1.3 Concepto de vector fijo, ligado o localizado

Capítulo 1 VECTORES 1.1 Magnitud escalar Magnitud escalar es aquella cuya determinación solo requiere el conocimiento de un número real y de una unidad de medida. El número indica la cantidad de veces que la magnitud medida contiene a la unidad considerada. Ejemplos típicos de magnitudes escalares son: la longitud, la masa, el tiempo, el trabajo, la energía, etc.. y cualquier número real. 1.2 Magnitud vectorial Es una magnitud para cuya determinación se requiere además del conocimiento de la magnitud escalar, su dirección y su sentido. Ejemplos de magnitudes vectoriales son: la velocidad, la aceleración, la fuerza, la cantidad de movimiento.. 1.3 Concepto de vector fijo, ligado o localizado Consideramos el espacio tridimensional euclideo, es decir el espacio en el que acontecen los fenoménos físicos, y denominamos E al conjunto de los puntos de este espacio. Generamos a continuación el conjunto producto cartesiano ExE, el cual estará formado por pares de puntos ordenados de este espacio, y constituimos un nuevo conjunto que denominaremos (ExE)*, el cual es igual al conjunto anterior, pero en el que se han suprimido los elementos diagonales, estando por tanto este conjunto formado por pares ordenados de puntos distintos del espacio. Este conjunto podrá ser expresado como: (ExE)* = {(ExE) (x, x)} ; x E Como podemos observar, cada elemento de este conjunto es un segmento orientado, siendo AB BA ya que en el producto cartesiano el elemento AB es distinto del elemento BA. Definimos los vectores ligados como el conjunto ordenado de los elementos del conjunto 1

CAPÍTULO 1. VECTORES 2 (ExE)*, añadiendo además el vector nulo 0, es decir: {(ExE)*, 0 } Las características que definen a un elemento de este conjunto, es decir a un vector fijo son las siguientes: Modulo AB : Es un real positivo asociado a la recta AB y define la longitud del segmento que une los puntos A y B. Dirección: Es la de la recta sobre la cual se encuentra el segmento AB. Sentido: Viene dado por la ordenación de puntos A y B. Localización o punto de aplicación: Es el primero de los puntos que constituyen el par ordenado. 1.4 Concepto de vector libre Dentro del conjunto de los vectores libres ya definido, introducimos una relación que denominaremos de equipolencia, L, a la cual enunciamos así: Dos vectores fijos son equipolentes entre sí, cuando ambos tienen igual módulo, dirección y sentido. Dicha relación es fácil de comprobar que se trata de una relación de equivalencia, pues cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Así pues, el conjunto de los vectores fijos habrá quedado dividido o clasificado en unas clases de equivalencia; en cada una de las cuales se encontrarán todos los vectores equipolentes entre sí. El conjunto de estas clases (cada clase puede ser idealizada en un sólo elemento representante), es el conjunto de los vectores libres. Dicho conjunto podrá ser expresado así: Un vector libre vendrá definido por: {(ExE)*/L, 0 } Módulo. Dirección. Sentido. Un ejemplo de magnitud física representada por un vector libre es el par, el cual puede ser localizado en cualquier punto del espacio.

CAPÍTULO 1. VECTORES 3 1.5 Concepto de vector deslizante Dentro del conjunto de los vectores fijos introducimos una nueva relación que denominaremos D y que la enunciames como sigue: Dos vectores fijos están relacionados si son colineales, tienen igual módulo y el mismo sentido. Es fácil comprobar que esta relación D es también de equivalencia. El conjunto de las clases en que se divide el conjunto de los vectores fijos al introducir esta relación, es el conjunto de los vectores deslizantes, el cual podrá ser expresado así: Un vector deslizante quedará definido por: Módulo. Recta de aplicación. Sentido. {(ExE)*/D, 0 } Ejemplo de vectores deslizantes son las fuerzas que actúan sobre sólidos indeformables 1.6 Producto de un vector por un escalar Es una operación definida tanto para vectores libres, como ligados, como deslizantes. Consiste en asociar a un vector a y a un escalar λ, un nuevo vector (del tipo del de a, es decir, libre, ligado o deslizante) que representaremos por λ a y que se obtiene de modo que: 1. λ a = λ a Donde: λ : Valor absoluto de λ a : Módulo del vector a 2. La dirección y sentido de λ a es igual a la dirección y sentido de a en el caso de que λ > 0, y de sentido contrario cuando λ < 0. 1.7 Suma de vectores Es una operación definida para: Vectores libres Vectores deslizantes, caso de que sus rectas de acción se corten en un punto Vectores fijos, caso de que sus puntos de aplicación coincidan

