Tema IV. Comunicaciones digitales.

Transcripción

1 Tema IV. Comunicaciones digitales. IV.1. INTRODUCCIÓN. IV.2. TRANSMISIÓN DIGITAL EN BANDA BASE CON RUIDO ADITIVO BLANCO GAUSSIANO. IV.3. ANÁLISIS EN EL ESPACIO DE SEÑALES. IV.4. TRANSMISIÓN DIGITAL PASO BANDA CON RUIDO ADITIVO BLANCO GAUSSIANO. IV.5. COMPARATIVA DE MODULACIONES DIGITALES. IV.6. TRANSMISIÓN DIGITAL POR CANALES DE ANCHO DE BANDA LIMITADO. Teoría de la Comunicación, 2º Ing. de Telecomunicación Escuela Politécnica Superior, Universidad Autónoma de Madrid Jorge A. Ruiz Cruz Teoría de la Comunicación. 1 IV.3. ANÁLISIS EN EL ESPACIO DE SEÑALES IV.3.1. Espacio vectorial de señales. IV.3.2. Constelación de una modulación digital. IV.3.3. Receptor óptimo de M señales. IV. Comunicaciones digitales. 2

2 IV.3.1. Espacio vectorial de señales El concepto de espacio vectorial de señales es una herramienta muy útil en las comunicaciones digitales: - Un modulador digital sólo genera señales pertenecientes a un conjunto finito (el alfabeto de señales). Las señales se pueden sumar y multiplicar por escalares. - Un demodulador tiene que distinguir, entre las señales que le llega, cual es la señal que con más probabilidad se mandó ( la más cercana ) idea de proximidad o distancia entre señales. - A un demodulador sólo le interesan las señales parecidas a las que envió el modulador: concepto de producto escalar entre señales, proyecciones y subespacios de señal -Las señales s m (t) que genera el modulador se representan como puntos o vectores en un espacio vectorial: diagrama conocido como constelación de la modulación. - La constelación de una modulación es una representación muy útil para analizar las propiedades de una técnica de modulación digital. IV.3. Análisis en el espacio de señales. 3 Ahora se va a introducir el concepto general de espacio vectorial de señales, que luego se relacionará con las señales utilizadas por un modulador digital. El conjunto de señales reales o complejas es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales o el de los complejos, respectivamente (ver Ap. E). - Existe la suma de señales, que cumple las propiedades conmutativa, asociativa, la existencia de señal neutra ( la señal 0(t) ) y la señal opuesta (-s(t)). - Existe la multiplicación de señales por escalares, con las propiedades asociativa, distributivas y elemento unitario (el escalar 1). - Por tanto, una señal s(t) se puede denotar como un vector para enfatizar su pertenencia a un espacio vectorial: Una señal es de energía finita si la siguiente integral existe y es finita: - Las señales del alfabeto de señales del modulador digital (ya sean en banda base o paso banda) tienen duración T, y por tanto son de energía finita (suponiendo que su amplitud está acotada). IV.3.1. Espacio vectorial de señales. 4

3 Definiciones: - Sobre las señales de energía finita se puede definir un producto escalar, con lo que espacio vectorial de señales de energía finita se convierte en un espacio euclídeo. -Con la norma inducida por el producto escalar se tiene el concepto de tamaño de la señal. -Con la métrica inducida por la norma, el espacio adquiere la estructura de espacio métrico concepto de distancia entre señales - Nota: si las señales valen cero fuera del intervalo [0,T], como en el caso de los moduladores digitales, las integrales entre - y + se reducen al intervalo [0,T]. IV.3.1. Espacio vectorial de señales. 5 Definiciones (cont.): - Dado un conjunto de señales se podrá encontrar una base que las represente. - Dentro de todas las posibles bases, aquellas cuyos elementos sean ortogonales y de tamaño unidad permiten operar de manera más sencilla conjuntos ortonormales de señales. - Definición de sistema (conjunto) de señales ortonormales: Son aquellos formados por señales ortogonales entre sí y con norma unidad (energía unidad) - Cualquier señal arbitraria de un subespacio de dimensión finita se puede expresar en función de un sistema ortonormal de L señales (L es la dimensión del subespacio) S i : Coordenadas del vector (la señal) respecto de la base (el sistema de señales ortonormal) IV.3.1. Espacio vectorial de señales. 6

