Qué es una onda? Todos hemos visto ondas que empiecen cuando se lanza una piedra al agua Hay que diferenciar entre Velocidad de la onda Velocidad del agua Onda: un concepto abstracto La onda no transporta agua Transporta energía Movimiento ondulatorio: transporte de energía y momento lineal desde un punto del espacio a otro sin transporte de masa Muchos tipos de ondas Este Tema: Ondas mecánicas Hincapié Diferenciar entre dos velocidades La velocidad (de fase) de la onda La velocidad de cada partícula
Características de las ondas Todas las ondas mecánicas necesitan. Alguna fuente de perturbación. Un medio, a través del cual se propaga 3. Un mecanismo (físico) - relaciona los elementos del medio Ejemplos Pulso/cuerda (. Mano;. Cuerda; 3. Contacto) Gente (. ª Persona;. La Gente; 3. Psicología) Transversal Un fluido (ondas armónicas) Olas en agua (. Viento;. Agua; 3. Fricción) Longitudinal Sonido (. Ruido;. Agua/aire; 3. Compresión) Ondas transversales y longitudinales Ondas transversales: las partículas oscilan perpendicularmente a la dirección de propagación de las ondas Ondas longitudinales: las partículas oscilan paralelamente a la dirección de propagación.
Pulsos Son ondas de extensión pequeña. Consideraremos que la velocidad del pulso es constante y que no se deforman con el transcurso del tiempo (no hay dispersión en el medio, aunque en la realidad siempre hay dispersión). Sea v la velocidad de un pulso que se propaga de izquierda a derecha. La forma del pulso (por ejemplo sobre una cuerda) es f(x)=y. Después de un tiempo t, el pulso ha avanzado hacia la derecha una distancia vt. La función f(x-a) tiene la misma forma que f(x), salvo que está desplazada, centrada en el punto a. Si suponemos que el pulso mantiene su forma mientras se propaga, podemos extraer la forma del pulso en cualquier instante t y(x, b) = f(x-vt) Si el pulso se mueve hacia la izquierda, la expresión del pulso es y(x, b) = f(x+vt) Ejemplo: Consideremos el pulso dado por la siguiente función de onda y0 y( x, t) = (( x vt) / x ) + donde y 0 =0.0 mm, x 0 =.00 m y v=.00 m/s. Dibujar la gráfica del pulso en los tiempos t=0. s y en t=.50 s en t=0 ( 0.0mm y x,0) = ( x /.00m) + en t=.50 s y (m) 0 8 6 4 t=0 t=.5 s 0-5 0 5 0 0.0mm y( x,.5seg) = (( x 5m) /.0m) + v = (.00 m/ s)ˆ i 0 vt x (m) 3
Función de onda Se denomina función de onda a la función y(x, b) = f(x-vt) que sirve para describir una onda. Para el caso de una onda en una cuerda, la función de onda representa la coordenada y de un elemento de la cuerda. La función de onda da el desplazamiento y de dicho elemento respecto a su posición de equilibrio y = 0, como una función que depende de x y t. Por tanto, el desplazamiento de un elemento de la cuerda depende de: i) la coordenada x del elemento; ii) ii) el tiempo t de la observación. Interferencia de ondas Cuando dos o más ondas coinciden en una región, decimos que interfieren. Cuando dos pulsos se encuentran en la misma región, decimos que están superpuestos. El desplazamiento máximo debido a los dos pulsos es la suma de los desplazamientos máximos de cada pulso. Supongamos que un pulso viene dado por f (x-vy) y el otro por f (x+vy) (el primero viaja hacia la derecha y el segundo hacia la izquierda). El pulso resultante es y (x, t) = f (x-vt) +f (x+vt) Principio de superposición: la función de onda resultante debida a dos o más funciones de ondas individuales es la suma de las funciones de ondas individuales. Cada pulso actúa independientemente del otro. Posteriormente a un encuentro, el tamaño, forma o velocidad de cada pulso es el mismo que tendría si no se hubieran encontrado. 4
Reflexión y transmisión Las ondas pueden reflejarse en fronteras y transmitirse de un medio a otro. Cuando un pulso se aproxima a una frontera nos referimos a él como pulso incidente. El pulso se refleja en la frontera y el pulso reflejado se invierte en relación al punto incidente. Un pulso puede pasar de un medio a otro, hablándose entonces de pulso transmitido. El pulso transmitido no se invierte en relación al pulso incidente, aunque su velocidad si cambia, ya que la velocidad de una onda depende del medio es el que se propaga. Ondas armónicas El tratamiento matemático de las ondas está basado principalmente en la función de onda para una onda armónica. Para una onda armónica en una cuerda, la cuerda adopta la forma de una función seno en cualquier instante. En t=0 y π = Asen( x) Para una onda que se mueve hacia la derecha con velocidad v, su dependencia temporal puede obtenerse reemplazando x por x-vt. Así pues, la función de onda para una onda armónica es π y( x, t) = Asen( ( x vt)) 5
