Black-Litterman vs. Markowitz: un ejercicio de optimización de portafolios de inversión en Colombia Carlos Mauricio Bernal Aguas Pontificia Universidad Javeriana Facultad Ciencias Económicas y Administrativas Maestría en Economía Bogotá, Febrero 2013
Black-Litterman vs. Markowitz: un ejercicio de optimización de portafolios de inversión en Colombia Carlos Mauricio Bernal Aguas Proyecto de Grado para optar el título de Magíster en Economía Asesor Diego Jara Ph.D Matemáticas Financieras Pontificia Universidad Javeriana Facultad Ciencias Económicas y Administrativas Maestría en Economía Bogotá, Febrero 2013 2
TABLA DE CONTENIDO LISTA DE FIGURAS... 4 LISTA DE TABLAS... 5 RESUMEN... 6 CAPÍTULO UNO... 7 INTRODUCCIÓN... 7 CAPÍTULO DOS... 10 TEORÍA DEL PORTAFOLIO... 10 CONSTRUCCIÓN DE UN PORTAFOLIO... 10 SELECCIÓN DE PORTAFOLIOS DESDE UN ENFOQUE DE MEDIA VARIANZA: MARKOWITZ... 12 SELECCIÓN DE PORTAFOLIOS DESDE UN ENFOQUE BAYESIANO: BLACK- LITTERMAN... 16 CAPÍTULO TRES... 21 APLICACIÓN DE LOS MODELOS DE MEDIA-VARIANZA Y BLACK-LITTERMAN EN COLOMBIA... 21 METODOLOGÍA... 21 DATOS... 24 CAPÍTULO CUATRO... 30 IMPLEMENTACIÓN DE LOS MODELOS... 30 CAPÍTULO CINCO... 38 CONCLUSIÓN... 38 BIBLIOGRAFÍA... 38 ANEXO 1... 42 ANEXO 2... 43 ANEXO 3... 44 3
LISTA DE FIGURAS Figura 1 Composición del Portafolio Fondo de Pensiones Obligatorias... 11 Figura 2 Frontera Eficiente... 14 Figura 3 Inferencia Bayesiana... 17 Figura 4 Composición del portafolio por tipo de activo... 26 4
LISTA DE TABLAS Tabla 1 Límites máximos de inversión por tipo de activo... 24 Tabla 2 Supuestos de rentabilidad TES Corto Plazo... 27 Tabla 3 Supuestos de rentabilidad TES Largo Plazo y Yankee 2027... 28 Tabla 4 Optimización Markowitz... 1 Tabla 5 Optimización Black-Litterman 1... 31 Tabla 6 Optimización Black-Litterman 2... 31 Tabla 7 Optimización Black-Litterman 3... 1 Tabla 8 Rentabilidad proyectada bajo cada metodología vs. la rentabilidad real dada la asignación estratégica de activos arrojada por cada modelo.... 32 Tabla 9 Desempeño portafolio Enero 2010- Junio 2012... 33 Tabla 10 Desempeño portafolio Enero 2010- Diciembre 2010... 34 Tabla 11 Desempeño portafolio Enero 2011- Diciembre 2011... 34 Tabla 12 Desempeño portafolios Enero 2012- Junio 2012... 35 Tabla 13 Coeficiente de correlación views y rentabilidad real de los activos.... 35 Tabla 14 Coeficiente de correlación entre rentabilidad real dada la asignación estratégica de activos de cada metodología y la rentabilidad proyectada por cada modelo.... 35 Tabla 15 Utilidad mensual del inversionista.... 36 5
RESUMEN Los administradores de portafolio emplean numerosas herramientas que ofrece la teoría moderna del portafolio para construir sus carteras de inversión teniendo como objetivo la maximización de su rentabilidad y/o minimización del riesgo. Los modelos más utilizados en la práctica para elaborar estrategias de inversión son el Black- Litterman y el Markowitz. El propósito de esta investigación es comparar el desempeño de los portafolios proyectados por el modelo de Markowitz y tres modelos de Black-Litterman utilizando diferentes expectativas de rentabilidad de los activos con datos mensuales de activos financieros del mercado colombiano desde enero de 2010 hasta junio de 2012. Los resultados de esta investigación confirman los beneficios de utilizar el enfoque del modelo Black-Litterman sobre la metodología de Markowitz; sin embargo el desempeño de los portafolios varía de acuerdo a los datos incluidos como expectativas de los activos. 6
CAPÍTULO UNO INTRODUCCIÓN La creciente oferta de nuevas opciones de inversión y las variaciones en la liquidez en los mercados financieros han promovido la creación de nuevos instrumentos y numerosas técnicas de inversión que les permite a los agentes de mercado diversificar y maximizar las rentabilidades de sus portafolios. En los últimos 60 años, numerosos trabajos teóricos y empíricos como los del Nobel de Economía Harry Markowitz (1952) y Fisher Black & Robert Litterman (1990) han contribuido a lo que hoy se conoce como la teoría moderna del portafolio que representa uno de los pilares de la economía financiera. La teoría moderna del portafolio argumenta que los inversionistas toman sus decisiones con base en el riesgo y rendimiento de un potencial portafolio. De esta manera, el riesgo de un portafolio, medido como variabilidad del retorno de la inversión, estará determinado por la incertidumbre presentada en los mercados y la composición de los activos. La teoría moderna del portafolio presenta a la diversificación basada en la correlación de los activos de un portafolio como estrategia para minimizar la volatilidad y los riesgos de la rentabilidad de una cartera o portafolio. Harry Markowitz publicó en 1952 su artículo Selección de Portafolio donde expone su teoría sobre cómo hallar la composición óptima de un portafolio de inversión tomando como base la rentabilidad histórica de los activos. Desde la publicación del modelo de Media-Varianza, Markowitz ha recibido numerosas críticas sobre los resultados del modelo. Las críticas más frecuentes son relacionadas con el supuesto de estabilidad de los activos financieros que asume que los activos se comportaran de manera similar a como lo hicieron en el pasado. Adicionalmente, se le critica que pequeños cambios en las rentabilidades esperadas generan modificaciones muy significativas en el portafolio óptimo. Las críticas al modelo de Markowitz, motivaron a Fisher Black y Robert Litterman a desarrollar una extensión del modelo Media-Varianza conocida como el modelo Black-Litterman, en adelante B-L. El modelo B-L parte de un portafolio de mercado o de equilibrio que permite incorporar las expectativas que tengan los inversionistas sobre cada activo que compone el portafolio. Así, los resultados de la optimización del modelo, están alineados con las perspectivas que tenga el administrador del portafolio. Actualmente, las tesorerías de entidades financieras como los fondos de pensión, fiduciarias, aseguradoras y bancas de inversión a través de sus gestores de portafolio analizan e identifican oportunidades de inversión para maximizar la rentabilidad dado un nivel de riesgo o minimizar el riesgo con un nivel de retorno dado para así cumplir sus objetivos de rentabilidad de inversión propuestos por la alta gerencia de sus compañías; para ello, utilizan los modelos de la teoría moderna del portafolio de Markowitz y Black-Litterman. Este documento analiza los resultados de ambos modelos en el mercado colombiano producto de la optimización de los portafolios de inversión bajo ambas metodologías. La motivación de esta investigación es proveer herramientas de decisión a un gestor de portafolios en 7
