Tema IV. Comunicaciones digitales.

Tema IV. Comunicaciones digitales. IV.1. INTRODUCCIÓN. IV.2. TRANSMISIÓN DIGITAL EN BANDA BASE CON RUIDO ADITIVO BLANCO GAUSSIANO. IV.3. ANÁLISIS EN EL ESPACIO DE SEÑALES. IV.4. TRANSMISIÓN DIGITAL PASO BANDA CON RUIDO ADITIVO BLANCO GAUSSIANO. IV.5. COMPARATIVA DE MODULACIONES DIGITALES. IV.6. TRANSMISIÓN DIGITAL POR CANALES DE ANCHO DE BANDA LIMITADO. Teoría de la Comunicación, www.eps.uam.es/~tco 2º Ing. de Telecomunicación Escuela Politécnica Superior, Universidad Autónoma de Madrid Jorge A. Ruiz Cruz (jorge.ruizcruz@uam.es, www.eps.uam.es/~jruiz) TCO (2007-08) Teoría de la Comunicación. 1 IV.2. TRANSMISIÓN DIGITAL EN BANDA BASE CON RUIDO ADITIVO BLANCO GAUSSIANO. IV.2.1. Sistemas PAM binarios IV.2.2. Receptor binario por muestreo básico. IV.2.3. Receptor binario óptimo. IV.2.4. Prestaciones del receptor óptimo. IV.2.5. Sistemas M-PAM. TCO (2007-08) IV. Comunicaciones digitales. 2

IV.2.1. Sistemas PAM binarios Los sistemas PAM binarios son aquellos en los que los símbolos son de un bit y en cada periodo de símbolo sólo se puede transmitir una de las siguientes señales: 0 1 - La función g(t) representa un pulso de forma arbitraria, cuyo espectro está centrado en torno a f=0 y que sólo puede tomar valores distintos de 0 entre t=0 y t=t (T es el periodo de símbolo). Un caso particular es el pulso cuadrado. - El pulso g(t) es por tanto una señal de energía. -A veces g(t) se normaliza para que tenga valor máximo 1 o que su energía sea la unidad. TCO (2007-08) IV.2. Transmisión digital en banda base con ruido AWGN. 3 Ejemplo de señal PAM binaria de amplitudes A 1, A 2 : 1 1 0 1 0 - Los códigos de línea NRZ, RZ unipolar, RZ bipolar (tema IV.1, p. 20) son señales PAM binarias. Aunque en este caso todas usan pulsos de tipo rectangular, sus formas y amplitudes son distintas (polaridad, pulso extendido a todo el símbolo o sólo parcialmente,...). - El pulso g(t) y las amplitudes controlan las propiedades de la modulación: A) Energía media de la modulación y potencia media de la señal transmitida B) Envolvente constante o distinta para cada bit C) Protección frente al ruido D) Espectro de la señal transmitida E) Posibilidad de corrección de errores F) Facilidad de recuperación de reloj G) Coste y complejidad de la circuitería,... TCO (2007-08) IV.2.1. Sistemas PAM binarios. 4

Parámetros de las señales involucradas en el sistema: - Régimen binario del sistema: 0 1 - Energía de cada señal m=1,2: - Energía media de símbolo (que es igual que la de bit en sistemas binarios): Símbolos equiprobables: - Potencia de la señal y(t): - Producto escalar entre las señales s 1 (t),s 2 (t): - Energía de la señal diferencia: TCO (2007-08) IV.2.1. Sistemas PAM binarios. 5 El espectro de la señal transmitida viene determinado por el pulso g(t). - Cuanto menor sea el periodo de símbolo T (ó mayor sea la velocidad de símbolo =1/T) y más estrechos sean los pulsos, mayor será el ancho de banda de canal que se necesita para acomodar a la señal transmitida. En el caso particular de pulsos rectangulares: - Por qué entonces usar pulsos estrechos si ocupan más ancho de banda? P.ej. pueden facilitar la recuperación de reloj (parecido a la recuperación de portadora en demoduladores coherentes). -La señal y(t) que se transmite por el canal es un proceso estocástico: cada señal s m (t) tiene asociada una probabilidad de ser transmitida, con una f.d.p. dada. Por tanto, se suele trabajar con la densidad espectral de potencia del proceso estocástico (ver tema II.1 y Proakis 8.2, p. 483). TCO (2007-08) IV.2.1. Sistemas PAM binarios. 6

