Capítulo 3 PREFERENCIAS Y UTILIDAD

Capítulo 3 PREFERENCIAS Y UTILIDAD 1

Axiomas de Elección Racional Completitud Si A y B son dos situaciones, el individuo siempre puede especificar exactamente su preferencia sobre dichas posibilidades: A se prefiere por sobre B B se prefiere por sobre A A y B son igualmente atractivas 2

Axiomas de Elección Racional Transitividad Si A se prefiere a B, y B se prefiere a C, entonces A se prefiere por sobre C Este supuesto es para garantizar que las decisiones de los individuos sean consistentes internamente 3

Axiomas de Elección Racional Continuidad Si A se prefiere a B, entonces las situaciones suficientemente cercanas a A también deben ser preferidas sobre B Este supuesto se utiliza para analizar las respuestas de los individuos como respuesta a cambios relativamente pequeños en el ingreso y los precios 4

Utilidad Dados todos estos supuestos, es posible demostrar que las personas son capaces de ordenar jerárquicamente todas las situaciones posibles, desde la menos deseada hasta la más deseada Los Economistas llaman a ésta jerarquía utilidad Si A se prefiere sobre B, entonces la utilidad asignada a A excede la utilidad asignada a B U(A) > U(B) 5

Utilidad Dichas jerarquías o rankings de utilidad son ordinales por naturaleza Muestran qué tan deseables son ciertas cestas de bienes Debido a que las medidas de utilidad no son únicas, no tiene sentido el particularizar cuánta más utilidad se gana al pasar de A a B Tampoco es posible comparar utilidades 6 entre dos personas diferentes

Utilidad La utilidad es afectada por el consumo de bienes físicos, por actitudes sicológicas, presiones de grupo, experiencias personales, y por el ambiente cultural general Los Economistas por lo general dedican su atención a evaluar opciones medibles, mientras mantienen constantes las otras cosas que puedan afectar la utilidad Esto es llamado el supuesto ceteris paribus 7

Utilidad Asumamos que un individuo debe escoger entre consumir los bienes x 1, x 2,, x n Los rankings de dicho individuo pueden ser representados por una función de utilidad de la forma: Utilidad= U(x 1, x 2,, x n ; otras cosas) Esta función es única, pero puede ser transformada si dicha transformación preserva la ordenación o rankings originales 8

Bienes Económicos En la función de Utilidad, se asume que los x s son bienes Un bien: más se prefiere a menos Cantidad de y Preferido sobre x*, y*? y* Peor que x*, y* x*? Cantidad de x 9

Curvas de Indiferencia Una Curva de Indiferencia muestra combinaciones de bienes ante los cuales el individuo se muestra indiferente Cantidad de y Las combinaciones (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ) proveen el mismo nivel de utilidad y 1 y 2 U 1 x 1 x 2 Cantidad de x 10

Tasa Marginal de Substitución (TMS) La pendiente negativa de una curva de indiferencia en un punto es llamada la Tasa Marginal de Substitución (TMS) Cantidad de y TMS dy dx U U 1 y 1 y 2 U 1 x 1 x 2 Cantidad de x 11

Tasa Marginal de Substitución (TMS) La TMS cambia cuando x, y cambian Esto refleja la disposición del individuo a intercambiar y por x Cantidad de y En (x 1, y 1 ), la curva de indiferencia es más empinada. La persona estaría dispuesta a sacrificar más y Para obtener unidades adicionales de x y 1 En (x 2, y 2 ), la curva de indiferencia es más plana. La persona será más reacia A sacrificar y para ganar más x y 2 U 1 x 1 x 2 Cantidad de x 12

Mapa de Curvas de Indiferencia Cada punto del plano debe tener una curva de indiferencia pasando sobre él (completitud de las CI) Cantidad de y Utilidad crece U 2 U 3 U 1 < U 2 < U 3 U 1 Cantidad de x 13