Colombia bajo un enfoque teórico y empírico sobre la metodología más adecuada para utilizar en una tesorería. En la literatura actual, se han realizado numerosos estudios que comparan teóricamente los modelos de Markowitz y Black-Litterman. Sin embargo y de acuerdo al conocimiento del autor, no existen estudios que comparen los resultados de la aplicación de ambos modelos en términos de la rentabilidad que se obtiene dada la asignación estratégica de activos proyectada por cada metodología. En Bolivia, Martinez (2010), realizó un estudio de la implementación del modelo B-L para las reservas internacionales del Banco Central de Bolivia y lo comparó los resultados con el modelo de Markowitz; concluyó sobre los beneficios de utilizar el B-L basado solo en la diversificación de los portafolios. De manera similar, Trujillo (2009) diseñó una investigación sobre la construcción y gestión de portafolios con el modelo Black-Litterman en Colombia para los fondos de pensiones, sus conclusiones relacionadas con las bondades de utilizar el B-L en lugar de la metodología de Markowitz son fundamentadas solo en la composición de los portafolios por tipo de activo. Por lo tanto, este Estudio se puede catalogar como novedoso en el sentido que realiza un análisis sobre la metodología más adecuada a utilizar basados en criterios de rentabilidad dada la asignación estratégica de activos de cada modelo. El objetivo de este trabajo es implementar los modelos de inversión de Media- Varianza y Black-Litterman para estudiar la existencia de ventajas estadísticas de un modelo sobre el otro. Se utilizaron datos similares para ambos modelos que contienen activos financieros del mercado colombiano durante periodos mensuales desde enero de 2010 hasta junio de 2012 con los datos disponibles en cada momento del tiempo. Para ello se ha seleccionado un perfil de un inversionista con riesgo moderado para conformar un portafolio óptimo mensualmente por cada metodología. De esta manera, se compararon las predicciones mensuales de los modelos con la rentabilidad real dada la asignación estratégica de activos de cada modelo y con el índice de capitalización bursátil Colcap como punto de referencia del desempeño de los portafolios. Posteriormente, se concluyó sobre la metodología más adecuada utilizando datos del mercado colombiano. En esta investigación, dada la estructura teórica de las metodologías analizadas, donde los resultados del modelo B-L dependen de los insumos utilizados como views, se realizaron tres optimizaciones bajo este modelo y una optimización de Markowitz para obtener evidencia robusta y suficiente sobre la metodología que produzca portafolios con mejor desempeño. Cada optimización bajo la metodología B-L contiene un conjunto de views con diferentes características; por lo tanto, el desempeño de los portafolios varía de acuerdo a los views utilizados como insumos de los modelos. Como respuesta a la dependencia de los resultados del modelo B-L a los views utilizados como insumo, se calculó un índice de calidad de los tres conjuntos de views como medida de comparación con las expectativas de rentabilidad calculas por el modelo de Markowitz. El índice representa el coeficiente de correlación de las expectativas de rentabilidad de los activos de cada modelo con su rentabilidad real. Este índice demuestra que de los tres conjuntos de views utilizados como insumo del modelo B-L, solo uno presenta un coeficiente de correlación mayor que el de 8
Markowitz; mientras que los otros dos conjuntos de views del B-L tienen una correlación menor. Como consecuencia de estos resultados, al analizar los tres modelos B-L y el de Markowitz, se asegura que los resultados sean comparables. Con los conjuntos views utilizados como insumo para este Estudio y en la periodicidad analizada, los resultados confirman la conveniencia de utilizar la metodología de Black-Litterman sobre la de Markowitz por presentar portafolios con mejor desempeño y resultados con mayor correlación con la rentabilidad real; lo cual permitiría a un gestor de portafolios cumplir con sus objetivos de inversión utilizando el modelo B-L en lugar del enfoque tradicional de Media-Varianza. Esta investigación se encuentra organizada en 5 secciones. La primera sección corresponde a la presente introducción. En la segunda sección se realiza una revisión teórica del modelo de Media-Varianza de Markowitz y del modelo Black- Litterman. En la tercera sección se describen los datos utilizados para la implementación de los modelos. Posteriormente, en la cuarta sección, se presentan los resultados de la optimización de los portafolios y la comparación de ambas metodologías. Por último, en la quinta sección, se presentan las conclusiones y comentarios finales de la investigación. 9
CAPÍTULO DOS TEORÍA DEL PORTAFOLIO Una de las principales dificultades que encuentran los inversionistas profesionales al momento de decidir en qué invertir su dinero es la amplia gama de alternativas de instrumentos de inversión que tienen disponible. Para tomar una decisión, se han establecido unos principios básicos para seleccionar instrumentos financieros que permitan obtener un portafolio eficiente, Lee (2000). Al tomar una decisión sobre un portafolio de inversión, se evalúa la proporción de dinero que se debe destinar a cada uno de los instrumentos financieros escogidos con el fin de maximizar la rentabilidad y disminuir el riesgo de la inversión. La teoría del portafolio ofrece herramientas para seleccionar combinaciones de activos financieros ya sea para maximizar la rentabilidad dado un nivel de riesgo o minimizar el riesgo dado un nivel de rentabilidad. Entre los métodos más empleados en la industria financiera se encuentran el modelo de media-varianza de Markowitz y el modelo Black-Litterman que permiten construir portafolios de inversión bajo el principio de la diversificación para mitigar el riesgo. CONSTRUCCIÓN DE UN PORTAFOLIO La construcción de un portafolio se estructura en tres fases: La primera fase implica la definición de los activos elegibles; la segunda fase consiste en definir las expectativas frente al rendimiento potencial y la determinación de la exposición al riesgo de cada activo financiero. En la tercera fase se seleccionan los activos y la proporción de inversión en cada uno. En esta fase se tiene en cuenta no solo la relación riesgo-retorno de cada activo financiero individualmente sino la relación que hay entre todos los activos representado por la covarianza. (Berggrun, 2009). Un ejemplo de la construcción de un portafolio se observa en la figura 1 donde se ilustra el portafolio de inversión de un fondo de pensiones obligatorias de perfil de riesgo moderado el cual está compuesto en su mayoría por títulos de deuda soberana (34.7%) y acciones (34.5%). 10