CAPÍTULO 1. VECTORES 4 a s b Figura 1.1: Suma geométrica de dos vectores Se trata de una ley de composicion interna, que a dos vectores dados asocia un tercer vector, que viene dado por la composicción geométrica denominada ley del paralelogramo: s = a + b Cuando se trata de la suma de más de dos vectores se procederá sumando los dos primeros, y a continuación sumando su resultado con el tercero y así sucesivamente, o bien, efectando la composición geométrica siguiente, denominada polígono de vectores: b c a s Figura 1.2: Suma de más de dos vectores s = a + b + c Con respecto a esta operación suma el conjunto de los vectores tiene estructura de grupo abeliano o conmutativo, ya que se cumplen las siguientes propiedades: 1. Es una ley de composición interna 2. Conmutativa 3. Asociativa 4. Existencia del elemento neutro, 0 5. Existencia del elemento simétrico

CAPÍTULO 1. VECTORES 5 NOTAS: 1. La eliminación de los elementos diagonales que hemos efectuado en el conjunto ExE para formar (ExE)*, volviendo a reintroducir posteriormente el vector 0; lo cual a primera vista podría parecer un contrasentido, tiene por objeto preservar la unicidad del elemento neutro en la operación suma. 2. El elemento simétrico del vector a, será el a tal que: a + a = 0 Este es un vector que denominaremos opuesto al a y que se caracteriza por: Tener el mismo módulo que a Tener la misma dirección que a Tener sentido contrario a a A este vector lo designamos como a 1.8 Diferencia de vectores Definimos la diferencia entre vectore a y b como la operación que consiste en sumar al vector a el vector opuesto al b ; es decir el b = b a b = a + ( b) Evidentemente, esta operación no cumple la propiedad conmutativa. 1.9 Concepto de espacio vectorial Se dice que un determinado conjunto tiene estructura de espacio vectorial, cuando habiéndose definido en el mismo dos operaciones o leyes de composición, una interna: la suma, y otra externa: el producto por los elementos de un cuerpo (K) de escalares, éstas cumplen las siguientes propiedades: Primera operación 1. Conmutativa: a + b = b + a 2. Asociativa: a + ( b + c) = ( a + b) + c 3. Existencia del elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a 4. Existencia del elemento simétrico: a + ( a) = ( a) + a = 0 a V

CAPÍTULO 1. VECTORES 6 Segunda operación 1. Distributiva respecto a la suma de escalares: (λ + µ) a = λ a + µ a 2. Distributiva respecto a la suma de vectores: λ( a + b) = λ a + λ b 3. Asociativa respecto al producto de escalares: λ (µ a) = λ µ a 4. Existencia del elemento neutro: 1 a = a El conjunto de los vectores libres por nosotros definido, con las operaciones suma y producto por un escalar, tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL. Dentro de los espacios vectoriales, recordemos las siguientes definiciones: Combinación lineal: Se dice que un vector V es combinación lineal de los vectores a 1, a 2,..., a n, cuando existen los escalares λ 1, λ 2,..., λ n, cualesquira tales que: V = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + + λ n a n Sistema de generadores: Un conjunto de vectores a 1, a 2,..., a n, se dice que es un sistema generador de un espacio vectorial, cuando cualquir vector del mismo puede ser formado a partir de ese sistema a 1, a 2,..., a n mediante combinación lineal. Independencia lineal: Se dice que los vectores a 1, a 2,..., a n, son linealmente independientes, cuando no se pueden encontrar n escalares, no todos ellos nulos, tales que: λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + + λ n a n = 0 Expresado de otra forma: La única combinación lineal de los vectores a 1, a 2,..., a n, que genera el vector nulo 0, es aquella en la que todos los escalares λ son nulos. Base de un espacio vectorial: Denominamos base de un espacio vectorial a un conjunto de vectores que: Son un sistema generador. Son linealmente independientes. Componentes de un vector: Componentes de un vector respecto de una base dada son los escalares λ 1, λ 2,..., λ n, tales que: V = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + + λ n a n Donde a 1, a 2,..., a n, es una base del espacio vectorial.

