Cálculo del radio de la Tierra. Método de Eratóstenes ( Siglo III a.c.) Introducción histórica El griego Eratóstenes vivió en Alejandría entre los años 276 a. C. y 194 a. C. Era un conocido matemático, astrónomo y geógrafo de la época. Entre otros trabajos uno de los más conocidos y aplicados en la actualidad es la denominada Criba de Eratóstenes para el cálculo de números primos. El estudio del matemático griego que en este tema nos atañe es el del cálculo de las dimensiones terrestres mediante un experimento tan sencillo que podremos hacerlo en el instituto de forma muy sencilla como veremos más adelante. Describamos el experimento realizado por Eratóstenes: se sabía que en Siena (hoy Asuán en Egipto) los días próximos al solsticio de verano el Sol al mediodía no proyectaba sombras, es decir estaba en el perpendicular con la horizontal terrestre. En cambio el mismo día a la misma hora en Alejandría esto no ocurría y los palos tenían sombra. Mediante esta observación Eratóstenes no sólo le valió para darse cuenta de que la Tierra no era plana sino para calcular el radio de la Tierra!!!. Vamos a ver gráficamente el experimento a fin de entenderlo mejor: Si la Tierra es esférica: Alejandría Siena Alejandría Siena
Si la Tierra fuera plana Alejandría Siena A partir de estos esquemas gráficos habrás observado la necesidad de que la Tierra sea redonda para que se cumpla lo observado por Eratóstenes. Si te fijas bien en el esquema primero (donde la Tierra es esférica) podemos observar que los ángulos que marcan la diferencia de latitud entre las dos ciudades ( ) y el ángulo de los rayos solares con el palo en Alejandría ( ) son iguales, pues los lados que forman ambos ángulos son paralelos. De esta forma calculando el ángulo que forma el palo de Alejandría con los rayos solares (con la arcotangente del cociente del tamaño de la sobra y el del palo) hemos calculado la diferencia de latitud. Así lo hizo Eratóstenes y calculó este ángulo cuyo resultado fue 1/50 parte de la circunferencia, es decir, 7 o 12'. Posteriormente, tomó la distancia estimada por las caravanas que comerciaban entre ambas ciudades, aunque bien pudo obtener el dato en la propia Biblioteca de Alejandría, fijándola en 5000 estadios, un estadio 174.25 m, que equivale a 871,25 km. Con estos resultado con una simple regla de 3 llegó a la siguiente conclusión: Diferencia Latitud Distancia 1/50 partes circunferencia 871,25 km 1 circunferencia x=longitud circunferencia X=871.25 50=43562.5 km.
Radio Tierra= longitud/(2 )=6933 m (radio real 6370 m, error inferior al 10%) Algunas consideraciones: Para hacer la medición de las sombras es necesario que la medición se haga a la misma hora solar, esta sólo ocurre en el mismo instante sólo si nos encontramos en ciudades con la misma longitud (en el mismo meridiano). La diferencia entre las dos ciudades elegidas por Eratóstenes se diferencia en casi 3 o. Hazlo con tu clase Consideraciones previas Vamos a realizar la experiencia con tus compañeros de clase. Para realizar la experiencia necesitas buscar la colaboración de otro instituto, cuanto más diferencia de latitud con el tuyo mejor saldrá la experiencia. Dos son las dudas que se plantean a la hora de repetir el experimento: 1) necesitamos que los dos institutos estén en el mismo meridiano? 2) es necesario que el sol en uno de los institutos no proyecte sombra? Vamos a resolver estas dos dudas: 1) Para hacer las medidas es necesario que el instante cuando miremos la sombra sea la misma hora solar, es decir el sol estar en la misma posición en los dos centros. Si los dos centros no están en la misma longitud entonces tendremos que buscar el instante en cada centro en el que la hora solar sea la misma. Elegiremos la hora solar más reconocible, el mediodía solar. Es fácil reconocer este momento, por las siguientes características: a. El sol ocupa la posición más alta del día (menor sombra) b. El