Figura 1 Composición del Portafolio Fondo de Pensiones Obligatorias Fuente: Skandia Colombia, (2012). Previo a la construcción de un portafolio, la teoría financiera considera que se deben tener en cuenta cuatro aspectos para determinar la composición de la inversión a realizar (Berggrun, 2009): Rentabilidad Se refiere a la variación del precio de un activo entre 2 periodos. Las mejores prácticas de mercado utilizan el logaritmo natural del cociente entre el precio de dos periodos de los activos tal como se observa en la siguiente fórmula: Donde P t es el precio actual y P t-1 es el precio del periodo anterior. La conveniencia de utilizar este rendimiento es expresar el rendimiento en términos continuos dado que entre P t-1 y P t hay muchos precios. Plazo Es el periodo de tiempo que dura un capital invertido desde una fecha inicial hasta el momento de su liquidación. Riesgo Se refiere a la posibilidad de no obtener los recursos esperados o tener pérdidas sobre la inversión realizada. En teoría del portafolio, la varianza o desviación 11
estándar de las rentabilidades son las medidas más aceptadas para cuantificar el riesgo de un activo o portafolio. Varianzas y Covarianzas entre los activos A través de la matriz de varianzas y covarianzas de los activos se mide la relación que hay entre los instrumentos que componen el portafolio para posteriormente identificar el grado de diversificación del portafolio. A este proceso de selección de activos y análisis de los factores descritos anteriormente para la construcción de un portafolio se le conoce como asignación estratégica de activos (Asset Allocation); donde su objetivo es crear una distribución de activos que maximice la rentabilidad dado un nivel de riesgo deseado o minimice el riesgo dado un nivel de rentabilidad. Este proceso conlleva la adopción de políticas que establecen los límites máximos de concentración en ciertos activos como mecanismo de monitoreo y control. La asignación estratégica de activos se lleva a cabo utilizando modelos de optimización de portafolios como el de Media- Varianza o el Black-Litterman. SELECCIÓN DE PORTAFOLIOS DESDE UN ENFOQUE DE MEDIA VARIANZA: MARKOWITZ La teoría del portafolio tiene como base el artículo publicado por Harry Markowitz titulado Selección de Portafolios en 1952. Previo a la publicación de Markowitz, las decisiones de inversión de portafolios se basaban en el análisis individual de los activos. Inversionistas como John Burr Williams (1938) argumentaban que el valor de un activo era igual al valor presente neto de los dividendos futuros y que para formar un portafolio el único criterio de selección debía ser la rentabilidad histórica de los activos. En contraste Markowitz (1952) argumentaba que dado que los dividendos futuros son desconocidos, el valor de un activo debería ser el valor presente neto de la rentabilidad futura y que para analizar un portafolio no era suficiente considerar las características individuales de los activos que lo componían. Por el contrario, argumentaba que dentro de los criterios para formar portafolios de inversión se debía tener en cuenta los movimientos conjuntos de los activos que conforman el portafolio representados por la covarianza entre los activos. Es decir, la varianza de un portafolio depende de la varianza de los activos y la covarianza entre los activos; por tal razón, al modelo presentado por Markowitz se le denominó el modelo de Media-Varianza. Este modelo ha servido como base de la teoría moderna del portafolio y es la principal referencia del modelo Black- Litterman. El modelo Media-Varianza asume que el administrador de portafolio tiene como objetivo encontrar un portafolio óptimo tal que maximice la rentabilidad al mínimo nivel de riesgo posible. Los datos necesarios para formar un portafolio óptimo son las expectativas de rentabilidad de cada activo medido como el promedio histórico de su rentabilidad, las varianza para cada activo y las covarianzas entre todos los activos del portafolio. La optimización del modelo puede ser formulada de dos maneras distintas pero equivalentes, las cuales se presentarán a continuación junto con su respectiva notación: 12
S 1, S 2, S n : Universo de activos R i : Retorno aleatorio del activo i. σ i: Desviación estándar del activo i. ρ ij : Coeficiente de correlación de los retornos de los activos S i y S j w i: Proporción de los fondos invertidos en el activo i. W=[w 1,.. w n ]: Vector de proporción de inversión en cada uno de los activos. σ 2 p: Varianza del portafolio. σ 2 M: Varianza del portafolio de mercado. : Retorno del portafolio. : Retorno del mercado. : Tasa Libre de riesgo : Vector de retornos esperados de los activos. δ: Parámetro de aversión al riesgo. Σ = σ ij : Matriz de Covarianzas con σ ii = σ 2 y σ ij= ρ ij * σ i *σ j Una vez explicada la notación del modelo, el retorno esperado y la varianza del portafolio W=[w 1,.. w n ] se puede expresar de la siguiente manera: Para calcular los posibles portafolios óptimos, el inversionista debería resolver cualquiera de los siguientes problemas de optimización: O Una vez se minimiza la varianza del portafolio dado un nivel de riesgo, o se maximiza la rentabilidad dado un nivel de riesgo se obtienen todas las posibles combinaciones riesgo y retorno tal como se observa en la figura 2. 13