CAPÍTULO 1. VECTORES 7 La expresión de un vector en una base dada es única, es decir, un vector en una base sólo puede tener unas componentes. En efecto, sea a 1, a 2,..., a n una base de un cierto espacio vectorial, y supongamos que un vector V del mismo admite dos representaciones distintas en dicha base: V = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + + λ n a n = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + + λ n a n Operando, ordenando y teniendo en cuenta la distributividad: (λ 1 λ 1 ) a 1 + (λ 2 λ 2 ) a 2 + + (λ n λ n ) a n = 0 Dado que a 1, a 2,..., a n, es una base, y por tanto los vectores de la misma son linealmente independientes, la unica posibilidad es que los escalares sean nulos: λ 1 λ 1 = 0 λ 1 = λ 1 λ 2 λ 2 = 0 λ 2 = λ 2.. λ n λ n = 0 λ n = λ n Lo cual ratifica que las componentes de un vector en una cierta base son únicas 1.10 Proyección de un vector sobre un eje Una recta es un espacio de una sola dimensión, al cual podemos orientar mediante una base constituida por un único vector, que se toma de referencia, y con lo cual la recta queda convertida en lo que denominamos un eje. Proyección de un vector sobre un eje es una magnitud escalar igual a la longitud del segmento que se encuentra entre las proyecciones del origen y del extremo del vector sobre el eje, provista del signo (+) ó ( ) según que el sentido del vector y del eje sean o no coincidentes. B P F Q α 1 A α B 1 P 1 ϕ E a b p e x Figura 1.3: Proyección de vector sobre eje

CAPÍTULO 1. VECTORES 8 F x = AB 1 = ab = F cos α Q x = P 1 E = pe = Q cos ϕ = Q cos α 1 Podemos redifinir entonces la proyección de un vector sobre un eje, como el producto del módulo del vector por el coseno del ángulo formado por el sentido preferente del eje y el vector. P roy x F = Fx = F cos α 1.11 Proyección de un vector sobre un plano La proyección de un vector sobre un plano resulta ser otro vector, contenido en el plano, tal que su origen es la proyección del origen, y cuyo extremo es la proyección del extremo. Notamos que a diferencia de la proyección sobre un eje, el resultado es una magnitud vectorial. La proyección puede realizarse según cualquier dirección. Si esta dirección es ortogonal al plano sobre el que se proyecta, se cumple que: P roy π a = a cos θ a θ π Proy π a Figura 1.4: Proyección de vector sobre plano 1.12 Producto escalar de dos vectores El producto escalar de dos vectores es un escalar que se obtiene efectuando el producto de los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman. U V = U V cos α

CAPÍTULO 1. VECTORES 9 Dado que V cos α = P roy U V ; y que U cos α = P roy V U ; el producto escalar de dos vectores también puede definirse como: El producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. U V = U P roy U V = V P roy V U Proy V U U α V Proy U V Figura 1.5: Producto escalar de dos vectores Propiedades del producto escalar: El producto escalar de dos vectores es conmutativo. U V = V U En efecto: U V = U V cos α V U = V U cos(2π α) = V U cos α Por tanto: U V = V U El producto escalar cumple la propiedad distributiva respecto a la suma de vectores. U ( V + W ) = U V + U W En efecto: U ( V + W ) = U P roy U ( V + W )

