INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CALKINI EN EL ESTADO DE CAMPECHE INGENIERIA INDUSTRIAL PRIMER SEMESTRE FISICA 1

0 INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CALKINI EN EL ESTADO DE CAMPECHE INGENIERIA INDUSTRIAL PRIMER SEMESTRE FISICA 1 UNIDAD IV INTRODUCCION A LA ESTATICA DE LA PARTICULA Y DEL CUERPO RIGIDO. Q. B. B. MARCOS MARTIN KU KUMUL

1 2.- PRESENTACION. En términos generales el presente paquete didáctico contiene las definiciones de cantidades escalares y vectoriales, el concepto de vector y sus características. Cálculo de vectores resultantes por métodos gráficos (polígono y paralelogramo) y por el método analítico. De igual forma contiene el enunciado de la primera y segunda de condición del equilibrio (equilibrio traslacional y rotacional respectivamente), los conceptos de brazo de palanca, momento de una fuerza y momento de torsión resultante de una fuerza y sus ecuaciones respectivas así como su utilización en la solución de problemas, para hallar el valor de los soportes o fuerzas de reacción desconocidas que sostienen a una viga o barra ligera, y la distancia que debe de haber entre las fuerzas para que la barra esté en equilibrio. Asimismo en la última parte de la unidad se aborda el tema de vectores en el espacio o en tres dimensiones, calculando el vector resultante a partir de sus componentes, los cosenos directores de la fuerza a partir de la magnitud de la fuerza y sus componentes y el cálculo de uno de los cosenos directores, la magnitud de la fuerza resultante, y las otras dos componentes de la fuerza cuando se dan como datos dos de los cosenos directores y una de las componentes de la fuerza. En la última parte se ven cuestiones como son reacciones en apoyos y conexiones y estática del cuerpo rígido.

2 3.- INDICE DE CONTENIDO. Contenido Número de página Portada 0 Presentación 1 Indice de contenido 2 Objetivos generales de la Unidad temática 4 Instrucciones generales para el uso del paquete didáctico 4 Temas integrantes de la 6 Unidad temática Instrucciones específicas para el autoaprendizaje 6 Objetivos por tema 8 Desarrollo del tema 4.1. Fuerzas en el plano y en el espacio 8 Ejercicios de aplicación fuerzas en el 12 plano y en el espacio. Evaluación del tema 4.1 32 Fuerzas en el plano y en el espacio Bibliografía específica del tema 4.1. 33 Desarrollo del tema 4.2. 34 Equilibrio de una partícula Ejercicios del tema 4.2. 36 Equilibrio de una partícula Evaluación del tema 4.2 44 Bibliografía específica 45 del tema 4.2

3 Desarrollo del tema 4.3 45 Momento de una fuerza Ejercicios del tema 4.3. 46 Evaluación del tema 4.3 54 Bibliografía específica del tema 4.3 57 Evaluación de la Unidad 57 Temática IV. Introducción a la estática de la partícula y del cuerpo rígido.

4 4.- OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD TEMATICA 1.- El alumno conocerá los conceptos de cantidades escalares y vectoriales y sus ejemplos respectivos, así como el concepto de vector resultante, vector equilibrante y características de los vectores. 2.- El alumno, conocerá y aplicará los métodos gráficos para la suma de vectores (Polígono y paralelogramo) así como también el método analítico, específicamente el Teorema de Pitágoras y la función trigonométrica tangente para calcular el vector resultante y su dirección. 3.- El alumno resolverá problemas para calcular un vector resultante, dada sus componentes Fx, Fy y Fz, así como los cosenos directores del mismo, y el cálculo del vector resultante, dos de las componentes y el ángulo faltante, cuando en el problemas sólo se dan como datos, una sola componente, y dos de los ángulos 4.- El alumno enunciará la primera y segunda condición del equilibrio (equilibrio traslacional y rotacional) y utilizará la primera condición para hallar tensiones de cuerdas, empujes y ángulos y aplicará las dos condiciones del equilibrio en la solución de problemas donde se hallan los valores de los soportes que sostienen a una viga o barra ligera y las distancias entre las fuerzas para que un cuerpo esté en equilibrio. 5.- El alumno resolverá problemas de equilibrio de un cuerpo rígido en tres dimensiones, hallando las tensiones de las cuerdas que sostienen al cuerpo rígido. 5.- INTRUCCIONES GENERALES PARA EL USO DEL PAQUETE DIDACTICO 1.- Conocer las definiciones de cantidades escalares y vectoriales y sus ejemplos, el concepto de vector y sus características, vector resultante y vector equilibrantes. 2.- Resolver problermas de cálculo de vectores resultantes por los métodos gráficos del polígono (aplicado a más de 2 vectores a la vez) y del paralelogramo (aplicado sólo a 2 vectores a la vez) y por el método analítico del Teorema de Pitágoras y el uso de la función trigonométrica tangente para hallar la dirección del vector. 3.- Resolver problemas del cálculo del vector resultante en tres dimensiones cuando se dan las componentes Fx, Fy y Fz del vector y los ángulos de la fuerza. 4.- Resolver problemas del cálculo del vector resultante en tres dimensiones, 2 de las componentes y el ángulo faltante, en problemas en las cuales se dan como datos sólo una de las componentes, y dos de los cosenos directores.

5 5.- Resolver problemas de tensiones de cuerdas, empujes y ángulos, aplicando la primera condición del equilibrio. 6.- Conocer e interpretar el concepto de la segunda condición del equilibrio (equilibrio rotacional), brazo de palanca, momento de una fuerza y el signo del momento de una fuerza (negativo en el sentido de las manecillas del reloj y positivo en el sentido contrario) y momento de torsión resultante sobre un cuerpo. 7.- Solucionar problemas de equilibrio aplicando los conceptos de momento de una fuerza y brazo de palanca y problemas de vigas y barras ligeras para hallar el valor de los soportes que los sostienen o la distancia que debe de haber entre las fuerzas, aplicando las 2 condiciones del equilibrio. 8.- Solucionar problemas de equilibrio de un cuerpo rígido en tres dimensiones, hallando la fuerza que mantiene al cuerpo en equilibrio o la tensión de una de las cuerdas que mantienen al cuerpo en equilibrio.

