El Teorema de Baire Rodrigo Vargas

El Teorema de Baire Rodrigo Vargas Teorema 1 (Baire). Sea M un espacio métrico completo. Toda intersección numerable de abiertos densos es un subconjunto denso de M. Definición 1. Sea M un espacio métrico. (i) Decimos que E M es denso en ninguna parte si E C es denso. (ii) Decimos que F M es de primera categoria si se puede expresar como una unión numerable de conjuntos densos en ninguna parte. (iii) Decimos que un conjunto es de segunda categoria si no es de primera categoria. Proposición 1. Sea M un espacio métrico completo. Entonces no hay ningun subconjunto abierto no vacio que sea de primera categoría. Ejercicios 1. Pruebe que E es denso en ninguna parte si y sólo si su clausura tiene interior vacio. 2. Demuestre que ningún espacio métrico completo es de primera categoría. 3. Considere un espacio métrico numerable que sólo contiene elementos que son puntos límites. Demuestre que tal espacio no es completo. (Católica, Magister, 2005) 4. Demuestre que R no es numerable. 5. Sea X espacio métrico. Decimos que E X es perfecto si E = E. i) Muestre que un conjunto perfecto no vacio no puede ser numerable en un espacio métrico completo. ii) Muestre que [0, 1] no se puede escribir como una unión infinita y disjunta de intervalos cerrados de largo positivo. 1

iii) Demuestre que el cuadrado X = [0, 1] [0, 1] no puede expresesarse como una unión de dos o más cuadrados cerrados de interior no vacio disjuntos. 6. Sea M un espacio métrico completo. Todo conjunto de primera categoria en M tiene interior vacio. 7. i) Mostrar que Q no es un G δ. ii) Sea f : R R. Mostrar que el conjunto de los puntos de continuidad de f es un G δ. iii) Mostrar que no existe una función continua f : R R cuyos puntos de continuidad sea Q. iv) Muestre que existe una función g : R R que es continua en R \ Q y discontinua en Q. v) Sea Y el conjunto de los números irracionales. Muestre que no existe una función continua h : R R tal que h(y ) Q y h(q) = Y. 8. Demuestre que no existe una sucesión {f n } de funciones continuas de R en R tal que inf n f n(x) = 0 si y sólo si x es racional. 9. Sea M un espacio métrico completo. Si M = (Católica, Doctorado, 2003) F n, donde cada F n es cerrado en M, entonces existe por lo menos un n tal que int F n. 10. Sean M un espacio métrico completo, E espacio vectorial normado y E un conjunto de aplicaciones continuas f : M E. Suponga que E es puntualmente acotado. Demuestre que existe un abierto no vacio U tal que E es uniformente acotado en U. 11. Sea f : R R de clase C y suponga que para todo x R existe un natural n tal que f (n) (x) = 0. Demuestre que existe un abierto no vacio U de R donde f es un polinomio. 2

12. Sea C el espacio de todas las funciones reales continuas en I = [0, 1] con la norma del supremo. Sea X n el subconjunto de C formado por aquellas funciones f para las que existe un t I tal que f(s) f(t) n s t para todo s I. Fijese n y demuéstrese que todo conjunto abierto en C contiene un conjunto abierto que no corta a X n. Demuestre que esto implica la existencia de un conjunto G δ denso en C formado totalmente por funciones que no son diferenciables en ningún punto. 3

1. Pruebe que E es denso en ninguna parte si y sólo si su clausura tiene interior vacio. Solución: Queremos probar que: E C es denso int E = o equivalentemente E C es denso int E =. En efecto, basta notar que int E = x E, ε > 0 : B(x, ε) E x E, ε > 0 : y B(x, ε) con y E C x E, ε > 0 : B(x, ε) E C E C es denso 2. Demuestre que ningún espacio métrico completo es de primera categoría. Solución: Sea X un espacio métrico completo y supongamos que X es de primera categoria entonces X = donde cada F n es cerrado con complemento denso, entonces F n ( ) C = X C = F n = Note que Fn C es abierto denso, por el Teorema de Baire en particular, no vacio lo que es una contradicción. F C n F C n es denso, 3. Considere un espacio métrico numerable que sólo contiene elementos que son puntos límites. Demuestre que tal espacio no es completo. Solución: Sea X = {x n } espacio métrico numerable y supongamos que X es completo. Sabemos que int {x} = si y sólo si x no es aislado, entonces como cada x n es punto límite tenemos que int {x n } = int {x n } =. Entonces, X es un conjunto completo de primera categoria. Por problema anterior, esto es absurdo. 4