CAPÍTULO 1. VECTORES 10 Dada la linealidad en la operación de proyección se cumple que: P roy U ( V + W ) = P roy U V + P roy U W Por tanto: U ( V + W ) = U P roy U ( V + W ) = U (P roy U V + P roy U W ) = = U P roy U V + U P roy U W = U V + U W El producto escalar no cumple la ley asociativa. ( U V ) W U ( V W ) } {{ } } {{ } escalar escalar Simplemente observamos que el primer término es un vector con la dirección de W, en tanto que el segundo término es un vector en la dirección de U Norma de un vector. Definimos como norma de un vector U, al producto escalar de dicho vector por sí mismo. nor U = U U = U U cos 0 = U 2 Entonces podemos decir: U = U 2 = nor U El producto escalar de dos vectores podrá ser expresado ahora como: U V = nor U nor V cos α El producto escalar de dos vectores será nulo cuando: Alguno de los vectores es nulo. Si ambos vectores son ortogonales. 1.13 Producto vectorial de dos vectores El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuyo módulo es igual alproducto de los módulos de ambos por el seno del ángulo que forman; cuya dirección es ortogonal al plano

CAPÍTULO 1. VECTORES 11 determinado por ambos, y cuyo sentido es tal que el triedro determinado por el primer vector, el segundo vector y el resultado sea directo. Esta determinación del sentido del vector producto coincide con la denominada clásicamente como ley del sacacorchos, la cual indica que el sentido del vector resultado coincide con el del avance de un sacacorchos que gira desde el primer vector hacia el segundo por el camino más corto. U V = U V sen α U V V α U Figura 1.6: Producto vectorial de dos vectores El módulo del producto vectorial U V sobre los vectores U y V coincide con el área del paralelogramo formado U V = U V senα = Area A } {{ } h V α h Area A Figura 1.7: Significado geométrico del módulo del producto vectorial U Propiedades del producto vectorial: El producto vectorial no es conmutativo. U V V U

CAPÍTULO 1. VECTORES 12 En efecto; ambos productos dan como resultado vectores de igual módulo pero de sentidos opuestos. Propiamente podríamos afirmar que el producto vectorial es anticonmutativo, es decir : U V = V U El producto vectorial es distributivo respecto a la suma de vectores: U ( V + W ) = U V + U W Esta propiedad la comprobaremos cuando veamos la expresión analítica del producto vectorial. El producto vectorial no es asociativo. ( U V ) W U ( V W ) El primer producto, por ser perpendicular a U V estará contenido en el plano determinado por U y V El segundo producto, por ser perpendicular a V W estará contenido en el plano determinado por V y W La coincidencia de ambos planos se materializará en V y sólo se daría cundo U y W sean perpendiculares a V La demostración la veremos al tratar el doble producto vectorial El producto vectorial de un vector por sí mismo, siempre dá el vector nulo U U = U U sen 0 = 0 U U = 0 El producto vectorial de dos vectores es nulo cuando: Uno cualquiera de los dos vectores es nulo Ambos vectores son paralelos En las operaciones con producto vectorial ( al igual que en las operaciones con producto escalar ) no se admite la simplificación: Si a b = a c No implica que b = c

CAPÍTULO 1. VECTORES 13 En efecto: a b = a c = a b a c = 0 ; Por la propiedad distributiva: a ( b c) = 0 ; Pero esto no implica que: b c = 0 ; o sea que b = c dado que a y ( b c) pueden ser vectores paralelos 1.14 Producto mixto Se denomina producto mixto de tres vectores U, V y W y se representa como ( U V W ) a la operación consistente en efectuar en primer lugar el producto vectorial de los dos primeros ( un vector ) y multiplicar escalarmente este resultado por el tercer vector. El resultado final de esta operación será por tanto un escalar. ( U V W ) = ( U V ) W Este producto mixto es igual al volúmen del paralelepípedo formado sobre esos tres vectores tomados como aristas contiguas. U V = Q h W ϕ V α S U Figura 1.8: Producto mixto de tres vectores ( U V W ) = ( U V ) W = Q W = U V sen α W cos ϕ = Volúmen. } {{ } } {{ } S h Propiedades del producto mixto: El producto mixto lleva un signo dependiendo éste del valor de ϕ, o lo que es igual: será positivo siempre que W esté en el mismo semiespacio que el vector U V, con

