Extensiones finitas.

2. EXTENSIONES ALGEBRAICAS. Hemos dividido este tema en dos secciones: Extensiones finitas, y Clausura algebraica. En la primera relacionamos extensión finita y extensión algebraica: probamos que toda extensión finita es algebraica (el recíproco no es cierto), y damos el Teorema de la torre, que afirma que una extensión finita de una extensión finita es una extensión finita. También se caracterizan las extensiones algebraicas finitas: una extensión algebraica es finita si y sólo si es de la forma F (α 1,..., α n ). En la segunda parte del tema probamos que la clausura algebraica es un cuerpo, caracterizamos los cuerpos algebraicamente cerrados, y se prueba el Teorema Fundamental del Álgebra: C es un cuerpo algebraicamente cerrado. El teorema de existencia de claususra algebraica se enuncia aunque no se demuestra. 2.1. Definición. Extensiones finitas. Supongamos que E es una extensión de un cuerpo F. Diremos que E es una extensión algebraica si todo elemento de E es algebraico sobre F. 2.2. Ejemplos. (1) C es una extensión algebraica de R: Si a+bi C, entonces (a+bi) 2 = a 2 b 2 +2abi, luego (a + bi) 2 2a(a + bi) + a 2 + b 2 = 0, lo que quiere decir que a + bi es raíz de x 2 2ax + (a 2 + b 2 ) R[x]. (2) C no es una extensión algebraica de Q porque π no es algebraico sobre Q. El ejemplo (1) de (2.2) es un caso particular del siguiente resultado, pues ya vimos en ((1.21)) que C es una extensión simple de R. 2.3. Teorema. Sea E una extensión de un cuerpo F, y sea α E un elemento algebraico sobre F. Entonces todo elemento β de F (α) es algebraico sobre F, y deg(β, F ) deg(α, F ). Sabemos, por ((1.19)) que si deg(α, F ) = n + 1, entonces {1, α,..., α n } es una base de F (α) como F -espacio vectorial. Consideremos ahora un elemento β F (α). El conjunto {1, β,..., β n, β n+1 } F (α) es linealmente dependiente (F (α) tiene dimensión n+1 como espacio vectorial sobre F ), luego existen b 0, b 1,..., b n F, no todos nulos, tales que b 0 + b 1 β +... + b n+1 β n+1 = 0. Esto quiere decir que el polinomio f(x) = b 0 + b 1 x +... + b n+1 x n+1 F [x] es no trivial y tiene a β como raíz, por lo que deg(β, F ) n + 1 = deg(α, F ). 1

2 Álgebra Clásica. Curso 03/04 2.4. Definición. Sea F E una extensión de cuerpos. Si la dimensión de E como espacio vectorial sobre F es finita, digamos n, entonces diremos que E es una extensión finita de grado n sobre F y denotaremos el grado de la extensión por [E : F ] := dim F E. 2.5. Ejemplos. Mientras que [C : R] = 2, C no es una extensión finita de Q. 2.6. Observación. A menudo utilizaremos el hecho de que si E es una extensión finita de F, entonces [E : F ] = 1 si y sólo si E = F. Siguiendo la demostración de (2.3) tenemos la del siguiente resultado. 2.7. Teorema. Toda extensión finita de cuerpos es una extensión algebraica. El siguiente teorema tiene gran importancia. Juega un papel en teoría de cuerpos análogo al del Teorema de Lagrange en teoría de grupos. Se utilizará con bastante frecuencia en la teoría de Galois, y también será aplicado para probar que ciertas construcciones geométricas no se pueden hacer con regla y compás. En palabras de Fraleigh [4]: Nunca subestimes un teorema que cuenta algo. 2.8. Teorema (Teorema de la torre -Tower theorem-). Si E es una extensión finita de F y K es una extensión finita de E, entonces K es una extensión finita de F y [K : F ] = [K : E][E : F ]. Llamemos [K : E] = m, [E : F ] = n, y consideremos dos bases {k 1,... k m }, de EK, y {e 1,... e n }, de F E. Probemos que {k i e j : i = 1,..., m; j = 1,..., n} es una base de F K. Es sistema generador: Sea u K, y escribamos u = i=1,...,m α ik i, con α 1,..., α n F. Para cada i {1,..., m}, escribamos α i = j=1,...,n β je j, con β1, i..., βm i F. Entonces u = i=1,...,m α ik i = ( ) i=1,...,m j=1,...,n βi j e j k i = i,j βi j e jk i. Es linealmente independiente: Supongamos que existen γ j i F, con i = 1,..., m, j = 1,..., n, tales que i,j γi j e jk i = 0. Entonces 0 = i,j γi j e jk i = ( ) i j γi j e j k i. Como los k i son linealmente independientes, j γi j e j = 0, y como los e j son linealmente independientes, γ i j = 0.

