PROPUESTAS ALGEBRAICAS PARA 4ºESO OPC. B Manuel Martínez Díaz
Capítulo 1 PROPUESTAS ALGEBRAICAS El objetivo de estas propuestas es desarrollar la capacidad de búsqueda de regularidades y patrones. Las propuestas que se proponen son de temática variada: Numéricas, geométricas, de grafos,... En todas aparecerá la necesidad de echar mano de herramientas algorítmicas (resolución de ecuaciones) y de utilizar estrategias matemáticas.
Propuesta 1 LA TORRE LA TORRE 1. Cuántos cubos han hecho falta para construirla?. Explica cómo los cuentas? 2. Cuántos cubos tendrá la torre de la misma forma pero de altura 10 cubitos en la columna central? LA TORRE Torre de 3 cubitos de altura. 3. Da una fórmula para una torre que tenga de altura n cubos en su columna central. 4. Si tuvieras 4563 cubitos, qué altura tomaría la torre más alta formada de la misma manera?, sobrarían cubitos?, cuántos?, cuántos te faltarían para la siguiente en altura? 2
Propuesta 2 PRISMAS, PIRÁMIDES Y BIPIRÁMIDES PRISMAS, PIRÁMIDES Y BIPIRÁMIDES 1. Encuentras alguna relación entre los vértices (V), las aristas (A) y las caras (C)?, exprésala algebraicamente 2. Explica razonadamente si puede existir un prisma que tenga en total (entre caras, aristas y vértices) 1000 elementos. En caso afirmativo, de qué prisma se trata? 3. Explica razonadamente si puede existir una bipirámide con 60 aristas. En caso afirmativo, de qué bipirámide se trata? 4. Construye otros poliedros y comprueba si se sigue cumpliendo la relación que has encontrado anteriormente PRISMAS, PIRÁMIDES Y BIPIRÁMIDES Un prisma está formado por dos bases (polígonos) iguales y rectángulos en las caras laterales. Una pirámide se forma por una base (polígono) y triángulos en las caras laterales, mientras que una bipirámide se forma al unir dos pirámides por sus bases, observa los dibujos: Caras Vértices Caras Aristas 3
Te puede ayudar en tus investigaciones completar la siguiente tabla, donde C:Caras, A:Aristas, V:Vértices Imagen interactiva 1.2 Prisma de base triangular LADO DE BASE PRISMAS PIRÁMIDES BIPIRÁMIDES C A V C A V C A V 3 4 5 6 7 8... n Imagen interactiva 1.1 Prisma de base cuadrada 4
Propuesta 3 PALILLOS Y CUADRADOS PALILLOS Y CUADRADOS 1. Cuántos cuadrados tendrá la figura que ocupe el lugar 100? PALILLOS Y CUADRADOS Observa la siguiente serie de cuadrados realizada con palillos: 2. Da una regla (con palabras) que indique cómo saber los cuadrados que tendrá una determinada figura. 3. Da una regla (con palabras) que indique cómo saber los palillos que tendrá una determinada figura. Te puede ayudar ir completando la tabla: Posición 1ª 2ª 3ª... nª Nº Cuadradito Nª Palillos 5
Propuesta 4 PALILLOS Y ÁNGULOS PAJITAS Y ÁNGULOS 1. Cuál es el número máximo de ángulos rectos que se podrían formar con 2 palillos? 2. Cuál es el número máximo de ángulos rectos que se podrían formar con 3 palillos? 3. Cuál es el número máximo de ángulos rectos que se podrían formar con 24 palillos? 4. Puedes formar cualquier número de ángulos rectos?. Por ejemplo, puedes formar 49 ángulos rectos, y 104?, en caso afirmativo, cuántas pajitas necesitas? PAJITAS Y ÁNGULOS Supón que tenemos pajitas infinitamente largos (rectas). Cuál sería el máximo número de ángulos rectos que se pueden formar?. Empieza con 2,3,4,5,6, 7,8,...Intenta buscar una regla y escríbela. Si tuvieras n pajitas, Cuántos ángulos rectos se formarían a lo sumo?. Haz dibujos, esquemas o gráficos y una tabla. 6