Espectro de la señal transmitida para distintos tipos de pulsos rectangulares: 0 1 0 1 1 0. Espectro con continua Espectro sin continua Espectro de mayor ancho de banda En la práctica, se suele considerar que el ancho de banda donde está la mayor parte de la potencia de la señal PAM que se transmite es D/T donde los valores de D que suelen usar son p. ej. D=0.5,1,T/T 2, dependiendo de la aplicación y del tipo de pulso. TCO (2007-08) IV.2.1. Sistemas PAM binarios. 7 Cada símbolo (que en un sistemas binario coincide con el bit), será emitido con una cierta probabilidad. Una fuente binaria se caracteriza por: - Normalmente, la probabilidad de que la fuente emita un 1 será la misma que la probabilidad de que la fuente emita un 0 (que será 1/2): símbolos equiprobables. - Si los símbolos estuvieran formados por k bits, habría M=2 k símbolos distintos y la probabilidad de que la fuente emitiera un símbolo cualquiera, en el caso de que todos fueran equiprobables, sería 1/M. El sistema PAM binario es un caso particular de sistema binario. En un sistema binario general, lo único que se especifica es: 0 1 (s m (t)=0 fuera de 0 t T) - En los siguientes puntos se va a estudiar como se detectan/demodulan las señales de un sistema binario cualquiera: como se pasa en el receptor de formas de onda a bits. - Lógicamente, habrá varias formas de hacerlo, y algunas serán mejores que otras desde el punto de vista de la calidad del sistema (Probabilidad de error de bit cuando hay ruido en el sistema). TCO (2007-08) IV.2.1. Sistemas PAM binarios. 8

IV.2.2. Receptor binario por muestreo básico El caso más simple de receptor binario es utilizar un filtro que deje pasar las señales s m (t) pero que limite el ruido a su entrada. Después se muestrea en un instante T s y se decide. ó Decisor 0 1 0 f 0 f Filtro B r B s Muestreo cada t=t s B r 0 ó 1 Decisión símbolo 0 ó 1 por comparación con umbral γ - Aunque las señales s m (t) tienen en teoría ancho de banda infinito (son señales limitadas en el tiempo entre 0 y T), se supondrá que la mayor parte de su energía se encuentra en un ancho de banda como máximo de B s. - Por tanto, al pasar por el filtro de B r B s se supondrá para este primer análisis que no son afectadas significativamente. TCO (2007-08) IV.2. Transmisión digital en banda base con ruido AWGN. 9 Funcionamiento del receptor binario básico para NRZ bipolar +V 0 -V 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0... y(t)=secuencia de señales s m (t) que se tx por el canal +V 0 -V y r (t)=señal recibida con poco ruido (P e baja) +V 0 -V 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 Error! 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 y r (t)=señal recibida con bastante ruido (P e más alta) (para este tipo de señales, T s puede ser cualquier valor entre 0 y T, p.ej. T s =T/2) TCO (2007-08) IV.2.2. Receptor binario por muestreo básico. 10

Funcionamiento del receptor binario básico para RZ unipolar 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 +V 0... y(t)=secuencia de señales s m (t) que se tx por el canal +V 0 y r (t)=señal recibida con poco ruido (P e baja) +V 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 Error! Error! 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 y r (t)=señal recibida con bastante ruido (P e más alta) (para este tipo de señales, T s debe estar entre 0 y T/2, p.ej. T s =T/4) TCO (2007-08) IV.2.2. Receptor binario por muestreo básico. 11 Cálculo teórico de la Probabilidad de Error para el receptor binario básico - El objetivo de este apartado es calcular analíticamente la probabilidad de error asociada al receptor anterior. La parte aleatoria del problema (la P e ) viene del ruido, que es un proceso estocástico gaussiano y blanco. - Este ruido pasa por el filtro del receptor para limitar su potencia, que da un ruido gaussiano coloreado a su salida. El ruido a la salida, para cualquier instante dado (por ejemplo el instante de muestreo), es una variable aleatoria gaussiana. - Si el ruido era gaussiano a la entrada, también lo es al pasar por un LTI, y como era de media cero, para estar completamente caracterizado sólo falta calcular su potencia (=desviación típica^2, por ser ergódico) (ver pags. 35-40 tema II.2). - En conclusión, por cada símbolo enviado, al bloque decisor le llega un número z que en realidad es una realización de una variable aleatoria debido al muestreo del proceso estocástico ruido : Notación: n o n o (T s ) es una variable aleatoria gaussiana de media nula y desviación típica σ o TCO (2007-08) IV.2.2. Receptor binario por muestreo básico. 12