Álgebra Clásica. Curso 03/04 3 Utilizando inducción podemos demostrar el siguiente corolario. 2.9. Corolario. Sean F 1 F 2... F n extensiones finitas de cuerpos. Entonces [F n : F 1 ] = [F n : F n 1 ][F n 1 : F n 2 ]... [F 2 : F 1 ]. 2.10. Corolario. Sea F E una extensión de cuerpos, y sean α E, algebraico sobre F, y β F (α). Entonces deg(β, F ) divide a deg(α, F ). Por ((1.19)), deg(α, F ) = [F (α) : F ], y deg(β, F ) = [F (β) : F ]. Como F F (β) F (α), si aplicamos (2.8) tenemos que [F (α), F ] = [F (α) : F (β)][f (β) : F ], de donde se sigue el resultado. El siguiente ejemplo ilustra un tipo de argumento que utiliza (2.8). Observemos la analogía con las aplicaciones del Teorema de Lagrange. 2.11. Ejemplo. No existe ningún elemento de Q( 2) que sea un cero de x 3 2. Si α Q( 2) fuera un cero de x 3 2, por (2.10), 3 = deg(α, Q) dividiría a deg( 2, Q) = 2, lo que es imposible. (deg(α, Q) = 3 porque x 3 2 es irreducible sobre Q.) Sea F E una extensión de cuerpos, y sean α 1, α 2 E, no necesariamente algebraicos sobre F. Por definición, F (α 1 ) es la menor extensión de F en E que contiene a α 1. Análogamente, (F (α 1 ))(α 2 ) es el menor subcuerpo de E que contiene a F (α 1 ) y a α 2, luego (F (α 1 ))(α 2 ) puede caracterizarse como la menor extensión de cuerpos de F, en E, que contiene tanto a F como a α 1 y a α 2. En lugar de con α 1 y α 2 podríamos haber comenzado con α 2 y α 1. Claramente (F (α 1 ))(α 2 ) = (F (α 2 ))(α 1 ). Denotemos este cuerpo por F (α 1, α 2 ). Si ahora consideramos de nuevo F E, y α 1,..., α n E, podemos obtener F (α 1,..., α n ) a partir de F, añadiéndole α 1,..., α n. Éste es el menor subcuerpo de E que contiene a F y a α 1,..., α n. De la misma manera que se prueba en el caso de espacios vectoriales que el menor subespacio de un espacio vectorial que contiene a un subconjunto del espacio es la intersección de todos los subespacios del espacio vectorial que contienen a dicho conjunto, se demuestra que F (α 1,..., α n ) es la intersección de todos los subcuerpos de E que contienen a F y a {α 1,..., α n }.

