Lazos de control Ing. Leni Núñez
. Definición.. Elementos del lazo de control 3. Caracterización del proceso: Modelos dinámicos lineales.. Respuesta al impulso y función de transferencia.. Diagrama de bloques. 3. Espacio de estado. 4. Respuesta en tiempo.. Sistemas de primer orden.. Sistemas de segundo orden. 5. Planteamiento de esquema de control.. Control por realimentación.. Control por adelanto. 6. Herramientas para análisis y diseño de sistemas de control:. En el dominio de la frecuencia:. Lugar de las raíces.. Bode. 3. Nyquist.. En el espacio de estados. 7. Ejemplo de sistema de control (MATLAB).
Definición: Arreglo de elementos orientados al mantenimiento de condiciones específicas en un proceso, maquinaria o sistema.
Elementos del lazo de control: ALGORITMO DE CONTROL Acción manual. Feedforward. Feedback. Basados en modelo. On-Off RTD. Amperímetros. Watímetros. Medidores de presión. Frecuencímetros SENSORES ELEMENTOS FINALES DE CONTROL Motores. Válvulas. Solenoides. Resistencias. PROCESO (Industrial, Eléctrico, biológico, etc)
Caracterización del proceso: Modelos dinámicos lineales La caracterización del proceso es importante porque permite conocer la respuesta ante los estímulos que puedan ejercerse mediante los elementos finales de control. Las funciones de transferencia de los procesos son a menudo referidas como modelos. El modelo puede ser expresado de varias maneras, como: Funciones de transferencia. Diagramas de bloques. Espacio de estados. Redes neuronales.
Caracterización del proceso: Modelos dinámicos lineales Modelos Lineales: Son aquellas expresiones en las que se puede aplicar el principio de superposición, de manera que su salida puede ser analizada como la suma de las salidas de entradas superpuestas. Un modelo lineal puede ser expresado como una ecuación diferencial temporal. Si los coeficientes de dicha ecuación no cambian con el tiempo (son constantes) el sistema se conoce como Sistema Lineal Invariante con el Tiempo.
Caracterización del proceso: Modelos dinámicos lineales Modelos no Lineales: Son aquellas expresiones en las que no se puede aplicar el principio de superposición, bien porque los coeficientes de la ecuación diferencial temporal dependen de las variables del proceso modelado o por desviaciones de la representación lineal.
Caracterización del proceso: Modelos dinámicos lineales Función de transferencia: El modelo se expresa como la relación entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, asumiendo que todas las condiciones iniciales son cero. n n n n n n 0 m m m m m m 0 m m m m m m m m m 0 n n n n n n n n n 0 a s a s a... s a s a s a b s b s b... s b s b s b m n x, b dt dx b dt x d b... dt x d b dt x d b dt x d b y a dt dy a dt y d a... dt y d a dt y d a dt y d a = = X(s) Y(s) G(s)
Caracterización del proceso: Modelos dinámicos lineales Función de transferencia (Comentarios): Las funciones de transferencia no muestran las características físicas o estructurales del sistema, por lo que sistemas de naturaleza diferente pueden tener funciones de transferencia idénticas. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se puede conocer, mediante funciones de entrada convenientes, la respuesta a estímulos específicos. Si no se conoce la relación exacta entre entradas y salidas de un sistema, se puede aproximar su función de transferencia mediante la observación experimental de su respuesta a estímulos específicos.
Caracterización del proceso: Modelos dinámicos lineales Función de transferencia (Ejemplo): Consideremos el circuito eléctrico mostrado en la figura. Si se define e i como la entrada y e o como la salida y las condiciones iniciales son cero, la expresión para este sistema pudiera ser como la siguiente: Ce& o R eo = ei RCs E o(s) Eo( s ) = Con lo que la función de transferencia sería de la forma: G( S ) = RCs E ( s ) i
Caracterización del proceso: Modelos dinámicos lineales Diagramas de bloques: Es una representación gráfica de la función de transferencia de cada componente de un sistema, permitiendo su combinación y deducción de la función de transferencia global del sistema. Existen reglas para la combinación de bloques y para la simplificación de diagramas, con los que se facilita el uso de los mismos. X ( s ) Y( s ) Y( s ) G ( s ) = X( s )
Caracterización del proceso: Modelos dinámicos lineales Diagramas de bloques (Ejemplo): Considerando el circuito eléctrico usado en el ejemplo anterior, el diagrama de bloques pudiera ser expresado como se indica a continuación:
Caracterización del proceso: Modelos dinámicos lineales Representación en el espacio de estados: Esta técnica, a diferencia de las anteriormente referidas, se desarrolla en el dominio del tiempo y puede ser utilizado en sistemas lineales o no lineales y de múltiples entradas y salidas. A continuación algunas definiciones: Estado: Conjunto mínimo de variables, conocidas como variables de estado, que permiten describir completamente el comportamiento dinámico de un sistema, conociendo un estado inicial y la entrada del mismo. Espacio de estados: Espacio n-dimensional correspondientes a los ejes asociados a las n variables de estado que definen un sistema. Cualquier estado del sistema pueden ser definido como un punto en este espacio. NOTA: Las variables de estado pueden tener sentido físico o no, y pueden ser medidas o no.