6 6.- TEMAS INTEGRANTES DE LA UNIDAD TEMATICA. a.- UNIDAD II EQUILIBRIO DE CUERPOS RIGIDOS. Tema 4.1. Fuerzas en el plano y en el espacio. Subtema 4.1.1. Fuerzas en el plano Subtema 4.1.2. Fuerzas en el espacio Tema 4.2. Equilibrio de una partícula Subtema 4.2.1. Equilibrio de una partícula en el plano. Subtema 4.2.2. Equilibrio de una partícula en el espacio. Tema 4.3. Momento de una fuerza Subtema 4.3.1. Respecto a un punto Subtema 4.3.2. Respecto a un eje Subtema 4.3.3. Momento de un par. Pares equivalentes. Suma de pares. b. INSTRUCCIONES ESPECIFICAS PARA EL AUTOAPRENDIZAJE. 1.- Resolver ejercicios de obtención de las componentes rectangulares de un vector o fuerza en el plano. Realizar al menos cuatro ejercicios, cada uno de los vectores situados en cada uno de los cuadrantes. Las ecuaciones a utilizar son las siguientes: Fx= Fcosθ y Fy= Fcos θ. Con estas ecuaciones también calcular la Fuerza resultante cuando se conoce alguna de sus componentes, al despejar las ecuaciones F= Fx/cosθ ó F= Fy/senθ. 2.- Resolver ejercicios para la obtención del vector resultante de un conjunto de vectores concurrentes en el plano y la dirección del mismo utilizando el Teorema de Pitágoras y la función trigonométrica tangente, cuyas ecuaciones son R = Fx 2 +Fy 2, θ= tan -1 Fy/Fx. 3.- Resolver ejercicios para la obtención del vector resultante en el espacio (en tres dimensiones), dadas su componentes en el espacio Fx, Fy, y Fz, con la ecuación F= Fx 2 +Fy 2 +Fz 2. Esta ecuación es similar al del Teorema de Pitágoras, que como se ve solo se le añade el cuadrado de la componente z del vector. 4.- Resolver ejercicios para la obtención de las componentes de un vector en el espacio o en tres dimensiones con las ecuaciones siguientes: Fx=Fcosθx, Fy= Fcos θy, Fz= Fcos θz. 5.- Resolver ejercicios para la obtención de los cosenos directores a partir del valor del vector resultante y de sus componentes, con las ecuaciones siguientes: cosθx= Fx/F. cos θy= Fy/F. cos θz= Fz/F.

7 Una vez obtenidos los cocientes de las fórmulas anteriores, se les saca el coseno inverso para obtener propiamente el valor de los ángulos. 6.- Resolver ejercicios para la obtención del vector resultante en el espacio en los cuales se dan como datos solo dos de los cosenos directores (por ejemplo θy y θz) y una sola de las componentes (por ejemplo Fx). En este tipo de problemas se pide hallar además el coseno director restante y las otras dos componentes. El procedimiento a seguir es la siguiente: Se halla primero el coseno director faltante, utilizando la suma de los cuadrados de los cosenos directores que es igual a la unidad: cos 2 θx+cos 2 θy+ cos 2 θz= 1 Por ejemplo si se da como dato θy y θz, para hallar θx se despeja de la ecuación anterior cos 2 θx= 1- (cos 2 θy+ cos 2 θz). Lo que se obtiene en primera instancia es el cuadrado del coseno director, por lo cual se debe sacar la raíz cuadrada para obtener coseno del ángulo. Seguidamente se procede a obtener el valor de la fuerza o vector resultante, suponiendo que la componente que se da como dato sea Fx con la ecuación: Fx= Fcos θx. Despejando la ecuación obtenemos F= Fx/cos θx. Cabe señalar que al utilizar esta ecuación se debe tomar el valor absoluto de la componente, es decir si tiene un valor negativo se toma positivo. Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F, se hallan seguidamente las otras dos componentes (Fy y Fz) con las siguientes ecuaciones: Fy = Fcos θy, Fz= cos θz. Por último se obtiene el valor del coseno director restante (θx), en este caso se toma tal cual el valor de la componente Fx, por ejemplo si esta tiene un valor negativo, el valor del ángulo será mayor de 90 (obtuso) y si la componente tiene un valor positivo, el valor del ángulo será menor de 90 (agudo). Esto se obtiene con la ecuación: cos θx= Fx/F. Una vez obtenido el cociente, se saca el coseno inverso (cos -1 ) para obtener el valor del ángulo. 7.- Resolver problemas de equilibrio de una partícula en el plano, aplicando la primera condición del equilibrio traslacional. (ΣFx=0, ΣFy= 0). 8.- Definir la segunda condición del equilibrio (equilibrio rotacional) y su ecuación correspondiente: ΣM=0), así como el signo del momento de una fuerza. 9.- Calcular los momentos de torsión respecto a un punto para cuerpos a los cuales se les aplica una sola fuerza. 10.- Calcular momentos de torsión resultantes para cuerpos a los cuales se les aplica dos o más fuerzas. 11.- Calcular fuerzas de reacción de soportes que sostienen a un cuerpo rígido.

8 c. Objetivos por tema. 1.- Que el alumno diferencíe una cantidad escalar de una vectorial, conocer los métodos gráficos para sumar vectores (polígono y paralelogramo), así como el método analítico (Teorema de Pitágoras), para vectores en el plano. 2.- Que el alumno resuelva problemas de vectores en el espacio, calculando el vector resultante F, dadas las componentes Fx, Fy y Fz y los cosenos directores de la fuerza. 3.- Que el alumno enuncie la primera condición del equilibrio (traslacional), y lo aplique para calcular tensiones de cuerdas que sostienen a un cuerpo. 4.- Que el alumno defina y aplique la primera y segunda condición de equilibrio en la solución de problemas de vigas o barras ligeras (equilibrio traslacional y rotacional) para hallar fuerzas de los soportes que las sostienen o la distancia que debe de haber entre las fuerzas para que el cuerpo esté en equilibrio. 5.- Que el alumno defina que es momento de torsión o torca, resuelva problemas de momento de torsión de una fuerza respecto a un punto. 6.- Que el alumno resuelva problemas de momento respecto a un eje y pares de fuerzas. e. Desarrollo del tema 4.1. Fuerzas en el plano y en el espacio. TEMA 4.1. FUERZAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES En este tema se introduce el concepto de vector para estudiar la magnitud, la dirección y el sentido de las cantidades físicas. Algunas cantidades pueden ser descritas totalmente por un número y una unidad; por ejemplo las magnitudes de superficie, volumen, masa, longitud y tiempo reciben el nombre de magnitudes escalares. Por definición, una magnitud escalar es aquella que se define con sólo indicar su cantidad expresada en números y la unidad de medida. Existe otra clase de magnitudes que para definirlas, además de la cantidad expresada en números y el nombre de la unidad de medida, se necesita indicar claramente la dirección y sentido en que actúan; estas magnitudes reciben el nombre de magnitudes vectoriales. Por ejemplo, cuando una persona visita la ciudad de Mérida, Yucatán, y nos pregunta cómo llegar al puerto de Progreso, dependiendo de dónde se encuentre le diremos aproximadamente a qué distancia está y qué dirección seguir. Lo mismo sucede cuando se habla de la fuerza que se debe aplicar a un cuerpo, pues aparte de señalar su valor se debe especificar si la fuerza se aplicará hacia arriba o hacia abajo, a la derecha o a la izquierda, hacia el frente o hacia atrás. Una magnitud vectorial se define por su origen, magnitud, dirección y sentido. Consiste en un número, una unidad y una orientación angular. Como se señaló anteriormente, una cantidad vectorial es aquel que tiene una magnitud, dirección y sentido, como por ejemplo un automóvil que lleva

