Dificultad [2] Solución 1. Sean A y B disjuntos y cerrados. Entonces A = adh(a) y B = adh(b), y por tanto, A adh(b) = adh(a) B = A B =.
|
|
- Roberto San Martín Navarrete
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 5.1 Sea (E, d) un espació métrico y A y B subconjuntos de E. Demuéstrese que 1. si A y B son disjuntos y ambos cerrados, entonces están separados. 2. si A y B son disjuntos y ambos abiertos, entonces están separados. Dificultad [2] 1. Sean A y B disjuntos y cerrados. Entonces A = adh(a) y B = adh(b), y por tanto, Así, pues, A y B están separados. 2.a (Primera demostración). A adh(b) = adh(a) B = A B =. Sean, ahora, A y B disjuntos y abiertos; probaremos que A adh(b) = mostrando que ningún punto de la adherencia de B puede pertenecer también a A. En efecto, si x adh(b) entonces para todo r > 0, la bola abierta B(x, r) tiene intersección no vacía con B; es decir B(x, r) B para todo r > 0 y por tanto, B(x, r) A para todo r > 0 puesto que A y B son disjuntos. Así, pues, x int(a) y, como A es abierto, A = int(a) y x A. Así, pues, A adh(b) = ; de forma análoga se prueba que adha B =. y concluímos que A y B están separados. 2.b (Segunda demostración). Sean A y B disjuntos y abiertos y pongamos F = A B. Puesto que A = A F, A es abierto en (F, d) por ser intersección de un abierto en (E, d) con F. Del mismo modo, B es abierto en (F, d) y por lo tanto A yb están separados. separados (Teorema 5.1.3). 2.c (Tercera demostración). Sean A y B disjuntos y abiertos; entonces F = A B es abierto en (E, d). Por lo tanto, A y B son disjuntos y abiertos en (F, d) (Teorema 3.3.3), luego están separados (Teorema 5.1.3).
2 5.2 Sea (E, d) un espacio métrico y A y B dos subconjuntos separados. Demuéstrese que 1. si A B es abierto, entonces A y B son abiertos; 2. si A B es cerrado, entonces A y B son cerrados. Dificultad [1] Sea F = A B. 1. Puesto que A y B están separados, son abiertos en (F, d) y, puesto que F es abierto por ser unión de abiertos, también A y B son abiertos en (E, d) 2. Similar, mutatis mutandis.
3 5.4 Proporcionar un ejemplo que revele que el interior de un conjunto conexo no es, en general, conexo. En (R 2, d 2 ) considérense los conjuntos A = {(x, y) R 2 : (x 1) 2 + y 2 1} y B = {(x, y) R 2 : (x + 1) 2 + y 2 1} Entonces A B es un conjunto conexo (compruébese) y, sin embargo, int(a B) = B(( 1, 0), 1) B((1, 0), 1) que no es conexo por ser unión de abiertos disjuntos.
4 5.5 Sean A y B dos subconjuntos no vacíos y cerrados. Probar que si A B y A B son conexos, entonces A y B son conexos. Compruébese mediante un ejemplo que si A y B no son cerrados, entonces la afirmación anterior puede ser falsa. Dificultad [3] Por reducción al absurdo. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que A no es conexo. Entonces A = S T con S, T y S T. Ahora A B = (S T) B = (S B) (T B) y puesto que (S B) (T B) uno de ellos, o ambos, debe ser vacío porque en caso contrario A B no sería conexo. Pongamos, entonces, que S B = (de forma similar se haría si T B = ), entonces A B = (S T) B = S (T B) y veamos que S (T B). En efecto, por una parte se tiene que S yt son cerrados en (A, d) y, puesto que A es cerrado, también S y T son cerrados en (E, d). Así que S y T B son cerrados en (E, d). Además S (T B) = (S T) (S B) = con lo que A B es unión de cerrados no vacíos y disjuntos y, por lo tanto, no conexo en contra de la hipótesis. Tómese A = [0, 1) [2, 3] y B = [1, 3]. A es no conexo y, sin embargo, A B = [0, 3] y A B = [2, 3] son conexos.