La amplitud A es el desplazamiento máximo de cualquier elemento de cuerda desde su posición de equilibrio y=0 La longitud de onda es la distancia a la que se vuelve a repetir la onda (o la distancia entre dos crestas sucesivas o dos valles sucesivos). Al argumento de la función seno se le llama fase,. π ( x vt) Consideremos ahora x=0. y = π πvt Asen ( vt) = Asen( ) Un movimiento armónico simple (MAS) viene descrito por vt y sen( π ) t T por tanto, el elemento realiza un MAS con periodo T = /v. Cada elemento de la cuerda realiza un MAS con este mismo periodo. Periodo T La relación anterior entre T, y v puede obtenerse de otra manera. El periodo T es el tiempo necesario para que un desplazamiento particular de la onda (por ejemplo una cresta) se desplace una distancia igual a en un tiempo T, de modo que su velocidad es v = /T 6
Propagación de las ondas El periodo (T) tiene dos definiciones (equivalentes): Como en el caso de MAS El tiempo para un MAS complete en un punto fijo (x=cte) Algo nuevo (propagación espacial) El tiempo para que la onda se mueve una distancia de Velocidad de la onda v = = f T D M xt Tradicionalmente se describen las ondas haciendo uso de otros parámetros. υ = /T frecuencia ω= π/t = πυ frecuencia angular k = π/ nº de ondas ( a veces k = /) Entonces la ecuación de ondas se puede escribir como y (x, t) = A sen (kx-ωt) y v=υ v=ω/k Las funciones de onda usadas hasta ahora no son completamente generales, pues requieren que y = 0 cuando x = 0 y t = 0. La expresión más general incluye una constante de fase Φ y = A sen (kx ωt + Φ) Normalmente se forma y = 0 cuando x = t = 0 para que Φ = 0. 7
Tren de ondas Una onda real no puede ser perfectamente armónica, puesto que odas armónicas se extienden desde el infinito en ambos sentidos, no tienen principio ni fin en el tiempo. Las ondas existentes en la naturaleza como el sonido o la luz, tienen extensiones en el espacio y en el tiempo mucho mayores que sus longitudes de onda y periodos, por lo cual pueden tratarse como ondas armónicas. U na onda de este tipo se llama tren de ondas, así que una onda armónica es un caso ideal de tren de ondas. Propagación de las ondas Velocidad La velocidad de una onda depende de las propiedades del medio F Ejm.: para un pulso en una cuerda, v = T F T : la fuerza de tensión µ µ : masa / longitud Solo lo examinamos cualitativamente: Más tensión Mejor contacto entre vecinos en la cuerda Más velocidad Más masa Más inercia Menos velocidad 8
Ecuación de Ondas El desplazamiento de una onda se deriva de la ecuación D D = v de ondas t x π Nos enfocamos solo en su solución; foto (en t=0): D = DM sin x Después de un tiempo t, toda la onda habrá movido a la π derecha una distancia vt, entonces: D = DM sin ( x vt) Visto de otra manera, un surfero observaría un valor cte. de la fase: x-vt (v = la velocidad de fase) Dado que, podemos escribir vt = D = D M πx πt sin T D M v x Ecuación de ondas Consideremos una onda armónica. La derivada de y con respecto a t, manteniendo x constante da la componente y de la velocidad de un elemento. Utilizando y(x,t)=asen(kx-wt) se tiene y t = ( Asen( kx wt)) = wacos( kx wt) t La ª derivada de y respecto a t con x constante, da la aceleración del elemento y t = w Asen( kx wt) Teniendo en cuenta v = w/k, w = v k y = v k Asen( kx wt) t y t Como y(x,t)=asen(kx-wt) = v k y( x, t) 9
Consideremos ahora la derivada de y respecto a x, con t constante, y = kacos( kx wt) x Esta derivada da la pendiente de la cuerda en el punto x y el tiempo t. La ª derivada, da la variación de la pendiente con x y x = kasen( kx wt) Esta cantidad da una medida de lo que se curva la cuerda. A mayor valor de mayor grado de curvatura de la cuerda. Si > 0, la pendiente de la cuerda aumenta con x, la cuerda se curva hacia arriba. Si < 0, la pendiente de la cuerda disminuye al aumentar x, la cuerda se curva hacia abajo. Ecuación de Ondas D = D πx πt sin T Para simplificar la forma, podemos definir: M ( kx t) D = DM sin ω π k = número de onda ω = π T frecuencia angular Sin suponer que D=0 cuando x=0 y t=0, ( kx ω +φ) D = D sin M t D M v x 0
Energía/Potencia de una Onda Para entender el concepto, vamos a considerar una onda transversal (sinusoidal) en una cuerda Para un elemento de longitud x con masa m Tiene una velocidad transversal de v y Su energía cinética es K = m v y Recuerdo: µ = masa / longitud m = µ x Pasando a un elemento infinitésimo dk = µ dx Ahora, para un MAS=f(x), podemos escribir dk = µ [ ωacos( kx ωt )] dx dk = µω A cos ( kx ωt )dx ( ) v y Amplitud Desplazamiento A=D M Energía/Potencia de una Onda Energía cinética de un segmento infinitésimo de la cuerda: dk = µω A cos ( kx ωt )dx Sacamos una foto instantánea en el momento (t=0) dk = µω A cos ( kx)dx Hacemos la integración de todos los elementos de la cuerda contenidos en una longitud de onda () = K dk = µω A cos ( kx) dx ( ) = µω A sin x + kx 4k = µω A 4 0 Otro tipo de energía?
