 (x)h, Df 2 (x)h,..., Df k (x)h), las aplicaciones Df i no son las funciones coordenadas de la aplicación Df, pues Df(x) (Df 1 (x), Df 2 (x),..., Df k (x)) ya que Df(x) L (E, F 1... F k ) mientras que (Df 1 (x), Df 2 (x),..., Df k (x))

7.3 Funciones de Clase C 1 71 ki=1 L (E, F i ). Sin embargo, existe una isometría lineal entre estos dos espacios normados que aplica Df(x) sobre (Df 1 (x), Df 2 (x),..., Df k (x)) (la prueba de esto está implícita en la demostración anterior), y por tanto que Df es continua si y sólo si, para cada i, Df i es continua, se puede obtener como consecuencia de la proposición 6.8 Condición suficiente de diferenciabilidad Teorema 7.3 Sea f : A R n R p, y a o A. Si f admite derivadas parciales, respecto a cualquier índice, en un entorno del punto a y éstas son aplicaciones continuas en a, entonces f es diferenciable en a. Demostración. Observemos antes de nada que la hipótesis, las derivadas parciales de f son continuas en a, es equivalente a que esto mismo suceda para las funciones coordenadas, ya que es evidente que f (x) = ( f 1 (x),..., f p (x) ). Puesto que suponemos que las aplicaciones f i : x f i (x) están definidas en a, para que f sea además diferenciable se tendrá que verificar que f(x) f(a) nj=1 f x (7.1) j (a)(x j a j ) = 0. x a x a Para ello vamos a aplicar el teorema 5.6 a la función Es claro que g(x) = f(x) f(a) n j=1 f (a)(x j a j ). g i (x) = f i (x) f i (a). Por tanto, aplicando el hecho de que las derivadas parciales de f son continuas en a, se tiene que para todo ε > 0 existe algún δ > 0 tal que si x V = B[a, δ] entonces g i (x) = f i (x) f i (a) ε, i, j.

72 Funciones de Clase C 1 7.3 Se deduce, pues, que la función g cumple en V las hipótesis del teorema 5.6, luego es lipschitziana en V. En particular, si x V g(x) g(a) = f(x) f(a) n j=1 f (a)(x j a j ) ε x a 1, que, obviamente, significa que f satisface la condición 7.1. Nota. Obsérvese que del hecho de que la función g de la demostración anterior sea lipschitziana en V, se deduce que f(x) f(y) n f j=1 x j (a)(x j y j ) = 0. (x,y) (a,a) x y Una función que satisface la condición anterior se dice que es estrictamente diferenciable en a. Por lo tanto, se ha demostrado que si f es una función cuyas derivadas parciales son continuas en a, entonces f es algo más de diferenciable en a, es estrictamente diferenciable en a. En particular, es fácil ver que f es, en ese caso, lipschitziana en algún entorno de a. Corolario 7.4 Sea f : U R n R p con U un abierto, entonces f es de clase C 1 sobre U si, y sólo si, admite derivadas parciales continuas en U. Demostración. Si f admite derivadas parciales continuas en U, por el resultado anterior, se tiene que f es diferenciable en cada punto de U. Para que f C 1 (U) sólo falta ver que la aplicación Df es continua en U. Trabajemos, para concretar, con la norma producto de R n : = sup h j 1 Df(x) Df(a) = sup Df(x)h Df(a)h 1 n n j=1 ( f (x) f (a) ) h j j=1 f (x) f (a). De las desigualdades anteriores se deduce trivialmente que si las aplicaciones son continuas en a, entonces también es continua en a la aplicación Df. Recíprocamente, si Df es continua en a, entonces f (x) f (a) = (Df(x) Df(a))e j Df(x) Df(a) e j = Df(x) Df(a), lo que expresa que la aplicación f/ es continua en a.

7.6 Funciones de Clase C 1 73 Corolario 7.5 Sea U un abierto de R n y f : U R n R p una función de clase C 1 sobre U, entonces 1. f es localmente lipschitziana. 2. f es lipschitziana sobre cada compacto K U. Demostración. Teniendo en cuenta que las derivadas parciales de f están acotadas sobre cada bola cerrada contenida en U, del corolario 5.7 resulta entonces que f es localmente lipschitziana. Supongamos ahora que K es un compacto contenido en U y sea 0 < λ < d(k, U c ). (Utilizaremos, para situarnos en el marco del teorema 5.6, la norma 1 en R n y la norma en R p ) Denotemos por K 1 al conjunto K 1 = {x U : d(x, K) λ}. De acuerdo con la elección de λ, es claro que y K B(y, λ) K 1 U. Además es fácil probar que K 1 es un compacto (ejercicio). Sea entonces α una cota superior de f en K, y β una cota superior para las derivadas parciales de f en K 1. Entonces si x, y K puede suceder: 1. x y < λ. En este caso y B(x, λ) K 1, luego f(x) f(y) β x y. 2. x y λ, entonces f(x) f(y) 2α 2α x y. λ Luego f es lipschitziana sobre K de constante M = máx(β, 2α/λ). Algunos ejemplos Vamos a dar, para terminar, algunos ejemplos de funciones de clase C 1 utilizados con frecuencia en demostraciones de tipo teórico. Ejemplos 7.6 Las siguientes aplicaciones son de clase C 1 : (a) Las aplicaciones constantes. (b) Las aplicaciones lineales y continuas. (c) Las aplicaciones bilineales y continuas.

