SISTEMAS DE PARTICULAS

SISTEMAS DE PARTICULAS Las masas m kg y m 6 kg están unidas por una barra rígida de masa despreciable. Estando inicialmente en reposo se hallan bao la acción de las fuerzas F 8i ˆ y F 6 ˆ. Hallar las coordenadas de su centro de masas como función del tiempo. Expresar el momento lineal en función del tiempo. F 3 m y m 4 m m x F Solución: I.T.I. 96, 98, 3, I.T.T. 3 La posición inicial del C.M. será: r c.m., m r, r, 3 m, 5 8, La elocidad inicial del C.M. es nula ya que las dos partículas parten del reposo. La aceleración del C.M. es: F + F ( m ) a c.m. a c.m. F + F m, 3 8, El C.M. a a realizar por lo tanto un moimiento uniformemente acelerado: r c.m. r c.m., + a c.m. t 6 + t 4, 3 + 3t 6, El momento lineal inicial es nulo (por encontrarse en reposo las partículas), el momento lineal final será igual al impulso comunicado por las fuerzas externas: P ( t) t ( F + F )dt ( F + F )t ( 8t, 6t, ) (todos los resultado expresados en unidades del S.I.) Física Tema Página

Una granada que llea una elocidad de m/s estalla diidiéndose en dos fragmentos. El mayor de estos, cuya masa representa el 6% del total de la masa de la granada sigue moiéndose en la misma dirección que antes, pero su elocidad aumenta hasta 5 m/s. Hallar la elocidad del fragmento menor. Solución: I.T.I., 4, I.T.T., 4 Llamemos m a la masa de la granada, m a la del fragmento mayor, y m a la del fragmento menor, y sean, y sus elocidades respectias. Aplicando la conseración del momento lineal: m m En esta ecuación los ectores y tienen la misma dirección, con lo que el ector estará dirigido también en la misma dirección. Reescribiendo la ecuación pero ahora sólo con la componentes de los ectores a lo largo de dicha dirección de moimiento: m m m m m m m m m.5 m / s Según el resultado el segundo fragmento se moerá según la dirección original pero en sentido contrario (dado el signo negatio). Un proyectil se dispara desde un cañón con elocidad de 48 m/s con un ángulo de 6º con la horizontal. El proyectil explota en dos fragmentos de igual masa 5 s después de haber abandonado el cañón. Uno de los fragmentos cuya elocidad inicial es nula cae erticalmente. A qué distancia del cañón cae el otro fragmento suponiendo el terreno nielado? Solución: I.T.I. 3, I.T.T. 3 Si tomamos el origen de coordenadas en la situación del cañón y ponemos a cero el cronómetro cuando se lanza el proyectil, las ecuaciones del moimiento para el C.M. del proyectil antes y después de la explosión serán: r c.m. ( t) c.m., t + g t, c.m. ( t) c.m., + g t En el momento de la explosión: ( ) ( i ˆ + 8.53 ˆ ) km, r c.m. t expl. ( ) ( 4i ˆ 74.3 ˆ ) m / s c.m. t expl. El momento lineal del proyectil antes y después de la explosión debe ser el mismo. Llamemos, a la elocidad inicial del segundo fragmento después de la explosión: Física Tema Página

P antes P después M c.m. ( t expl. ) m, M, m c.m. t expl. ( ) c.m. ( t expl. ) 48 ˆ ( i 48.6 ˆ ) m / s La posición inicial del fragmento es la misma que la que tenía el proyectil en el instante t expl., de forma que para cualquier instante del tiempo tendremos que: ( t) r r c.m. ( t expl. ) +, y x ( t) y c.m. t expl. ( t t expl. ) + g t t expl. ( t) x c.m. t expl. ( ) ( ) +,,x ( t t expl. ) ( ) +,,y ( t t expl. ) g ( t t expl. ) Cuando llegue al suelo la altura será nula: y ( t suelo ) y c.m. t expl. ( ) +,,y ( t suelo t expl. ) g ( t suelo t expl. ) t suelo 79. s Y en ese instante la coordenada x aldrá: x ( ) 9. km t suelo Un sistema está compuesto por tres partículas A, B y C de masas,.5 y kg respectiamente. En un determinado momento sus elocidades en m/s son: A i ˆ + 5 k ˆ, B 8i ˆ 6 ˆ + 4 k ˆ y C ai ˆ + b ˆ +k ˆ y sus posiciones en m son: r A.i ˆ, r B.8 ˆ +.5k ˆ y r C.i ˆ +.8 ˆ +.6 k ˆ. Determinar el alor de las componentes a y b de la elocidad de C para que el momento angular del sistema respecto del origen sea paralelo al ee Z. Cuánto ale en este caso el momento angular? Solución: I.T.I. 94, 96, 3, I.T.T. 3 El momento angular del sistema será: L L A + L B + L C r p + r p + r 3 p 3 m r r + m 3 r 3 3 ( 6.3.b)ˆ i + (.a ) ˆ + (.4b 3.6a.6) k ˆ Para que sea paralelo al ee Z: L k ˆ L x L y 6.3.b b.a a 5.5 m / s m / s Física Tema Página 3