9 una velocidad de 80 km/h al Noreste, o un desplazamiento de un móvil de 5 km a 40 al Suroeste. Una magnitud vectorial puede ser representada gráficamente por medio de una flecha llamada vector, la cual es un segmento de recta dirigido. Para simbolizar una magnitud vectorial se traza una flechita horizontal sobre la letra que la define por ejemplo: v, d, F y a representan cada una un vector como son la velocidad, el desplazamiento, la fuerza y la aceleración, respectivamente. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UN VECTOR Un vector tiene las siguientes características Punto de aplicación u origen Magnitud. Indica su valor y representa por la longitud del vector de acuerdo con una escala convencional. Dirección. Señala la línea sobre la cual actúa, y puede ser horizontal, vertical u oblicua. Sentido. Indica hacia donde va el vector, ya sea hacia arriba, abajo, a la derecha o a la izquierda, y queda señalado por la punta de la flecha. Para representar un vector se necesita una escala convencional, la cual se establece de acuerdo con la magnitud del vector y el tamaño que se le desee dar. Vectores Coplanares y no Coplanares Los vectores pueden clasificarse en coplanares, si se encuentran en el mismo plano o en dos ejes, y no coplanares si están en diferente plano, es decir en tres planos. Sistema de vectores colineales Se tiene un sistema de vectores colineales cuando dos o mas vectores se encuentran en la misma dirección o línea de acción. Un vector colineal cera positivo si su sentido es hacia la derecha o hacia arriba y negativo si su sentido es hacia la izquierda o hacia abajo. Sistema de vectores concurrentes Un sistema de vectores es concurrente cuando la dirección o línea de acción de los vectores se cruza en algún punto, el punto de cruce constituye el punto de aplicación. A estos vectores se les llama angulares o concurrentes porque forman un ángulo entre ellos. Sistema de vectores paralelos. Son aquellos vectores que por más que alargan su trayectoria, jamás se pueden unir.

10 Resultante y equilibrante de un sistema de vectores La resultante de un sistema de vectores es el vector que produce él solo, el mismo efecto que los demás vectores del sistema. Por ello un vector resultante es aquel capaz de sustituir un sistema de vectores. La equilibrante de un sistema de vectores, como su nombre lo indica, es el vector encargado de equilibrar el sistema, por lo tanto tiene la misma magnitud y dirección que la resultante, pero con sentido contrario. Propiedades de los vectores (principio de transmisibilidad y propiedad de los vectores libres. Principio de transmisibilidad de los vectores.- Este principio se enuncia como El efecto externo de un vector o fuerza no se modifica si es trasladado en su misma dirección, es decir sobre su propia línea de acción. Por ejemplo si se desea mover un cuerpo horizontalmente, aplicando una fuerza, el resultado seá el mismo si empujamos el cuerpo o si lo jalamos, Propiedad de los vectores libres.- Los vectores no se modifican si se trasladan paralelamente a sí mismos. Esta propiedad se utilizará al sumar vectores por los métodos gráficos del paralelogramo y del polígono. SUMA DE VECTORES. Cuando necesitamos sumar 2 o más cantidades escalares de la misma especie lo hacemos aritméticamente: por ejemplo 2 kg + 5 kg = 7 kg, 3 horas + 7 horas= 10 horas, 200 km + 300 km = 500 km. Sin embargo para sumar magnitudes vectoriales, que como ya se mencionó aparte de magnitud tienen dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una simple suma aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos. SUMA GRÁFICA de VECTORES Para realizar la suma gráfica de dos vectores, utilizamos el "método del paralelogramo". Para ello, trazamos en el extremo del vector A, una paralela al vector B y viceversa. Ambas paralelas y los dos vectores, determinan un paralelogramo. La diagonal del paralelogramo, que contiene al punto origen de ambos vectores, determina el vector SUMA. Puedes ver un ejemplo en el gráfico que va a continuación:

11 Si tenemos que sumar varios vectores, podemos aplicar el método anterior, sumando primero dos y a la suma, añadirle un tercero y así sucesivamente. Pero también podemos hacerlo colocando en el extremo del primer vector, un vector igual en módulo, dirección y sentido que el segundo. A continuación de éste, colocamos un vector equivalente al tercero y así sucesivamente. Finalmente, unimos el origen del primer vector con el extremo del último que colocamos y, el vector resultante es el vector suma. http://usuarios.lycos.es/pefeco/sumavectores/sumavectores.htm METODO PARALELOGRAMO En este método, los vectores se deben trasladar (sin cambiarle sus propiedades) de tal forma que la "cabeza" del uno se conecte con la "cola" del otro (el orden no interesa, pues la suma es conmutativa). El vector resultante se representa por la "flecha" que une la "cola" que queda libre con la "cabeza" que también está libre (es decir se cierra un triángulo con un "choque de cabezas. En la figura 1 se ilustra el método. Figura 1 En la figura 1 el vector de color negro es la suma vectorial de los vectores de color rojo y de color azul. Si la operación se hace gráficamente con el debido cuidado, sólo bastaría medir con una regla el tamaño del vector de color negro utilizando la misma escala que utilizó para dibujar los vectores sumandos (el rojo y el azul). Esa sería la magnitud de la suma. La dirección se podría averiguar midiendo con un transportador el ángulo que forma con una línea horizontal. Pero no nos basta con saberlo hacer gráficamente. Tendremos que aprenderlo a realizar analíticamente. Para ello se deben utilizar los teoremas del seno y del coseno y si es un

12 triángulo rectángulo se utilizará el teorema de Pitágoras. En el caso de la figura 1 las relaciones posibles entre los lados de ese triángulo son las siguientes: Ejemplo: Supongamos que en dicha figura los vectores sean la magnitud fuerza. Asumamos además que el ángulo entre los vectores sumandos (el rojo y el azul) es igual a 60.0º y que sus módulos son respectivamente 100 dinas (rojo) y 90.0 dinas (azul). Deseamos calcular el vector resultante. Para ello empleemos la relación: su dirección sería: SUMA ANALITICA DE VECTORES. Merli quiere saber donde se encuentra, si ella quiere llegar a su casa. Conociendo que camina 13 km al este; cambiando de rumbo para luego caminar 19 km al este. Hallar el resultado grafico y analíticamente. N Y V2 = -19 km v1 = 13 km O E -6 13 X

13 S DATOS VX = V1 + V2 V1 = +13 KM VX = 13+(-19) V2 = -19 KM VX = 13-19 = -6 2.- Norma quiere saber si la nueva ruta que toma hacia su casa es más corta si camino 15 km. al norte después 10 al sur para de ultimo caminar 12 km. al oeste. Calcularle la distancia o el punto donde Norma se encuentra? 15 km. al norte V 1 10 km. al sur V 2 12 km. al oeste V 3 y = V 1 + V 2 y = 15 + (-16) y = 5 x = V 3 y =.12 a 2 = b 2 + C 2 R= (Fy) 2 = (Fx) 2 R= (Fy) 2 + (Fx) 2 R= (5) 2 + (-12) 2 R= 25 + 144 R= 169 R= 13 km. Problema por el método del Polígono Un barco viaja 100 km hacia el norte en el primer día de su viaje, 60 km hacia el noreste en el segundo día y 120 km al este en el tercer día. Encuéntrese el desplazamiento resultante por el método del polígono. El método del polígono para la adición De vectores

