Actividad III. - Ley de Ampere Ley de Biot- Savart Medición del campo magnético terrestre Objetivo Estudio del campo magnético de espiras y bobinas. Determinación del campo magnético terrestre en el laboratorio. Introducción La ley de Ampere es una de las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo; [1-] junto a la Ley de Biot-Savart sirve para obtener el campo magnético que produce una dada distribución de corrientes. En esta actividad usamos los resultados que dan estas leyes para el campo magnético de espiras y obtenemos el campo magnético terrestre en el laboratorio. También determinamos experimentalmente el campo magnético de bobinas e imanes permanentes usando sensores de efecto Hall y comparamos los resultados con las predicciones teóricas surgidas de las leyes de Ampere y de Biot-Savart para esos sistemas. Proyecto 1.- Campo magnético terrestre Equipamiento básico recomendado: Fuente de tensión variable de 0 a 1V, continua (DC) y corriente de hasta 1 A. Miliamperímetro y una espira de algunos centenares de vueltas y diámetro entre 15 a 0 cm. Una brújula. Usando una brújula, una fuente de tensión o corriente, un amperímetro y una bobina con algunos centenares de espiras, arme un circuito como el ilustrado en la Fig..1. El objetivo es poder aplicar y medir una corriente variable (i < 1A) por la bobina de modo de producir un campo magnético conocido en la posición de la brújula. Aquí llamamos bobina a un conjunto de espiras de alambre conductor, en un arrollamiento compacto de forma circular. Suponemos que las N espiras están agrupadas de manera que el espesor de la bobina que forman es mucho menor que el radio de la bobina. Física re-creativa S.Gil y E. odríguez Prentice Hall Buenos Aires 001 1
Figura.1 Esquema del arreglo experimental para medir el campo magnético terrestre. A la izquierda se ilustra el circuito eléctrico y a la derecha se muestra un esquema completo. Diseñe el dispositivo experimental de modo que le permita mantener la bobina con su eje orientado en la dirección este-oeste. También es útil disponer de una regla orientada sobre el eje de la bobina para medir la posición de la brújula sobre el eje (eje z) a distintas distancias de la bobina. Para esta parte supondremos conocido el campo magnético en el centro de la bobina de radio, con N espiras y por las que circula una corriente I medida en Ampere. La componente z del campo magnético B en el centro de la bobina está en la dirección de su eje y su valor es: [1,] B z z = 0) = µ ( 0 I N (.1) donde µ 0 = 4 π 10-7 Tesla.m/A. Física re-creativa S.Gil y E. odríguez Prentice Hall Buenos Aires 001
El método consiste, en primer lugar, en determinar con la brújula la dirección del campo magnético terrestre. Luego se ubica la bobina de modo que su plano esté en la dirección del campo magnético terrestre, o sea que su eje esté en la dirección este-oeste. Se coloca la brújula en el centro de la bobina y se comienza a incrementar lentamente la corriente por ella. La aguja de la brújula se orientará en la dirección del campo magnético resultante de combinar el campo magnético de las espiras, B e, y el terrestre, B T. Tomamos la dirección norte-sur para medir los ángulos, es decir tomamos como θ=0 0 la orientación de la aguja cuando la corriente por la bobina es cero.!"demuestre que el ángulo de orientación de la aguja de la brújula está relacionado con el cociente de B e (I) y B T a través de: B e ( I) tan( θ ) = (.) B T!"Cuando θ = 45º, el campo magnético de la espira (conocido) es igual al terrestre. Ajuste la corriente por la bobina de modo que se cumpla esta condición y determine el valor de B T de esta manera.!"un modo mejor de determinar el valor de B T, consiste en representar tan(θ) en función de I. Según (.1) y (.) tenemos: B ( I) N e µ tan( θ ) = = 0 I B B (.) T T Obtenga B T de la regresión lineal y acote su incertidumbre. Proyecto.