4 Definiciones (cont.): - Dada una base ortonormal de dimensión L para s(t), la señal se puede representar como un punto (o un vector) en un espacio de L coordenadas ortonormales. Ejemplo L=2: - Dada una señal s(t) y una base ortonormal, cómo se calculan las coordenadas de la señal respecto de la base? Proyectando la señal sobre los ejes ortonormales: -Dem: - Una vez que se tienen las coordenadas de una señal, las operaciones de cálculo de productos escalares, normas y distancias se hacen de manera muy sencilla (ver pag. sig.). IV.3.1. Espacio vectorial de señales. 7 - Sean dos señales pertenecientes al mismo subespacio y representadas en función del mismo sistema ortornormal: Prod. Escalar: Norma: Las integrales se han reducido a las operaciones habituales sobre las coordenadas de los vectores Distancia: -Dem: IV.3.1. Espacio vectorial de señales. 8

5 Conjuntos de señales ortonormales: - Hasta ahora se han visto las propiedades de los conjuntos de señales ortonormales sin entrar en como se construyen esos conjuntos. - De hecho, dado un conjunto de señales (como el alfabeto de señales de un modulador digital), puede que no sea obvio encontrar un conjunto ortonormal que sea su base. - Ahora se van a ver distintas formas (hay muchas más) de crear o generar señales ortogonales: A) Por construcción directa. A.1) De dominio completo A.2) De dominio reducido B) Por transformación de un conjunto que ya es ortogonal. C) Construcción de dos señales ortogonales mediante sinuosides en fase y cuadratura. D) Por Ortogonalización de Gram-Schmidt, partiendo de un conjunto de señales linealmente independientes IV.3.1. Espacio vectorial de señales. 9 A) Construcción directa de un conjunto de L señales ortonormales: - A.1) Ejemplo de conjunto de L=4 señales ortonormales de dominio reducido - A.2) Ejemplo de conjunto de L=4 señales ortonormales de dominio completo IV.3.1. Espacio vectorial de señales. 10

6 B) Construcción de un conjunto de L señales ortonormales paso banda a partir de un conjunto de L señales ortogonales paso bajo: - Las señales de un conjunto ortonormal pueden ser, entre otras cosas, paso bajo o paso banda. -Es decir, además de la ortonormalidad, un conjunto de señales puede tener características espectrales de tipo paso bajo o de tipo paso banda. - Si se tiene un conjunto ortonormal paso bajo, se puede conseguir uno paso banda simplemente multiplicando por una señal sinusoidal de alta frecuencia (con fase arbitraria) y amplitud sqrt(2) (factor necesario para que las nuevas señales tengan energía unidad). Señales ortonormales paso-bajo Señales ortonormales paso-banda -Dem: IV.3.1. Espacio vectorial de señales. 11 C) Construcción de un conjunto de dos señales ortonormales (L=2) mediante sinusoides en fase y cuadratura: - Conjunto de L=2 señales ortonormales paso banda (normalmente llamadas componentes en fase y cuadratura): -Dem: (g(t) es una señal paso bajo arbitraria) D) Ortogonalización de Gram-Schmidt: transformación de un conjunto de señales linealmente independientes en un conjunto ortonormal - Todo conjunto de L señales ortogonales es un conjunto de señales linealmente independientes. IV.3.1. Espacio vectorial de señales. 12