Propuesta 5 Números Pentagonales NÚMEROS PENTAGONALES 1. Cuántos puntos tendrá el P20? 2. Cuántos puntos tendrá cualquier pentágono Pn? 3. Si tuviéramos 2380 puntos colocados en esa disposición, qué pentágono podríamos hacer? NÚMEROS PENTAGONALES Observa las siguientes figuras. En cada caso se ha formado un pentágono ampliando el anterior. Observa las siguientes figuras. En cada caso se ha formado un hexágonos ampliando el anterior. 7
Propuesta 6 NÚMEROS HEXAGONALES NÚMEROS HEXAGONALES 1. Cuántos puntos tendrá el H5? 2. Cuántos puntos tendrá cualquier hexágono Hn? NÚMEROS HEXAGONALES Observa las siguientes figuras. En cada caso se ha formado un hexágono ampliando el anterior. 3. Si tuviéramos 2380 puntos colocados en esa disposición, qué hexágono podríamos hacer? 4. La sucesión de puntos de estas formaciones se conocen con el nombre de números hexagonales. Cómo podrías saber si un número es hexagonal? 8
Propuesta 7 CASTILLO DE NAIPES CASTILLO DE NAIPES 1. Cuántas cartas necesitas para hacer un castillo de 1 piso, 2 pisos, 3 pisos? CASTILLO DE NAIPES En el dibujo tienes un castillo de naipes de cuatro pisos. 2. Cuántas cartas necesitas para hacer un castillo de 10 pisos? 3. Cuántas cartas necesitas para hacer un castillo de n pisos? 4. El récord Guitnest está en 61 pisos. Cuántas necesitarías para batir ese récord y hacer un castillo de 62 pisos de altura 5. Si dispones de 123000 cartas, De qué altura podría ser el castillo? 9
Propuesta 8 REDES REDES 1. Dibuja tus propias redes conexas. Busca una regla que relacione el número de arcos, nudos y regiones. Intenta explicar porqué funciona esa regla. REDES Una red es un conjunto de líneas (arcos o aristas), junturas (nudos) y espacios ( regiones) que componen una forma. 2. Puedes adaptar tu regla para redes inconexas? 3. Un cubo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. 4. Explora la relación entre el número de caras, vértices y aristas para otras figuras sólidas regulares. (tetraedro, icosaedro, octaedro,dodecaedro) 5. Puedes encontrar otros casos excepcionales? La red mostrada arriba está compuesta por 12 arcos, 7 nudos y 7 regiones (se han coloreado de distinto color las regiones). 10
Las redes pueden ser de dos tipos: Conexas e inconexas. 11
Propuesta 9 EL SALTO DE LA RANA EL SALTO DE LA RANA 1. Qué relación existe entre el número de cuadros del tablero y el número de fichas de un color?. 2. Si en lugar de 4 fichas de un color, tienes 8 fichas, Qué tablero tendrías que tener? EL SALTO DE LA RANA Juega en www.matemath.com al juego de la rana y busca una estrategia a este famoso solitario. Indica el número de movimientos que se deben hacer para intercambiar de lugar las ranas de los dos colores. 3. Encuentra una estrategia para intercambiar las ranas de lugar. 4. Qué es lo que nunca debes hacer? 5. Observas alguna regularidad en tus movimientos? 6. Si ya has conseguido hacer el traspaso, cuenta el número de movimientos que haces en cada caso. 7. Te puede servir anotar de un color los movimientos seguidos que haces con las fichas de un color, y de otro los de las otras fichas. 8. Podrías decir cuántos movimientos se necesitarían si tuvieras n fichas de un color? 12
Propuesta 10 El envío de un paquete ENVÍO DE UN PAQUETE 1. Entra en la web de correos y supón distintos parámetros para tu paquete y observa la tarifa. 2. Haz una investigación probando distintos pesos, dimensiones del paquete y observa lo que ocurre con la tarifa. ENVÍO DE UN PAQUETE No hay nada más cotidiano que el envío de un paquete. Todos los días se envían miles de ellos. Correos es una de las empresas donde es más barato enviar un paquete. La tarifa la puedes consultar en: www.correos.es, de hecho puedes 3. Realiza una hoja de cálculo donde se recojan los resultados e intenta programarla de manera que se puedan predecir los resultados. calcular online lo que te va a costar el paquete. El objetivo de esta propuesta es encontrar la fórmula que utiliza correos para calcular la tarifa del envío nacional del paquete azul. 13