CAPÍTULO 1. VECTORES 14 respecto al plano que determinan los vectores U y V. Esto también podría expresarse diciendo que si la terna de vectores U, V y W se orienta a derechas el producto mixto es positivo. Caso contrario, el producto mixto será negativo. Según la propiedad anterior, el producto mixto es circularmente conmutativo, esto es: ( U V W ) = ( V W U) = ( W U V ) ( V U W ) = ( W V U) = ( U W V ) El producto mixto se anula cuando: Alguno de los vectores es nulo. Dos de los vectores son colineales. Tres de los vectores se encuentran sobre un mismo plano. Todo ésto es verificable teniendo en cuenta el carácter volumétrico que tiene el producto mixto. 1.15 Doble producto vectorial Esta operación, para la que no se emplea ninguna notación epecial consiste en multiplicar vectorialmente dos vectores, y este resultado multiplicarlo vectorialmente por un tercero, es decir: ( U V ) W La colocación del paréntesis es imprescindible, ya que su situación diferente puede afectar el resultado. El doble producto vectorial dá como resultado un vector que se encuentra en el plano de los vectores U y V, es decir de los que se encuentran entre paréntesis. En efecto: Sea π el plano determinado por los vectores U y V, estando el producto vectorial U V situado sobre una recta normal a este plano; el vector W lo decomponemos en otros dos, uno de ellos W 1 según su proyección ortogonal sobre el plano π y otro W 2 sobre dicha recta normal; entonces el doble producto vectorial de los vectores U, V, W, lo podremos expresar: ( U V ) W = ( U V ) ( W 1 + W 2 )

CAPÍTULO 1. VECTORES 15 W 2 W U V ( U V ) W W 1 U V π Figura 1.9: Doble producto vectorial Y teniendo en cuenta la propiedad distributiva del producto vectorial respecto a la suma de vectores: ( U V ) ( W 1 + W 2 ) = ( U V ) W 1 + ( U V ) W 2. El segundo sumando ( U V ) W 2 es nulo, al ser colineales los vectores ( U V ) y W 2 ; con lo que nos queda: ( U V ) W = ( U V ) W 1 El resultado de esta operación debe ser un vector ortogonal a cada uno de los vectores que en élla intervienen ( U V ) y W 1, por consiguiente estará situado en el plano π, es decir, el determinado por U y V, por lo que podrá ser expresado como una combinación lineal de dichos vectores. ( U V ) W 1 = λ U + µ V Donde λ y µ son escalares no nulos. Mediante cálculo que aquí no detallamos determinamos que: λ = V W µ = U W Por tanto el doble producto vectorial quedará expresado en la siguiente forma en la que solo intervienen productos escalares: ( U V ) W = ( U W ) V ( V W ) U

CAPÍTULO 1. VECTORES 16 1.16 Producto escalar de dos productos vectoriales (Relación de Lagrange) Sea el producto : ( u v) ( r s); queremos transformar esta operación de forma que sólo aparezcan productos escalares. Dicha transformación es la denominada relación de Lagrange. Primeramente nombramos como w al producto ( r s) y lo sustituimos en la expresión planteada: ( u v) ( r s) = ( u v) w Lo cual es un producto mixto. Teniendo en cuenta la conmutatividad circular del producto mixto : ( u v) w = ( u v w) = ( w u v) Aplicando dicha conmutatividad circular y deshaciendo el cambio nos queda : ( w u v) = ( w u) v = ( ( r s) u ) v Observamos un doble producto vectorial que desarrollamos según lo visto en el apartado anterior: ( ( r s) u ) v = ( ( r u) s ( s u) r ) v Como el producto escalar es distributivo con respecto a la suma (o diferencia) de vectores: ( u v) ( r s) = ( r u) ( s v) ( s u) ( r v) Expresión ésta que se conoce como relación de Lagrange. 1.17 Norma de un producto vectorial La norma de un producto vectorial será evidentemente el producto escalar del producto vectorial por si mismo, es decir : nor ( u v) = ( u v) ( u v) Para su determinación batará con tomar la relación de Lagrange del apartado anterior y en ella hacer r = u y s = v : ( u v) ( u v) = ( u u) ( v v) ( u v) ( v u)