14 120 km Este 60 km Noreste Eje Y 100 km Norte Vector resultante R ángulo θ Eje X Solución del método del polígono 1.- Elija una escala y determine la longitud de las flechas que corresponden a cada vector. 2.- Dibuje a escala una flecha que represente la magnitud y la dirección del primer vector. 3.-Dibuje la flecha del segundo vector de tal manera que su origen coincida con el extremo del primer vector. 4.-Continué el procedimiento de unir el origen de cada nuevo vector con el extremo del vector procedente, hasta que todos los vectores del problema hayan sido dibujados. 5.-Dibuje el vector resultante partiendo del origen (que coincide con el origen del primer vector) y terminando en el extremo del ultimo vector. 6.-Mida con regla y transportador la longitud y el ángulo que forma el vector resultante para determinar su magnitud y su dirección. Solución: Una escala conveniente puede ser 20 km = 1 cm. Lo cual quiere decir que para el desplazamiento de 100 km al norte se trazan 5 cm, para el desplazamiento de 60 km, se trazan 3 cm y finalmente para el desplazamiento de 120 km al este se trazan 6 cm. Realizando la medición con una regla, a partir de un diagrama a escala, se observa que la flecha resultante del punto de partida hasta el final del desplazamiento de 120 km al este, tiene 10.8 cm de longitud. Por lo tanto la magnitud del vector resultante en km es:

15 10.8 cm x 20 km/1 cm =216 km Si se mide el ángulo θ con un transportador, situando el centro del mismo en el origen de partida (origen de los ejes coordenados X y Y) resulta que la dirección es de 41. Por lo tanto, el desplazamiento resultante es: R = 216 km, 41. El método gráfico del polígono y en general los métodos gráficos aportan resultados aproximados, los métodos analíticos como el Teorema de Pitágoras dan resultados más precisos. A continuación se resolverá el problema por el Teorema de Pitágoras: Primeramente se trazan los desplazamientos a partir de los ejes coordenados: 100 km Norte 60 km Noreste θ = 45 120 km Este El primer desplazamiento de 100 km al Norte se traza sobre el eje Y hacia arriba, el segundo desplazamiento de 60 km al noreste al no especificar el ángulo, se traza exactamente a la mitad del primer cuadrante, es decir a 45 del eje X y Y, y el tercer desplazamiento de 120 km al Este, se traza sobre el eje X a la derecha. A continuación se construye un cuadro de fuerzas, aplicando las fórmulas de las componentes rectangulares de un vector, y tomando en cuenta los signos de las coordenadas en los cuadrantes respectivos: Fx = F cos θ. Fy = F sen θ.

16 F Angulo Componente X Componente Y 100 km 0 0 + 100 km 60 km 45 60 km cos 45 60 km sen 45 120 km 0 120 km ΣFx = 60 km cos 45 + 120 km ΣFy= 100 km + 60 km sen 45 ΣFx = 60 km (0.7071) + 120 km ΣFy = 100 km + 60 km (0.7071). ΣFx = 42.42 km + 120 km= 162.42 km ΣFy = 100 km + 42.42 km = 142.42 km Una vez obtenidas la sumatoria de fuerzas X y la sumatoria de fuerzas Y, se aplica la fórmula del Teorema de Pitágoras que es la raíz cuadrada de la sumatoria de fuerzas X al cuadrado y la sumatoria de fuerzas Y al cuadrado. R = (Fx) 2 + (Fy) 2. Sustituyendo valores tenemos: R = (162.42 km) 2 + (142.42 km) 2. R = 46663.7128 R = 216 km. Ahora para obtener el ángulo del vector resultante, se aplica la función trigonométrica tangente mediante la siguiente fórmula: θ = tan -1 Fy θ = tan -1 = 142.42 = 0.8768. θ = tan -1 0.8768 = 41.24. Fx 162.42 Como se puede observar, tanto por el método gráfico del polígono como por el método analítico del Teorema de Pitágoras, los resultados son los mismos. R = 216 km θ = 41.24.

17 Método del paralelogramo. El método del paralelogramo, que es útil para sumar dos vectores a la vez, consiste en dibujar dos vectores a escala con sus orígenes coincidiendo en su origen común, los vectores forman de esta manera dos lados del paralelogramo, los otros dos lados se construyen dibujando líneas paralelas a los vectores y de igual longitud, formándose así el paralelogramo. La resultante se obtiene dibujando la diagonal del paralelogramo a partir del origen común de las dos flechas que representan los vectores y el ángulo se mide con el transportador. 1. Una cuerda se enreda alrededor de un poste telefónico, en un ángulo de 120º. Si de uno de los extremos se tira con una fuerza de 60 N y del otro con una fuerza de 20 N Cuál es la fuerza resultante sobre el poste telefónico? 20 N θ= 120 Vector resultante R 60 N Solución: utilizando una escala 1 cm = 10 N se tiene: 60 N x 1 cm = 6 cm. 20 N x 1 cm = 2 cm 10 N 10 N En la figura anterior, se construyó un paralelogramo, dibujando a escala las dos fuerzas a partir de un origen común y con un ángulo de 120 entre ellas. Al completar el paralelogramo se puede dibujar la resultante como una diagonal desde el origen. Al medir R y θ con una regla y un transportador se obtienen 52.9 Newtons para la magnitud y 19.1 para la dirección. Por consiguiente,

18 R = (52.9 N, 19.1 ). Ahora al igual que como se hizo con el método del polígono, se realizará la obtención del vector resultante del problema anterior con el método analítico del teorema de Pitágoras. Primeramente se trazan los dos vectores, teniendo como origen común el origen de los ejes X y Y. 20 N θ = 60 60 N A continuación se procede a construir el cuadro de fuerzas. Nótese en el bosquejo del problema, que el vector de 20 Newtons, forma un ángulo de 60 respecto al eje X en el segundo cuadrante, ya que éste ángulo es suplementario al de 120 que es el ángulo que hay entre los 2 vectores, por lo cual trabajaremos con el ángulo de 60. Recuerde los signos de los ejes X y Y en el primer y segundo cuadrantes, (+,+ y -,+ respectivamente). Fuerza Angulo Componente X Componente Y 20 N 60-20 N cos 60 20 N sen 60 60 N 0 + 60 N 0 ΣFx = - 20 N cos 60 + 60 N ΣFy = 20 N sen 60 ΣFx = - 20 N (0.5) + 60 N ΣFy = 20 N (0.8660). ΣFx = -10 N +60 N ΣFx = 50 N ΣFy = 17.32 N ΣFy = 17.32 N