- Campo magnético axial de una bobina En este caso use la misma geometría y orientación que en el punto anterior y coloque además una regla a lo largo del eje z de la espira de modo de poder desplazar en forma paralela la brújula a lo largo del eje z (eje de la espira). Determine el ángulo de orientación θ de la aguja de la brújula a medida que la misma se aleja del centro de la espira a lo largo de eje z. A partir de las mediciones de θ en función de z, determine el valor del campo magnético de la espira a lo largo de su eje, Bz(z). Para esto use la Ec. (.) y el valor que obtuvo para el campo terrestre B T en el experimento anterior. Para este experimento es importante que no existan materiales ferromagnéticos en las adyacencias del dispositivo experimental.!"epresente en un gráfico el valor experimental de Bz(z) como función de z. En la misma figura, represente la función f ( z) 0 = µ, (.4) I N ( + z ) / Física re-creativa S.Gil y E. odríguez Prentice Hall Buenos Aires 001
que describe el campo magnético axial de una bobina de radio, espesor d<< y con N espiras, por la que circula una corriente I. []!" Cómo se comparan los valores experimentales con las expectativas teóricas, Ec. (.4)? Discuta sus resultados. Proyecto.- Medición de campos magnéticos usando una sonda de efecto Hall Equipamiento básico recomendado: Fuente de tensión variable de 0 a 1 V, continua (DC) y corriente de hasta 1 A. Miliamperímetro y una bobina de algunos centenares de vueltas y diámetro entre 15 a 0 cm. Un sensor Hall conectado a un voltímetro. Las sondas Hall son sensores de campo magnético basados en el efecto Hall [] que permiten medir con gran precisión la componente del campo perpendicular a su plano de trabajo. Cuando se hace circular una corriente por el sensor, éste desarrolla un voltaje transversal a la corriente (voltaje Hall), V H, que es proporcional al valor de la componente del campo magnético perpendicular al plano de la sonda, B, y a la intensidad de la corriente, I H, que pasa por la sonda (ver Fig..). Si la corriente I H se mantiene fija, la medición de V H representa una medición de B si se conoce la curva de calibración del sensor. Estas sondas son, por lo general, películas delgadas del material semiconductor GaAs y deben usarse con una corriente lo más estable posible. Actualmente se consiguen sondas Hall en miniatura (área sensible 0.1 mm x 0.1 mm) que desarrollan un voltaje Hall del orden de los 100 mv cuando se les aplica un campo B 1000 Gauss y la corriente es I H 5 ma. Figura. Sonda Hall. La corriente I H se aplica por dos puntos y circula a lo largo del sensor, y el voltaje Hall V H se mide entre dos puntos en la dirección transversal. Física re-creativa S.Gil y E. odríguez Prentice Hall Buenos Aires 001 4
Para poder usar un sensor Hall es importante determinar su plano de trabajo, lo que puede lograrse colocando el sensor en una zona donde se conozca la dirección del campo magnético, por ejemplo en el centro de una espira, un solenoide o bien enfrentada con el polo magnético de un imán permanente, que por simetría nos permita saber la dirección de su campo. Al girar el sensor se encuentran dos orientaciones opuestas donde el valor del potencial Hall pasa por un máximo y mínimo respectivamente; esta dirección define el eje perpendicular al plano del sensor Hall. Diseñe un mecanismo (que no contenga materiales magnéticos) que le permita desplazar la sonda Hall desde el centro de una espira o bobina hasta una distancia de aproximadamente 5 cm, de modo que en todo momento la orientación de la sonda no cambie respecto de la espira. Con la sonda Hall orientada de manera que le permita medir la componente z del campo magnético de la espira, varíe su posición sobre el eje de la espira y mida el valor de la tensión Hall, V H, en función de la distancia z.!"epresente gráficamente el valor del voltaje Hall, V H, para distancias entre z = 0 y 5 cm aproximadamente.!"en el mismo gráfico, represente el valor de la función g( z) = V ( z = 0), (.5) H ( + z ) / con la que puede modelarse la dependencia del campo magnético axial de la espira con la distancia z. []!"A partir de este gráfico establezca la calibración de la sonda Hall, es decir encuentre la relación entre V H y B (componente de B perpendicular al plano del sensor). Una vez calibrado, este sensor puede usarse como indicador del campo magnético.!"explore qué ocurre cuando se rota el sensor Hall 180º respecto de su eje, de modo que el campo magnético entre por el plano opuesto del sensor.!"explore lo que ocurre si acerca al dispositivo de medición un trozo de hierro común. Proyecto 4.