Propuesta 11 Rosa Mística ROSA MÍSTICA 1. Cuántas líneas hay en total? 2. Si tuviéramos n puntos, cuántas líneas tendríamos? ROSA MÍSTICA Este diagrama se ha realizado uniendo entre si con líneas los 18 puntos del círculo. Cada punto está unido a todos los demás. Intenta algunos casos sencillos. Busca un diagrama adecuado Organiza sistemáticamente los datos. Observar que no hay necesidad de espaciar los puntos alrededor del círculo de forma regular. De hecho, las razones para la pauta de diferencias mostrada abajo resultan más claras si se añaden nuevos puntos al mismo diagrama 14
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Propuesta 12 EL CUBO PINTADO EL CUBO PINTADO 1. Cuántos de esos cubitos tienen: 0 caras negras?, 1 cara negra?, 2 caras negras?, 3 caras negras?, 4 caras negras?, 5 caras negras?, 6 caras negras? 2. Ahora, supón que cortas el cubo en n 3 cubitos Cuántos de esos cubitos tienen: 0 caras negras?, 1 cara negra?, 2 caras negras?, 3 caras negras?, 4 caras negras?, 5 caras negras?, 6 caras negras? I Imagina que la seis superficies exteriores de un gran cubo se pintan de color negro. Este gran cubo se corta después en 4913 cubos (4913=17x17x17) 16
Propuesta 13 EL NIM EL NIM 1. Estudia las siguientes situaciones, en el sentido de si son ganadoras o perdedoras para un jugador, para el que fuerza la jugada o para el que juega primero llegado a esa situación. 2. 1,1 EL NIM Este juego se juega con 16 fichas que se colocan en un triángulo decreciente (1,3,5,7). Es un juego para dos personas. El juego consiste en ir cogiendo fichas, hasta que se tome la última ficha. El jugador que consiga esto, gana. Los jugadores van cogiendo por turnos un objeto o más, pero siempre de la misma fila. 3. k,k 4. k,l (con k distinto de l) 5. 1,k 6. k,1 7. 1,k 8. Y si tenemos dos distintas y un 1, cúantas posibilidades hay? Sigue analizando las situaciones desde esas posiciones hacia atrás. 9. Se podría buscar una estrategia para cualquier número de fichas en 3 filas?. 17
Propuesta 14 Sucesión de Cuadrados SUCESIÓN DE CUADRADOS SUCESIÓN DE CUADRADOS 1. Cuántos cuadrados se habrán formado en el paso n? 2. Cuál es la sucesión de los lados de los cuadrados en el paso n?. Escríbela Observa la siguiente sucesión de cuadrados que se van formando dentro del triángulo rectángulo isósceles, uniendo los puntos medios de sus catetos. 3. Cuál es el lado del cuadrado más pequeño del paso n? 4. Cuál es la sucesión de áreas de los cuadrados en el paso n?. Escríbela 5. Cuál es el área del cuadrado más pequeño en el paso n? 6. Cuál es la suma de las áreas de todos los cuadrados en el paso n? 7. Si repetimos el proceso indefinidamente, cuánto vale la suma de todas las áreas de los cuadrados? 18
Aristas Términos del glosario relacionados Caras, Relación de Euler, Vértices Índice Buscar término
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Relación de Euler Aristas +2 = Caras + Vértices Términos del glosario relacionados Aristas, Caras, Vértices Índice Buscar término
Vértices Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat. Términos del glosario relacionados Aristas, Caras, Relación de Euler Índice Buscar término