4. Demuestre que R no es numerable. Solución: Supongamos que R es numerable entonces R = todo punto de R no es aislado tenemos que int{x n } = int{x n } = {x n } como luego R es un conjunto completo de primera categoria, lo que es imposible por problema 2. 5. Sea X espacio métrico. Decimos que E X es perfecto si E = E. i) Muestre que un conjunto perfecto no vacio no puede ser numerable en un espacio métrico completo. ii) Muestre que [0, 1] no se puede escribir como una unión infinita y disjunta de intervalos cerrados de largo positivo. iii) Demuestre que el cuadrado X = [0, 1] [0, 1] no puede expresesarse como una unión de dos o más cuadrados cerrados de interior no vacio disjuntos. Solución: i) Primero probaremos que E es completo. Sea (x n ) E una sucesión de Cauchy, entonces (x n ) es sucesión de Cauchy en X, luego existe x tal que x n x E = E. Por lo tanto, E es completo. Ahora bien, supongamos que E es numerable entonces E = {e n }, como todos sus puntos son puntos límites entonces int{e n } = int{e n } = entonces E es completo de primera categoria, lo que es imposible por problema 2. ii) Supongamos que [0, 1] = α A[a α, b α ] es una unión disjunta con b α a α > 0. Notemos que la aplicación Q [0, 1] A q α tal que q [a α, b α ] 5

es sobre entonces A es numerable. Por lo tanto, [0, 1] = E = [a n, b n ] y {a n, b n } es un conjunto perfecto, por parte i) no puede ser numerable. iii) Ocupando la densidad de los puntos con coordenadas racionales en X podemos concluir que tal unión es numerable, tal como se hizo en ii), entonces X = C n. Consideremos el conjunto D = donde D n = C n. Tenemos que D es cerrado, al ser complemento de un abierto (la unión de los interiores de los cuadrados), luego es completo. Afirmamos que cada D n es cerrado con interior vacio. En efecto, cada D n es cerrado en X luego en D y además si x D n entonces para todo ε > 0 se tiene que B(x, ε) Dn C lo que implica que int D n = (ver problema 1). Es decir, D es un conjunto completo de primera categoria, lo que es imposible por problema 2. D n 6. Sea M un espacio métrico completo. Todo conjunto de primera categoria en M tiene interior vacio. Solución: Sea F = interior vacio, entonces F n, donde cada F n es cerrado en M y tiene F C = donde cada Fn C es abierto denso, por el Teorema de Baire tenemos que F C es denso en M, lo que implica por el problema 1 que int F =. 7. i) Mostrar que Q no es un G δ. ii) Sea f : R R. Mostrar que el conjunto de los puntos de continuidad de f es un G δ. iii) Mostrar que no existe una función continua f : R R cuyos puntos de continuidad sea Q. iv) Muestre que existe una función g : R R que es continua en R \ Q y discontinua en Q. F C n 6

v) Sea Y el conjunto de los números irracionales. Muestre que no existe una función continua h : R R tal que h(y ) Q y h(q) = Y. Solución: i) Supongamos que Q = A n con A n abierto, entonces para cada n N se tiene que Q A n lo que implica que A n es denso. Sea B n = R {q n } donde Q = {q 1,..., q n,...} entonces B n es abierto denso. Luego, por el Teorema de Baire el conjunto ( ) ( ) D = A n B n es denso en R, pero por construcción D =, lo que es una contradicción. Por lo tanto, Q no es un G δ. ii) Si f es continua en x entonces para todo ε > 0, existe una vecindad Vx ε de x tal que f(vx ε ) B(f(x), ε). Entonces, O ε = tenemos que es un G δ. O = x pto de cont. de f V ε x es abierto para todo ε > 0. Por lo tanto, O 1/n = {x R f es continua en x} iii) Supongamos que existe f : R R cuyos puntos de continuidad son Q sabemos por i) que Q no es un G δ, pero por ii) los puntos de continuidad son un G δ, lo que es una contradicción. iv) Basta ( ) considerar g : R R definida por g(x) = 0 si x R \ Q y g si (p, q) = 1 y g(0) = 1. p q = 1 q v) Supongamos que existe h : R R tal que h(y ) Q y h(q) Y y considere la función ϕ = g h donde g es la función definida en iv), entonces ϕ(q) = (g h)(q) g(y ) 7

