TUBO DE KUNDT ONDAS ESTACIONARIAS 1. OBJETIVO Estudio de ondas acústicas y su propagación en el interior del tubo de Kundt. Cálculo de la velocidad del sonido. 2.- FUNDAMENTO TEÓRICO La resultante de dos ondas de la misma naturaleza (igual amplitud y frecuencia), que se encuentran en una región finita del espacio, es una nueva onda, denominada onda estacionaria, cuya perturbación es la suma de las perturbaciones de las ondas originales. La ecuación de onda de la onda estacionaria se caracteriza por tener variables separables. Dependiendo de las condiciones en los extremos, la parte espacial de la onda se describirá por la función seno o coseno, siendo la forma más genérica de escribirla: y(x, t) (A sen kx + B cos kx). sen (ω t) (1) Por ejemplo, en el caso de una onda estacionaria con condición de mínimo en el extremo x0, tendremos: y(x 0, t) (A sen 0 + B cos 0). sen (ω t) 0 t lo que supone que B tiene que ser cero y la parte espacial de la onda viene descrita por la función seno: y(x, t) A sen kx. sen (ω t) Ampl(x). sen (ω t) siendo: Ampl(x) A sen kx De esta forma, la amplitud es función de la posición x en el medio material, denominándose vientres o antinodos a las posiciones x donde la amplitud es máxima, y nodos a los puntos donde la amplitud es nula. Así, para el caso analizado, donde la parte espacial de la onda viene dada por la función seno, tendremos: VIENTRES: sen(kx)±1 kx(2n+1)π/2 (n número entero) NODOS: sen(kx)0 kxnπ (n número entero) (2) En el caso de que la parte espacial venga descrita por la función coseno, tendremos: VIENTRES: cos(kx)±1 kxnπ (n número entero) NODOS: cos(kx)0 kx(2n+1)π/2 (n número entero) (3) - 1 -
En ambos casos podemos ver que la distancia entre dos vientres o dos nodos consecutivos es igual a media longitud de onda (λ/2) y la distancia entre un vientre y un nodo consecutivo es igual a un cuarto de longitud de onda (λ/4). Ondas sonoras Una onda sonora es una onda (longitudinal) producida a consecuencia de los cambios de presión en un fluido (simplificamos la situación a una columna de gas). En este caso, se produce una variación de la presión a lo largo del tubo (ondas de presión), así como un desplazamiento de las moléculas del gas alrededor de su posición de equilibrio (ondas de desplazamiento). Las ondas de presión y las ondas de desplazamiento están desfasadas en 90º, de forma que en los puntos de máximo desplazamiento la presión es nula, y viceversa. Los tubos que contienen columnas gaseosas pueden tener los dos extremos cerrados, abiertos o un extremo abierto y el otro cerrado. Tubo cerrado por ambos extremos: en este caso, aparecen en los extremos del tubo un vientre de presión acústica (ver figura 1) (y por tanto un nodo de desplazamiento). Figura 1: Ejemplo de algunos modos de vibración en ondas de presión. - 2 -
Como podemos observar, para los diferentes armónicos tenemos: λ 2L n n número entero (4) Las ondas sonoras se desplazan con velocidad v s (velocidad del sonido en el medio), de forma que: λ v s λ. ν (5) T Así, las frecuencias de los distintos armónicos serán: ν v λ s v s n 2L n número entero (6) Tubo abierto ambos extremos: en este caso aparecen en ambos extremos nodos de presión (vientres de desplazamiento). Puede comprobarse que los valores de las frecuencias de los distintos armónicos vienen dados de nuevo por la expresión (6). Tubo abierto por uno de sus extremos y cerrado por el otro: en este caso, en el extremo cerrado tendremos un vientre de presión (y por tanto un nodo de desplazamiento), mientras que en el extremo abierto aparecerá un nodo de presión (y por tanto un vientre de desplazamiento). Figura 2: Ejemplo de algunos modos de vibración en ondas de presión - 3 -
Como podemos observar, para los diferentes armónicos tenemos: λ 4L (2n + 1) n número entero (7) En este caso, las frecuencias de los distintos armónicos serán: ν v λ s v s (2n + 1) 4L n número entero (8) 3.- MATERIAL UTILIZADO Tubo de Kundt de vidrio con escala graduada y altavoz Micrófono de varilla Caja de alimentación para el micrófono Generador de funciones 4.- EXPERIMENTACIÓN El tubo de Kundt es un dispositivo que permite estudiar las ondas estacionarias generadas en su interior. Consta de un tubo de vidrio cerrado en ambos extremos por tapones fijos. En uno de ellos se encuentra montado un altavoz, el cual está conectado a un generador de funciones. Por el otro extremo del tubo se introduce un pistón deslizable provisto de un micrófono y conectado a un osciloscopio. El altavoz transforma las señales producidas por el generador de funciones en ondas sonoras, y el micrófono detecta estas ondas y las transforma en señales eléctricas que son observadas en el osciloscopio. Cuando la frecuencia de la onda generada por el altavoz coincida con una de las frecuencias posibles de los distintos armónicos dadas por la expresión (6) ó (8), según el caso se produce un fenómeno de resonancia entre ambas ondas, lo que refuerza la onda, observándose un máximo en el osciloscopio. 