Energía/Potencia de una Onda Energía cinética de una longitud de onda de la cuerda: K = La onda también contiene energía potencial Para acelerar los elementos con v y =0 (ubicados en D = D M ) Debido al desplazamiento del equilibrio (fuerzas de sus vecinos) Pasamos de un análisis muy similar para concluir: Energía potencial de una longitud de onda de la cuerda: U = µω A 4 µω A 4 Energía total de una longitud de onda: E = K + U = µω A Tal energía (E ) pasa un punto dado en un periodo (T) de onda, y así define la potencia (P) de la onda E P = = µω A T = µω A v T Energía/Potencia de una Onda La potencia (P) de una onda transversal en una cuerda es proporcional: al cuadrado de la frecuencia (angular) P = µω A v al cuadrado de la amplitud a la velocidad La transferencia de energía para cualquiera onda de forma sinusoidal es proporcional: al cuadrado de la frecuencia al cuadrado de la amplitud
Intensidad de una Onda Potencia (P) de la onda transversal P = µω A v Definimos la intensidad (I) de la onda La potencia (transporte de energía por unidad de tiempo) por unidad de superficie (S) P I = S Emisión de sonido desde un punto (todas direcciones) Onda esférica P I = 4 r π Ley del cuadrado inverso Programa VI. ONDAS. (h) Introducción. Características de las ondas. Pulsos. Ondas armónicas. Ecuación de ondas. Potencia de una onda. Interferencia de ondas armónicas. Ondas sonoras. Audición. Análisis de Fourier de ondas periódicas. Fuentes de sonido. Interferencia de ondas sonoras y pulsaciones. Efecto Doppler para el sonido. 3
Interferencia de Ondas El principio de superposición : Cuando dos ondas coinciden espacialmente, el desplazamiento de una partícula es la suma (vectorial, algebraico) de los desplazamientos individuos Válido para Ondas mecánicas Desplazamiento no demasiado grande Relación lineal entre la fuerza de restauración y el desplazamiento (MAS) Ondas electromagnéticas (vacío) Trigonometría Análisis Fourier Muy brevemente: Si se supone una periodicidad de cualquier señal, se puede reproducir por una suma de ondas sinusoidales: Ejemplos más difíciles a creer: Cuadrado Serrado Impulso 4
Ondas Sonoras Preludio: Compresión de Materias La compresión: propiedad de una materia Materia se reduce (relativamente) en volumen frente a un aumento de presión (ΔP): V B = P V B = módulo de compresión ( bulk modulus ) Rigidez/(no elasticidad de la materia) dp B V dv Materia Acero Mármol Agua Aire (STP) B (0 9 N m - ) 40 70 < 0.000 Ondas Sonoras Velocidad Acordarse: velocidad de onda transversal en una cuerda F T es la tensión (una propiedad elástica) µ (masa/longitud) es una densidad longitudinal Analógicamente: la velocidad de onda de sonido es B es el módulo de compresión (propiedad elástica) ρ es la densidad Consecuencias El sonido propaga más rápido en el acero - 500 m/s que en el agua - 500 m/s, con T = 5 C que en el aire - 346 m/s con T = 5 C v = v = F T µ B ρ 5
Ondas Sonoras Frecuencias audibles Con respeto al oído humano Frecuencias < 0 Hz : Ondas infrasónicas 0 0,000 Hz : Ondas sonoras > 0,000 Hz : Ondas ultrasónicas Intensidades: (para 000 Hz) 0 - W m - : Umbral de audición W m - : Umbral de dolor Qué rangos! Audición: Intensidad del sonido en decibelios (db) Intensidad sonora > 0 ordenes de magnitud Es lógico trabajar con escala logarítmica Basada en el umbral de audición, I 0 = 0 - W m - Entonces, definimos el nivel sonoro como Fuente del sonido Avión cercano Metralleta Concierto de rock Tráfico (circunvalación) Aspiradora Conversación normal Mosquito Hojas en el viento Umbral de audición β = 0log β(db) 50 30 0 80 70 50 40 0 0 I I 0 6