7 D) Ortogonalización de Gram-Schmidt (cont.): - Pero un conjunto de L señales linealmente independiente puede que no sea un conjunto ortonormal. - En este caso, se puede conseguir otro conjunto que así lo sea mediante el algoritmo de Ortogonalización de Gram-Schmidt Conjunto linealmente independiente Ortogonalización Gram-Schmidt Conjunto ortonormal Señales ortogonales, que se normalizan para que tengan energía unidad IV.3.1. Espacio vectorial de señales. 13 Conclusiones. Se ha visto que una señal de energía finita (como las de los moduladores digitales) se puede interpretar como un vector de un espacio vectorial de señales: - Por estar en un espacio vectorial, una señal se puede representar por un vector o un punto. - Si la señal pertenece a un subespacio de dimensión L, se puede encontrar un conjunto ortonormal (una de las posibles bases ortogonales del subespacio) para representarla. - La base del subespacio no es única, pero todas tendrán el mismo número de elementos (L). - Las coordenadas del vector (que dependen de la base escogida, para diferentes bases diferentes coordenadas) representan biunivocamente a la señal. - El tamaño de la señal (norma o raíz cuadrada de su energía) y la distancia entre señales (norma de la señal diferencia) se calculan de la manera habitual operando sobre las coordenadas. - Si se cambia de base, cambiarán las coordenadas, pero la norma de una señal o la distancia entre dos señales valdrá siempre lo mismo. Son magnitudes asociadas a los vectores, no a su representación. IV.3.1. Espacio vectorial de señales. 14

8 IV.3.2. Constelación de una modulación digital Una constelación de señales es el diagrama de puntos que resulta de representar en un sistema de L coordenadas las señales de un conjunto (L es la dimensión del subespacio al que pertenece el conjunto de señales) - Un modulador digital genera por cada símbolo (bloque de k bits) una señal perteneciente a una familia finita de M=2 k señales. - Por tanto, ese conjunto de señales será representable con una base ortonormal de L M elementos (que se habrá obtenido de alguna manera previamente) y tendrá una constelación asociada en un subespacio de L dimensiones. - El alfabeto de señales del modulador digital, como cualquier conjunto de señales, tendrá una constelación asociada: conjunto de puntos (o vectores) sobre los ejes de una base ortonormal. IV.3. Análisis en el espacio de señales Ejemplo 1: Constelación de M=8=2 3 señales representable con L=2 dimensiones Alfabeto de señales del modulador digital (una por cada símbolo) Base ortonormal del subespacio al que pertenece el alfabeto de señales del modulador Cálculo de productos escalares, normas (energías) y distancias entre las señales de la constelación - Ejemplo 2: Constelación de M=4=2 2 señales, L=3 dimensiones IV.3.2. Constelación de una modulación digital. 16

9 Propiedades que se pueden extraer de la constelación de una modulación digital: - 1) Energía media por símbolo de la modulación suma de distancias al cuadrado en la constelación. - 2) Envolvente constante puntos de la const. a igual distancia del origen. (Si hay env cte, los equipos transmisores trabajan con la misma potencia con independencia del símbolo emitido) Todas las señales tienen la misma energía Señales de distinta energía - 3) Protección frente al ruido maximizar distancias entre los puntos de la constelación Constelación con elevada Ê simb y protección frente al ruido fijada por d d d Misma protección frente al ruido pero mucha menor Ê simb d d Compromiso entre ahorro de energía y protección frente al ruido: Constelaciones centradas respecto del origen IV.3.2. Constelación de una modulación digital. 17 La constelación que se ha visto corresponde a la señales que genera el transmisor. Al pasar por el canal, se producen perturbaciones. - Por ejemplo, una atenuación en el canal implica una compresión respecto del origen de la constelación: los puntos se acercan unos a otros: empeora la P E. - Otro efecto menos obvio es la rotación de la constelación respecto del origen, que se suele dar cuando hay un retardo que provoca un cambio de fase. Sin entrar en el efecto del canal, y estudiando sólo el efecto del ruido, se plantean las siguientes preguntas: - Dentro del contexto de espacios vectoriales, cómo se transforman las señales emitidas por el modulador digital al verse perturbadas por ruido? - Cómo se representa la señal recibida en el subespacio de señal del modulador digital? - Cómo se ha transformado la constelación al llegar al receptor digital?. El contexto para responder a estas preguntas es el subespacio vectorial asociado a las señales del modulador digital. IV.3.2. Constelación de una modulación digital. 18