Caracterización del proceso: Modelos dinámicos lineales Representación en el espacio de estados: Ecuaciones en el espacio de estados: Para un sistema cualquiera, lineal o no lineal, se tienen las siguientes ecuaciones: x& ( t ) = y( t ) = f ( x, u,t g( x, u,t ) ) Ecuación de estado. Ecuación de salida. Si se linealizan estas ecuaciones en un entorno del estado de operación, se obtienen las ecuaciones de estado y salida linealizadas: x& ( t ) = A( t ) x( t ) B(t) u( t ) y( t ) = C( t ) x( t ) D(t) u( t ) x& ( t ) = Ax( t ) Bu( t ) y( t ) = Cx( t ) Du( t ) Sistemas variantes con el tiempo Sistemas invariantes con el tiempo A: Matriz de estado. B: Matriz de entrada. C: Matriz de salida. D: Matriz de transmisión directa
Caracterización del proceso: Modelos dinámicos lineales Representación en el espacio de estados (Ejemplo): Considerando el circuito eléctrico usado en ejemplos anteriores, se puede pueden definir la entrada, la salida y la variable de estado: u( t ) = e i, y( t ) = e o, x( t ) = e o, x( & t ) = e& o Nótese que es un sistema de una dimensión (una variable de estado). Las ecuaciones en el espacio de estado resultan ser: x& ( t ) = RC y( t ) = x( t ) x( t ) RC u( t ) A =, B = RC RC C =, D = 0
Caracterización del proceso: Modelos dinámicos lineales Ejemplo de caracterización de sistema mecánico: Consideremos el sistema descrito en la figura. Aplicando el balance de fuerzas se obtendrá la representación temporal y a partir de la misma se pueden obtener las demás representaciones referidas. m && y by& ky = G( s ) = ms u bs k x x y x& x& = = = y y& 0 k m x 0 x b m x x 0 m u
Caracterización del proceso: Modelos dinámicos lineales Q i h Ejemplo de caracterización de proceso físico: Consideremos el sistema formado por un tanque vertical de área transversal constante A t, donde se vierte un líquido a un caudal Q i y se extrae el mismo a una tasa Q o, siendo el nivel h de líquido almacenado. dvl dh = Qi Qo, Vl = At h = ( Qi Qo ) dt dt At u ( t ) = Q u ( t ) = Q, y( t ) = h, x( t ) = h, x( & t ) = h& A t Nótese que es un sistema de una dimensión (una variable de estado). Las ecuaciones en el espacio de estado resultan ser: Q o i x& ( t ) = A y( t ) = x( t ) t o A t u u ( t ) ( t ) A = 0, B = C =, A t D = 0 A t
Caracterización del proceso: Respuesta en tiempo La respuesta en tiempo consta de dos partes: respuesta transitoria y respuesta en estado estable. La respuesta transitoria corresponde a un estado que evoluciona desde la aplicación del estímulo hasta el régimen estable. La respuesta en estado estable se alcanza luego de un tiempo considerable y tiene características de invariabilidad en el tiempo. El estado estable puede considerarse como el estado final alcanzado por el sistema al pasar el efecto transitorio. A continuación se presentan las respuestas típicas de sistemas de primer y segundo orden.
Caracterización del proceso: Respuesta en tiempo Sistemas de primer orden: La función de transferencia es de la forma G( s ) = = T Ts s ( ) T Respuesta al impulso unitario Respuesta al escalón unitario
Caracterización del proceso: Respuesta en tiempo Sistemas de segundo orden: La función de transferencia es de la forma donde, K : Ganancia. G( s ) = ζ : Factor de amortiguamiento relativo del sistema. ω n : Frecuencia natural no amortiguada. s K ζω s ω n n
Caracterización del proceso: Respuesta en tiempo Sistemas de segundo orden: Respuesta al impulso unitario Respuesta al escalón unitario
Planteamiento del esquema de control Representación de lazo de control: Pautas Lineamientos C(s) S(s) F(s) G(s)
Planteamiento del esquema de control Representación de lazo de control: Normalmente, los sensores y elementos finales de control son lineales o linealizados lo más posible a fin de no agregar complicación al lazo de control. En la práctica, los sensores son bastante lineales, con tiempos de respuesta reducidos, pudiéndose considerar constantes de proporcionalidad como funciones de transferencia. Los elementos finales de control requieren más estudio, al ser elementos que manejan niveles de energía importantes, considerándose normalmente tiempos de retardo y tasas limitadas de actuación.