4. 1 Cálculo de la velocidad del sonido en tubos cerrados por ambos extremos. Seleccionen una longitud del tubo de Kundt con la ayuda del disco negro móvil, que puede introducirse en el interior del tubo, y de la varilla de desplazamiento. Inserten el micrófono en el disco móvil y colóquenlo en su extremo. El micrófono a su vez va conectado a una caja de conexiones que debe estar en la posición ON durante toda la experiencia. Enciendan el osciloscopio y el generador de funciones. Para conocer el funcionamiento de ambos equipos consulten la información que acompaña a la práctica. Para localizar las frecuencias resonantes (y por tanto las frecuencias de los diferentes armónicos) varíen el selector de frecuencias del generador (entre 20 y 20000 Hz) y con ayuda del - 4 -
osciloscopio localicen los distintos máximos de presión. Es suficiente para la realización del estudio tomar los valores de las frecuencias para los siete primeros armónicos. Para cada frecuencia de resonancia se debe determinar también experimentalmente el valor de la longitud de onda. Para ello, desplacen el micrófono a lo largo del tubo de Kundt y sabiendo que la distancia entre dos nodos o dos vientres es igual a λ/2 y la distancia entre un nodo y un vientre es igual a λ/4, determinen λ. L ν (Hz) λ (cm) Representen νf(1/λ), y determinen la velocidad de propagación del sonido, a partir de la expresión (5), realizando una regresión lineal o ajuste por mínimos cuadrados a los datos. Para poder comparar ésta velocidad del sonido calculada experimentalmente con el valor real de la velocidad del sonido, hay que tener en cuenta las condiciones atmosféricas, presión o temperatura, así como las características del gas (el aire) en el que se propaga la onda. La velocidad del sonido en un gas se relaciona con la temperatura según la expresión: v γ RT M donde γ es el coeficiente adiabático del aire, R la constante de los gases ideales, T la temperatura y M la masa molar del gas. Tanto R, como γ y M son valores constantes, luego conociendo el valor de la velocidad del sonido a una temperatura dada, podremos calcular la velocidad del sonido a la temperatura a la que se realiza la experiencia. T' v ' v (9) T Usando esta expresión, determínese la velocidad del sonido en las condiciones ambientales del laboratorio (midiendo la temperatura en un termómetro), usando como valor de referencia el valor de la velocidad del sonido a 20ºC, dado por: v s (20 o C)343,7 m s -1 Expresen el error relativo cometido al comparar el valor de la velocidad del sonido calculada de manera experimental con el valor teórico hallado según la expresión (9). - 5 -
4. 2 Cálculo de la velocidad del sonido en tubos cerrados por un extremo y abiertos por el otro. Coloquen ahora el micrófono en el extremo abierto del tubo (extremo opuesto al del altavoz) y localicen, con la ayuda del osciloscopio, los mínimos de presión. Varíen, al igual que en el apartado anterior, el selector de frecuencias del generador entre 20 y 20000 Hz. Tomen los valores de las frecuencias de resonancia y de las longitudes de onda, para los siete primeros armónicos, de manera similar a como se realizó en el apartado anterior. L ν (Hz) λ (cm) Representen νf(1/λ), realicen a los datos un ajuste por mínimos cuadrados (regresión lineal) y calculen la velocidad de propagación del sonido, a partir de la expresión (5). Expresen el error relativo cometido al comparar el valor así calculado con el valor de referencia hallado según la expresión (9). A la vista de los datos obtenidos, cuándo se ha cometido un error mayor en el cálculo de la velocidad del sonido, en el caso de tubos cerrados por los dos extremos o cuando el tubo sólo está cerrado por un extremo? Razone la respuesta. Al terminar la práctica, entreguen una copia de los datos experimentales obtenidos indicando el título de la práctica, sus nombres y apellidos, grupo de teoría al que pertenecen y fecha de realización. En el Informe a entregar, se deben incluir todas las tablas de datos, las gráficas y ajustes realizados, los valores calculados y su comparación con los valores reales, comentando los posibles errores cometidos, y las conclusiones obtenidas. - 6 -