Figura 2 Frontera Eficiente Fuente: Mankert (2006). La frontera eficiente se obtiene para el caso de la minimización de la varianza dado un nivel de retorno, optimizando los portafolios de inversión variando el nivel de retorno deseado. El portafolio óptimo se obtiene donde la razón de Sharpe sea mayor (ver sección Metodología para la explicación de la razón de Sharpe).En la anterior figura, todas las combinaciones a la derecha de la curva se podrían obtener, mientras que los portafolios ubicados en la izquierda de la curva no son factibles. A todos los portafolios ubicados sobre la curva se les denomina conjunto de mínima varianza dado que para cada nivel de retorno esperado, el punto sobre la curva representa la mínima varianza posible de obtener. Sin embargo, los portafolios ubicados en la parte superior de la curva son los únicos considerados como eficientes dado que para los portafolios ubicados en la parte inferior de la curva siempre será posible escoger otro portafolio con mayor retorno esperado y con el mismo nivel de riesgo. CRITICAS AL MODELO DE MEDIA-VARIANZA Desde un punto de vista teórico, el modelo propuesto por Markowitz permite construir portafolios eficientes. Desde que el modelo se hizo público en 1952, Harry Markowitz ha recibido numerosos elogios; incluso le fue otorgado el premio del Banco de Suecia en Ciencias Económicas en memoria de Alfred Nobel y es considerado el padre de la teoría moderna del portafolio. Sin embargo, han surgido críticas respecto a la aplicación del modelo dentro de las cuales se encuentran: El modelo de Media-Varianza no tiene en cuenta las capitalizaciones de mercado de los activos del portafolio (Mankert, 2006). Esto implica que si activos con baja capitalización bursátil tienen un retorno esperado significativamente alto, la asignación estratégica de activos estará muy concentrada en dicho activo. Black y Litterman (1992) afirman que los optimizadores del modelo de Markowitz maximizan errores La justificación de la anterior afirmación parte de base que el modelo no contempla estimaciones correctas de los retornos esperados o sus covarianzas por lo tanto están sujetos a errores de estimación. El modelo de Markowitz utiliza datos históricos para producir medias muéstrales para utilizarlas como los retornos esperados Michaud (1989). 14
De acuerdo a Michaud (1989) el modelo es inestable ya que pequeños cambios en los insumos producen cambios significativos en las ponderaciones óptimas arrojadas por el modelo. El modelo original de Media-Varianza produce en ocasiones asignaciones estratégicas de activos no racionales para un administrador de portafolio. Por ejemplo, altas posiciones en corto. En la práctica, las políticas de inversión de entidades financieras no permiten realizar este tipo de operaciones Black y Litterman (1992). El modelo requiere tener una expectativa de retorno sobre el universo de activos. En la práctica, los administradores de portafolio no cuentan con la información suficiente para estimar la rentabilidad del universo de activos. 15
SELECCIÓN DE PORTAFOLIOS DESDE UN ENFOQUE BAYESIANO: BLACK- LITTERMAN El modelo Black-Litterman es presentado como una alternativa para la asignación estratégica de activos al enfoque tradicional de Media-Varianza. Las críticas recibidas por numerosos economistas y administradores de portafolio al modelo de Markowitz motivaron a Fisher Black y a Robert Litterman a proponer en 1992 una nueva alternativa de estimar los retornos esperados de los activos en su paper Global Portfolio Optimización publicado en el Financial Analyst Journal. Sin embargo, el modelo B-L comparte la misma base teórica del enfoque tradicional de Media-Varianza y solo difiere en la inclusión de las perspectivas de la rentabilidad de los activos. En las siguientes secciones se exponen los fundamentos teóricos del modelo B-L y la derivación del modelo. INFERENCIA BAYESIANA La inferencia bayesiana es un enfoque alternativo para el análisis estadístico de datos que contrasta con los métodos convencionales de inferencia y es el fundamento teórico del modelo B-L dado que permite estructurar y modelar probabilidades subjetivas en la construcción de portafolios. La principal diferencia entre la estadística clásica y la bayesiana es el concepto de probabilidad ya que para la estadística clásica es un concepto objetivo, mientras que para la estadística Bayesiana es un concepto subjetivo. El teorema de Bayes es la base de la inferencia bayesiana y se modela de la siguiente forma: Donde: P(A) Corresponde a la probabilidad a priori, Corresponde a la probabilidad conjunta de B dado A y Corresponde a la probabilidad a posteriori Por lo tanto, según Lee (1997) la aplicación de la inferencia bayesiana consta de tres etapas tal como se observa en la figura 3: Inicialmente se especifica una distribución de probabilidad que incluye el conocimiento previo (distribución a priori) sobre los parámetros del modelo. Posteriormente, se actualiza el conocimiento previo sobre los parámetros desconocidos condicionado a la probabilidad de los datos observados (se aplica el teorema de Bayes) y finalmente se evalúa el ajuste del modelo a los datos produciendo una distribución a posteriori. 16
Figura 3 Inferencia Bayesiana Distribución apriori Fuente: Castillo (2006) Teorema Bayes Distribución a posteriori La inferencia bayesiana permite actualizar la asignación probabilística inicial o previa en los casos que se tengan nuevas observaciones. El teorema de Bayes es el puente para pasar de una probabilidad a priori o inicial, P(A), de una hipótesis H a una probabilidad a posteriori o actualizada, P(A B), basado en una nueva observación B. De acuerdo a Castillo (2009), la inferencia bayesiana permite a los administradores de portafolio combinar información previa de varias fuentes sobre ciertos activos con información histórica sobre los retornos de los mismos activos y producir una distribución diferente que permite tomar decisiones de inversión. MODELO BLACK-LITTERMAN Desde su publicación en 1992, el modelo de asignación estratégica de activo de Black-Litterman se ha aplicado frecuentemente en numerosas entidades financieras (He, 2009). La principal característica de este modelo es que permite combinar las perspectivas de los activos que tenga el gestor del portafolio con el portafolio de mercado El modelo provee el conjunto de retornos esperados de todos los activos y al igual que el modelo de Media-Varianza, una vez se minimiza la varianza dado un nivel de riesgo, se obtienen todas las posibles combinaciones riesgo y retorno para poder hallar la asignación óptima de los activos del portafolio tal como se observa en la figura 2. El modelo B-L parte de una distribución prior o un portafolio de referencia y de las perspectivas de los activos que tenga el inversionista 1. A la distribución prior se le denomina portafolio de mercado y usualmente se puede calcular de acuerdo a la teoría CAPM (Capital Asset Pricing Model) 2 ; sin embargo, el gestor del portafolio puede utilizar un benchmark o portafolio de referencia según sus preferencias. La distribución a posteriori resultante de la aplicación del modelo B-L diverge de la distribución prior dependiendo de las expectativas de mercado que tenga el inversionista sobre cada uno de los activos que componen el portafolio. A continuación se presenta la derivación del modelo B-L utilizando la misma notación que el enfoque Media-Varianza: Portafolio de Mercado Supongamos que la función de utilidad de un inversionista es: 1 Las perspectivas de mercado o views se puden expresar de manera absoluta o relativa. 2 El anexo 2 explica la derivación del Capital Asset Pricing Model 17