19 Una vez obtenidas la sumatoria de fuerzas X y fuerzas Y se aplica el Teorema de Pitágoras. R = (Fx) 2 + (Fy) 2 R = (50 N) 2 + (17.32 N) 2 R = (2500 N) + (300 N) R = 2800 N R = 52.91 N A continuación se obtiene el valor del ángulo de la resultante con la función trigonométrica tangente. θ = tan -1 Fy = θ = tan -1 = 17.32 N = 0.3464 = θ = tan -1 0.3464 = 19.1. Fx 50 N Como se ve de nueva cuenta, los resultados tanto por el método gráfico como por el método analítico son iguales: R = 52.91 N, θ = 19.1. SUMA ANALITICA DE VECTORES. 1.- Merli quiere saber donde se encuentra, si ella quiere llegar a su casa. Conociendo que camina 13 km al este; cambiando de rumbo para luego caminar 19 km al este. Hallar el resultado grafico y analíticamente. N Y V2 = -19 km v1 = 13 km O E -6 13 X S

20 DATOS VX = V1 + V2 V1 = +13 KM VX = 13+(-19) V2 = -19 KM VX = 13-19 = -6 2.- Norma quiere saber si la nueva ruta que toma hacia su casa es más corta si camino 15 km. al norte después 10 al sur para de ultimo caminar 12 km. al oeste. Calcularle la distancia o el punto donde Norma se encuentra? 15 km. al norte V 1 10 km. al sur V 2 12 km. al oeste V 3 y = V 1 + V 2 y = 15 + (-16) y = 5 x = V 3 y =.12 a 2 = b 2 + C 2 R= (Fy) 2 = (Fx) 2 R= (Fy) 2 + (Fx) 2 R= (5) 2 + (-12) 2 R= 25 + 144 R= 169 R= 13 km. θ= Tan -1 Fy/Fx = tan -1 5/12= tan -1 0.4166= 22.61.

21 3.- Tres sogas están atadas a una estaca, y sobre ella actúan tres fuerzas: A = 20 libras al Este, B = 30 libras a 30 al Noroeste; y C = 40 libras a 52 al Suroeste. Determine la fuerza resultante de forma analítica. Solución: primeramente se trazan los vectores en las coordenadas cartesianas: B = 30 lb 30 NO θ = 30 θ = 52. C = 40 lb, 52 SO A = 20 lb E Primeramente se construye el cuadro de fuerzas. F ángulo Componentes X Componentes Y 20 lb 0 20 lb 0 30 lb 30-30 lb cos 30 30 lb sen 30 40 lb 52-40 lb cos 52-40 lb sen 52 ΣFx = 20 lb-30 lb cos 30-40 lb cos 52 ΣFy= 30 lbsen30-40 lb sen 52 ΣFx = 20 lb- 30 lb (0.8660)-40 lb (0.6156) ΣFy= 30 lb (0.5)-40 lb (0.7880). ΣFx = 20 lb- 25.98 lb- 24.62 lb ΣFy= 15 lb- 31.52 lb ΣFx = 20 lb- 50.6 lb ΣFx = - 30.6 lb ΣFy= -16.52 lb ΣFy= -16.52 lb Una vez obtenidos la sumatoria de fuerzas X y Y, se aplica la ecuación del teorema de Pitágoras para obtener la resultante. Por los signos de las

22 componentes X y Y (ambos negativos), la resultante se graficará en el tercer cuadrante. R = (Fx) 2 +(Fy) 2. R = (- 30.6 lb) 2 + (- 16.56 lb) 2. R = 1210.59 lb R = 34.8 lb Para obtener el ángulo de la resultante, se aplica la función trigonométrica tangente: θ = tan -1 Fy θ = tan -1-16.52 lb = tan -1 0.5398 = 28.36. Fx - 30.6 lb R = 34.8 lb, 28.36. Al Suroeste. El ángulo es debajo del eje x en el tercer cuadrante. La dirección o ángulo del vector resultante también se puede expresar como 208.36 al sumar los 180 correspondientes a los dos primeros cuadrantes al valor de 28.36, por lo cual la respuesta también se puede expresar como: R = 34.8 lb, 208.36 medidos desde el primer cuadrante. θ= Tan -1 Fy/Fx = tan -1 5/12= tan -1 0.4166= 22.61. COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA O VECTOR EN EL PLANO. Componentes rectangulares de una fuerza. Todo vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores a los cuales se les denomina componentes. Cuando las componentes forman un ángulo recto, se les llama componentes rectangulares. En la figura 2 se ilustran las componentes rectangulares del vector rojo.

23 Las componentes rectangulares cumplen las siguientes relaciones Las 2 primeras ecuaciones son para hallar las componentes rectangulares del vector a. y Las 2 últimas son para hallar el vector a (Teorema de Pitágoras a partir de sus componentes rectangulares. La última ecuación es para hallar la dirección del vector a (ángulo) con la función trigonométrica tangente. Ejemplo: Una fuerza tiene magnitud igual a 10.0 N y dirección igual a 240º. Encuentre las componentes rectangulares y represéntelas en un plano cartesiano.

24 El resultado nos lleva a concluir que la componente de la fuerza en X tiene módulo igual a 5.00 N y apunta en dirección negativa del eje X. La componente en Y tiene módulo igual a 8.66 y apunta en el sentido negativo del eje Y. Esto se ilustra en la figura 3. SUMA DE VECTORES EMPLEANDO EL METODO DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES. Cuando vamos a sumar vectores, podemos optar por descomponerlos en sus componentes rectangulares y luego realizar la suma vectorial de estas. El vector resultante se logrará componiéndolo a partir de las resultantes en las direcciones x e y. Ejemplo: Sumar los vectores de la figura 1 mediante el método de las componentes rectangulares.

25 Lo primero que debemos hacer es llevarlos a un plano cartesiano para de esta forma orientarnos mejor. Esto se ilustra en la figura 2 A continuación realizamos las sumas de las componentes en X y de las componentes en Y:

26 DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN SUS COMPONENTES RECTANGULARES EN EL ESPACIO Considere una fuerza F actuando en el origen O del sistema de coordenadas rectangulares X, Y, Z. Para definir la dirección de F, se dibuja el plano vertical OBAC que contiene a F (véase la figura de abajo). Este plano pasa a través del eje vertical y su orientación está definida por el ángulo Ø que este formo con el plano XY. La dirección de F dentro del plano está definido por el ángulo Ø y que F forma con el eje Y. la fuerza F se puede descomponer en una componente vertical F y y una componente horizontal F h ; las componentes escolares correspondiente son: F y F cos y F h F sen y Fh sen y F F Fsen h Fy cos y F y sen Ø = F F z h F z Fh sen Ø F z Fsen Ø y sen Ø F h se puede descomponer en dos componentes rectangulares F x y F z a lo largo de los ejes X, Y, Z, respectivamente. Esta operación se lleva acabo en el plano X, Z. Se obtiene las siguientes expresiones para los componentes escolares correspondientes a F x y F z F x. F F x 2 F h F h Cos Sen F F Sen Sen y y Cos Sen Por lo tanto, la fuerza dada F se ha descompuesto en 3 componentes vectoriales rectangulares F x y F y F z, que están dirigidas a lo largo de los tres ejes coordenados.