Transitividad Pueden intersectarse las CI? Cantidad de y El individuo es indiferente entre A y C. El individuo es indiferente entre B y C. Transitividad sugiere que el individuo Debe ser indiferente entre A y B C B U 2 Pero B se prefiere sobre A Debido a que B contiene más de x y y que A A U 1 Cantidad de x 14

Convexidad Un conjunto de puntos es convexo si dos puntos pueden ser unidos por una línea recta que es contenida enteramente en el conjunto Cantidad de y El supuesto de una TMS decreciente es equivalente al supuesto de que todas las combinaciones de x y y que son preferidas por sobre x* y y* forman un conjunto convexo y* U 1 x* Cantidad de x 15

Convexidad Si la CI es convexa, entonces la combinación (x 1 + x 2 )/2, (y 1 + y 2 )/2 será preferida tanto a (x 1,y 1 ) como a (x 2,y 2 ) Cantidad de y Esto implica que combinaciones bien balanceadas Son preferidos sobre combinaciones que cargadas hacia uno de los bienes y 1 (y 1 + y 2 )/2 y 2 U 1 x 1 (x 1 + x 2 )/2 x 2 Cantidad de x 16

Utilidad y la TMS Supongamos que las preferencias de un individuo por hamburguesas (y) y bebidas (x) pueden ser representadas por: utilidad 10 x y Despejando y, tenemos y = 100/x Construyendo la TMS = -dy/dx: TMS = -dy/dx = 100/x 2 17

Utilidad y la TMS TMS = -dy/dx = 100/x 2 Note como mientras x sube, TMS cae Cuando x = 5, TMS = 4 Cuando x = 20, TMS = 0.25 18

Utilidad Marginal Supongamos que un individuo tiene una utilidad de la forma Utilidad = U(x,y) El diferencial total de U es du U x dx U y dy Sobre cualquier CI, la utilidad es constante (du = 0) 19

Derivando la TMS Por lo tanto tenemos: TMS dy dx U constante U x U y TMS es el cociente de la utilidad marginal de x sobre la utilidad marginal de y 20

Utilidad Marginal Decreciente y la TMS Intuitivamente, parecería que el supuesto de utilidad marginal decreciente se relaciona al concepto de TMS decreciente Una TMS decreciente requiere que la función de utilidad sea cuasi-cóncava Esto es independiente de cómo sea medida la utilidad La utilidad marginal decreciente sí depende de cómo es medida la utilidad Por tanto, estos dos conceptos son diferentes 21

Convexidad de las curvas de indiferencia Supongamos una función de utilidad de la forma: utilidad x y Podemos simplificar el álgebra tomando logaritmos en ambos lados de la igualdad U*(x,y) = ln[u(x,y)] = 0.5 ln x + 0.5 ln y 22

Convexidad de las curvas de indiferencia Por lo tanto, TMS U * 0.5 x x U * 0.5 y y y x 23

Convexidad de las curvas de indiferencia Si la función de utilidad es U(x,y) = x + xy + y No ganamos nada transformando la función, por lo que TMS U x U y 1 1 y x 24

Convexidad de las curvas de indiferencia Supongamos que la función de utilidad es: 2 2 utilidad x y Para éste ejemplo es más fácil usar la transformación: U*(x,y) = [U(x,y)] 2 = x 2 + y 2 25

Convexidad de las curvas de indiferencia Con lo que, TMS U * 2x x x U * 2y y y 26

Ejemplos de funciones de Utilidad Utilidad Cobb-Douglas utilidad = U(x,y) = x y donde y son constantes positivas El tamaño relativo de y indican la importancia relativa de los bienes 27

Ejemplos de funciones de Utilidad Substitutos Perfectos utilidad = U(x,y) = x + y Cantidad de y La CI será lineal. La TMS será constante a lo largo de toda la curva de indiferencia. U 3 U 1 U 2 Cantidad de x 28

Ejemplos de funciones de Utilidad Complementos Perfectos utilidad = U(x,y) = min ( x, y) Cantidad de y Las CI tendrán una forma de L. La utilidad solo puede ser incrementada al elegir más de los dos bienes conjuntamente. U 3 U 2 U 1 Cantidad de x 29