Y que el objetivo del inversionista es maximizar su utilidad. Por lo tanto, el problema de optimización se convierte en: Utilizando las soluciones de optimización de multiplicadores de Lagrange, se obtiene la derivada parcial respecto a W y posteriormente se iguala a cero para obtener la proporción óptima del portafolio de mercado utilizando la capitalización de mercado 3. Entonces, Donde, que es una medida de aversión al riesgo calculada como el exceso de retorno del mercado sobre la varianza del mercado. Para seguir con la notación del modelo B-L, llamaremos a R retornos de equilibrio (Π). La anterior ecuación puede interpretarse como los retornos de los mercados de capitales que hacen que el mercado este en equilibrio, es decir que igualan la oferta y la demanda de los activos financieros (portafolio de mercado). Expectativas de Mercado: Views Los retornos esperados del modelo B-L divergen del portafolio de mercado dependiendo de los views o proyecciones que tenga el inversionista o gestor del portafolio sobre los activos. A diferencia del enfoque de Media-Varianza, en el modelo B-L no es necesario tener views de todos los activos que componen un portafolio He (2009).Para propósitos de modelación, la matriz Q representa el vector de views sobre los activos, mientras que la matriz P que asocia los views a cada activo: Donde representa los views. 3 La capitalización de mercado se refiere a la dimención económica de una empresa en el mercado de valores. 18
Donde representa el activo al cual pertenece el view. A manera de ejemplo y para clarificar la inclusión de los views en el modelo B-L, supongamos un portafolio compuestos por 3 activos A,B,C y los siguientes views: View 1: El próximo mes el activo A tendrá una rentabilidad de 4% View 2: El próximo mes el activo B tendrá una rentabilidad superior en 2% que el activo C Entonces Q y P se modelan de la siguiente manera: Las filas en Q representan los views que se tienen sobre los activos A,B,C para el próximo mes, mientras que cada fila en P es la asociación del view a cada activo. Nótese que la primera perspectiva de mercado es una opinión absoluta mientras que la segunda es una opinión relativa. Esto implica que la suma de los elementos de las filas en la matriz P debe sumar uno para las opiniones absolutas y para las opiniones relativas debe sumar cero. Al hablar de retornos esperados, implícitamente se habla de un riesgo o incertidumbre asociado a los posibles retornos. Las proyecciones de mercado o views no son 100% fiables y pueden presentar variaciones respecto de su proyección inicial y se representan de la siguiente forma:, Donde es el componente error que representa las desviaciones respecto del view. De acuerdo a Litterman (1992), el componente error presenta una distribución normal con media cero y varianza Ω. Media Ω = Varianza (Incertidumbre) Donde Ω= τ P Σ equivale a la incertidumbre y de manera equivalente es la certeza sobre los views. En su investigación, He y Litterman (1999) supone que el parámetro τ equivale a 0.025 y representa el grado de incertidumbre de los views del inversionista. Retornos Esperados Hasta el momento se han explicado los dos elementos básicos del modelo Black- Litterman, Π (portafolio de mercado) y Q (views). Una vez se establezcan las 19
opiniones sobre los activos y se aplique el modelo Black-Litterman, se generan los retornos esperados. Los retornos esperados del modelo Black-Litterman son un promedio ponderado del portafolio de mercado y los views; el cual es hallado midiendo la confianza que se tiene sobre el portafolio de mercado, Π, y sobre los views, Q, de la siguiente manera: Donde, Ponderación o confianza sobre, = Ponderación o confianza sobre de Q. Recordemos que en el problema de optimización de un inversionista la suma de las proporciones invertidas en cada activo debe sumar uno. Por lo tanto, para asegurar que la anterior ecuación cumpla esta restricción, se le debe multiplicar por el siguiente término: De acuerdo a lo enunciado anteriormente, la distribución a posteriori resultante de la aplicación del modelo Black-Litterman se resume en la siguiente fórmula: Como se mencionó al inicio de esta sección, el modelo B-L solo difiere del enfoque tradicional de Media-Varianza en las perspectivas de la rentabilidad de los activos. Una vez se obtienen las perspectivas de rentabilidad de los activos con la formula Black-Litterman, se procede a realizar la optimización del portafolio de inversión. 20
CAPÍTULO TRES APLICACIÓN DE LOS MODELOS DE MEDIA-VARIANZA Y BLACK-LITTERMAN EN COLOMBIA Para la toma de decisiones de asignación estratégica de activos, los inversionistas combinan numerosas fuentes de información y resultados de diferentes modelos para tomar decisiones sustentadas teóricamente. De acuerdo con Lee (2000), el procesamiento de la información, la combinación de los modelos y opiniones son fundamentales para la toma de decisiones. En esta sección, se seguirán las etapas sugeridas por Lee (2000) para evaluar la efectividad de la aplicación de las metodologías de Media-Varianza y Black-Litterman en el caso colombiano. El análisis de la efectividad de los modelos se realizará en términos del desempeño de los portafolios bajo cada metodología. En la primera parte de esta sección, se expondrá la metodología escogida para evaluar la efectividad de la aplicación de los modelos de asignación estratégica de activos en Colombia y finalmente se describirán los datos escogidos. METODOLOGÍA Para esta investigación se aplicaron los modelos de Media-Varianza de Markowitz y el de Black-Litterman con datos de activos financieros del mercado colombiano tomando como referencia o benchmark el índice de capitalización bursátil COLCAP. El objetivo de esta investigación es evaluar qué metodología modela portafolios con mejor desempeño basado en la rentabilidad real dada la asignación estratégica de activos arrojada por cada modelo. Para tal efecto, se realizaron optimizaciones mensuales con los datos que se tenían a fechas de corte desde enero de 2010 a junio de 2012. Se comparó el desempeño de los portafolios del modelo de Media-Varianza de Markowitz