Planteamiento del esquema de control Representación de lazo de control: La función de transferencia del algoritmo de control, en cambio, puede ser muy variada. En principio, se establece una filosofía de control, lo que determina la visión de cómo controlar el proceso. Las filosofías de control más comunes son: Control binario (On/Off). Realimentación (Feedback). Adelanto (Feed forward). En la retroalimentación se espera la existencia de una desviación y luego se procura corregirla. En el adelanto, se procura evitar las desviaciones antes de que sucedan.
Planteamiento del esquema de control Acción de control binario (On/Off): También conocido como Control por límites, esta estrategia prevé una acción de control sólo si la variable excede algún límite, bajo o alto, previamente establecidos. En consecuencia, existirá una banda de valores permisibles para la variable controlada donde no se modificará la acción de control, la cual es conocida como banda muerta, o banda diferencial. PV Variable sin control On/Off Banda diferencial t
Planteamiento del esquema de control Acción de control por realimentación: El control por realimentación es la filosofía de control más común en la industria. El estado deseado es comparado con el estado actual del proceso y se emite una acción en base a la desviación observada a fin de corregirla. Estado deseado /- Σ -/ C(s) e S(s) G(s) F(s)
Planteamiento del esquema de control Acción de control por realimentación: El algoritmo de control por realimentación más común es el que combina acciones proporcionales, integrales y derivativas, constituyendo un compensador de segundo orden: de( t ) Out( t ) = K Pe( t ) K I e( t )dt K D dt En donde, e(t) : Error o desviación entre el estado deseado y el medido. K P : Ganancia proporcional. K I : Ganancia integral. K D : Ganancia derivativa. Otra expresión, recomendada por ISA, es como sigue: Out( t de( t ) ) = K e( t )dt T P e( t ) d Ti dt
Planteamiento del esquema de control Acción de control por realimentación: La representación en función de transferencia sería de la forma siguiente, E( s ) O( s ) = K PE( s ) K I s O( s ) K Ds K Ps K I = E( s ) s K D se( s ) O( s ) = O( s ) = E( s ) K K P E( s ) P ( TT s T s ) i d T s i E( s ) T s i i T d se( s ) Modelo convencional Modelo ISA
Planteamiento del esquema de control Acción de control por realimentación: Existen múltiples variantes en las cuales se utilizan algunos de los términos del modelo PID, siendo los más comunes los controladores proporcionales puros y los proporcionales-integrales. Controlador proporcional puro: Se anulan las acciones integral y derivativas. Las acciones son instantáneas. Los límites de la salida se establecen según el rango de entrada y la ganancia proporcional. Mantiene una desviación para producir una salida distinta de cero. Se suma un término adicional (Bias) para corregir la desviación en el punto de operación normal.
Planteamiento del esquema de control Controlador proporcional puro: Bias SP /- Σ -/ e C(s) K P OUT PV Normalmente se utiliza el término Banda Proporcional definido por: % ΔPV BP = 00 = % ΔOut 00 K P e(t) OUT(t)
Planteamiento del esquema de control Controlador proporcional-integral: La acción integral provee un medio de cancelación de la desviación típica de los controladores proporcionales (off set). Es más utilizado para obtener un objetivo de control (estado) con mayor precisión. OUT(t) e(t)
Planteamiento del esquema de control Controlador proporcional-integral: SP /- Σ -/ e C(s) K s s P K I OUT PV e(t) OUT(t)
Planteamiento del esquema de control Acción proporcional-derivativa: La salida cambia como una respuesta a la tasa de cambio del error. Tiene características anticipativas, pues responde al ritmo de cambio para evitar alcanzar un valor indeseado. Es menos común en aplicaciones industriales porque responde a las variaciones espurias de las variables medidas (requiere filtrado). Resulta de mayor utilidad en procesos lentos (temperatura, nivel, por ejemplo). OUT(t) e(t)
Planteamiento del esquema de control Acción de control proporcional-derivativa: SP /- Σ -/ e C(s) K P K D s OUT PV
Planteamiento del esquema de control Control por adelanto (Feedforward): El control Feedforward es una estrategia usada para compensar perturbaciones en un sistema antes de que ellas afecten la variable controlada. En este caso, se mide una variable que pueda afectar la variable controlada, se predice su efecto y se aplica una acción correctiva anticipadamente al mismo. Variables no controladas Variables cuyo efecto se compensa Proceso Variable controlada FFC EFC
Planteamiento del esquema de control Control por adelanto (Feedforward): Para lograr la capacidad predictiva del FFC es necesario conocer la relación entre la variable cuyo efecto se desea suprimir y la variable controlada, en lo que constituye un modelo, total o parcial, del proceso. La calidad del control estará en función de la calidad del modelo usado. El comportamiento de otras variables no compensadas puede afectar a la variable controlada. El tiempo de respuesta del FFC debe ser menor que el tiempo muerto entre la presencia de la perturbación en la variable compensada y la manifestación del efecto en la variable controlada. Este tiempo muerto debe ser conocido para sincronizar la salida del controlador. Se pueden considerar múltiples variables como entrada al FFC y compensar el efecto combinado de las perturbaciones en ellas.