10 Subespacio de señal del modulador digital: - Las señales s m (t) (m=1,,m) que transmite el modulador son vectores (o puntos) de un subespacio de señal (su representación gráfica es la constelación). Se asumirá que por algún medio se ha encontrado una base ortogonal de ese subespacio. - Base ortonormal del subespacio de señal, donde su dimensión L es menor o igual que el número de señales M: - Cada señal s m (t) del alfabeto pertenece al subespacio de señal y se podrá escribir como: - El ruido n(t) no pertenece necesariamente al subespacio de señal. En general, tendrá una parte dentro del subespacio y otra n (t) fuera de él IV.3.2. Constelación de una modulación digital. 19 Subespacio de señal del modulador digital (cont.): - Suponiendo que el canal no deforma la señal de información y que a su salida se tiene s m (t), la señal recibida tendrá una parte dentro del subespacio de señal y otra n (t) fuera de él: - Se puede demostrar que el ruido n (t) es ortogonal al subespacio de señal y no interviene en el proceso óptimo de detección (ver pruebas A,B,C en el Ap. F), por lo que se obviará a partir de ahora: Coordenadas de la señal recibida en el subespacio de señal del modulador digital - El efecto de un simple escalado y/o retardo de la señal de información se podría incluir muy fácilmente en esta teoría. El efecto más complicado de ancho de banda limitado se verá en el tema IV.6. IV.3.2. Constelación de una modulación digital. 20

11 Efecto del ruido en la constelación vista en el receptor (sólo hay ruido, no hay ni atenuación ni retardo): - Ejemplo de constelación de M=4 señales, representables en un subespacio de señal de L=2 dimensiones. - En cada periodo de símbolo, el modulador digital transmitirá una señal (un punto o vector) de M posibles dentro del subespacio de señal. - Cada señal enviada será uno de los puntos de la constelación (puntos circulares de la figura). Por ejemplo, si se transmite s 2 (t) se estará emitiendo el punto de coordenadas (S 21, S 22 ). - En el receptor, cada señal enviada aparece perturbada por un vector de ruido desconocido. - Al enviar s 2 (t) se obtiene r(t)=s 2 (t)+n(t) (el punto con forma de rombo de la figura) de coordenadas (R 1, R 2 ) (el ruido fuera del subespacio de señal no interviene en la decisión y sería ortogonal al plano de la hoja). - La señal recibida tendrá mucha probabilidad de encontrase en una entorno alrededor de la enviada (la nube de la figura), entorno tanto más grande cuanto mayor sea la potencia de ruido. IV.3.2. Constelación de una modulación digital. 21 Efecto del ruido en la constelación vista en el receptor (cont.): - Para la misma señal recibida, el detector puede equivocarse e interpretar la señal recibida en base a otra posible pareja de señal enviada y ruido. - Por tanto, hay que establecer un criterio de decisión para minimizar la probabilidad de error idea de distancia y de regiones de decisión D m en torno a los puntos de la constelación. Señal recibida Vector de ruido Misma señal recibida Señal enviada - Si todos los símbolos tienen la misma probabilidad de ser transmitidos, si se recibe r(t), qué señal tiene más probabilidad de haberse enviado?. - Intuitivamente, parece lógico pensar que aquella s n (t) más cercana a la recibida. Esta idea aparecerá de manera formal en los receptores estudiados a continuación. IV.3.2. Constelación de una modulación digital. 22

