Unidad 2: Movimiento de una dimensión Criterios para la integración de Física y Matemática El contenido de la unidad Cinemática, movimiento en una dimensión requiere como herramienta matemática para resolver problemas la función de primer grado y la función de segundo grado aplicadas en los casos de movimiento rectilíneo uniforme (MRU) y movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV). El Candidato debe resolver ejercicios y problemas de aplicación con el trazado de los gráficos correspondientes a las funciones espacio, velocidad y aceleración en los casos siguientes: -Vehículos que se desplazan con MRU y MRUV por camino horizontal, por ejemplo vehículos que circulan con velocidad constante, o parten desde el reposo y aumentan su velocidad, o que teniendo velocidad la reducen por efecto de frenado. -Objetos que caen en el vacío verticalmente desde una altura, acelerados por la gravedad, o son lanzados verticalmente y hacia arriba hasta alcanzar la altura máxima. Programa analítico Movimiento Rectilíneo Uniforme. Definición de velocidad. Unidad de velocidad (SIMELA). Función espacio y velocidad del MRU. Resolución de problemas de cuerpos que se desplazan con velocidad constante. Problemas compuestos: Alcance y encuentro. Movimiento variado. Definición de aceleración en el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado. Unidad de aceleración (SIMELA): Funciones de M.R.U.V. : espacio, velocidad, aceleración. Aceleración de la gravedad g. Caída libre y ascenso de los cuerpos. Cálculo de: altura de caída, velocidad de caída, tiempo de caída, altura máxima alcanzada en ascenso, tiempo de ascenso. Conocimientos previos Álgebra básica de números reales. Álgebra de vectores: sumas gráfica y analítica. Función lineal y cuadrática. Representación gráfica de recta y parábola. Sistemas de ecuaciones. Bibliografía Máximo y Alvarenga. Física General con experimentos sencillos. (Unidad II: Capítulo 3). Editorial OXFORD. 4ª Edición. (1998). Tricárico y Bazo. Física 4. (Capítulo 3). Editorial A Z. (1999). Calderón, Codner, Lemarchand (y otros). Física Activa. Polimodal. (Capítulo 1). Editorial PUERTO DE PALOS. (2001). Carlos R. Miguel. Curso de Física IV. Mecánica, Calor, Acústica. (Capítulo 6). Editorial EL ATENEO. (1995).
www.fisicanet.com.ar www.monografias.com Ejercitación La aceleración de la gravedad se tomará igual a 9,8 m/s 2 a menos que en la consigna se indique otro valor. Nota importante: los problemas de mayor nivel de complejidad están precedidos por uno (*) o dos (**) asteriscos. El candidato debe asegurarse de poder elaborar correctamente los problemas más sencillos y poder plantear al menos los problemas identificados con (*) para estar en buenas condiciones a la hora de presentarse a rendir el ingreso de Física. 1. Una pelota es lanzada verticalmente y hacia arriba con una velocidad inicial v o = 14 m/seg. Calcule la altura máxima que alcanza y el tiempo que demora en alcanzar dicha altura máxima. R: 10 m ; 1,4 s 2. Una piedra se deja caer (en el vacío) desde una altura de 20 m desde el nivel del suelo. Calcule el tiempo que demora en caer hasta el suelo y la velocidad en ese instante. R: 2,02 s ; 19,8 m/s 3. Una pelota es lanzada (en el vacío) verticalmente y hacia arriba, y alcanza la altura de 20 m (altura máxima). Calcule la velocidad de lanzamiento y el tiempo que demora en alcanzar la altura máxima. R: 19,8 m/s ; 2,02 s 4. Un automóvil color blanco parte desde Mendoza