27 Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos OAB y OCD se escribe: F 2 = (OA) 2 = (OB) 2 + (BA) 2 = F 2 y+ F 2 h F 2 = (OC) 2 = (OD) 2 + (DC) 2 = F 2 x+ F 2 z Eliminando F 2 h de estas dos ecuaciones y resolviendo F, se obtiene la siguiente relación entre la magnitud de F y sus componentes escalares rectangulares. F F 2 2 ( Fh) 2 F( x) 2 ( Fh) 2 F( z) 2 F( y) 2 F Fx 2 Fy 2 2 F z F cos Ø= F F x = F h cos Ø F x Fsen Ø y cos Ø x h La relación existente entre la fuerza F y sus tres componentes F x y F y F z se visualiza más fácilmente si, como se muestra en la figura se dibujo una caja que tenga F x y F y F z como aristas. Entonces, la fuerza F se representa por la diagonal OA de dicha caja. La figura b muestra el triángulo rectángulo OAB empleado para derivar primera de las fórmulas F y = F cos Ø y. En las figuras 2,31a y c, también se han dibujado otros dos triángulos rectángulos. OAD y OAE. Se observa que estos triángulos ocupan en la caja posiciones comparables con la del los triángulos OAB. Al enunciar Ø x y Ø z, como los ángulos que F forman con los ejes x y z, respectivamente, se pueden derivar dos fórmulas similares a F y = F cos Ø y entonces se escribe.

28 Los tres ángulos,, y definen la dirección de fuerza F; éstos son los x y z que se utilizan con mayor frecuencia para dicho propósito, más comúnmente que los ángulos Ø introducidos al principio de esta sección. Los cosenos de x y z y y,, y se conocen como los cosenos directores de la fuerza F. Introduciendo los vectores unitarios i, j y k, dirigidos, respectivamente, a lo largo de los x, y y = figura 2.32 F puede expresarse de la siguiente forma.

29 Donde los componentes escalares F x y F y F z están definidas por las relaciones (2.19). Ejemplo 1. Una fuerza de 500 N forma ángulos de 60º, 45º y 120º con los ejes x y y z, respectivamente. Encuentre los componentes F x y F y F z de la fuerza. Sustituyendo F = 500 N, 60º, 60º, 45º y 120º en las formulas se escribe. x y y z F F cos F x x y F cos F y z F cos z Llevando los valores obtenidos para las componentes escalares de F a la ecuación (2.20) se tiene. F = F x i + F y j + F z k Como en el caso de los problemas bidimensionales, un signo positivo indica que la componente tiene el mismo sentido que el eje que le corresponde y un signo negativo indica que esta tiene un sentido opuesto al del eje. El ángulo que forma una fuerza F con un eje siempre debe ser medido a parir del lado positivo del eje y siempre debe estar entre 0 y 180º. Un ángulo x menos que 90º (agudo) indica que F (la cual se supone que está fija a 0 x está en el mismo lado del plano y z que el eje x positivo; entonces cos x y F x serán positivos. Un ángulo mayor que 90º (obtuso) indica que F está en el x otro lado del plano yz; entonces cos x y F x serán negativos. En el ejemplo 1. Los ángulos y son agudos, mientras que x y y es obtuso; consecuentemente F x y F y son positivos mientras que F z es negativo. Sustituyendo las expresiones obtenidas para F x y F y F z en (2.19) se obtiene la siguiente expresión. La cual muestra que la fuerza F puede ser expresada como el producto del escalar F y un vector. Obviamente, el vector es un vector cuya magnitud es igual a 1 y cuya dirección es la misma que la de F (figura 2.33). El vector se conoce como el

30 vector unitario a lo largo de la línea de acción de F. A partir de (2.22) se observa que las componentes del vector unitario son iguales, respectivamente, a los cosenos directores de la línea de acción de F: Se debe señalar que los valores de los tres ángulos,, y no son independientes. Recordando que la suma de los cuadrados de las componentes de un vector es igual a su magnitud elevada al cuadrado se escribe. x y z En el caso del ejemplo 1, una vez que se han seleccionado los valores x 60º y y 45º, el valor de z debe ser igual a 60º o a 120º para que se cumpla la identidad (2.24) Cuando se conocen las componentes F x y F y F z de una fuerza F, la magnitud F de la fuerza se obtiene a partir de las relaciones se pueden resolver para los cosenos directores. Y se pueden encontrar los ángulos,, y que caracterizan la dirección de la fuerza F. Ejemplo 2. Una fuerza F tiene las componentes F x = 20Ib, F y =-30Ib y F z = 60Ib. Determine su magnitud F y los ángulos x, y, y z que está forma con los ejes coordenados. A partir de la fórmula (2.18) se obtiene. x y z

31 F 2 2 2 2 2 2 2 ( Fx ) ( Fz ) ( Fy ) F Fx Fy Fz Sustituyendo los valores de las componentes y la magnitud F en las ecuaciones se escribe. Fx cos x F Fy Cos y F Fz Cos z F Calculando sucesivamente cada uno de los cocientes y su respectivo arco coseno se obtiene. Estos cálculos pueden llevarse a cabo fácilmente con la ayuda de una calculadora. Otro tipo de problemas de vectores en el espacio, es cuando se dan como datos, solamente 2 de los ángulos directores, y una sola de las componentes, y se pide hallar la Fuerza resultante F, las otras dos componentes y el ángulo restante. Para ilustrar como se resuelven este tipo de problemas considere el siguiente ejemplo. 1.- Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección dada por los ángulos Θy=55 y Θz=45. Sabiendo que la componente de la fuerza en x (Fx)= -500 lb, determine a) las otras componentes (Fy y Fz) y la magnitud de la fuerza y b) el valor de Θx. Lo primero que hay que hallar es el ángulo faltante es decir en este caso Θx. cos 2 Θx+cos 2 Θy+ cos 2 Θz= 1 despejando cos 2 Θx tenemos: cos 2 Θx= 1- (cos 2 Θy+ cos 2 Θz). sustituyendo valores: cos 2 Θx= 1- (cos 2 55 + cos 2 45 ) cos 2 Θx= 1- (0.3289+0.5)= 1-(0.8289)= 0.1711. Este resultado es el resultado del coseno cuadrado de Θx, por lo tanto se le saca la raíz cuadrada para obtener el valor del coseno de Θx: cos Θx= 0.1711= 0.4136. Una vez obtenido el valor del coseno de Θx (0.4136) se procede a hallar el valor de la fuerza resultante F, utilizando la componente Fx,