contra tres modelos de Black-Litterman que contienen diferentes views; también se comparó con el índice de referencia COLCAP para poder obtener una conclusión más robusta sobre la mejor metodología de optimización de portafolio a aplicar en el mercado colombiano. Para realizar la comparación de las metodologías, se aplicaron las medidas de desempeño de portafolios de Sharpe, Treynor y Alfa Jensen con una periodicidad mensual en diferentes coyunturas económicas. Adicionalmente, se modelaron los resultados bajo una función de utilidad de un inversor con perfil de riesgo moderado que representa la relación inversa entre rentabilidad-riesgo. Los criterios de comparación de portafolios se explican a continuación: Índice de Sharpe El índice de Sharpe fue llamado así en honor a su creador, el economista William Sharpe. El índice es una medida del exceso de rendimiento por unidad de riesgo de una inversión, la cual indica cual ha sido el rendimiento promedio que ha obtenido un portafolio por unidad de riesgo adquirido. El índice de Sharpe es calculado de la siguiente forma: 21
Donde, = Rendimiento mensual del portafolio, = Tasa libre de riesgo, = Riesgo del portafolio, calculado como la desviación estándar del portafolio. = Índice de Sharpe. El índice de Sharpe mide el rendimiento en exceso sobre la tasa libre de riesgo de un portafolio por unidad de riesgo. Por lo tanto, entre mayor sea el índice de Sharpe, mejor desempeño presenta el portafolio. En esta investigación se calculó el índice de Sharpe con una periodicidad mensual. Índice de Treynor Al igual que el índice de Sharpe, el índice de Treynor es una medida de desempeño de portafolios que indica el rendimiento de un portafolio por unidad de riesgo adquirida. El índice utiliza como medida de riesgo el parámetro β calculado por el modelo CAPM, Capital Asset Pricing Model (para explicación del cálculo del β ver anexo 2), el cual es un índice de componente del riesgo de mercado. La siguiente es la expresión matemática del índice: = Rendimiento mensual del portafolio, = Tasa libre de riesgo, = Riesgo del portafolio calculado por el modelo CAPM, = Índice de Treynor. El índice de Treynor mide el rendimiento de un portafolio por unidad de riesgo representado por el β. Un índice de Treynor mayor representa un mejor desempeño del portafolio. En esta investigación se calculó el índice de Sharpe con una periodicidad mensual. Alfa Jensen El Alfa Jensen es definido como la diferencia de la rentabilidad de un portafolio y la de un índice de referencia o benchmark dada la misma cantidad de riesgo. Su expresión matemática es la siguiente: Donde representa el índice Alfa Jensen que es la medida de desempeño creada por Michael Jensen y es el retorno del mercado. Los inversionistas tendrán preferencias sobre un Alfa Jensen mayor. Al igual que en los índices anteriormente explicados, se calculó el Alfa Jensen con una periodicidad mensual. 22
Función de Utilidad La función de utilidad escogida representa la relación inversa entre el riesgo y la rentabilidad de un inversor con perfil de riesgo moderado. Es otra medida de comparación entre los resultados arrojados bajo cada metodología. La función de utilidad se representa a continuación: Donde = Rentabilidad del portafolio p en el tiempo t. p= (Markowitz, BL-1,BL-2 o BL-3) A= Parámetro de Aversión al riesgo, Una vez se optimizaron los portafolios de inversión bajo cada metodología, se aplicó la función de utilidad, con una periodicidad mensual, a cada uno de los portafolios óptimos para determinar la utilidad del inversionista dada la utilidad real obtenida. representa la rentabilidad real de cada portafolio dada la asignación estratégica de activos de cada metodología en el tiempo t. Mientras que el parámetro A mide la aversión al riesgo del inversionista; si A < 1, el inversionista es amante al riesgo. Por el contrario, si A>1, el inversionista es averso al riesgo. Periodos de Comparación Las medidas de desempeño de portafolio y la función de utilidad mencionada anteriormente se aplicaron sobre cada uno de los cuatro modelos en diferentes periodos de tiempo con el fin de determinar el desempeño de los portafolios en diferentes coyunturas económicas durante los siguientes periodos: - Enero 2010 Junio 2012 - Enero 2010 Diciembre 2010 - Enero 2011 Diciembre 2011 - Enero 2012 Junio 2012 La razón por la cual se escogieron estos periodos para la comparación de las metodologías surge por la periodicidad de los datos escogidos para esta investigación, los cuales se explicaran en la siguiente sección. 23
DATOS Para la implementación de la optimización de portafolios bajo el modelo de Markowitz y los tres modelos de Black-Litterman desarrollados en esta investigación, se seleccionaron datos y activos representativos en los cuales un fondo de pensiones obligatorias con riesgo moderado podría invertir (ver anexo 3 para la descripción de los datos utilizados). Los cuales se resumen a continuación: - Límites de inversión, - Índice de Referencia COLCAP, - Activos renta variable: Ecopetrol, Preferencia Bancolombia, Grupo Sura, Inverargos, ISA, - Activos renta fija: TES corto plazo y TES largo plazo, - Money Market en Dólares, - Inversión Moneda Extranjera: Yankee 2027, - Tasa libre de riesgo, - Distribución Prior B-L, - Views B-L1, B-L2, y B-L3 La historia de los datos se obtuvo a partir de enero de 2008 dado que desde esta fecha se creó el índice de capitalización bursátil COLCAP, que es el índice de referencia de comparación en esta investigación. A partir de enero de 2010, se empezaron a optimizar los portafolios de inversión de manera mensual bajo las metodologías de Markowitz y Black-Litterman por contar con suficiente información muestral y estadística que respalde los cálculos realizados. A continuación se describen los datos utilizados para desarrollar esta investigación: Limites de Inversión Con el fin de escoger el universo de activos para realizar la optimización de los portafolios de cada uno de los modelos, se eligió un inversionista con un perfil de riesgo moderado. Una aproximación al perfil de riesgo de este inversionista es un fondo de pensiones obligatorias con riesgo moderado. De acuerdo con la descripción del Fondo de Pensiones con riesgo moderado de Skandia Colombia (2012), este tipo de fondo busca el crecimiento del capital mediante inversiones en renta fija, renta variable e inversiones alternativas de acuerdo con lo determinado por la ley y establece los siguientes límites de inversión: Tabla 1 Límites máximos de inversión por tipo de activo Tipo Activo Inversión Máxima Renta Fija 60% Renta Variable 45% Inversión Moneda Extranjera 60% Efectivo 10% Fuente: Skandia Colombia, (2012). Las políticas de inversión mencionadas anteriormente son muy similares en todos los fondos de pensiones obligatorias en Colombia, por lo que representan a un 24