- Campo magnético de un imán permanente Equipamiento básico recomendado:. Un sensor Hall conectado a un voltímetro y preferentemente calibrado y un imán permanente cilíndrico. Los imanes de tierras raras son particularmente adecuados para este experimento. Usando un sensor Hall, estudie la variación del campo magnético de un imán permanente de forma cilíndrica. Estudie en particular la variación de B z (z) (z: eje del cilindro) y B z (x) (x: eje perpendicular a z y que pasa por el centro del cilindro). El Física re-creativa S.Gil y E. odríguez Prentice Hall Buenos Aires 001 5
objetivo de este experimento es lograr modelar el campo magnético del imán permanente. Para ello represente en un mismo gráfico:!"los valores experimentales B z (z) (calculados usando la medición de V H y la curva de calibración de la sonda) en función de z.!"los valores teóricos del campo B z (z) de una espira Ec.(.4) de radio igual al del imán. Varíe el valor de I en la función, de modo de lograr el mejor ajuste posible a sus datos experimentales.!"los valores experimentales B z (x) en función de x.!"los valores teóricos del campo B z (x) en función de x para una espira o dipolo magnético en una dirección perpendicular al eje de los mismos; esto es: µ B z ( x) = 0 I, para x >, (.6) 4 x Para este último gráfico, utilice el mismo valor de I que usó para representar el valor teórico de B z (z) en función de z.!"a partir de sus gráficos, discuta si el modelo de una espira de diámetro igual al de su imán representa una distribución de corrientes adecuada para modelar su imán permanente. De ser este modelo adecuado, elabore sobre las razones físicas que lo justifiquen. Bibliografía 1. E. M. Purcell, Berkeley physics course,volumen, Electricidad y Magnetismo (everté, Barcelona, 1969).. M. Alonso y E.J. Finn, Fsica, Vol.II, Campos y Ondas (Fondo Educativo Interamericano, México, 1970; ed. inglesa de Addison-Wesley, eading, Mass., 1967).. D. Halliday,. esnick y J. Walker, Física para estudiantes de ciencias e ingeniería, 4ª ed., traducción de Fundamentals of Physics (John Wiley & Sons, Inc., New York, 199). 4. J. eitz y F.J. Milford, Fundamentos de la teoría electromagnética (Unión Tipográfica, Ed.Hispano-Americana, México, 1969; traducción de Foundation of electromagnetic theory (Addison-Wesley Pub. Co. Inc., eading, Mass., 1967). Física re-creativa S.Gil y E. odríguez Prentice Hall Buenos Aires 001 6
Nota Ley de Biot y Savart: elaciona el valor del campo magnético con las corrientes que lo producen:!!! µ 0 i r dl db = (Ν 1) 4 π r donde µ 0 =4π.10-7 T.m /A = 4π.10 - Gauss.m/A. El valor del campo magnético en un punto se obtiene por integración de (Ν 1) sobre los lugares donde hay corrientes. Ley de Ampere: c # # B d " = i + ε µ 0 0 dφ dt E (N-) donde la integral se realiza sobre una curva cerrada, c; i es la corriente que atraviesa el camino de integración. El segundo término de (N-) es la corriente de desplazamiento que debe considerarse cuando existen campos eléctricos variables. Campo magnético de una bobina de N espiras de radio por la que circula la corriente i, y a una distancia z del centro sobre su eje: B( z) 0 = µ i (N-) ( + Z ) / Bobina de Helmholtz: Este sistema consiste de dos bobinas de radio y N espiras cada una, separadas una distancia igual a su radio. Si designamos con z la distancia sobre el eje común al punto medio entre las dos bobinas, tenemos: 4 N i 8 () 144 z / B z ( z) = µ 0 1 / (N-4) 5 15 Física re-creativa S.Gil y E. odríguez Prentice Hall Buenos Aires 001 7