32 tomando su valor absoluto, es decir de forma positiva. con la ecuación: Fx= F cos Θx. despejando F tenemos: F= Fx/cos Θx Sustituyendo valores: F= 500/0.4136= 1209 lb. Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F, ya se pueden hallar las otras dos componentes de la fuerza Fy y Fz con las ecuaciones ya conocidas: Fy= Fcos Θy y Fz= Fcos Θz. Sustituyendo valores: Fy= 1209 Nx cos 55 Fy= 1209 N x 0.5735 Fy= +694 N Fz= 1209 N x cos 45 F= 1209 N x 0.7071= +855 lb. Finalmente se halla el valor del ángulo Θx, mediante la siguiente ecuación: Fx= Fcos Θx. Despejando cos Θx= Fx/F. Sustituyendo valores tenemos: cos Θx= -500 lb/1209 lb= cos Θx= -0.4135. Θx= cos -1-0.4135. Θx= 114.4. Con el resultado anterior, se corrobora que cuando la componente tiene un signo negativo, el ángulo respectivo será obtuso y viceversa. Recapitulando: las respuestas son: a) Fy= +694 lb, Fz= +855 lb, b) F= 1209 lb, c) Θx= 114.4 e. Evaluación del tema 4.1. Fuerzas en el plano y en el espacio. 1.- Se aplica una fuerza de 260 libras a 75 al Noroeste. Cuál es la componente y de dicha fuerza. A. 240 N B. 245 N C. 248 N D. 251 N E. 255 N 2.- Con los siguientes datos, calcula la resultante del sistema de fuerzas todos a partir del sistema de coordenadas, considerando los ángulos a partir del eje x positivo. F1=100 N,a 0, F2=50 N, a 30, F3=40 N a 120, F4=50 N a 210. A. R =94.43 N, 65.2 B. R =78.2 N, 63.18 C. R =95.55 N, 44.2 D. R =82.17 N, 47.7 E. R =87.17 N, 23.41

33 3.- Una fuerza en el espacio, tiene un valor de 2500 N, y sus componentes Fx = -1060 N, Fy =+2120 N, Fz =+795 N. Calcular los ángulos de dicha fuerza, con respecto a los ejes x, y, y z (Θx, Θy, Θz) A. 135.3, 60, 85.6 B. 118, 75, 65.4 C. 115.1, 32, 71.5 D. 120.2, 45, 77.7 E. 145.1, 50, 75.2 4.- Son los tipos de vectores que por más que prolonguen su trayectoria, nunca se van a unir. A. Perpendiculares B. Concurrentes C. Colineales D. Paralelos E. Libres 5.- Es el método gráfico para la obtención del vector resultante, el cuál es aplicable a sólo 2 vectores a la vez. A.- Paralelogramo B.- Polígono C.- Ley de Senos D.- Ley de cosenos E.- Teorema de Pitágoras e. Bibliografía específica del tema 4.1. Fuerzas en el plano y en el espacio 1.- Física General. Héctor Pérez Montiel. Publicaciones Cultural. Cuarte reimpresión de la Segunda Edición 2004. 2.- Mecánica vectorial para Ingenieros. Ferdinand Beer, Russell Johnstons. Estática. Ed. McGraw-Hill. Sexta edición 2002.

34 d. Desarrollo del Tema 4.2. Equilibrio de una partícula. La palabra estática se deriva del griego statikós que significa inmóvil. En virtud de que la dinámica estudia las causas que originan el reposo o movimiento de los cuerpos, tenemos que la estática queda comprendida dentro del estudio de la dinámica y analiza las situaciones que permiten el equilibrio de los cuerpos. Los principios de la estática se sustentan en la primera y tercera ley de Newton. En general, la estática estudia aquellos casos en que los cuerpos sometidos a la acción de varias fuerzas no se mueven, toda vez que se equilibran entre sí. También considera los casos en que la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en movimiento es nula y el cuerpo sigue desplazándose con movimiento rectilíneo uniforme. En esta sección nos ocuparemos del estudio del equilibrio de los cuerpos rígidos, aquellos cuya deformación provocada por una fuerza es mínima al compararla con su tamaño. Ejemplos: vigas de madera, armaduras de acero o hierro colado. bolas de acero o vidrio, herramientas metálicas, cascos de fútbol americano, bicicletas, motocicletas entre otros. Aquí se supone que los cuerpos son perfectamente rígidos, aunque en realidad las estructuras y máquinas no son absolutamente rígidas y se deforman bajo la acción de las cargas a que están sometidas; pero al ser tan pequeñas estás deformaciones, no afectan las condiciones de equilibrio o de movimiento de la estructura en consideración. Un Cuerpo Rígido.- es aquel que no se deforma, se supone que la mayoría de los cuerpos considerados en la mecánica elemental son rígidos. Sin embargo, las estructuras y maquinas reales nunca son absolutamente rígidas y se deforman bajo la acción de las cargas que actúan sobre ellos. A pesar de esto generalmente estas deformaciones son pequeñas y no afectan considerablemente las condiciones de equilibrio o de movimiento de la estructura que se esté considerando. Otra de las Leyes de Newton que sirven de base al estudio de la estática es la Tercera Ley de Newton conocida como la Ley de la acción y la reacción, la cual se enuncia de la siguiente forma: para cada fuerza llamada acción debe de haber otra fuerza llamada reacción, que es de la misma magnitud, pero es opuesta, Se conocen y se han estudiado diferentes métodos para determinar la resultante de diferentes fuerzas que actúan sobre un cuerpo, pero es posible que estas fuerzas sean iguales entre si o que su resultante sea cero, en este caso el efecto de estas fuerzas dará como resultado que el cuerpo en cuestión esté en estado de equilibrio, según la ley antes mencionada. Por tanto se puede enunciar que: Cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual a cero, dicho cuerpo estará en equilibrio. El enunciado anterior corresponde a la primera condición del equilibrio que también se puede enunciar como: Un cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional si y solo si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el es igual a cero Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden representarse por vectores deslizantes.

35 Dos conceptos fundamentales asociados con el efecto de una fuerza sobre un cuerpo rígido son el momento de una fuerza con respeto a un punto y el momento de una fuerza con respecto a un eje. Como la determinación de estas cantidades involucra el cálculo de productos escalares y vectoriales de dos vectores cualquier sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo rígido puede ser remplazado por un sistema equivalente que consta una fuerza, que actúa en cierto punto, un par este sistema recibe el nombre de sistema fuerza-par Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido se pueden dividir en dos grupos: 1) fuerzas externas y 2) fuerzas internas. Las fuerzas externas representan la acción que ejerce otros cuerpos sobre el cuerpo rígido. Ellas son las responsables del comportamiento del cuerpo rígido, las fuerzas externas causaran que el cuerpo se mueva o aseguraran que este permanezca en reposo. Las fuerzas internas son aquellas que mantienen unidas las partículas las que conforman el cuerpo rígido.si el cuerpo rígido esta constituido estructuralmente por varias partes, las fuerzas que mantienen unidas a dichas partes también se definen como fuerzas internas. Como ejemplos de fuerzas externas imaginase y considere las fuerzas que actúan sobre un camión descompuesto que esta siendo jalado hacia delante por varios hombres mediante cuerdas unidas ala defensa delantera. Las fuerzas externas que actúan sobre ese camión se muestran en un diagrama de cuerpo libre. Un cuerpo sobre el cual actúan dos fuerzas, estará en equilibrio, si las dos fuerzas tienen la misma magnitud y la misma línea de acción pero en sentidos opuestos. Entonces, la resultante de las dos fuerzas será cero, un ejemplo de este caso lo podemos explicar en la siguiente. Fig. 100 Lib. -100 Lib. Otro caso de equilibrio de una partícula en equilibrio esta representado en la siguiente. Fig. Donde se muestran cuatro fuerzas actuando sobre un punto A. En el siguiente. Ejemplo la resultante que se obtiene es igual a cero por lo tanto el cuerpo A esta en equilibrio.