hacia Córdoba (distante 700 km) con una velocidad constante de 80 km/h y simultáneamente otro automóvil color rojo lo hace desde Córdoba hacia Mendoza a 100 km/h. Calcule el tiempo que transcurre hasta el encuentro y la distancia del punto de encuentro a la ciudad de Mendoza. R: distancia de encuentro 312 km (*) 5. Un camión pasa por un semáforo a una velocidad de 36 km/h en el mismo instante que un automóvil arranca desde el reposo y comienza a aumentar su velocidad con aceleración a = 2 m/s 2. Calcule el tiempo que demora el automóvil en alcanzar al camión y la distancia desde el punto de alcance hasta el semáforo. Grafique las funciones posición de ambos móviles en un diagrama x / t. R: 10 s ; 100 m 6. Un móvil posee una velocidad de 15 m/seg. Si en ese instante aplica los frenos y se detiene después de 20 seg, cuál es su aceleración y la distancia recorrida desde que empezó a frenar? R: -0,75 m/s 2 ; 150 m
7. Desde un helicóptero suspendido en el aire se dispara un proyectil verticalmente hacia abajo con velocidad inicial de 50 m/seg. Si tarda en llegar a tierra 12 seg, con qué velocidad llega al suelo y desde qué altura se lanzó? R: 167,6 m/s ; 1305,6 m 8. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de 200 m/seg. Se desea saber: a) Qué velocidad posee a los 4 seg?; b) Cuánto tiempo tardará en alcanzar su altura máxima? R: a) 160,8 m/s b) 20,4 s 9. Un cuerpo es lanzado hacia arriba y alcanza una altura máxima de 7840 m. Con qué velocidad inicial fue lanzado y qué tiempo demora en alcanzar la altura máxima? R: 392 m/s ; 40 s (*) 10. Un automóvil viaja a 56 km/h y está a 24 m de una barrera de control cuando el conductor presiona los frenos. El automóvil golpea la barrera 2 segundos más tarde. a) Cuál fue la desaceleración constante del automóvil antes del impacto? b) cuál era su velocidad en el momento del impacto? a) 3,5 m/s 2 b) 8,5 m/s (*) 11. Un automóvil moviéndose con una aceleración constante cubre la distancia entre dos puntos A y B separados entre sí por 60 metros, en un tiempo de 6 segundos. Su velocidad al pasar por el punto B es de 15 m/seg. a) cuál era la velocidad en el punto A? b) cuál es la aceleración? c) suponiendo que el automóvil partiera del reposo, a qué distancia del punto A partió el vehículo? d) Grafique el espacio y la velocidad como funciones del tiempo. Elabore la gráfica desde el reposo. a) 5 m/s b) 5/3 m/s 2 c) 7,5 m 12.Un barco sube por un río a 20 km/hr y baja a 48 km/hr. Encuentre la velocidad de la corriente del río. R: 14 km/h 13.Un barco tiene una velocidad de 18 km/hr. Si la corriente del río es de 3 m/seg Qué tiempo tarda en recorrer 70 m río arriba y río abajo? R: 8,75 s 14.Suponga que un objeto sufre un cambio de velocidad de 4 m/s a 1 m/s. Su velocidad se está haciendo más o menos positiva? En qué sentido/sentidos se está moviendo el objeto? Es la aceleración positiva o negativa? Van la velocidad y la aceleración en el mismo sentido durante el lapso en que la velocidad cambia? Explique. R: la velocidad se va haciendo más positiva. Inicialmente el objeto se mueve en el sentido negativo con velocidad 4 m/s. Comienza a desacelerarse hasta que su velocidad se hace cero y a partir de allí viaja en sentido positivo. La aceleración es positiva. Desde el momento inicial hasta que el vehículo tiene una velocidad nula, aceleración y velocidad van en sentidos contrarios. Desde v = 0 hasta v = 1 m/s el sentido de la velocidad y de la aceleración coinciden.