74 Funciones de Clase C 1 7.6 En efecto, (a) Las funciones constantes son aplicaciones de clase C 1. Si f(x) = α, para todo x, entonces f(x + h) f(x) = 0 = 0, lo cual implica que f es diferenciable en x y Df(x) = 0 para cada x. Luego Df es la aplicación idénticamente nula y, por tanto, f es de clase C 1. (b) Toda aplicación lineal y continua es de clase C 1. Supongamos, en primer lugar, que T es una forma lineal sobre R n, es decir T (x 1,..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n. Obviamente T admite derivadas parciales en cada punto, concretamente: T (x) = a j, x. Y, puesto que éstas son aplicaciones constantes, son continuas, luego por el corolario 7.4, T es una aplicación de clase C 1. Observemos que la matriz jacobiana de DT (x) no es otra que la matriz que representa a la aplicación lineal T, por lo que necesariamente DT (x) = T. Todo lo anterior es válido para una aplicación lineal y continua cualquiera, es decir que si T L (E, F ), entonces T C 1 (E) y DT (x) = T, para todo x de E. En efecto: T (x + h) T (x) T (h) T (x) + T (h) T (x) T (h) = = 0, h 0 h 0 lo que significa que T es diferenciable en x y DT (x) = T. Así pues DT es una aplicación constante: la aplicación que lleva cada x de E en el elemento T de L (E, F ), por tanto T C 1 (E). (c) Sea ahora T una aplicación bilineal y continua. Para fijar ideas supongamos en primer lugar que T es la aplicación producto de dos números reales, es decir la aplicación (x, y) xy. Se tiene entonces que T x = y ; T y = x. Luego las aplicaciones T/ x y T/ y son continuas, lo que implica que T es de clase C 1 y DT (x, y)(h, k) = hy + xk = T (h, y) + T (x, k).

7.6 Funciones de Clase C 1 75 En el caso general, si T es una aplicación bilineal y continua de E F en G, vamos a probar que T es diferenciable en cada punto y que DT (x, y)(h, k) = T (h, y) + T (x, k). (Obsérvese que la aplicación (h, k) T (h, y) + T (x, k) es una aplicación lineal y continua de E F en G) En efecto, = T ((x, y) + (h, k)) T (x, y) T (h, y) T (x, k) (h,k) (0,0) (h, k) T (x + h, y + k) T (x, y) T (h, y) T (x, k) = (h,k) (0,0) (h, k) T (x, y) + T (h, y) + T (x, k) + T (h, k) T (x, y) T (h, y) T (x, k) (h, k) T (h, k) = (h,k) (0,0) (h, k) = 0. La última igualdad es consecuencia de que T (h, k) T k T (h, k) 2. Finalmente comprobemos que DT es continua: Observemos primero que la aplicación DT resulta en este caso! lineal (Comprobarlo). Por lo tanto, para demostrar que es continua podemos utilizar la proposición 4.1, que caracteriza a las aplicaciones lineales continuas. DT (x, y) = sup DT (x, y)(h, k) (h,k) 1 = sup T (h, y) + T (x, k) (h,k) 1 sup T y + T x k (h,k) 1 T ( x + y ) 2 T (x, y).

76 Funciones de Clase C 1 7.7 Ejemplo 7.7 Sean E, F y G espacios normados. Una aplicación bilineal y continua con la que nos encontraremos algunas veces es la aplicación de L (E, F ) L (F, G) en L (E, G) (T, U) U T Ejercicios 7A Sean f, g dos funciones escalares no nulas de una variable. Probar que la función h(x, y) = f(x) g(y) es de clase C 1 si y sólo si f y g son de clase C 1. 7B Probar que todas las funciones siguientes son diferenciables en (0, 0) Estudiar si también satisfacen la condición suficiente de diferenciabilidad en (0, 0) Cuáles son de clase C 1? 1. f(x, y) = x3 x 2 + y 4, f(0, 0) = 0 2. f(x, y) = x 4 + y 4 3. f(x, y) = xy cos 1 x 2, f(0, 0) = 0 4. f(x, y) = + y2 { sen xy si xy 0 xy si xy < 0 7C Sea T una aplicación n-lineal y continua de E 1 E n en F. Probar que T es de clase C 1 y obtener la fórmula DT (x 1,..., x n )(h 1,..., h n ) = T (h 1, x 2,..., x n ) + T (x 1, h 2, x 3,..., x n ) +... + T (x 1,..., x n 1, h n )