Sustituyendo en la expresión del momento angular: L 63k ˆ kg m / s En el tiempo t dos partículas en interacción mutua exclusiamente, con kg y 3 kg de masa se mueen, con respecto a un obserador, a m/s a lo largo del ee X en sentido positio y a 8m/s formando un ángulo de º con respecto al ee X. a) Expresar cada elocidad en forma ectorial. b) Calcular la elocidad del C.M. c) Calcular el momento lineal total respecto al C.M. d) Calcular la masa reducida del sistema. e) Dibuar la trayectoria del C.M. f) Si las partículas están inicialmente en los puntos (,,) y (,,) respectiamente, calcular el momento angular del sistema respecto al C.M y al origen del sistema de referencia. Verificar la relación entre ambos momentos angulares. Solución: I.T.I., 4, I.T.T., 4 a) Orientamos los ees Y y Z de forma que la segunda partícula se muea en el plano XY con elocidad positia a lo largo del ee Y. cosθ ˆ i +senθ ˆ ( ) ˆ i m / s cosθ i ˆ +senθ ˆ ( ) 8 ˆ i + 3 ˆ m / s b) m 8 m + m i 5 ˆ + 3 5 ˆ m / s ( 4i ˆ +4 3 ˆ ) m / s c) El momento lineal respecto al C.M. será: P C.M. m ʹ ʹ m ( ) ( ) C.M. m ( m ) C.M. m ( m ) m m d) La masa reducida iene dada por la expresión: µ m m m 6 5 kg e) Si las partículas sólo interaccionan entre sí y no están sometidas a ninguna interacción externa el moimiento del C.M. será rectilíneo uniforme: y f) Dado que el sistema no está sometido a fuerzas externas el momento angular permanecerá constante, por lo tanto lo z x podemos calcular utilizando las posiciones y elocidades iniciales de las partículas. La posición inicial del C.M. es: Física Tema Página 4

r m r r 3 i m 5 ˆ + 5 ˆ + 8 5 k ˆ m Las posiciones iniciales de las partículas relatias al C.M. son: r ʹ r r 3 5 ( i ˆ + ˆ k ˆ ) m ( ) m r ʹ r r 5 i ˆ ˆ + k ˆ Las elocidades iniciales respecto al C.M. son: ʹ ʹ 4 5 ˆ i + 5 8 5 ˆ i + 8 5 3 ˆ m / s 3 ˆ m / s El momento angular respecto al C.M. será: L C.M. r ʹ m ʹ ( ) + ʹ ( ) r m ʹ El momento angular respecto al origen será: Por último: L O r m ( ) + r m ( ) r P 5 [ 96 3 ˆ i + 64 ˆ ( 6 + 36 3 ) k ˆ ] 5 4 3 i ˆ 84 ˆ 84 + 4 3 4 [ ( ) k ˆ ] 3i ˆ 4 ˆ ( + 3) k ˆ Y como se puede comprobar se erifica que: L O L C.M. + r C.M. P Dos partículas de masa kg y 3 kg se mueen con elocidades de m/s a lo largo del ee X en sentido positio y a 8 m/s en un ángulo de º con el ee X. a) Expresar cada elocidad en forma ectorial. Hallar: b) la elocidad del C.M. c) la elocidad de cada partícula respecto al C.M. d) el momento lineal de cada partícula respecto al C.M. e) la masa reducida del sistema. f) la energía cinética del sistema respecto del sistema fio, g) la energía cinética del sistema respecto del C.M. Solución: I.T.I. 3 a) Orientamos los ees Y y Z de forma que la segunda partícula se muea en el plano XY con elocidad positia a lo largo del ee Y. Física Tema Página 5