Herramientas para análisis y diseño de sistemas de control Una vez definidos los modelos correspondientes al proceso, los sensores y los elementos finales de control, y establecida la estrategia de control, se deben considerar en conjunto para formular la solución de control. En este sentido, se definen la entrada y la salida y se establecen las relaciones que describan el conjunto, bien utilizando técnicas asociadas a las funciones de transferencia, o mediante el análisis en el espacio de estados. Pautas Lineamientos C(s) S(s) G(s) F(s)
Herramientas para análisis y diseño de sistemas de control Para el análisis y diseño de sistemas de control asumiremos las siguientes condiciones: Entrada: señal de referencia o punto de ajuste (Seguimiento). Salida: variable de proceso referida a la señal de referencia. Control por realimentación. Uso de controlador PID. Sensores y elementos finales de control lineales definidos por S(s) y F(s). Bajo estas premisas, el diagrama de bloques resultante es como sigue: SP /- C(s) Σ e -/ K ( TT s T s ) P i d i T s i F(s) G(s) y m S(s)
Herramientas para análisis y diseño de sistemas de control De acuerdo al álgebra de diagramas de bloques, el diagrama anterior puede ser expresado como: Pautas Lineamientos Y( s ) SP( s ) F( s ) S( s ) G( s ) K P T s F( s ) S( s ) G( s ) K i ( TT i d s Ti s ) ( TT s T s ) = y En gran medida, el análisis del sistema de control se basará en el estudio de estabilidad de esta función de transferencia, para lo cual resulta esencial la determinación de los polos de la misma, es decir, de las raíces de la ecuación característica. Como se puede observar, los polos de las raíces de la ecuación característica se modificarán variando los parámetros de configuración del controlador. Los métodos de análisis que se presentan persiguen la determinación de parámetros adecuados para asegurar la estabilidad del sistema. P i d i
Herramientas para análisis y diseño de sistemas de control Otra posibilidad muy común en procesos es definir la entrada como una perturbación que se desea compensar, quedando el punto de ajuste fijo. En ese caso, el diagrama resultante tendría la siguiente forma: d Σ G(s) y - F(s) K ( TT s T s ) P i d i T s i C(s) e Σ /- -/ m S(s) SP
Herramientas para análisis y diseño de sistemas de control Premisas para el diseño de lazos de control: Cuando se diseña un lazo de control normalmente se persiguen los siguientes objetivos: Que el sistema sea estable. Que exista una rápida convergencia hacia el objetivo de control. Que los efectos del estado transitorio se minimicen o estén dentro de ciertos límites.
Herramientas para análisis y diseño de sistemas de control Análisis mediante el método del lugar geométrico de las raíces (W. R. Evans): Es un método en el cual se representan gráficamente los polos (raíces de la ecuación característica) como función de los parámetros de configuración, especialmente de la ganancia de lazo cerrado. La selección de los parámetros será tal que ubique las raíces en el lado izquierdo del plano complejo.