CAPÍTULO 1. VECTORES 17 Es decir : nor ( u v) = nor u nor v ( v u) 2 Lo que podemos enunciar de la siguiente forma: La norma de un producto vectorial es igual al producto de las normas de los dos vectores, menos el cuadrado de su producto escalar. 1.18 Base ortonormal De todas las bases que puede tener un espacio vectorial, ( recordemos que una base es un sistema generador compuesto por vectores linealmente independientes ) vamos a considerar la que denominamos ortonormal, lo que es tanto como exigirle estas dos nuevas condiciones: 1. La norma de todos sus elementos debe ser la unidad 2. El producto escalar de dos cualesquiera de sus elementos entre sí, debe se nulo Para el espacio euclideo de tres dimensiones en el que tienen su escenario los fenómenos físicos, esta base ortonormal es la terna de los vectores unitarios o versores ( versor es un vector cuyo módulo es la unidad ) dirigidos en las tres direcciones del epacio euclideo, según se indica en la figura y denominados versores fundamentales i, j y k, en la notación de Hamilton. Estos tres vectores son una base ortonormal ya que: k j i Figura 1.10: Base ortonormal Son un sistema generador ( cualquier vector puede ser expresado como combinación lineal de ellos ) Son linealmente independientes ( Ya que no son coplanarios ) Son ortonormales, pues:

CAPÍTULO 1. VECTORES 18 nor i = nor j = nor k = 1 2 = 1 i j = j i = i k = k i = j k = k j = 0 k son perpendiculares entre sí ) ( Ya que los vectores i, j y j Se podría considerar la existencia de otra base ortonormal, la que denominamos a izquierdas o inversa, cuya disposición sería la indicada en la figura 1.11. De todas formas la base ortoi k Figura 1.11: Base ortonormal inversa normal a la que nos referiremos de ahora en adelante será la primera, denominada a derechas o directa. El producto mixto de los tres vectores de la base ortonormal directa dá la unidad: ( i j k) = 1 1.19 Ternas reciprocas de referencia Dos ternas de vectores { a, b, c} y { a, b, c }, se dice que son recíprocas cuando: a a = b b = c c = 1 a b = a c = b a = b c = c b = c a = 0 Dada la terna { a, b, c}, para obtener los vectores que componen su terna recíproca, bastará aplicar: a = b c ( a b c) ; b = c a ( a b c) ; c = a b ( a b c) En efecto, al efectuar a a, nos queda el cociente de dos productos mixtos idénticos, lo que dá la unidad; y al efectuar a b en el numerador nos queda un producto mixto con un vector repetido, lo que dá como resultado cero. Las dos ternas de vectores recíprocos de referencia, desde el punto de vista geométrico están constituidas por dos triedros suplementarios, es decir, dos triedros que cada uno de los cuales tiene las aristas perpendiculares a las caras del otro.

CAPÍTULO 1. VECTORES 19 Se pueden aprovechar las propiedades de las ternas recíprocas para operar en forma simplificada: Sean los vectores u y v expresados cada uno en una base recíproca a la otra: u = u 1 a + u 2 b + u 3 c v = v 1 a + v 2 b + v 3 c El producto escalar u v será: u v = (u 1 a + u 2 b + u 3 c) (v 1 a + v 2 b + v 3 c ) u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 ; ya que: a a = b b = c c = 1, y a b = a c = b a = b c = c b = c a = 0 Importante La dificultad de esta operación estriba en que cada vector debe ser expresado en una base distinta; por esta razón el hecho de que la base ortonormal { i, j, k} sea recíproca de sí misma, la hace especialmente útil y en este hecho reside su importancia. 1.20 Expresión de un vector en la notación de Hamilton Un vector cualquiera v puede ser expresado como combinación lineal de los vectores de una base; si la base elegida es la base ortonormal { i, j, k} este vector podrá ser expresado como: v = v 1 i + v 2 j + v 3 k Donde los escalares v 1, v 2 y v 3 son las componentes del vector v en esa base ortonormal. Características de este vector: Módulo v = v 2 1 + v 2 2 + v 2 3 Cosenos directores del vector ( Determinan la dirección de su recta de aplicación ): cos α = v 1 v ; cos β = v 2 v ; cos γ = v 3 v Si el módulo del vector es la unidad v = 1