Cálculo teórico de la P e del receptor binario básico (cont.) - Si se ha enviado la señal s 1 (t), la variable aleatoria z s 1 (resultado z de muestrear la señal recibida z(t), supuesto que se ha transmitido s 1 (t)) es una variable aleatoria gaussiana de media s 1 (T s ) y desv. típica σ o - Si se ha enviado la señal s 2 (t), la variable aleatoria z s 2 (resultado z de muestrear la señal recibida z(t), supuesto que se ha transmitido s 2 (t)) es una variable aleatoria gaussiana de media s 2 (T s ) y desv. típica σ o - Habrá un error en las dos situaciones siguientes: a) se mandó un 1 y se decide que es un 0 se tx s 2 (t) y se decide s 1 (t) b) se mandó un 0 y se decide que es un 1 se tx s 1 (t) y se decide s 2 (t) TCO (2007-08) IV.2.2. Receptor binario por muestreo básico. 13 Cálculo teórico de la P e del receptor binario básico (cont.) - Para calcular la P e habrá que calcular las probabilidades condicionadas anteriores; la P(tx 0) y la P(tx 1) son datos, y normalmente suelen ser 1/2 (aunque podrían ser distintas). - Para el cálculo de las probabilidades condicionadas, primero se escribe el suceso asociado de manera adecuada y después se utiliza la fdp de la variable aleatoria correspondiente: Cuando se transmite s 1 (t), y los siguientes sucesos son equivalentes: Cuando se transmite s 2 (t), y los siguientes sucesos son equivalentes: - Parece lógico que las probabilidades condicionadas dependan del umbral que se haya escogido en el bloque de decisión. Si se pone un umbral muy alto (o muy pequeño), una de las dos probabilidades condicionadas será muy grande y la otra muy pequeña. TCO (2007-08) IV.2.2. Receptor binario por muestreo básico. 14

Cálculo teórico de la P e del receptor binario básico (cont.) - Para el cálculo numérico de las probabilidades condicionadas, se usarán las fdp calculadas en la pag. 13 y las expresiones del Ap.A. Umbral de decisión γ fdp(z 0 )=probabilidad diferencial de que si se ha mandado s 1 (t), al muestrear se obtenga el valor z 0 fdp(z 0 ) z 0 fdp(z 0 ) fdp(z 0 )=probabilidad diferencial de que si se ha mandado s 2 (t), al muestrear se obtenga el valor z 0 z 0 TCO (2007-08) IV.2.2. Receptor binario por muestreo básico. 15 Cálculo teórico de la P e del receptor binario básico (cont.) - Cual es el umbral γ óptimo que minimiza la P e? Depende de los estadísticos de la fuente: - Si se supone: - En estas condiciones (símbolos equiprobables), se podría demostrar que el umbral óptimo es: - Puesto que la función Q es monótona decreciente (ver Ap. A.), la P e será más pequeña cuanto mayor sea el argumento s 2 (T s )-s 1 (T s ) /2σ o, esto es, cuanto mayor sea la diferencia entre las señales usadas en el instante de muestreo frente a la potencia de ruido. TCO (2007-08) IV.2.2. Receptor binario por muestreo básico. 16