Ejemplos de funciones de Utilidad Utilidad CES (Constant elasticity of substitution) cuando 0, 1. utilidad = U(x,y) = Además, cuando = 0 tenemos qué: utilidad = U(x,y) = ln x + ln y Modificando tenemos: Substitutos Perfectos = 1 Cobb-Douglas = 0 x Complementos Perfectos = - y 30

Ejemplos de funciones de Utilidad Utilidad CES (Constant elasticity of substitution) La elasticidad de substitución ( ) se define cómo: ln x y U y U x ln Mide cambios proporcionales de la razón (x/y) relativo a cambios proporcionales de la TMS. Intuición: Qué tan posible es el intercambiar x por y = 1/(1 - ) para la función CES. Otros casos: Substitutos Perfectos = Proporciones Fijas = 0 31

Preferencias Homotéticas Si la TMS depende solamente del cociente de las cantidades de dos bienes, pero no de las cantidades de dichos bienes, la función de utilidad es homotética Substitutos Perfectos TMS es la misma en cada punto Complementos Perfectos (CI de forma L) TMS = si y/x > /, no definida si y/x = /, y TMS = 0 si y/x < / 32

Preferencias Homotéticas Para la función general Cobb-Douglas, la TMS se computa: TMS U y 1 x x y y 1 U x y x 33

Preferencias NO Homotéticas Algunas funciones de utilidad NO presentan preferencias homotéticas utilidad = U(x,y) = x + ln y TMS U x 1 U 1 y y y 34

Muchos Bienes Supongamos una función de utilidad para n bienes dada por utilidad = U(x 1, x 2,, x n ) El diferencial total de U es du U U dx1 dx2... x x 1 2 U x n dx n 35

Muchos Bienes Podemos encontrar la TMS entre dos bienes cualesquiera haciendo du = 0 du 0 U x i dx i U x j dx j Arreglando, tenemos: TMS( x por x ) i j dx dx j i U xi U x j 36

Superficies de Indiferencia para n bienes Ahora vamos a definir superficies de indiferencia como un conjunto de puntos en n dimensiones que satisface la ecuación U(x 1,x 2, x n ) = k Donde k es cualquier constante 37

Superficies de Indiferencia para n bienes Si la función de utilidad es cuasicóncava, el conjunto de puntos para los cuales U k será convexo Todos los puntos en una línea que une dos puntos cualesquiera sobre la superficie de indiferencia U = k también tendrán U k 38

Puntos Importantes: Si los individuos obedecen ciertos postulados de comportamiento, serán capaces de establecer una ordenación (ranking) cestas o conjuntos de bienes Dicho ranking puede ser representado por medio de una función de utilidad Al escoger, los individuos actúan cómo si estuvieran maximizando esa función Las funciones de utilidad para dos bienes pueden ser ilustrados mediante un mapa de curvas de indiferencia 39

Puntos Importantes: La pendiente negativo de una CI mide la Tasa Marginal de Substitución (TMS) Ella muestra la proporción en que un individuo estará dispuesto a intercambiar cierto monto de un bien (y) por más unidades del otro bien (x) La TMS decrece a medida que x es substituido por y Esto indica que los individuos prefieren balancear sus decisiones de consumo 40

Puntos Importantes: Ciertas formas funcionales simples pueden capturar diferencias importantes en las preferencias de un individuo sobre dos o más bienes La función Cobb-Douglas La función lineal (Substitutos Perfectos) La función de proporciones fijas (Complementos Perfectos) La función CES Ella incorpora a los otros casos como casos especiales 41

Puntos Importantes: Resulta bastante simple generalizar nuestro modelo de preferencias de dos bienes para el caso de muchos bienes Las matemáticas para el caso de muchos bienes no son, sin embargo, especialmente intuitivas, así que seguiremos con el caso de dos bienes para acumular más intuición 42