CAPÍTULO 1. VECTORES 20 cos α = v 1, cos β = v 2 y cos γ = v 3. Y entonces la expresión de este vector sería : v = cos α i + cos β j + cos γ k Los vectores de módulo unidad se denominan vectores unitarios o versores. Esto nos indica que en la base de Hamilton las componentes de un versor son los cosenos directores de la línea sobre la que se sustenta dicho versor. k V 3 γ V i k α j β V 2 j V 1 i Figura 1.12: Vector en la base de Hamilton 1.21 Expresión analítica en la notación de Hamilton de las operaciones entre vectores Suma de vectores Sea el vector u = u 1 i + u 2 j + u 3 k y el vector v = v 1 i + v 2 j + v 3 k El vector w suma de ambos, será: w = u + v = w 1 i + w 2 j + w 3 k = u 1 i + u 2 j + u 3 k + v 1 i + v 2 j + v 3 k = (u 1 + v 1 ) i + (u 2 + v 2 ) j + (u 3 + v 3 ) k, en donde: w 1 = u 1 + v 1 w 2 = u 2 + v 2 w 3 = u 3 + v 3 Las componentes del vector suma son iguales a la suma de las componentes de los vectores sumandos.

CAPÍTULO 1. VECTORES 21 Producto de un vector por un escalar Sea el vector u = u 1 i + u 2 j + u 3 k y el escalar λ El vector v = λ u será: v = λ u = v 1 i + v 2 j + v 3 k = λ (u 1 i + u 2 j + u 3 k) = λ u 1 i + λ u 2 j + λ u 3 k En donde: v 1 = λ u 1 v 2 = λ u 2 v 3 = λ u 3 Las componentes del vector producto de un vector por un escalar son iguales al producto del escalar por las componentes del vector. Producto escalar de vectores Sean los vectores u = u 1 i + u 2 j + u 3 k y v = v 1 i + v 2 j + v 3 k La expresión analítica de su producto escalar, teniendo en cuenta la distributividad respecto a la suma: u v = (u 1 i + u 2 j + u 3 k) (v 1 i + v 2 j + v 3 k) = u 1 v 1 i i + u 1 v 2 i j +u 1 v 3 i k +u 2 v 1 j i+u 2 v 2 j j +u 2 v 3 j k +u 3 v 1 k i+u 3 v 2 k j +u 3 v 3 k k Lo cual puede ser expresado en la siguiente forma matricial: u v = (u 1, u 2, u 3 ) i i i j i k j i j j j k k i k j k k Teniendo en cuenta las características ortonormales de la base { i, j, k} la matriz del centro queda convertida en: Con lo que el producto escalar nos queda: u v = (u 1, u 2, u 3 ) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3 = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3

CAPÍTULO 1. VECTORES 22 Recordemos que esta expresión es similar a la obtenida cuando los vectores eran expresados en bases recíprocas, con la ventaja en este caso de que aquí la base es única para los dos vectores. Producto vectorial Sean los vectores u = u 1 i + u 2 j + u 3 k y v = v 1 i + v 2 j + v 3 k La expresión analítica del producto vectorial, teniendo en cuenta la propiedad distributiva será: u v = (u 1 i+u 2 j+u 3 k) (v 1 i+v 2 j+v 3 k) = u 1 v 1 ( i i)+u 1 v 2 ( i j)+u 1 v 3 ( i k)+u2 v 1 ( j i)+u 2 v 2 ( j j)+u 2 v 3 ( j k)+u 3 v 1 ( k i)+u 3 v 2 ( k j)+u 3 v 3 ( k k) Expresión que en forma matricial adopta la forma: u v = (u 1, u 2, u 3 ) i i i j i k j i j j j k k i k j k k Dadas las propiedades de la base ortonormal, la matriz del centro será: 0 k j k 0 i j i 0 Y el desarrollo del producto vectorial da lugar a la siguiente expresión en forma de determinante: i j k u v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 Habiendo definido el producto vectorial para vectores geométricos con la expresión obtenida, ahora estamos en condiciones de comprobar la propiedad distributiva del producto vectorial con respecto a la suma de vectores. u ( v + w) = u v + u w v 1 v 2 v 3 En efecto: i j k u 1 u 2 u 3 (v 1 + w 1 ) (v 2 + w 2 ) (v 3 + w 3 ) = i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 + i j k u 1 u 2 u 3 w 1 w 2 w 3 La distributividad queda comprobada por la propiedad de los determinantes que nos dice que para sumar dos determinantes del mismo orden basta sumar dos filas o dos columnas correspondientes.