El esquema ya estudiado se puede generalizar sustituyendo el filtro paso bajo de la pag. 9 por un filtro H r (f) cuyo diseño se va a motivar ahora. - De acuerdo al resultado obtenido para la P e, si disminuye al aumentar s 2 (T s )-s 1 (T s ) /σ o, existe algún mecanismo para maximizar este cociente?. Se hace notar que un amplificador aumentaría el numerador y denominador en la misma escala, por lo que no habría mejora. - Por qué en vez de usar un filtro paso bajo ideal a la entrada del receptor, no utilizar un filtro que maximice a 2 (T s )-a 1 (T s ) /σ o, donde a m (T s ) es la componente de señal y σ o2 es la potencia de ruido a la salida del filtro? Muestreo cada t=t - Además, a partir de ahora, el instante de muestreo será t=t (al final de cada periodo de símbolo); se busca un filtro que utilice toda la información de la señal recibida durante todo el periodo de símbolo T y por tanto, se muestreará al final de cada periodo de símbolo. TCO (2007-08) IV.2.2. Receptor binario por muestreo básico. 17 IV.2.3. Receptor binario óptimo ó 0 ó Recuperación de reloj Muestreo cada t=t Decisión símbolo 0 ó 1 por comparación con umbral γ 1 0 f - A partir de ahora, el circuito recuperador de reloj no se pondrá explícitamente en los diagramas de los receptores, pero es un bloque necesario para marcar el ritmo de muestreo. - En este punto se abordará el diseño del filtro H r (f) óptimo (que se conoce como filtro adaptado, y que se puede realizar con correladores) para que la P e de este receptor sea la mínima posible. TCO (2007-08) IV.2. Transmisión digital en banda base con ruido AWGN. 18

Cálculo teórico de la P e del receptor binario anterior: -La P e se obtiene de la misma manera que en el receptor por muestreo básico, simplemente teniendo en cuenta que las señales a la salida del filtro son ahora z(t)=a m (t)+n o (t). Umbral de decisión γ - Ahora se pasará a diseñar el filtro que maximiza a 2 (T s )-a 1 (T s ) /2σ o y por tanto minimiza la P e. TCO (2007-08) IV.2.3. Receptor binario óptimo 19 Diseño del filtro del receptor óptimo: - Se trata de encontrar el filtro H r (f), o bien su transformada inversa h r (t), que maximice el siguiente cociente, que se conoce como SNR s : relación señal ruido en el instante de muestreo: - El numerador y denominador de la SNR s se pueden escribir de la siguiente forma: (1) (1): Teorema de Parseval (Tema II.1, Ap. A, p.21) (2): Cambio de variable u=t-t Se trabaja con señales complejas - Se ha definido la función auxiliar s a (t)=s * 2(T-t)-s * 1(T-t) por comodidad, cuya energía es la misma que la de la señal diferencia s 2 (t)-s 1 (t): por generalidad; el conjugado se podría omitir en señales reales (2) TCO (2007-08) IV.2.3. Receptor binario óptimo 20

Diseño del filtro del receptor óptimo (cont.): -La SNR s tiene una cota máxima impuesta por la desigualdad de Schwarz entre cualquier par de funciones f,g: - La cota máxima de la desigualdad de Schwarz sólo se alcanza cuando f(t) y g(t) son proporcionales f(t)=cg(t): <f,g>=ce g ; E f = c 2 E g ; <f,g> 2 = c 2 E 2 g= E f E g. - Por tanto, para el caso de la SNR s, entre todas las posibles funciones h r (t), aquella que dará la SNR s máxima deberá ser proporcional a s a (t) : - Este filtro se conoce como filtro adaptado (matched filter) a la señal diferencia s 2 (t)-s 1 (t). La constante de proporcionalidad c es un factor de escala que no influye en la SNR s (ver pag. sig.). TCO (2007-08) IV.2.3. Receptor binario óptimo 21 Diseño del filtro del receptor óptimo (cont.): -La SNR s con el filtro adaptado a la señal diferencia h r,opt (t)=c(s * 2(T-t)-s * 1(T-t)), (independientemente del factor c, que se suele tomar la unidad), proporciona la SNR s máxima: - Conclusión: con el filtro h r,opt (t)=c(s * 2(T-t)-s * 1(T-t)) se tiene el receptor óptimo P e mínima: TCO (2007-08) IV.2.3. Receptor binario óptimo 22