sol está en el Sur del horizonte (la sombra cae al Norte) La hora de reloj del mediodía varía según la época del año y la longitud del centro. Para calcularlo tendremos en cuenta las siguientes consideraciones: En España estamos una hora adelantados respecto a la hora Europea. Así hay que sumar una hora a la hora del mediodía (12 h) En invierno con el cambio de hora tendremos que sumar otra hora. La hora de nuestros relojes está referida al centro del uso horario, en España el meridiano de Greewich. Así al Oeste de este meridiano (que marca longitud 0 o ) tendremos que sumar el tiempo que tarda el sol en llegar a la latitud del local. Si el centro se encuentra al Este del Meridiano hay que restar el tiempo que tardó en Sol en llegar al meridiano de Greenwich desde el lugar. Este valor se calcula con una sencilla regla de tres (24 horas 360 o ). Veamos dos ejemplos:
León: Longitud -5,57 o, tendremos que sumar a la hora 5,57 o =22 min Girona : Longitud 2,8 o tendremos que restar 2,8 o =11min Ecuación del tiempo: es la diferencia entre el tiempo solar medio (medido generalmente por un reloj) y el tiempo solar aparente (tiempo medido por un reloj de sol). Genera aun gráfica de esta forma Ecuación del tiempo Para asentar conceptos veamos la hora real del mediodía solar en León el día 90 del año (comienzo de marzo). Hora mediodía =12h+1h Iinvierno)+1h (horario de España)+22 min+- 6(ecuación del tiempo)=14:16 minutos Meridiano de Greenwich 2) El Sol sólo se sitúa en la vertical en días de verano de latitudes más próximas al ecuador. Pero esto no limita realizar la experiencia, pues la diferencia de latitud de los dos centros se calcula restando los ángulos que forma es Sol en los institutos.
Toma de Medidas y calcula el radio Elegimos un día (y esperamos que sea soledo ), nuestro objetivo es calcular la altura solar (ángulo que forma el sol con un gnomo o palo perpendicular al suelo) en el mediodía. Para calcular este ángulo vamos a hacer varias medidas una hora antes y otra después del mediodía (recuerda como se calcula). Situamos un palo perpendicular al suelo, podemos usar un recogedor y una plomada para asegurar la perpendicularidad con el suelo. Marcamos la posición en el suelo de la vertical del palo que nos da la sombra y situamos papel de kraf en el suelo para poder situar sobre él la sombra del palo. Cada cinco minutos marcamos la posición del extremo de la sombra, así como la hora. La sombra se mueve del Oeste a Este (al revés del sol), además hasta el mediodía la sombra disminuye de tamaño y a partir de mediodía aumenta. Cuando tengamos las marcas y las horas analizamos las mismas con el fin de determinar la hora del mediodía y el tamaño de la sombra en este momento (sombra más pequeña en el mediodía). Podemos hacer esto de observando el tamaño de la sombra y cogiendo el valor menor o usar una herramienta informática (como Excel) para representar el tiempo frente al tamaño cuya gráfica es una parábola, siendo el vértice de la misma el punto que nos marca la hora del mediodía y la sombra al mediodía. Veamos un ejemplo para asentar ideas:
Recuerda que el vértice se calcula a partir de la expresión analítica de segundo grado y=ax 2 +bx+c siendo V(x 0, y o ) con x o =- (hora del mediodía solar) e y o =f(x 0 ) (sombra del palo en el mediodía solar). Sólo nos falta calcular el tamaño del palo (gnomon) y con el tamaño de la sombra calcular el ángulo que forma el sol con el palo (altura solar) a partir de la tangente.
α l d Ya tienes el valor de tu ángulo, ahora a esperar que tus compañeros del otro instituto hayan hecho lo mismo. La diferencia entre estos dos ángulos debería ser la diferencia de latitud entre ambos centros. Utiliza algún programa informático como sigpac para ver la distancia (sólo en latitud) entre los dos centros y mediante una regla de tres y ya tienes calculado la longitud de la circunferencia terrestre! León Málaga