cosθ ˆ i +senθ ˆ ( ) ˆ i m / s cosθ i ˆ +senθ ˆ ( ) 8 ˆ i + 3 ˆ m / s b) m 8 m + m i 5 ˆ + 3 ˆ 5 m / s ( 4i ˆ +4 3 ˆ ) m / s c) La elocidades de las partículas respecto al C.M. serán: ʹ C.M. ʹ 4 5 ˆ i 5 8 5 ˆ i + 8 5 3 ˆ m / s 3 ˆ m / s d) Los momentos lineales de las partículas respecto al C.M. serán: p ʹ m ʹ p ʹ m ʹ 84 i 5 ˆ 4 5 84 5 ˆ i + 4 5 3 ˆ Ns 3 ˆ Ns (Se puede comprobar que su suma es nula) e) La masa reducida iene dada por la expresión: µ m m m 6 5 kg f) La energía cinética respecto del sistema fio será: E c m + m 96 J g) La energía cinética respecto del sistema C.M. será: C.M E. c m ʹ + m ʹ 46.4 J C.M Se puede comprobar que se erifica: E c E. c + M Física Tema Página 6

Si las partículas del problema anterior están en los puntos (,,) y (,,) respectiamente, calcular: a) la posición del C.M., b) el momento angular del sistema respecto al C.M., c) el momento angular del sistema respecto al origen del sistema fio. Solución: I.T.I. 3 a) La posición del C.M. es: r m r r m 3 5 ˆ i + 5 ˆ + 8 k 5 ˆ m b) Las posiciones de las partículas relatias al C.M. son: r ʹ r r 3 5 ( i ˆ + ˆ k ˆ ) m ( ) m r ʹ r r 5 i ˆ ˆ + k ˆ El momento angular respecto al C.M. será: L C.M. r ʹ m ʹ ( ) + ʹ ( ) r m ʹ [ ( ) k ˆ ] 5 4 3 i ˆ 84 ˆ 84 + 4 3 c) El momento angular respecto al origen será: L O r m ( ) + ( ) r m 4 3i ˆ 4 ˆ ( + 3) k ˆ Por último: r P 5 [ 96 3 ˆ i + 64 ˆ ( 6 + 36 3 ) k ˆ ] Y como se puede comprobar se erifica que: L O L C.M. + r C.M. P En un determinado instante tres partículas se mueen como se muestra en la figura. Después de un cierto tiempo, son obseradas de nueo y se encuentra que m se muee de la forma que se muestra, mientras que m está en reposo. a) Hallar la elocidad de m 3 si el sistema era un sistema aislado. b) Hallar la elocidad del centro de masas del sistema en los dos instantes mencionados en el problema. Tomar θ 3º, m kg, m.5 kg, m 3 kg, m/s, m/s, 3 4 m/s y ʹ 3 m/s, suponer que no actúan fuerzas externas. c) Si en cierto momento las posiciones de las masas son r (.8,.) m, r (.8,.) m y r 3 (.4,.8) m, dibuar la trayectoria del centro de masas. ʹ m m y 3 m θ m 3 x Física Tema Página 7

Solución: I.T.I., I.T.T. 99, a) Si el sistema es un sistema aislado podemos aplicar la conseración del momento lineal: m + m 3 3 m ʹ ʹ + m 3 3ʹ 3 ʹ ( 4.536, ) m / s b) Como se consera el momento lineal la elocidad del C.M. será constante: C ʹ.M. m + m 3 3 m + m 3 c) Si en dicho instante ponemos a cero nuestro cronómetro: r ( ) m r ( ) r ( ) + m 3 r 3 ( ) 5.74,.557 m + m 3 ( ) m La posición del C.M. en cualquier instante endrá dada por: r ( t) r C.M. ( ) + C.M. t El moimiento es rectilíneo uniforme. La trayectoria es una línea recta que pasa por el punto r (.483,.857) m / s ( ) y su dirección iene indicada por Un proyectil de kg se esta moiendo con una elocidad de m/s cuando estalla en dos fragmentos de 5 y 5 kg cada uno. Si inmediatamente después de la explosión los fragmentos A y B se mueen como indica la figura, determinar la elocidad de cada uno. Solución: I.T.I., I.T.T. 99, Por conseración del momento lineal: kg 5 kg 5 kg 45 3 A B ( m A + m B ) m A A + m B B ( m A + m B ) m A A cosθ A + m B B cosθ B m A A senθ A m B B senθ B A 44. m / s, A 95. m / s Física Tema Página 8