inversor promedio con perfil de riesgo moderado 4. Estas restricciones se incluyeron en los modelos de optimización de portafolios desarrollados en esta investigación. Índice de Referencia (Benchmark): Para comparar el desempeño de los portafolios contra una referencia, se eligió el índice de capitalización bursátil COLCAP. Este índice refleja las variaciones de los precios de las 20 acciones con mayor capitalización bursátil de la Bolsa de Valores de Colombia (BVC). Su primer cálculo se realizó el 15 de enero de 2008 y su valor inicial fue de 1.000 puntos. La fuente de los datos para el modelo es Bloomberg. Renta Variable: Las acciones elegidas comparten las siguientes características: Pertenecen al COLCAP desde su creación y son clasificadas como de alta bursatilidad desde Enero de 2008 a Junio de 2012. Los precios de las siguientes acciones elegidas se tomaron de Bloomberg: Renta Fija: a. Ecopetrol b. Preferencial Bancolombia c. Grupo Suramericana d. Inverargos e. ISA Los activos financieros de renta fija elegidos corresponden a instrumentos de deuda pública TES clase B tasa fija. Para efectos de incluir la totalidad de los TES clase B tasa fija en los modelos, se dividieron en 2 canastas siguiendo la metodología de la Encuesta de Opinión Financiera de Fedesarrollo y la Bolsa de Valores de Colombia,BVC 5 : TES de corto plazo y TES de largo plazo. Los datos fueron obtenidos de INFOVAL 6. Money Market en Dólares: Para efectos de esta investigación, el efectivo o Money Market es un activo que representa una inversión en dólares (COP/USD), tiene un rendimiento igual que la LIBOR de un mes y su precio es convertido a pesos utilizando la Tasa Representativa del Mercado COP/USD, TRM, de inicios de cada mes. Las series de la LIBOR de un mes fueron tomadas de Bloomberg mientras que la fuente de la TRM es la Superintendencia Financiera de Colombia. 4 Para obtener esta conclusión, se consultaron los límites de inversión máxima de los siguientes fondos de pensiones obligatorias con riesgo moderado en Colombia: Protección, Colfondos, Skandia y Porvenir. 5 En la Encuesta de Opinión Financiera, EOF, se agrupan los TES en 2 canastas dependiendo de su tiempo de maduración: Corto Plazo y Largo Plazo. El criterio para diferenciarlos es 3 años. Para efectos de esta investigación, se re-balancearon las canastas de TES todos los meses para seguir la metodología de la EOF. 6 INFOVAL es un sistema proveedor de información para valoración de portafolios en Colombia, cuenta con el apoyo de Bolsa de Valores de Colombia. 25
Inversión en Moneda Extranjera: Se eligió el Yankee con fecha de vencimiento 2027 por estar vigente durante el periodo de análisis de esta investigación. Los Yankees son títulos de deuda pública externa denominados en dólares de Estados Unidos de América y su data fue obtenida de la página de investigaciones económicas del Grupo AVAL. Tasa Libre de Riesgo: La tasa libre de riesgo es una construcción teórica, para la cual frecuentemente el sector financiero usa la tasa de expansión del Banco de la República (Jara, 2006). La fuente de esta tasa es: Banco de la República, Subgerencia Monetaria y de Reservas, Mesa de Dinero. Distribución Prior: Para la aplicación del modelo B-L se realizó el siguiente supuesto: El portafolio de referencia o de mercado se calculó obteniendo el promedio de la composición histórica de los portafolios de inversión por tipo de activo del Fondo de Pensiones Skandia riesgo moderado expuesto en la figura 4. Figura 4 Composición del portafolio por tipo de activo 8% 5% Renta Variable 40% Renta Fija 47% Renta Fija Extranjera Efectivo Fuente: Skandia Colombia, (2012). El portafolio de referencia (figura 4) se ajustó al universo de activos de renta variable escogidos para esta investigación por medio de la capitalización bursátil mensual para determinar su participación en el portafolio. Los activos de renta fija se ajustaron por medio de un balance mensual de la canasta de los TES de corto plazo y largo plazo teniendo en cuenta el número de instrumentos, mientras que los activos de renta fija extranjera y efectivo mantuvieron una participación constante durante todos los periodos analizados del 5% y 8% respectivamente. Para efectos de esta investigación y dada la composición promedio por tipo de activo de un inversor con perfil de riesgo moderado, se supone que el portafolio construido refleja la asignación estratégica de activos de un Inversor con perfil de riesgo moderado. Views o Perspectivas de Mercado: Durante esta investigación se optimizaron portafolios de inversión utilizando tres modelos de Black-Litterman con diferentes sets de views. Es importante resaltar que según la teoría de B-L no es necesario obtener expectativas para todos los activos 26
que componen un portafolio Mankert (2006). Los views para cada modelo B-L se describen a continuación 7 : - Views del modelo Black-Litterman 1: Los activos para los cuales se tuvo opiniones sobre la rentabilidad del siguiente mes con datos a fecha de corte son: Ecopetrol, Preferencial Bancolombia, Grupo Suramericana, Yankee 2027 y el Money Market. Mientras que para los siguientes activos no se tenían expectativas: Inverargos, ISA, Tes Corto Plazo y Tes Largo Plazo. o Renta Variable y Yankee 2027: Los views de las acciones se obtuvieron utilizando las siguientes herramientas que provee el análisis técnico: Gráfico de Velas, Canales de Tendencia, Bandas de Bollinger, Promedios Móviles, Indicador de Fuerza Relativa (RSI), Autoregresiones y Retrocesos de Fibonacci. Las definiciones de las técnicas utilizadas se encuentran en el Anexo 1. o Money Market: Para efectos del modelo, el rendimiento del Money Market se convirtió de Dólares a Pesos colombianos utilizando la TRM. Para la proyección de esta variable, se utilizaron los puntos Forward a un mes tomado de Bloomberg. - Views del modelo Black-Litterman 2: Los activos para los cuales se tuvo opiniones sobre la rentabilidad del siguiente mes con datos a fecha de corte son: Ecopetrol, Preferencial Bancolombia, Grupo Suramericana, Inverargos, ISA, TES Corto Plazo, TES Largo Plazo y Yankee 2027. Mientras que para el Money Market no se tuvo expectativas. o Renta Variable: La predicción de la