como g es continua en Y entonces ϕ es continua en Q y ϕ(y ) = (g h)(y ) g(q) como g es discontinua en Q luego ϕ es discontinua en Y, lo que contradice iii). 8. Demuestre que no existe una sucesión {f n } de funciones continuas de R en R tal que inf n f n(x) = 0 si y sólo si x es racional. Solución: Supongamos que existe una sucesión f n : R R de funciones continuas tal que inf n f n(x) = 0 x Q. Para cada n N definimos el conjunto { A n = x R inf f m(x) < 1 } m n entonces cada A n es abierto y A n = {x R inf m f m(x) = 0} = Q luego Q es un G δ, lo que es una contradicción según problema 7 i) 9. Sea M un espacio métrico completo. Si M = F n, donde cada F n es cerrado en M, entonces existe por lo menos un n tal que int F n. Solución: Supongamos que int F n = para todo n N entonces M es espacio métrico completo de primera categoria, lo cual es imposible por problema 2. 10. Sean M un espacio métrico completo, E espacio vectorial normado y E un conjunto de aplicaciones continuas f : M E. Suponga que E es puntualmente acotado. Demuestre que existe un abierto no vacio U tal que E es uniformente acotado en U. 8

Solución: Como E es puntualmente acotado para todo x M existe c x > 0 tal que f(x) c x para toda f E. Consideremos para cada n N el conjunto F n = {x M f(x) n para toda f E} entonces cada F n es cerrado y como E es puntualmente acotado para cada x M existe algún n tal que x F n. Es decir, M = F n. Por problema 9 existe algún n 0 tal que intf n0, sea U = intf n0. Entonces para todo x U y toda f E tenemos que f(x) n 0, luego E es uniformemente acotado en en el abierto no vacio U. 11. Sea f : R R de clase C y suponga que para todo x R existe un natural n tal que f (n) (x) = 0. Demuestre que existe un abierto no vacio U de R donde f es un polinomio. Solución: Para cada n N consideremos el conjunto F n = {x R f (n) (x) = 0}. Cada F n es cerrado y como para cada x R existe n tal que f (n) (x) = 0 entonces x F n es decir, R = F n entonces por problema 9 existe algún n tal que U = int F n. Entonces, para cada x U se tiene que f (n) (x) = 0, es decir, f es un polinomio de grado n. 12. Sea C el espacio de todas las funciones reales continuas en I = [0, 1] con la norma del supremo. Sea X n el subconjunto de C formado por aquellas funciones f para las que existe un t I tal que f(s) f(t) n s t para todo s I. Fijese n y demuéstrese que todo conjunto abierto en C contiene un conjunto abierto que no corta a X n. Demuestre que esto implica la existencia de un conjunto G δ denso en C formado totalmente por funciones que no son diferenciables en ningún punto. Solución: Para cada n N consideremos el conjunto X n = {f C s I, t : f(s) f(t) n s t }. 9

Consideremos el completo de este conjunto A n = C \ X n = {f C s I, t : f(s) f(t) > n s t }. Probar que todo conjunto abierto en C contiene un conjunto abierto que no corta a X n es equivalente a probar que A n es denso en C. En efecto, dados ε > 0 y f C, probaremos que existe g A n tal que g f < ε. Por la continuidad unifrome de f, existe δ > 0 tal que x y < δ f(x) f(y) < ε. Por lo tanto, si subdividimos el intervalo [0, 1] en un número finito de subintervalos I 1,..., I r de largo menor que δ, el grafico de f en cada una de estos subintervalos cabe en un rectángulo de altura menor que ε. Construimos ahora una función continua g : [0, 1] R, cumnpliendo las condiciones g f < ε y g A n, haciendo que g coindida con f en los extremos de cada intervalo I j y en el interior de cada I j, el gráfico de g tiene la forma de una sierra cuyos dientes tienen aristas con inclinación mayor que n. ε g f 0 1 Por otro lado, Se sigue inmediatamente de la definición de derivada que si f A n para todo n N entonces f no posee derivada en ningún punto del intervalo I. Como cada A n es abierto denso en C y C es un espacio métrico completo entonces por el Teorema de Baire A = es denso en C y A es un G δ formado por funciones que no son diferenciable en ningún punto. A n I j 10