12 IV.3.3. Receptores de M señales En el tema IV.2 se ha estudiado el caso de alfabetos binarios de M=2 1 símbolos/señales. El receptor de un sistema cuyo alfabeto está formado por M=2 k señales (símbolos de k bits) se diseña de forma parecida. Descripción del funcionamiento: - Al receptor le llega una señal s m (t) de M posibles contaminada con ruido. - El receptor lo único que conoce es r(t), y no sabe ni que señal s m (t) se envió ni por supuesto la forma de onda del ruido n(t) - El receptor tiene que decidir mediante operaciones sobre la señal recibida r(t) cual es la señal s j (t) que tiene más probabilidad de haberse enviado. - Para facilitar la decisión, el receptor sabe que la señal enviada sólo puede ser una de M posibles, y la decisión la tendrá que hacer dentro del subespacio de señales del modulador digital que se acaba de ver. IV.3. Análisis en el espacio de señales. 23 Para operar en el subespacio de señal del modulador digital, la primera etapa del receptor de M señales consistirá en el cálculo de coordenadas de la señal recibida respecto de la base del subespacio. - Si el subespacio tiene dimensión L, habrá que calcular L coordenadas. -Las L coordenadas se calculan mediante L filtros distintos adaptados a cada una de las funciones base más sus correspondientes muestreadores (o mediante correladores con las funciones base más muestreadores) (ver P4, Ap. B) - Esta etapa también existía en el caso M=2. La segunda etapa del receptor óptimo consistirá en un decisor (también llamado detector) en la que se decide la señal que se ha enviado mediante operaciones sobre las coordenadas. - Esta etapa, para el caso M=2, consistía en una comparación con un umbral. -Si M>2, el bloque decisor es más complicado y se convierte en el cálculo de distancias u otras métricas equivalentes. IV.3.3. Receptores de M señales. 24

13 Arquitectura del receptor óptimo de M señales: - Arquitectura con correladores (izda.) y con filtros adaptados (drcha) DECISOR ÓPTIMO 0100 DECISOR ÓPTIMO IV.3.3. Receptores de M señales. 25 Cálculo de las coordenadas de la señal recibida: - Cada rama del receptor anterior está formada por un filtro adaptado a cada función base (la implementación con correladores tendría exactamente las mismas propiedades según el Ap. B ) - Ahora se va a demostrar que la salida en el instante de muestreo coincide con la coordenada i-ésima R i de la señal recibida respecto de la base del subespacio de señal. (s m (t)=0 fuera de 0 t T) (Salida de la rama i-ésima del receptor de M señales) (por estar todas las funciones bases i normalizadas a energía unidad, la desviación típica no depende de i) IV.3.3. Receptores de M señales. 26

14 Caracterización estadística de las coordenadas de la señal recibida: - La salida del filtro adaptado o correlador con la función base i en el instante de muestreo es: - N i es una variable aleatoria gaussiana de media nula y varianza: - Si se ha enviado la señal s m (t), la variable aleatoria R i s m (coordenada i-ésima de la señal recibida, supuesto que se ha transmitido s m (t)) es una variable aleatoria gaussiana de media S mi y desv. típica σ oi fdp(x)=probabilidad diferencial de que si se ha mandado s m (t), la señal recibida tenga coordenada i-ésima de valor x fdp(x) x - Se puede demostrar (ver prueba C del Ap. F) que el conjunto de todas las coordenadas R i son estadísticos suficientes para realizar la detección óptima con las coordenadas se tiene toda la información necesaria para decidir cual es la señal que se envió con más probabilidad. IV.3.3. Receptores de M señales. 27 Caracterización estadística de las coordenadas de la señal recibida (cont.): - Todas las variables aleatorias R i s m, i=1,...,l son independientes (ver prueba C del Ap. F ). - Por tanto la fdp conjunta de recibir las coordenadas r=(r 1,,R L ), supuesto que se ha transmitido la señal s m (t), se obtiene multiplicando las individuales: Notar que: - Ahora que ya se tiene caracterizada la fdp, se pasa a establecer el criterio de decisión óptimo: decidir que símbolo se ha transmitido con la mínima probabilidad de error - Se puede hacer un desarrollo similar al del caso binario para minimizar la P E de símbolo: (caso binario) (caso M-ésimo) IV.3.3. Receptores de M señales. 28