Diseño del filtro del receptor óptimo (cont.): - La última parte que queda por calcular es el umbral γ del receptor. De acuerdo a la pag. 19: (cambio de variable t=t-u) =0, para señales reales: s m (t)=s* m (t) - Aunque la SNR s con el filtro adaptado a la señal diferencia h r,opt (t)=c(s * 2(T-t)-s * 1(T-t)) no depende del factor c, el umbral sí. Parece lógico, porque el factor c escala las señales que pasan por el filtro y el umbral tiene que diferenciar entre los niveles de las muestras a la salida del filtro. - Se recuerda que la energía de la señal diferencia (que aparece en el argumento de la P emin ) y la diferencia de las energías de las señales individuales (que aparece en γ) son cantidades distintas. - El filtro adaptado que se ha obtenido tiene una serie de propiedades que se detallan en el Apéndice B. Desde el punto de vista del receptor óptimo, una propiedad muy importante es que se puede realizar con un correlador. Eso da lugar a todas las formas equivalentes de receptor óptimo que se pueden ver en el Apéndice C. TCO (2007-08) IV.2.3. Receptor binario óptimo 23 IV.2.4. Prestaciones del receptor óptimo Planteamiento de un enlace de comunicaciones digital binario en banda base: Error! 01011 Flujo de un bit cada periodo de símbolo T 0 1 Modulador digital Canal Paso bajo Ruido n(t) De-modulador digital 01111 - Se supondrá ahora que el canal no introduce distorsión lineal (ni de amplitud ni de fase) y que tiene un ancho de banda ilimitado. El efecto del canal de ancho de banda limitado se traduce en el fenómeno de Interferencia Entre Símbolos (IES) y se estudiará en el tema IV.6. - Si el canal no introduce distorsión lineal (sólo atenúa y/o retarda), el módulo de la función de transferencia debe ser constante y la fase lineal en la banda B y de Y(f) TCO (2007-08) IV.2. Transmisión digital en banda base con ruido AWGN. 24

Planteamiento de un enlace de comunicaciones digital (cont.): - Por simplicidad, para este primer análisis se supondrá que no hay atenuación (h o =1) y no hay retardo (t o =0). Cuando h o 1y/o t o 0, simplemente hay que adaptar los resultados de acuerdo al Apéndice D. - El demodulador digital óptimo para obtener la P e mínima en el sistema digital anterior será el que se ha calculado en el tema IV.2.3: 0 1 Demodulador digital óptimo 01011 P rx =Potencia de la señal de información a la entrada del receptor TCO (2007-08) IV.2.4. Prestaciones del receptor óptimo. 25 Balance del enlace: - En el diagrama anterior se tienen todos los elementos para hacer el balance del enlace. - Los parámetros que hay que relacionar son la calidad (P e ), la potencia recibida (P yc ) y el régimen binario (R b ) - Para conseguir esta relación, puesto que P =Ê y c bitr b, hay que escribir E s en función 2-s1 de Ê bit, es decir, se busca la expresión E =funcion(ê s 2-s1 bit). - La función buscada es distinta para cada modulación. Por ej., para un sistema PAM binario, de acuerdo a la pag. 5, se tiene: 0 1 = Potencia de info a la entrada del receptor TCO (2007-08) IV.2.4. Prestaciones del receptor óptimo. 26

Balance del enlace (cont.): - Como se ha visto, la probabilidad de error P e se suele expresar en función de alguno o varios de los siguientes parámetros interrelacionados: La relación entre la energía de la señal diferencia E s y la densidad 2-s1 espectral de potencia η. La relación entre energía media por símbolo Ê simb (o por bit Ê bit, que en sistemas binarios son iguales) y la densidad espectral de potencia de ruido η. - La más apropiada para utilizar en diseño es la última, ya que proporciona la relación entre potencia de señal y régimen binario. Para PAM binario: Relación señal ruido por bit (es un parámetro adimensional que se suele dar en dbs) TCO (2007-08) IV.2.4. Prestaciones del receptor óptimo. 27 Prestaciones del sistema digital: - Al representar la curva de P e en función de snr bit se obtiene una curva monótona decreciente del siguiente estilo: 1/2 - Para qué sirven estas expresiones (bien en forma analítica, bien en forma de curva)? : P 0 - A) Evaluación de calidad: si se tiene un determinado P y, R b, η, qué P e tiene el sistema? x 0 - B) Diseño de R b : Si quiero P e y tengo P yc, η, qué R b puedo alcanzar? - C) Diseño de P rx : Si quiero P e y tengo R b, η, qué P yc debe llegar al receptor? - D) Diseño de señales: Qué señales s 1 (t),s 2 (t) son mejores desde el punto de vista de P e? TCO (2007-08) IV.2.4. Prestaciones del receptor óptimo. 28