Ondas Sonoras Desplazamiento y presión Para una partícula elegida, podemos observar (con cuidado) un desfase entre el desplazamiento (D) y la presión (p): Para los momentos de D=0, hay dos posibilidades Zona de compresión (presión máxima) Zonas de rarefacción (presión mínima) Para los extremos de D (D=±D M ), hay dos posibilidades Pasando de compresión a rarefacción (p=promedio) Pasando de rarefacción a compresión (p=promedio) Ondas Sonoras; Desplazamiento y Perturbación de presión El desplazamiento: D x, t) = D cos ( max ( kx ωt ) Perturbación de presión: p( x, t) = pmax sin ( kx ωt ) p = ρ v ω max D max 7
Audición Límites de detección Potencia de una onda sónica (no derivada aquí) De la diapositiva anterior: p = ρ v ω max D max pmax Podemos calcular la Intensidad: I = ρv Presión pmax = ρ v I Mínima p p p 3 (.0kg / m )( 343m / s) ( 0 W ) max = / m 5 max =.87 0 7 max =.87 0 N m mb El oído humano: un instrumento super-sensible P = ρav ( ωd ) max Superficie Desplazamiento pmax Dmax = ρ v ω (Cálculos parecidos) D π(000hz) = max. 0 m Inferior del tamaño de un átomo Programa VI. ONDAS. (h) Introducción. Características de las ondas. Pulsos. Ondas armónicas. Ecuación de ondas. Potencia de una onda. Interferencia de ondas armónicas. Ondas sonoras. Audición. Análisis de Fourier de ondas periódicas. Fuentes de sonido. Interferencia de ondas sonoras y pulsaciones. Efecto Doppler para el sonido. 8
Efecto Doppler Consideramos un generador (estacionario) de ondas Longitud de onda constante Cte: frecuencia, periodo, velocidad de fase (v f ) Ahora, qué pasa si el generador tiene velocidad (v g )? La posición de generación de la onda cambia Si v g no es muy pequeño comparado con la velocidad de fase (v f ), las ondas generadas serán así Una apreciación visual del Efecto Doppler Las ondas llegan a la izquierda (dirección de movimiento del generador) con más frecuencia Por esto, se oye un cambio de frecuencia cuando pasa una moto a alta velocidad Efecto Doppler Recuerdo: la velocidad de fase (v f ) es una propiedad del medio de propagación Entonces, da igual quién se mueva (observador, o generador) Si la velocidad de fase (v f ) es mucho más grande que la velocidad del generador(v g )? El efecto Doppler es despreciable No observamos cambios de color, excepto en velocidades acercándose a la de la luz 9
Efecto Doppler Qué pasa si la velocidad del generador (v g ) iguala la velocidad de fase (v f )? La posición de generación de la onda coincide con las mismas ondas El principio de superposición: cada nueva onda se añade a las previas Creación de un frente de presión Una onda de choque Un avión que quiere superar la velocidad del sonido tiene que superar una barrera Creación de un retumbo ultrasónico ( sonic boom ) Si v g supera la velocidad de fase (v f )? Ondas en forma de V (como detrás de un barco) Cambio de Frecuencias Matemáticamente Consideramos en el momento t=0 un generador con velocidad v g, y unas ondas de Periodo, T; velocidad de fase, v f Longitud, = v f T t=0 t=t Crestas con números Después de un tiempo T Las ondas originales se habrán movido 3 El generador avanza un distancia d g Ahora, la distancia entre ondas es ' d g La velocidad de fase no cambia (v f ) = d g Depende del medio, y de la oscilación original Cambian tanto el periodo T, como la frecuencia f = observados 0
Conceptos/Ecuaciones a Dominar Velocidad de Partícula Velocidad (de fase) Onda transversal, onda longitudinal Ecuación de ondas ( ) D = DM sin kx ω t +φ π Número de onda k = Frecuencia angular ω = π T Potencia de una onda: P = µω A v Intensidad sonora / Nivel Sonoro / Decibelios Efecto Doppler v = = f T