15. Qué tan alto puede un humano tirar una pelota verticalmente hacia arriba si la velocidad inicial que puede imprimirle es de 40,23 m/s? R: 82,57 m 16.Un avión tiene una velocidad de despegue de 120 km/h. a) Qué mínima aceleración constante necesita la aeronave si puede carretear a lo largo de 240 m? b) En cuánto tiempo alcanza el avión la velocidad de despegue? R: a) a = 2,31 m/s 2 b) t = 14,4 s 17.Una rampa móvil de las que hay en los aeropuertos se mueve a una velocidad de 1 m/s y tiene 200 m de largo. Un pasajero sube a ella en un extremo y camina en la misma dirección en que se mueve la rampa, con una velocidad de 2 m/s. Cuánto tiempo demora el pasajero para llegar al extremo de la rampa móvil? R: 66,7 s (*)18.Un conductor maneja a una velocidad de 18 m/s cuando ve un obstáculo 90 m adelante. El conductor frena y desacelera a 3,05 m/s 2 a) En cuánto tiempo detiene el vehículo? b) A qué distancia del obstáculo se encontrará cuando el automóvil se haya detenido? R: a)5,86 s ; b)se detiene a 38 m del obstáculo 19.Un avión acelera por una pista a razón de 3,20 m/s 2 durante 32,8 s hasta que finalmente despega. Determine la distancia recorrida hasta el decolaje. R: 1721,3 m 20.Un ingeniero está diseñando una nueva pista para un aeropuerto. De todas las aeronaves que usarán la pista, la mínima aceleración será del orden de 3 m/s 2. La velocidad de despegue de un avión con esta aceleración es de 65 m/s. Cuál deberá ser la longitud mínima de la pista de carreteo? R: 704,4 m
Ejercicios resueltos 1.Una pelota es lanzada verticalmente y hacia arriba con una velocidad inicial v o = 14 m/seg. Calcule la altura máxima que alcanza y el tiempo que demora en alcanzar dicha altura máxima. h(m) Se recomienda que se realice una interpretación gráfica previa a la solución h max final. De esta manera se pueden identificar los datos, las incógnitas y las funciones matemáticas de aplicación. -Se trata de un MRUV, con variación negativa de la velocidad (la velocidad final es cero cuando alcanza la altura máxima. La función espacio es una parábola que pasa por el origen, porque el movimiento empieza en el suelo (h o = 0) y el tiempo inicial también es cero (t o = 0). La parábola es de rama descendente porque el término cuadrático es negativo (la aceleración de la gravedad g = -9,8 m/s 2 ). v(m/s) 14 1,4 Entonces: h = v o (m/s) ½ 9,8(m/s 2 ) t 2 (s 2 ) La función velocidad es una recta, que corta el eje de ordenadas en el valor 14 m/s, y corta el eje de abscisas en el tiempo que alcanza la altura máxima, cuando la velocidad es cero, note que la pendiente de la recta es negativa, coincide con el signo de la aceleración. Entonces: v = 14 (m/s) 9,8 (m/s 2) Ahora consideramos oportuno comenzar el cálculo. Hemos entendido el problema, identificado las ecuaciones del movimiento y podemos determinar los datos y las incógnitas, que se leen claramente en los gráficos. Observamos la coincidencia de la vertical del tiempo de altura máxima con el valor cero de la velocidad, datos muy importantes al momento de resolver. Así: Para el cálculo del tiempo lo hacemos con la función velocidad, conociendo que en ese instante la velocidad v = 0; 14 (m/s) 9,8 (m/s 2) = 0 t = 1,4 (s)
Para el cálculo de la altura máxima, reemplazamos el tiempo en la ecuación del espacio; h = v o (m/s) ½ 9,8(m/s 2 ) t 2 (s 2 ); h max = 14(m/s) 1,4(s) ½ 9,8(m/s 2 ) 1,4(s 2 ) h max = 10 (m) 6. Un móvil posee una velocidad de 15 m/seg. Si en ese instante aplica los frenos y se detiene después de 20 seg, cuál es su aceleración y la distancia recorrida desde que empezó a frenar? -Se trata de un MRUV, con variación negativa de la velocidad (la velocidad final es cero cuando termina de frenar). h(m) h max La función espacio es una parábola que pasa por el origen, porque el movimiento se considera cuando empieza a frenar, (e o = 0) y el tiempo inicial también es cero (t o = 0). La parábola es de rama descendente porque el término cuadrático es negativo (la aceleración de frenado es negativa). Entonces: e = v o (m/s) + ½ a(m/s 2 ) t 2 (s 2 ) Nota: El signo negativo de a se considerará al momento de reemplazar el valor numérico. v(m/s) 15 20 La función velocidad es una recta, que corta el eje de ordenadas en el valor 15 m/s, y corta el eje de abscisas en el tiempo que alcanza la detención, cuando la velocidad es cero, note que la pendiente de la recta es negativa, coincide con el signo de la aceleración. Entonces: v = 15 (m/s) + a (m/s 2) Nota: El signo negativo de a se considerará al momento de reemplazar el valor numérico. Para el cálculo de la aceleración lo hacemos con la función velocidad, conociendo que en el instante t = 20 (s) la velocidad v = 0; 15 (m/s) + a (m/s 2) 20(s) = 0 a = 0,75 (m/s 2 ) Para el cálculo de la distancia de frenado, reemplazamos el valor de aceleración y tiempo en la ecuación del espacio;