Prestaciones del sistema digital (cont.): - Contestando al punto D) anterior, interesaría que ρ o (coeficiente de correlación) tuviera el valor más negativo posible: señales lo más distintas posibles - Eso se consigue si las señales cumplen s 2 (t)=-s 1 (t), (ρ o =-1) y se dice que son señales antipodales. En PAM se consigue con amplitudes de igual módulo pero cambiadas de signo (p.ej. NRZ/RZ bipolar): - Un caso que también proporciona buenas prestaciones es si ρ o =0, y se dice que son señales ortogonales. En PAM se consigue si una de las amplitudes es cero (p.ej RZ unipolar): - El factor 2 en el argumento de la P e se traduce en que las señales ortogonales son 3dB peores que las antipodales: con señales ortogonales se necesitan 3 db más de potencia recibida (el doble) para proporcionar la misma P e que el de señales antipodales. antipodal P 0 ortogonal TCO (2007-08) IV.2.4. Prestaciones del receptor óptimo. 29 IV.2.5. Sistemas M-PAM Los sistemas M-PAM son aquellos en los que los símbolos son de k=log 2 M bits y en cada periodo de símbolo T sólo se puede transmitir una de las siguientes señales: k bits 00 0 M=2 k símbolos 00 1 M=2 k señales 11 1 - Ejemplo para k=2, M=2 k =4: 10 11 00 01 TCO (2007-08) IV.2. Transmisión digital en banda base con ruido AWGN. 30

Los amplitudes se pueden elegir de muy diversas formas. Por ejemplo: - PAM simétrico: - PAM asimétrico: Las señales se suelen representar en un diagrama conocido como constelación. - las señales son puntos representadas sobre ejes que son la base de la modulación. - Para M-PAM, sólo hay un eje (base de un elemento) y el eje ordenado es el pulso normalizado para que tenga energía unidad. (esto se explicará en el tema IV.3) 4-PAM simétrico Constelaciones PAM 4-PAM asimétrico (p. ej. NRZ/RZ bipolar) (p. ej. NRZ/RZ) TCO (2007-08) IV.2.5. Sistemas M-PAM 31 Parámetros de las señales involucradas en el sistema: - Régimen binario del sistema: - Forma general de las M señales de la familia: - Energía de cada señal m: (energía del pulso) - Energía media por símbolo de la constelación para símbolos equiprobables: - Potencia de la señal y(t): PAM simétrico TCO (2007-08) IV.2.5. Sistemas M-PAM 32

El espectro de las señal transmitida y(t) vendrá marcado fundamentalmente por el espectro del pulso g(t), igual que en la pag. 7: - El ancho de banda de y(t) donde se concentra la mayor parte de su potencia será del orden de D/T, donde los valores de D que suelen usar son p. ej. D=0.5,1,T/T 2, dependiendo de la aplicación y del tipo de pulso - Por tanto, el espectro de un sistema M-PAM es esencialmente el mismo que un 2-PAM. - Los aspectos relacionados con el ancho de banda se estudiarán en el tema IV.6. Una forma de hacer el receptor óptimo de un sistema M-PAM es la siguiente: Demodulador digital óptimo M-PAM Decisor 01011 TCO (2007-08) IV.2.5. Sistemas M-PAM 33 Receptor óptimo M-PAM (cont.). Bloque decisor: - El bloque decisor de un receptor de M-señales se suele hacer calculando distancias entre señales (se estudiará en el tema IV.3). - Para cierto tipos de señales, como el caso M-PAM, el bloque decisor se puede hacer con umbrales múltiples: - El filtro adaptado+muestreador se puede hacer con un correlador +muestreador. El factor de escala del filtro (o del correlador) es arbitrario, pero eso sí, habrá que tenerlo en cuenta para calcular los umbrales: Si a la entrada del filtro se tiene: A la salida del filtro del receptor h r (t)=cg*(t-t), (normalmente c=1 ó c=1/sqrt(e g )) en el instante de muestreo se tendrá: El umbral entre dos regiones de decisión consecutivas será: TCO (2007-08) IV.2.5. Sistemas M-PAM 34