15 Criterio de decisión óptimo para minimizar la P E de símbolo: - Las probabilidades de error condicionadas se pueden obtener a través de probabilidades de acierto y se calculan gracias a la fdp conjunta obtenida anteriormente: D m es la región de decisión en el subespacio de señal que se asigna a cada señal s m y dr=dr 1 dr 2..dr L - Con estos datos se procedería a decidir la señal s j que da una probabilidad de error mínima para cada r recibido, dando lugar a las regiones de decisión en el subespacio de señal. Este desarrollo sería la generalización de la regla de decisión y el umbral en los receptores binarios. - La justificación formal de la decisión óptima se obtendría con el criterio MAP (Maximum A Posteriori probablity) definido en el Ap. G. - Cuando todos los símbolos tienen la misma probabilidad de ser transmitidos (símbolos equiprobables), el criterio MAP se convierte en decidir la señal s j más cercana a la recibida, que es la idea intuitiva que apareció en la pag Por tanto, el subespacio de señal se divide en M regiones D m (m=1,,m) tales que si la señal recibida cae en una de ellas, se decide la señal s m. IV.3.3. Receptores de M señales. 29 Criterio de decisión óptimo para minimizar la P E de símbolo (cont.): - Cada región D m es el conjunto de puntos cuya distancia a s m es menor que a cualquier otra señal de la constelación - A diferencia del caso binario, no se tiene una expresión de la P E del receptor de M señales óptimo, y se debe calcular de manera particular para cada modulación M-aria (ver tema IV.4). DECISOR ÓPTIMO 0100 Dadas las coordenadas de la señal recibida R=(R 1,R 2,,R L ), calcular la distancia a todas las señales s m para poder elegir la señal s j más cercana y devolver su símbolo asociado - Existen implementaciones alternativas a este receptor (ver Ap. H). IV.3.3. Receptores de M señales. 30

16 Ap. E: Conceptos de espacios vectoriales Producto escalar entre señales de energía finita: (se considera el caso de señales complejas por generalidad) - Si las señales fueran de potencia (energía infinita), el producto escalar se definiría de la siguiente forma, conservando las mismas propiedades. Norma de una señal: IV.3. Análisis en el espacio de señales. 31 Ap. E (cont.): Distancia entre dos señales: (la norma y la distancia son números reales positivos o nulos, el producto escalar es un número complejo) Desig. Triangular Desigualdad de Schwarz: Desig. Schwarz - Definición del coeficiente de correlación ρ (número complejo en general) y del ángulo entre dos señales reales - Definición: dos señales son ortogonales si su producto escalar es nulo ( coeficiente de autocorrelación nulo). - Definición: dos señales son paralelas si su ángulo es 0 ó π: - Definición: dos señales son antipodales si r(t)=-s(t): Ap. E: Conceptos de espacios vectoriales. 32

17 Ap. F: Señal de ruido en el espacio vectorial de señales (opcional) - Prueba A). Demostración de que la componente de ruido n (t) es ortogonal a la componente dentro del subespacio de señal: - Prueba B). Las coordenadas son variables aleatorias gaussianas independientes. - Las coordenadas del ruido {N i } son variables aleatorias gaussianas e incorreladas entre si son estadísticamente independientes IV.3. Análisis en el espacio de señales. 33 Ap. F (cont.): - Prueba B) (cont.). - Las coordenadas de la señal recibida {R i }, supuesto que se transmite s m (t), son variables aleatorias gaussianas y estadísticamente independientes - Prueba C). Las coordenadas R i son estadísticos suficientes para realizar la detección no se puede extraer ninguna información del ruido n (t) el ruido n (t) es estadísticamete independiente de las coordenadas R i - El proceso estocástico n (t) y las variables aleatorias {R i } son gaussianos e incorrelados son estadisticamente independientes Ap. F. Señal de ruido en el espacio vectorial de señales. 34