Herramientas para análisis y diseño de sistemas de control Análisis mediante el método del lugar geométrico de las raíces (W. R. Evans): Ejemplo: SP m Σ - K e ( s )( s ) y Función de transferencia del lazo cerrado Y( s ) = SP( s ) s K 3s ( K )
Herramientas para análisis y diseño de sistemas de control Análisis mediante el método del lugar geométrico de las raíces (W. R. Evans): Ejemplo:
Herramientas para análisis y diseño de sistemas de control Análisis mediante el método del lugar geométrico de las raíces (W. R. Evans): Ejemplo: SP m Σ - K e s( s )( s ) y Función de transferencia del lazo cerrado Y( s ) = SP( s ) s 3 3s K s K
Herramientas para análisis y diseño de sistemas de control Análisis mediante el método del lugar geométrico de las raíces (W. R. Evans): Ejemplo:
Herramientas para análisis y diseño de sistemas de control Análisis mediante el método del lugar geométrico de las raíces (W. R. Evans): Ejemplo: Proceso de primer orden con controlador proporcional puro. Sea la función de transferencia del proceso G( s ) = s Función de transferencia de lazo cerrado será entonces (se asume S(s)= y F(s)=): Y( s ) K P = SP( s ) s K En donde se concluye que el sistema es inherentemente estable. P
Herramientas para análisis y diseño de sistemas de control Análisis mediante el método del lugar geométrico de las raíces (W. R. Evans): Ejemplo: Igual al anterior, pero con controlador proporcional integral. Función de transferencia de lazo cerrado será entonces (se asumen S(s)= y F(s)=): Y( s ) ( K PTi s ) ( K PTi s ) = = SP( s ) s( s ) ( K PTi s ) s ( K PTi ) s K PTi < 0 K PTi > Con lo que se concluye que el sistema es inherentemente estable.
Herramientas para análisis y diseño de sistemas de control Análisis mediante el método del lugar geométrico de las raíces (W. R. Evans): Ejemplo: Control proporcional y función de transferencia del proceso de segundo orden. G( s ) = ( s )( s ) Función de transferencia de lazo cerrado será entonces (se asumen S(s)= y F(s)=): Y( s ) K P = SP( s ) s 3s K ( ) Con lo que se concluye que el sistema es inherentemente estable. P
Herramientas para análisis y diseño de sistemas de control Análisis mediante el uso de diagramas de BODE: Los diagramas de fase y magnitud de bode pueden ayudar en el análisis de los lazos de control si se considera que la ecuación característica se cancela cuando la ganancia de lazo abierto es unitaria y de 80º de fase (-). Su uso está limitado en la práctica, prefiriéndose para diseños de filtros y otros circuitos relacionados con el espectro de frecuencias. C( s )S( s )G( s )F( s ) = C( s )S( s )G( s )F( s ) = φ o ( C( s )S( s )G( s )F( s )) = 80
Herramientas para análisis y diseño de sistemas de control Análisis mediante el uso de diagramas de Nyquist: Los diagramas de Nyquist son cartas polares donde se grafica el módulo de la función de transferencia versus el ángulo de fase de la misma. La principal ventaja de estas gráficas es que se representa la información de fase y magnitud en una sola carta.
Herramientas para análisis y diseño de sistemas de control Análisis mediante el uso de diagramas de Nyquist:
Herramientas para análisis y diseño de sistemas de control Análisis en el espacio de estados: Esta técnica está basada en el dominio del tiempo y es conveniente cuando se tienen múltiples entradas al sistema que se controla. En lugar de funciones de transferencia entradas salidas, se considera un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. Controlabilidad: Es posible transferir el sistema con una acción de control desde un estado inicial a cualquier otro que se requiera. Este concepto puede ser aplicado a un estado cualquiera o, en especial, a la salida. Observabilidad: Es posible reconstruir cualquier estado a partir de la salida (Base para diseño de observadores de estado o medidores virtuales).
Herramientas para análisis y diseño de sistemas de control Análisis en el espacio de estados: Una técnica comúnmente usada es la de ubicación de polos. En ella se supone que todas las variables de estado son medibles y están disponibles para realimentarlas. Las técnicas de análisis en espacio de estado se basan preferentemente en simuladores y ofrecen respuestas en tiempo directamente.
Herramientas para análisis y diseño de sistemas de control En general, los métodos para diseño de los sistemas de control, bien sea en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia compleja, permiten incorporar elementos con funciones de transferencia convenientes para lograr una respuesta deseada del sistema. Los elementos más comúnmente utilizados son compensadores por adelanto o atraso y elementos de tiempo muerto. El uso de modelos que corren en simuladores digitales en línea con el proceso ha brindado una nueva dimensión al diseño de sistemas de control, requiriéndose el uso de esos simuladores durante el diseño para validar los esquemas que se propongan. El planteamiento meramente teórico queda normalmente de referencia o para estudios de gran profundidad debido a su complejidad. El trabajo en el dominio del tiempo brinda en los sistemas digitales las respuestas temporales, pudiendo los usuarios evaluar directamente los resultados.
Herramientas para análisis y diseño de sistemas de control Ejemplos usando MATLAB.