Receptor óptimo M-PAM (cont.). Bloque decisor: - Ejemplo de umbrales del bloque decisor para el receptor de la pag. 33 de M-PAM simétrico: M = 8 000 001 010 110 111 Probabilidad de Error de Bit (BER): Valor a la salida del muestreador (entrada al decisor) -La justificación de que el receptor visto para M-PAM es óptimo (es decir, que proporciona la P e mínima) se dará en el tema IV.3. - La expresión de la P e en el sistema M-PAM tiene un desarrollo análogo al del caso 2-PAM, y se puede encontrar por ejemplo en el Proakis, Sec. 7.6.2. Aquí simplemente se expondrán los resultados de forma gráfica para ver sus prestaciones. TCO (2007-08) IV.2.5. Sistemas M-PAM 35 Probabilidad de Error de Bit (BER) de M-PAM simétrico: 1/2 1 0.1 M=64 32 0.01 16 1.10 3 M=2 4 8 1.10 4 1.10 5 1.10 6 - Notar que la expresión para M=2 es la misma que se obtuvo en la pag. 29 para señales antipodales. - Este es el caso general para M arbitrario. 1.10 7 1. 10 8 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 TCO (2007-08) IV.2.5. Sistemas M-PAM 36

Ap. A: Variables aleatorias gaussianas - Gaussiana normalizada G(0,1): media nula y desviación típica unidad 10 0 10-1 10-2 10-3 - Valores importantes: 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-10 0 1 2 3 4 5 6 TCO (2007-08) IV.2. Transmisión digital en banda base con ruido AWGN. 37 Ap. A (cont.) - Gaussiana de media μ y desviación típica σ: G(μ,σ) TCO (2007-08) Ap. A: Variables aleatorias gaussianas. 38

Ap. B: Propiedades del filtro adaptado El filtro que se ha obtenido para el receptor óptimo tiene un serie de propiedades que hacen que su uso sea muy habitual en sistemas de comunicaciones digitales. - La primera propiedad está relacionada con la realizabilidad del filtro. Por la forma del filtro adaptado (ver pag. sig.), h r (t)=0, t<0, por lo que es un filtro causal. - P1) El filtro adaptado es un filtro causal. - La siguiente propiedad está relacionada con los resultados obtenidos para maximizar la relación señal ruido en el instante de muestreo del tema IV.2.3. (ver pag. sig): - P2) En general, dada una señal v(t) cualquiera perturbada con ruido blanco gaussiano de media nula, el filtro h(t) que maximiza la relación entre componente de señal y componente de ruido en el instante de muestreo (SNR s ) es h(t)=cv * (T-t). Este filtro se conoce como filtro adaptado a v(t). TCO (2007-08) IV.2. Transmisión digital en banda base con ruido AWGN. 39 Ap. B (cont.): t=t TCO (2007-08) Ap. B: Propiedades del filtro adaptado. 40

Ap. B (cont.): - P3) El sistema conjunto filtro adaptado+muestreador es equivalente al sistema conjunto correlador + muestreador: Filtro adaptado (a v(t)) (v(τ)=0 fuera de 0 τ T) Cuando los dos bloques son excitados por una señal x(t) cualquiera, la salida del filtro y del correlador en el instante de muestreo coincide Correlador (integrador) (con v(t)) TCO (2007-08) Ap. B: Propiedades del filtro adaptado. 41 Ap. B (cont.): - Las señales y(t), c(t) pueden ser distintas, aunque sus valores en el instante de muestreo t=t son exactamente iguales. Salida del correlador con v(t) Salida del filtro adaptado a v(t) excitado con una señal cualquiera x(t) - El bloque de comparación en un receptor toma la decisión basándose únicamente en el valor muestreado a la salida del filtro. - Por tanto, el sistema conjunto filtro adaptado+muestreador se puede sustituir sin pérdida de propiedades por el sistema conjunto correlador + muestreador, ya que los dos bloques tienen la misma salida en el instante de muestreo. - Esto se puede utilizar para hacer el receptor óptimo de varias maneras equivalentes (Ap. C). - P4) La salida del filtro adaptado después de muestrear (o del correrlador + muestreo), coincide numéricamente con el valor del producto escalar entre la señal de entrada y v(t). (ver tema IV.3) TCO (2007-08) Ap. B: Propiedades del filtro adaptado. 42