rentabilidad de las acciones se calculó utilizando la técnica CAPM la cual se explica en el Anexo 2. o TES Corto Plazo: Basados en las expectativas de inversión para el próximo mes de la Encuesta de Opinión Financiera donde se presenta el balance neto de los administradores de portafolio que esperan tener posiciones cortas o largas sobre los TES de corto plazo, se realizaron los siguientes supuestos: Tabla 2 Supuestos de rentabilidad TES Corto Plazo TES Corto Plazo Rentabilidad Si el neto es mayor a 50% 3% Si el neto es menor a 50% 2% Si el neto es mayor a - 50% -2% Si el neto es menor a - 50% -1% Un balance neto positivo significa que los administradores de portafolio esperan tener posiciones largas sobre los TES de Corto Plazo, mientras que un balance negativo significa que los administradores de 7 Una de las principales ventajas del modelo B-L es que no es necesario que el gestor de portafolio tenga perspectivas sobre la totalidad de los activos que se incluyen en el modelo. 27
portafolio esperan tener posiciones cortas sobre los TES de Corto Plazo. o TES Largo Plazo y Yankee 2027: Basados en las expectativas de inversión para el próximo mes de la Encuesta de Opinión Financiera donde se presenta el balance de los administradores de portafolio que esperan tener posiciones cortas o largas sobre los TES de Largo Plazo y sobre los bonos de deuda pública en moneda extranjera, se realizaron los siguientes supuestos: Tabla 3 Supuestos de rentabilidad TES Largo Plazo y Yankee 2027 TES Largo Plazo Rentabilidad Si el neto es mayor a 50% 5% Si el neto es menor a 50% 3% Si el neto es mayor a -50% -4% Si el neto es menor a -50% -2% Un balance positivo significa que los administradores de portafolio esperan tener posiciones largas sobre los TES de Largo Plazo y sobre los bonos de deuda pública en moneda extranjera, mientras que un balance negativo significa que los administradores de portafolio esperan tener posiciones cortas. - Views del modelo Black-Litterman 3: Los activos para los cuales se tuvo opiniones sobre la rentabilidad del siguiente mes con datos a fecha de corte son: Ecopetrol, Preferencial Bancolombia, Grupo Suramericana, Inverargos, ISA, TES Corto Plazo y TES Largo Plazo. Mientras que para los siguientes activos no se tenían expectativas: Money Market y Yankee 2027. o Renta Variable: Teniendo en cuenta las expectativas macroeconómicas de la Encuesta de Opinión Financiera que presenta las opiniones mensuales de los administradores de portafolio sobre si el mercado de acciones en Colombia se encuentra Sobrevalorado, Subvalorado o al Precio Justo, y con base en el promedio y desviación estándar histórico de cada acción para cada mes, se calculó la rentabilidad esperada de la siguiente manera: + - Donde, = Rentabilidad del activo i en el mes t. = Promedio histórico del activo i en el mes t. = Desviación estándar del activo i en el mes t. = Porcentaje administradores de portafolio que opinan que el mercado de acciones colombiano se encuentra a su precio justo en el mes t. = Porcentaje administradores de portafolio que opinan que el mercado de acciones colombiano se encuentra subvalorado en el mes t. 28
= Porcentaje administradores de portafolio que opinan que el mercado de acciones colombiano se encuentra sobrevalorado en el mes t. o TES Corto Plazo y Largo Plazo: Teniendo en cuenta las expectativas macroeconómicas de la Encuesta de Opinión Financiera que presenta las opiniones de los administradores de portafolio sobre las expectativas del comportamiento de la tasa de interés 8 para el próximo mes, se procedió a calcular la rentabilidad esperada de la siguiente manera: + - - Donde, = Porcentaje de administradores de portafolio que esperan que la tasa de interés se mantenga estable. = Porcentaje de administradores de portafolio que esperan que la tasa de interés aumente. = Porcentaje de administradores de portafolio que esperan que la tasa de interés disminuya. 8 De acuerdo a la regla de Taylor, las expectativas de tasa de interés están influenciadas por las expectativas de crecimiento económico y las expectativas de la inflación tal como se observa en la siguiente ecuación: donde Π es la inflación y Y es el crecimiento económico. 29
IMPLEMENTACIÓN DE LOS MODELOS CAPÍTULO CUATRO La optimización de los portafolios bajo ambas metodologías se realizó con las herramientas proporcionadas por Microsoft Excel 2007. En total se realizaron 120 optimizaciones de portafolios; es decir 30 optimizaciones por cada modelo correspondiente a los periodos analizados para esta investigación con los datos explicados anteriormente. Los modelos de Media-Varianza de Markowitz y de Black- Litterman se implementaron siguiendo la metodología explicada anteriormente. Es importante mencionar nuevamente que el modelo de Media-Varianza comparte la misma base teórica del Black-Litterman y solo difiere en la inclusión de las perspectivas de la rentabilidad de los activos. Por lo tanto, al obtener el comportamiento esperado de la rentabilidad de los activos bajo cada metodología 9, se procedió a minimizar la varianza del portafolio dado un nivel de riesgo para obtener todas las posibles combinaciones riesgo y retorno; formando así la frontera eficiente para cada metodología y para cada mes. El portafolio óptimo dentro de la familia de portafolios que componen la frontera eficiente se escogió basado en el criterio de la maximización de la razón de Sharpe. A manera de ejemplo, se presenta la optimización de los portafolios para el mes de junio de 2010 para cada metodología: Tabla 4 Optimización Markowitz 1 2 3 4 Retorno en Exceso 0.48% 0.75% 0.90% 1.00% Desviación Estándar 1.30% 1.83% 1.89% 2.13% Tasa Libre Riesgo 0.25% 0.25% 0.25% 0.25% Razón Sharpe 0.367 0.411 0.476 0.470 Ecopetrol 0.98% 1.56% 0.00% 0.00% PFBancolombia 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% Grupo Sura 0.37% 0.00% 0.00% 0.00% Inveragos 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% ISA 15.69% 0.00% 37.39% 42.87% TES Corto Plazo 60.00% 60.00% 52.61% 47.13% TES Largo Plazo 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% MM COP 10.00% 0.00% 10.00% 10.00% Yankee 2027 12.96% 38.44% 0.00% 0.00% Fuente: Cálculos del autor Portafolio Óptimo 9 Los retornos esperados en el modelo de Markowitz se obtienen a partir del cálculo del promedio histórico de la rentabilidad de los activos, mientras que los retornos esperados en el modelo B-L se obtienen por medio de la formula B-L la cual incluye las expectativas que el gestor de portafolios tenga sobre los activos. 30