36 F4 = 400 lib. 30º F1 = 300 lib. F3 = 20lib. 30º F2 = 200 lib. Fx 300Lib (200Lib) sen30º (400Lib) sen30º 300Lib 100Lib 200Lib 0 Fy 173.2Lib (200Lib)cos30º (400Lib)cos30º -173.2 Lib.-173.2 Lib. + 346.4 Lib. = 0 EQUILIBRIO DE FUERZAS CONCURRENTES 1.- Isaías quiere colocar un foco en su casa, utilizando una de las paredes y el techo para colgar 2 cuerdas tomando en cuenta que la segunda tiene un ángulo de 40º y el peso del foco es de 2 kg, como lo indica la figura. Sen = 0 H Sen 40º = Vy V 2 Cos = CA H Cos 40º = Vx V 2 V 2 V 2=2 40º W=peso=2 kg

37 Fy= F 1 (COS 40 O ) W= 0 Fx= F 1 (SENO 40 O ) F2=0 F (.7660)-2Kg=0 F2= (2.610)(.6427) F(.7660)=2Kg F2=1.677 Kg. F=2Kg/.7660 F= 2.610 Kg 2.- Rubisel quiere colocar un ventilador en su casa, utilizando 2 cuerdas, la primera un ángulo de 60º y el segundo sobre el eje de las X teniendo el peso del ventilador un valor de 10 kg. Calcular los valores de F1 y F2. 60º V 2 V 1 10 kg X 2 V 2 V 1 60º V 1 10 kg seno C.o H Sen 40º Vy X 2 Vy= (seno60º) (V 2 ) Coseno C.o H Fy=F1 (COS 60)-W=0 Fx= f1 (SENO 60) F2=0 F1 (.5)-10Kg=0 F1(.5)= 10Kg F1=10/.5 F1=20 Kg (20)(.8660)-F2=0 F2=17.32Kg

38 3.- Un peso de 200 libras, es suspendido con una estructura metálica, como se muestra en la figura, Calcular la tensión de la cuerda y la comprensión de la varilla supuesta sin más. Sen Q= C.O H Sen 20º Vy H COS C.A H COS 20º Vx H H= (seno 20º)/ (CO) Vx=(coseno 20º) (H) 200lb/.3420 ( 9396)(584.79) Vy= 584.79 lb Vx= 549.47 lb 20º C 200 b 1 4.- Una pelota de 100 N suspendida de un cordel es tirada hacia un lado por otro cordel B y mantenida de tal forma que el cordel A forme un ángulo de 30 con la pared vertical. Dibuje el Diagrama de cuerpo libre y halle los valores de las cuerdas A y B. A B

39 A 30 90 60 B 100 N Para las componentes horizontales: fx =0 fx =-A cos 60 + B = 0 fx = -A 0.5 + B = 0 B = 0.5 A...1 Componentes verticales fy =0 fy= A sen 60-100 N=0 (A 0.8660) 100N=0 A= 100N/0.8660= 115.47 N Sustituyendo en la fórmula 1 B = 0.5 A B = 0.5 (115.47) B = 57.73 N

40 5.- Una pelota de 200 N cuelga de un cordel anulado a otros dos cordeles encuéntrese las tensiones en los cordeles a, b, c de acuerdo a la siguiente figura. 60 45 A B C 200 N Componentes horizontales fx =0 fx = B cos 45 -A cos 60 = 0 fx = B 0.7071 A 0.5=0 Σfx= B 0.7071= A 0.5 Despejando A: A =B 0.7071/0.5 A = B 1.4142 ecuación 1. A = 1.4142 B...1 Componentes verticales: Σfy=A sen 60 + B sen 45-200 N = 0 Σfy=A 0.8660 + B 0.7071-200N=0 Σfy= A 0.8660 + B 0.7071 = 200N Sustituyendo el valor de A de la ecuación 1: Σfy= B 1.4142 (0.8660) + B 0.7071=200 N Σfy= B 1.2246 + B 0.7071= 200N Σfy= B 1.9317= 200 N Despejando B tenemos: Σfy=B= 200/1.9317= 103.53 N A= 103.53 x 1.4142= 146.41 N

41 Los resultados de las tensiones son: A = 103.53 N; B = 146.41 N; C= peso del objeto = 200 N. 6.- Dos niños sostienen una piñata cuyo peso es de 196 Newtons, formando un ángulo de 140 con ambas cuerdas. Calcular la fuerza aplicada por cada niño. T2 T1 140 196 N Diagrama de cuerpo libre T2 T1 20 20 196 N

42 Como el cuerpo está en equilibrio tenemos que: ΣFx = 0 = T1x+ (-T2x) ΣFy = 0 = T1y +T2y-P Sustitución : ΣFx = T1 cos 20 - T2 cos 20 = 0 ΣFx = T1 cos 20 = T2 cos 20. T1 = T2. ΣFy = T1 sen 20 + T2 sen 20-196 N = 0 ΣFy = T1 sen 20 + T2 sen 20 = 196 N como T1= T2= T 2 T sen 20 = 196 N T = 196 N = 196 N = 286.54 N 2 sen 20 2 x 0.3420 Donde la fuerza aplicada por cada niño es de 286.54 N. 7.- Un cuerpo cuyo peso es de 500 N está suspendido de una armadura como se ve en la figura. Determinar el valor de la tensión de la cuerda y el empuje de la barra. T T T y 35 35 E Tx E 500 N P Como el cuerpo está en equilibrio:

43 ΣFx = 0 = E + (-Tx) ΣFy = 0 = Ty + (-P) Sustitución: ΣFx = E T cos 35 = 0 E = T cos 35. ΣFy = T sen 35 - P = 0 T sen 35 = P T = P = 500 N = 871.68 N sen 35 0.5736 Sustituyendo el valor de la tensión para encontrar el del empuje tenemos: E = T cos 35 = 871.68 N x 0.8192 = 714.08 N. 8.- Calcular el ángulo, la tensión y el empuje de la siguiente armadura: 3 m T T T y θ= θ= 5 m Tx E E 900 N 900 N Solución: Primero debemos hallar el ángulo que forma la tensión T con el eje x: Vemos que la componente y del triángulo rectángulo es de 3 metros y la componente x es de 5 metros, por lo cual vienen siendo los catetos opuesto y adyacente del ángulo en cuestión por lo cual se puede utilizar la función trigonométrica tangente: (cateto opuesto entre adyacente): tan θ= 3 m = 0.6. θ = tan -1 0.6 = 31. 5 m Una vez hallado el ángulo ya podemos hallar la tensión y el empuje: ΣFx = E- T cos 31 = 0 ΣFx = E = T cos 31.