4 Álgebra Clásica. Curso 03/04 2.12. Ejemplo. Encontremos una base para Q( 2, 3) sobre Q. Consideremos las extensiones de cuerpos Q Q( 2) Q( 2, 3). Por ((1.19)), como irr( 2, Q)= x 2 2, una base de Q( 2) como Q-espacio vectorial es {1, 2}. Ahora, consideremos el elemento 2+ 3. Haciendo las cuentas tenemos que irr( 2 + 3, Q)= x 4 10x 2 + 1, luego [Q( 2 + 3) : Q] = 4. Como Q Q( 2) Q( 2 + 3), por (2.8), [Q( 2 + 3) : Q] = [Q( 2 + 3) : Q( 2)][Q( 2) : Q], así que [Q( 2 + 3) : Q( 2)] = 2, por lo que 2 + 3 / Q( 2) y, en consecuencia, 3 / Q( 2). Como x 2 3 (Q( 2))[x], irr( 3, Q( 2)) = x 2 3. De nuevo por ((1.19)), {1, 3} es una base de (Q( 2))( 3) = Q( 2, 3) como espacio vectorial sobre Q( 2), y por la demostración de (2.8), una base de Q( 2, 3) como Q-espacio vectorial es {1, 2, 3, 6}. El siguiente ejemplo muestra que una extensión de la forma F (α 1,..., α n ), con n 2, puede ser simple. 2.13. Ejemplo. Probemos que Q(2 1 2, 2 1 3 ) = Q(2 1 6 ). Consideremos las siguientes extensiones de cuerpos: Q Q(2 1 2 ) Q(2 1 2, 2 1 3 ). Según hemos visto en (2.11), 2 1 3 / Q(2 1 2 ), y como irr(2 1 3,Q(2 1 2 )) = x 3 2, tenemos que [Q(2 1 2, 2 1 3 ) : Q(2 1 2 )] = 3 y que {1, 2 1 3, 2 2 3 } es una base de Q(2 1 2, 2 1 3 ) como espacio vectorial sobre Q(2 1 3 ). Ahora bien, teniendo en cuenta que {1, 2 1 2 } es una base de Q(2 1 2 ) como espacio vectorial sobre Q, y aplicando la demostración de (2.8), una base de Q(2 1 2, 2 1 3 ) como Q-espacio vectorial es: {1, 2 1 3, 2 2 3, 2 1 2, 2 5 6, 2 7 6 }. Observemos que 2 7 6 = 2(2 1 6 ) Q(2 1 6 ), así que las siguientes son extensiones: Q Q(2 1 6 ) Q(2 1 2, 2 1 3 ). Apliquemos (2.8): 6=[Q(2 1 2, 2 1 3 ): Q]=[Q(2 1 2, 2 1 3 ): Q(2 1 6 )][Q(2 1 6 ) :Q]= [Q(2 1 2, 2 1 3 ): Q(2 1 6 )]6, de donde se deduce que [Q(2 1 2, 2 1 3 ): Q(2 1 6 )] = 1, esto es, Q(2 1 2, 2 1 3 ) = Q(2 1 6 ).

Álgebra Clásica. Curso 03/04 5 A continuación caracterizaremos las extensiones (de un cuerpo F ) de la forma F (α 1,..., α n ), con α 1,..., α n algebraicos sobre F. 2.14. Teorema. Sea F E una extensión algebraica. Entonces la extensión es finita si y sólo si existen α 1,..., α n E, con n 1, tales que E = F (α 1,..., α n ). Supongamos en primer lugar E = F (α 1,..., α n ). Como la extensión F E es algebraica, cada α i es algebraico sobre F y, por tanto, sobre todo cuerpo intermedio entre F y E. Así, F (α 1 ) es algebraico sobre F, F (α 1, α 2 ) lo es sobre F (α 1 ),..., y F (α 1,..., α n ) lo es sobre F (α 1,..., α n 1 ). Si aplicamos (2.9) a la cadena de extensiones finitas F F (α 1 )... F (α 1,..., α n 1 ) F (α 1,..., α n ) = E tenemos que [E : F ] <. Recíprocamente, supongamos que E es una extensión algebraica finita de F. Si [E : F ] = 1, entonces E = F (1) y hemos terminado. Si E F, existe α 1 E \ F, en cuyo caso [F (α 1 ) : F ] > 1. Si F (α 1 ) = E, hemos terminado. En caso contrario, existe α 2 E \F (α 1 ), y [F (α 1, α 2 ) : F ] = [F (α 1, α 2 ) : F (α 1 )][F (α 1 ) : F ] > 2. Continuando este proceso, y teniendo en cuenta que [E : F ] <, en un número finito de pasos terminamos, encontrando α 1,..., α n E tales que E = F (α 1,..., α n ). 2.15. Definición. Clausura algebraica. Sea F E una extensión de cuerpos. El conjunto: E F := {α E α es algebraico sobre F } es llamado clausura algebraica de F en E. 2.16. Ejemplos. (i) C R = C. (ii) Si F F (α) es una extensión de cuerpos y α es algebraico sobre F, entonces F (α) E = F (α). 2.17. Proposición. Sea F E una extensión de cuerpos. Entonces E F contiene a F. es un subcuerpo de E que