Un agón de tren de uguete de masa 5 g a la elocidad de.5 m/s, se acopla a otro de masa 4 g que está inicialmente en reposo. Cuál es la elocidad final de ambos agones después de acoplados?. Cuál es la energía cinética total antes del acoplamiento?. Determinar las elocidades iniciales de los agones respecto al C.M. del sistema y calcular la energía cinética inicial respecto al C.M. Calcular la energía cinética asociada al moimiento de traslación del C.M. Solución: I.T.I., I.T.T., 4 Aplicando la conseración del momento lineal: m ( m ) m m.9 m / s La energía cinética antes del acoplamiento era: E c m 3. J La elocidad del C.M. es la misma elocidad calculada en el primer apartado (ya que al final los dos agones se mueen conuntamente). Las elocidades de los dos agones respecto del C.M. antes del acoplamiento serán. ʹ.3 m / s ʹ.9 m / s La energía cinética respecto al C.M. antes del acoplamiento será: C.M E. c m ʹ + m ʹ.9 J La energía cinética asociada al moimiento de traslación del C.M. será la diferencia entre las dos energías cinéticas calculadas anteriormente: C.M E c E. c + M C.M E. c + ( m ) ( m + m ) C.M E c E. c. J Esta energía cinética asociada al moimiento del C.M. coincide en nuestro caso con la energía cinética final del sistema, ya que los agones acaban por moerse conuntamente. Una cadena esta colocada sobre una mesa sin rozamiento con la quinta parte de su longitud colgando en el borde. Sea m su masa distribuida uniformemente a lo largo de su longitud l Hallar el trabao necesario para subir toda la cadena a la mesa tirando de ella horizontalmente por el extremo que está sobre la mesa. Física Tema Página 9

Solución: I.T.I.,, I.T.T. 99,, El trabao realizado externamente será igual a la ariación de energía de la cadena. La energía cinética inicial y final de la cadena es nula. En cuanto a la energía potencial graitatoria, si tomamos el niel cero a la altura de la mesa, sólo la parte de la cadena que cuelga contribuirá a este tipo de energía. La posición del centro de masas de dicha parte es de L/ por debao del niel de la mesa. W ext. ΔE ΔE c + ΔE pot.gra. E pot.gra. final E pot.gra.inicial m 5 g L 5 mgl Dos partículas de masa m se encuentran en los extremos de una arilla de longitud l y masa despreciable. El sistema está girando con una elocidad angular cte. ω en torno a un ee fio perpendicular a la arilla en el punto O. Calcular a) elocidad del C.M. b) el momento angular respecto de O. m O ω l/3 m Solución: I.T.I., 4, I.T.T., 4 g) Colocando el origen de coordenadas en el punto O y situando el ee X a lo largo de la barra, la posición del centro de masas será: correcto x 3 l m + 3 l m m 6 l Dicho centro de masas estará por lo tanto realizando una trayectoria circular de radio r l/6 con una elocidad angular ω con lo cual su elocidad lineal será: ω r 6 ω l h) El momento angular del sistema respecto de O será: L O m r r m ( ω r )r ( ω r )r m r ( r )ω m 3 l + 3 l ω 5 9 ml ω Otra forma de haber realizado este mismo cálculo sería utilizando el concepto de momento de inercia I: L O Iω m r r ( )ω Física Tema Página

La bola B, de masa m B se suspende de una cuerda de longitud L unida al agón A de masa m A, el cual puede rodar libremente sobre una ía horizontal sin rozamiento. Si se comunica a la bola una elocidad horizontal inicial mientras el agón está en reposo, determínense: a) la elocidad de B al alcanzar su punto de altura máxima y b) la máxima altura h a la que se elea B. Solución: I.T.I., 4, I.T.T., 4 d) Si consideramos nuestro sistema formado por las dos masas y la cuerda, las únicas fuerzas externas capaces de modificar su momento lineal son la graitatoria y la normal que actúa sobre el agón A. Estas dos fuerzas son erticales, no actúan sobre el sentido horizontal del moimiento, con lo que podemos aplicar la conseración del momento lineal para las componentes horizontales. En la situación final, cuando B alcanza su máxima altura, su elocidad relatia respecto a A es nula, los dos cuerpos se mueen conuntamente con la elocidad : ( m A + m B ) m B m B m A + m B e) De las fuerzas externas la única que realiza trabao es la fuerza graitatoria que actúa sobre B. Por lo tanto, teniendo en cuenta la energía potencial graitatoria de B podemos aplicar la conseración de la energía. Tomando el niel nulo de energía potencial para B en la posición más baa podemos escribir: ( m + m A B ) + m B gh m B m h A m A + m B g En un uego de billar, la bola A se muee con elocidad 5m / s i cuando golpea las bolas B y C que se encuentran en reposo una unto a la otra. Después del choque, se obsera que las tres bolas se mueen en las direcciones mostradas, con θ. Suponiendo superficies sin rozamiento y choque perfectamente elástico determínense los módulos de las elocidades A, B y C. Solución: I.T.I., 4, I.T.T., 4 Aplicando la conseración del moimiento y teniendo en cuenta que las masas de las bolas es la misma: Física Tema Página