CAPÍTULO 1. VECTORES 23 Producto Mixto Sean los vectores u, v y w cuyas expresiones en la base de Hamilton son: u = u 1 i + u 2 j + u 3 k v = v 1 i + v 2 j + v 3 k w = w 1 i + w 2 j + w 3 k Efectuando la operación ( u v w) = ( u v) w obtendremos un desarrollo de 27 términos, cuyo resultado en forma abreviada resulta ser: ( u v w) = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 ( i j k) Teniendo en cuenta que el producto mixto ( i j k) de los tres vectores de la base de Hamilton da la unidad, nos queda: ( u v w) = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 Determinante cuyos elementos son todos escalares, y por tanto su valor será un escalar como corresponde a un producto mixto. Esta expresión del producto mixto en forma de determinante permitirá comprobar las propiedades de la conmutatividad circular ya vistas, en base ahora a las propiedades de los determinantes. Proyección de un vector sobre un eje Un eje es una recta orientada, que puede quedar definida mediante un vector unitario u que tenga por línea de acción la propia recta. Sea este vector unitario el u = cos α i + cos β j + cos γ k; donde las componentes son los cosenos directores de la recta. Sea el vector v a proyectar v = v 1 i + v 2 j + v 3 k. Recordemos que: P roy u v = v u Ya que: Por tanto: v u = v u cos α = v 1 cos α = v cos α P roy u v = v 1 cos α + v 2 cos β + v 3 cos γ

CAPÍTULO 1. VECTORES 24 Proyección de un vector sobre un plano Sea el plano π definido por el vector unitario u perpendicular a dicho plano. El módulo de la proyección de a sobre el plano π vale a sen α, lo cual nos encamina a pensar en el producto vectorial u a, ya que u a = 1 a sen α, pero u a nos aparece desviado como tal vector π/2 respecto a la verdadera proyección. Bastará entonces multiplicar u a vectorialmente por u, para corregir esos π/2 radianes y mantener su carácter vectorial. En definitiva: P roy π a = ( u a) u Y desarrollando la expresión del doble producto vectorial: P roy π a = ( u a) u = ( u u) a ( a u) u = a ( a cos α ) u α a u u a ( u a) u = Pr oy π a π Figura 1.13: Proyección de un vector sobre un plano 1.22 Derivada de un vector respecto a un escalar Sea un vector, o más propiamente una función vectorial v, la cual depende de un parámetro escalar u en la forma v = v (u) Definimos derivada del vector v con respecto al escalar u al límite ( si éste existe ) del

CAPÍTULO 1. VECTORES 25 cociente entre v (u + u) v (u) y u cuando u tiende a cero. d v du = lim v (u + u) v (u) u 0 u Interpretación geométrica Sea v 1 el valor que adopta el vector v (u) para el valor escalar u v 1 = v (u) Por otra parte sea v 2 el valor que adopta el vector v (u) para el escalar u + u v 2 = v (u + u) v1 = v( u) v 2 v1 v 2 = v( u + u) Figura 1.14: Interpretación geométrica de la derivada de un vector La derivada du d v será el valor que toma v 2 v 1 u la dirección de v 2 v 1 en el límite, es decir, será un vector que tiene Es interesante notar que aún suponiendo que el módulo del vector v (u) permanece constante al incrementarse el escalar u, existirá du d v siempre que haya un cambio en la dirección de v (u) Expresión analítica de la derivada de un vector Sea el vector v = x i + y j + z k, el cual si es función de un parámetro escalar u, lo es porque sus componentes son funciones de dicho parámetro escalar; en general: x = x (u) ; y = y (u) ; z = z (u) Luego el vector v se expresará propiamente como: v (u) = x (u) i + y (u) j + z (u) k