Ap. C: Implementaciones equivalentes del receptor binario óptimo El receptor binario óptimo para cualquier par de señales s 1 (t),s 2 (t) que se ha obtenido en el tema IV.2.3 se puede implementar de diversas formas gracias a dos propiedades fundamentales: - La linealidad del filtro adaptado (un filtro es un LTI): si su respuesta al impulso está formada por dos sumandos h r (t)=h r2 (t)-h r1 (t), se podrá construir a través de restar las señales a la salida de dos filtros de respuesta h r1 (t), h r2 (t). - La utilización de correladores: el conjunto filtro adaptado+muestreador se puede sustituir por el conjunto correlador+muestreador (Ap. B). De acuerdo a estas dos propiedades, se tienen los esquemas equivalentes de receptor binario óptimo de la pagina siguientes: - Dado un par de señales s 1 (t),s 2 (t) que codifican los bits 0 y 1, respectivamente, y dado un señal de ruido blanco y gaussiano n(t), de entre todas las posibles arquitecturas de receptores, los de la siguiente página dan la P e mínima. TCO (2007-08) IV.2. Transmisión digital en banda base con ruido AWGN. 43 Ap. C (cont.) Formas equivalentes del receptor binario óptimo 0 1 + - 0 ó 1 + - TCO (2007-08) Ap. C: Formas del receptor binario óptimo. 44

Ap. D: Receptor binario óptimo cuando hay atenuación y retardo en el canal El modelo de sistema es el de la pag. 24: - Se supone que la función de transferencia del canal H c (f) tiene amplitud cte (h o ) y retardo de grupo cte (t p =t o ) en la banda B y de la señal transmitida. - En estas condiciones, el demodulador digital óptimo es cualquiera de los presentados en el Ap. C, pero diseñado sobre las señales que llegan al receptor: 0 1 Demodulador digital óptimo 01011 TCO (2007-08) IV.2. Transmisión digital en banda base con ruido AWGN. 45 Ap. D (cont.): Los elementos del demodulador digital óptimo anterior son los siguientes, y se pueden poner en relación con las señales originales en el transmisor: - Un filtro adaptado a la señal diferencia de las usadas para codificar el 1 y el 0 (con el factor de escala que se quiera). - Un muestreador que tome valores al final de cada periodo de símbolo, que obligatoriamente debe tener en cuenta que la señal se ha retardado t o al pasar por el canal. - Un bloque decisor con un umbral que debe obligatoriamente tener en cuenta el nivel de las señales a la salida del filtro. - Si se quisiera, se podría hacer el filtro del receptor sin la constante h o de h r (t), ya que el filtro adaptado puede escalarse por el factor que desee. No se puede obviar esa constante en el umbral γ o en la fórmula de la P e.. TCO (2007-08) Ap. D: Receptor óptimo con atenuación y retardo en el canal. 46

Ap. D (cont.): - De hecho, la constante h o en la fórmula de la P e indica que debido a la atenuación del canal (normalmente h o <1), la snr bit efectiva está disminuyendo, degradando la P e del sistema. Potencia recibida Potencia transmitida Atenuación -La P e se puede poner en función de la potencia recibida o de la transmitida, igual que en la pag. 26. El paso intermedio es la Ê bit, que será distinta en el transmisor y en el receptor por el factor de escala h o2 (el retardo no influye en la energía y potencia). - Por simplicidad, se suele omitir el t o en el receptor, de igual manera que en comunicaciones analógicas se escribe la portadora como cosω c t, en vez de utilizar cosω c (t-t p ), donde t p es el retardo de fase debido a la propagación. TCO (2007-08) Ap. D: Receptor óptimo con atenuación y retardo en el canal. 47