A + B + C A senθ + C B A cosθ Por otro lado como el choque es elástico se consera la energía: A + B + C Tenemos tres ecuaciones que nos permiten encontrar el alor de las tres incógnitas pedidas: A senθ B senθ cosθ C cos θ.7 m / s.6 m / s 4.4 m / s Dos esferas pequeñas A y B de masa m y m, respectiamente, están unidas por medio de una barra rígida de longitud l y masa despreciable. Las dos esferas descansan sobre una superficie horizontal sin rozamiento cuando repentinamente se le proporciona a A la elocidad i. Determínense: a) el momento lineal del sistema y su momento angular respecto de su centro de masas, b) las elocidades de A y B después de que la barra AB haya girado 9 y c) las elocidades de A y B después de que la barra AB haya girado 8. m m A l B Solución: I.T.I., 4, I.T.T., 4 a) El momento lineal total del sistema a a permanecer constante, ya que las únicas fuerzas externas que actúan, los pesos y las normales eercidas por la superficie horizontal, se anulan entre sí. El momento lineal del sistema será: P m Si colocamos el origen de coordenadas en la posición inicial de A, el ee Z perpendicular a la figura del enunciado y hacia fuera del papel, el ee Y en la dirección y sentido de B a A y el ee X perpendicular a estos y orientado hacia la derecha, la posición del C.M. endrá dada por: r m r r m ( ) + m(, l, ) m,, 3m, 3 l, Las posiciones relatias iniciales de las dos esferas respecto del C.M. son: Física Tema Página

r ʹ r r, 3 l, r ʹ r r, 3 l, La elocidad del C.M. será: P M C.M. C.M. P M m 3m 3 Las elocidades relatias iniciales de las dos esferas respecto al C.M. son: ʹ 3 ʹ C.M. 3 El momento angular del sistema respecto del C.M. será por lo tanto: L C.M. r ʹ m ʹ ( ) + ʹ ( ) r m ʹ b) Visto desde el C.M. el moimiento de las dos esferas es un moimiento circular uniforme. Visto desde el laboratorio el moimiento de las esferas será una combinación de dicho moimiento circular uniforme y del moimiento de traslación uniforme del C.M. Cuando la barra haya girado 9º tendremos: ʹ + C.M. 3 (,, ) + 3 (,, ) ʹ + C.M. 3,, ( ) + 3 (,, ) c) Cuando la barra haya girado 8º tendremos: 3 m l k 3,, ( ) 3,, ( ) ʹ + C.M. 3 (,, ) + 3 (,, ) ʹ + C.M. 3 (,, ) + 3,, ( ) 3,, ( ) 3,, ( ) Una rana de masa m está situada en el extremo de una tabla recta de masa M y longitud L. La tabla se encuentra en reposo y flotando sobre las aguas tranquilas de un estanque. La rana da un salto a lo largo de la tabla con un ángulo de eleación θ sobre la horizontal. Si la rana cae en el otro extremo de la tabla, m θ calcular: a) el espacio horizontal recorrido por la rana, b) M el módulo de la elocidad inicial. Nota: se desprecia el rozamiento entre la tabla y el agua, y se considera a la rana como una masa puntual. L Física Tema Página 3

Solución: I.T.I., 4, I.T.T., 4 Cuando la rana salta, por conseración del momento lineal horizontal (las fuerzas externas son erticales) la tabla se muee ligeramente hacia atrás. Debido a ello si la rana cae en el otro extremo de la tabla no habrá recorrido horizontalmente una distancia L, sino una distancia d más pequeña. En todo caso, como el C.M. se encontraba inicialmente en reposo en la situación final se encontrará en la misma posición. Si colocamos el origen de coordenadas en la posición inicial de la rana: Inicialmente: x rana, x tabla L x C.M. mx rana + Mx tabla m + M M m + M L Finalmente: x ʹ rana d, x ʹ tabla d L x ʹ C.M. mx ʹ + M ʹ rana m + M x tabla md + M d L m + M Igualando los dos resultados: L md + M d M m + M L m + M M d m + M L Este resultado era preisible si hubiéramos razonado inicialmente sobre la simetría entre la situación inicial y la final. Si inicialmente la rana se encontraba a una distancia M m + M L a la izquierda del C.M., en la situación final dada la simetría se encontrará a la misma distancia pero hacia la derecha. La distancia recorrida por la rana en el salto sería por lo tanto el doble de la distancia a la que se encontraba del C.M. Física Tema Página 4