6 Álgebra Clásica. Curso 03/04 Sean α, β E F. Consideremos las extensiones F F (α) F (α, β). Como α es algebraico sobre F y β lo es sobre F (α) (por serlo sobre F ), F F (α) y F (α) F (α, β) son extensiones finitas ((1.19)). Si aplicamos (2.8), F F (α, β) es una extensión finita y por tanto algebraica (2.7). Esto quiere decir que F (α, β) E F. En particular E F contiene a los elementos α + β, αβ y αβ 1, siempre que β 0, lo que prueba que E F es un cuerpo. Las contenciones F E F E son evidentes. 2.18. Corolario. El conjunto de los números algebraicos es un cuerpo. A continuación definiremos y caracterizaremos cuerpo algebraicamente cerrado. 2.19. Definición. Una extensión de cuerpos F E diremos que es propia si F E. 2.20. Teorema. Para un cuerpo F las siguientes condiciones son equivalentes: (i) Todo polinomio no constante de F [x] tiene un cero en F. (ii) Todo polinomio no constante de F [x] se puede descomponer como producto de factores lineales (polinomios de grado 1) de F [x]. (iii) F no tiene extensiones algebraicas propias. (i) (ii) Sea f(x) un polinomio no constante de F [x]. Si f(x) tuviera grado 1, habríamos terminado. En caso contrario, por la hipótesis, f(x) tiene un cero α en F, esto es, f(x) = (x α)g(x) para cierto polinomio g(x) F [x]. Si g(x) tiene grado 1, hemos terminado; en caso contrario, tiene un cero, β, en F y podemos descomponer f(x) = (x α)(x β)h(x), para cierto h(x) F [x]. Continuando este proceso finalmente tendríamos una factorización de f(x) en polinomios de grado 1. (ii) (iii) Supongamos que F E una extensión algebraica y consideremos un elemento arbitrario α E. Como irr(α, F ) = x α (por (ii)), α F, luego F = E. (iii) (iv) Consideremos un polinomio no constante f(x) F [x]. Por ((1.4)) existe un cuerpo E, extensión de F, donde f(x) tiene un cero, esto es, existe α E tal que f(α) = 0. Como F F (α) es una extensión algebraica, por la hipótesis, F = F (α), luego F contiene un cero (α) de f(x).

Álgebra Clásica. Curso 03/04 7 2.21. Definición. Un cuerpo F se dice que es algebraicamente cerrado si satisface las condiciones equivalentes de (2.20) 2.22. Definición. Sea F un cuerpo. Llamaremos clausura algebraica de F, y la representaremos por F, a una extensión de F algebraicamente cerrada. La demostración del siguiente resultado puede encontrarse, por ejemplo, en [4, Theorem 38.6]. Nosotros no la hacemos porque no disponemos de tiempo para ello. 2.23. Teorema (Existencia de clausura algebraica). Todo cuerpo F tiene una clausura algebraica. La demostración del Teorema Fundamental del Álgebra que a continuación damos es la de [4, Theorem 38.7]. Para entenderla se requieren ciertos conocimientos de funciones de variable compleja. En [3, [1.30]] se da una demostración de este resultado haciendo uso de la Teoría de Galois. También existen muchas otras demostraciones de este Teorema. 2.24. Teorema Fundamental del Álgebra. C es algebraicamente cerrado. Supongamos que f(x) C[x] no tiene ningún cero de C. En este caso 1 f es una función analítica en todo su dominio. Por otro lado, como lim c f(c) = 1 (porque f / C), lim c f(c) = 0, lo que implica que 1 está acotada en el plano. f Por el Teorema de Liouville para funciones complejas, 1 es constante y, por tanto, f f es constante. Esto supone una contradicción. En consecuencia todo polinomio con coeficientes en C tiene una raíz en C (es decir, C es algebraicamente cerrado).