h = v o (m/s) ½ 9,8(m/s 2 ) t 2 (s 2 ); h max = 15(m/s) 20(s) ½ 0,75(m/s 2 ) 20(s 2 ) e frenado = 150 (m) 16. Un avión tiene una velocidad de despegue de 120 km/h. a) Qué mínima aceleración constante necesita la aeronave si puede carretear a lo largo de 240 m? b) En cuánto tiempo alcanza el avión la e(m) velocidad de despegue? 240 m -Se trata de un MRUV, con variación positiva de la velocidad (la velocidad final es mayor que la velocidad inicial). La función espacio es una parábola que pasa por el origen, porque el movimiento empieza en la referencia cero (e o = 0, el coeficiente del término independiente es cero) y el tiempo inicial también es cero (t o = 0). La parábola es de rama ascendente porque el término cuadrático es positivo (la aceleración es de signo positivo). Como la velocidad inicial v o =0, el coeficiente del término lineal es cero. v(m/s) v despegue t Entonces: e = ½ a(m/s 2 ) t 2 (s 2 ) La función velocidad es una recta que pasa por el origen de coordenadas, y tiene pendiente de signo positivo, coincide con el signo de la aceleración. Entonces: v = a (m/s 2) Convertimos las unidades de velocidad de (km/h) a (m/s): 120 km x 1000 m/ km = 120000 m 1 h x 3600 s/h = 3600 s v despegue = 120000 / 3600 (m/s); v despegue = 33,3 (m/s) Para el cálculo de la aceleración debemos resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, la aceleración y el tiempo. 240 m = ½ a(m/s 2 ) t 2 (s 2 ) 33,3 m/s = a (m/s 2)
Por el método de sustitución, despejamos el tiempo de la segunda ecuación y lo reemplazamos en la primera; t = 33,3 / a 240 m = ½ (33,3) 2 /2a ; despejando aceleración; a = (33,3) 2 m 2 /s 2 /2x240 m; a = 2,3 (m/s 2 ) Para el cálculo del tiempo de despegue utilizamos la función velocidad v = a (m/s 2) Despejamos el tiempo: t = v / a; t = 33,3(m/s) / 2,3(m/s 2 ); t = 14,8 (s) 4. Un automóvil color blanco parte desde Mendoza hacia Córdoba (distante 700 km) con una velocidad constante de 80 km/h y simultáneamente otro automóvil color rojo lo hace desde Córdoba hacia Mendoza a 100 km/h. Calcule el tiempo que transcurre hasta el encuentro y la distancia del punto de encuentro a la ciudad de Mendoza. -Se trata de dos movimientos MRU (velocidad constante). El auto blanco se mueve en sentido negativo al eje de referencia, por lo tanto la velocidad será con signo negativo (coincide con el signo negativo de la pendiente de la recta). También esta recta corta el eje de ordenadas en 700, que es la distancia inicial de partida del auto blanco. La función espacio será entonces: e blanco = 700 km 80 (km/h). t (h) e(km) Mendoza 700 Función espacio auto blanco e encuentro Función espacio auto rojo Córdoba t encuentro t(h)
El auto rojo parte desde Córdoba, que en el gráfico es la referencia cero, y la velocidad posee signo positivo porque coincide con el sentido positivo del movimiento, resultando así una recta con pendiente positiva y que pasa por el origen de coordenadas. La función espacio para el auto rojo es: e rojo = 100 (km/h). t (h) El gráfico de las dos funciones corresponde con un sistema de dos rectas que se cortan. La solución se obtiene resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. El punto de partida para la solución es entender que las coordenadas del punto de encuentro son iguales para ambos vehículos. Esto se explica observando que la distancia desde Córdoba hasta el punto de encuentro (e encuentro ) en el gráfico es la misma para el auto blanco que para el auto rojo. Lo mismo ocurre con el tiempo, para ambos vehículos el tiempo transcurrido hasta el encuentro es igual (t encuentro). Solución: Igualando los espacios e blanco = e rojo 700 km 80 (km/h). t (h) = 100 (km/h). t (h) Para despejar el tiempo, debemos agrupar los términos con la incógnita en el primer miembro 80 (km/h). t (h) - 100 (km/h). t (h) = -700 (km) t = 700 (km) / 180 (km/h) t = 3.89 h La distancia desde Córdoba hasta el punto de encuentro se obtiene reemplazando el tiempo calculado en alguna de las funciones espacio. Para una mejor ilustración lo haremos en ambas expresiones: e blanco = 700 km 80 km/h x 3,8 h = 388,8 km e rojo = 100 km/h x 3,89 h = 389 km