18 Ap. G: Criterio de decisión MAP y ML (opc.) Criterio de decisión MAP (Máximum APosteriori probability). - A) Se comienza con las siguientes definiciones: Probabilidad de error: Probabilidad de errar supuesto que se recibe r: Probabilidad de acertar supuesto que se recibe r (se transmite s m, se recibe r=s m +n y se decide s m ) Función densidad de probabilidad de recibir r: Función densidad de probabilidad de recibir r supuesto que se transmite s m : Probabilidades a priori de trasmitir s m - B) De acuerdo al teorema de Bayes: A: se tx la señal s m (t) B: se rx la señal r(t) dentro de un entorno que se hace tender a 0 Minimizar P E equivale a maximizar la probabilidad de acierto a posteriori: IV.3. Análisis en el espacio de señales. 35 Ap. G (cont.): - Si sólo se dispusiera de los estadísticos de la fuente, lo más lógico sería decidir siempre el símbolo que más probabilidad a priori tiene de enviarse: - Sin embargo, se cuenta con la observación r para ayudar a la estimación. El detector óptimo (y por tanto el receptor óptimo) tendrá que maximizar la probabilidad de acierto a posteriori - Puesto que fdp(r) no depende de m, la decisión óptima (para cada r recibido, la función que asigna la señal decidida) será la siguiente - Por tanto, el criterio MAP desemboca en dividir el subespacio de señal en M regiones D m (m=1,,m) alrededor de s m tales que si la señal recibida cae en una de ellas, se decide la señal s m - A la vista de la expresión dec opt (r) y la fdp(r s m ), en la decisión óptima sólo interviene la proyección de la observación r(t) sobre el espacio de señal (las coordenadas R i ) Ap. G. Criterio de decisión MAP y ML. 36

19 Ap. G (cont.): Criterio de decisión MAP y ML - Si los símbolos son equiprobables P(s m )=1/M, la decisión óptima se convierte en maximizar la fdp(r s m ). - Basar la decisión en maximizar fdp(r s m ) se conoce como criterio de máxima verosimilitud (ML o Maximum Likelihood) y es lo que se haría si no se supieran las probabilidades de cada símbolo P(s m ) - ML y MAP son equivalentes para símbolos equiprobables: - Las regiones D m en este caso se convierten en el conjunto de puntos cuya distancia a s m es menor que a cualquier otra DECISOR ÓPTIMO 0100 Dadas las coordenadas de la señal recibida R=(R 1,R 2,,R L ), calcular la distancia a todas las señales s m para poder elegir la señal s j más cercana y devolver su símbolo asociado Ap. G. Criterio de decisión MAP y ML. 37 Ap. H: Implementaciones equivalentes del receptor de M señales óptimo Esquema equivalente de receptor óptimo con M L filtros adaptados o correladores: Seleccionar la señal s j (t) tal que C j es máximo ( se decide la señal con menor dist. a la recibida) Puesto que la decisión óptima se basa en aquella que minimiza la distancia, se ha hecho un receptor equivalente en el que se maximiza C m : IV.3. Análisis en el espacio de señales. 38

20 Ap. H (cont.): - La métrica C m es la proyección de la señal recibida sobre s m (lo que se parecen), al que se le resta un término para compensar que la señales s m tengan distintas energías (si las E sm fueran iguales se podrían quitar los sumadores del receptor) - Hallar la señal s j que está más cercana a la recibida es equivalente a hallar la señal s j que maximiza C j (la energía de la señal recibida no depende de m), es decir, la señal s j más parecida a la recibida r. - Este esquema siempre necesitará un numero mayor o igual de correladores (o filtros adaptados) que el esquema de la pag. 25, ya que M L. Para el caso M=2, el receptor de la pag anterior y el de la pag. 25 son equivalentes a los receptores binarios óptimos vistos en el tema IV.2 (por ej, ver pag. 44). - Si todos son óptimos, tendrán la misma P e (la mínima) y sus bloques decisores serán equivalentes, como se va a demostrar en la sig. página. P e del receptor binario óptimo (en cualquiera de sus versiones equivalentes) Ap. H. Formas del rx de M señales óptimo. 39 Ap. H (cont.): - En los receptores binarios óptimos del tema IV.2, el bloque final toma la decisión en base al valor de z(t) y al umbral γ: - Primera posibilidad: si el valor muestreado z(t) es mayor que γ, se decide que se ha mandado s 2 (t) (un 1 ). Equivalentemente: - Hay dos posibilidades en la decisión. - Segunda posibilidad: si el valor muestreado z(t) es menor que γ, se decide que se ha mandado s 1 (t) (un 0 ). Equivalentemente: - Por tanto, las siguientes reglas de decisión son equivalentes: Ap. H. Formas del rx de M señales óptimo. 40