5 5.6 Sean A y B subconjuntos conexos de (E, d) y A B. Si C es abierto y cerrado en el subespacio (B\A, d), demostrar que A C es conexo. Dificutlad [4] Si C = o C = B \ A la proposición es evidentemente cierta. Sea, pues, C y C B \ A y supongamos que A C no es conexo. Entonces, A C = S T con S y T no vacíos y separados. Ahora bien, puesto que A es conexo, deberá ser A S o A T. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que A S; entonces T C. Llamemos ahora M al complementario de C en B \ A. Es decir B \ A = C M con C M =. Naturalmente C y M son no vacíos y están separados porque, por hipótesis, ambos son abiertos y cerrados en B \ A, de manera que T y M están separados porque T C. Ahora se tiene que B = (B \ A) A = (C M) A = M (A C) = M S T = (M S) T, y T y M S son no vacíos y separados porque T está separado de M y de S. Así, B no es conexo en contra de la hipótesis. La figura siguiente muestra la situación.
6 5.7 Probar que si A y B son subconjuntos conexos de (E, d) no disjuntos, entonces A B es conexo. Dificultad [2] (Primera resolución) Puesto que A B, A y B no están separados, de aquí que A B es conexo. (Teorema 5.2.5). (Segunda resolución sin usar el teorema) Supongamos que A B no es conexo. Entonces A B = S T con S y T no vacíos y separados. Ahora bien, puesto que A es conexo, o bien A S o bien A T; supongamos, sin pérdida de generalidad, que A T. Del mismo modo, B es también conexo, así que o bien B S o bien B T, pero si fuera B S, entonces T sería vacío, así que debe ser B T. Pero entonces A S y B T, de manera que A y B estarían separados y A B =, en contra de la hipótesis.
7 5.8 Si A y B con conjuntos conexos y A B entonces A B es conexo. Dificultad [2] (Primera resolución) Puesto que A B, A y B no están separados, de aquí que A B es conexo. (Teorema 5.2.5). (Segunda resolución sin usar el teorema) Supongamos que A B no es conexo. Entonces A B = S T con S y T no vacíos y separados. Ahora bien, puesto que A es conexo, o bien A S o bien A T; supongamos, sin pérdida de generalidad, que A T. Del mismo modo, B es también conexo, así que o bien B S o bien B T, pero si fuera B S, entonces T sería vacío, así que debe ser B T. Pero entonces A S y B T, de manera que A y B estarían separados y A B =, en contra de la hipótesis.
8 5.9 Sean A 1, A 2,...,A n conjuntos conexos y A i A i+1 i = 1, 2,...,n 1 Demostrar que n i=1 A i es conexo. Dificultad [2] Puesto que A 1 A 2 y ambos son conexo, se tiene que A 1 A 2 es conexo. Por la misma razón, puesto que (A 1 A 2 ) A 3 y ambos son conexos, se tiene que A 1 A 2 A 3 es conexo. Por recurrencia, pues, es trivial ver que n i=1 A i es conexo.
9 5.11 En el plano, cualquier segmento es un conjunto conexo. Mostrar que el conjunto de puntos del plano con, al menos una coordenada irracional es conexo. (Una demostración) Para cada a R Q, consideremos las rectas R a = {(a, y) : y R} y S a = {(x, a) : x R}. Ambos conjuntos son conexos y, además, R a S a = (a, a), de manera que el conjunto es conexo. C a = {(a, y) : y R} {(x, a) : x R} Además, para cualquier a R Q, se tiene que C e C a = {(a, a), (a, e), (e, a), (e, e)}; luego C e es conexo y corta a todo C a. Ahora R 2 Q 2 = C e y es conexo. (Otra demostración) a R Q C a Fijemos (e, e) y sea (x, y) R 2 Q 2. Si y es irracional, la poligonal [(e, e), (e, y), (x, y)] está contenida en R 2 Q 2 y es un conjunto conexo por ser unión de dos segmentos con un punto común. Si y es racional, entonces x es irracional y la poligonal [(e, e), (x, e), (x, y)] está contenida en R 2 Q 2 y es un conjunto conexo por ser unión de dos segmentos con un punto común. Ahora R 2 Q 2 es unión de todas las poligonales (que tienen un punto común), por lo tanto es conexo.
10 5.13 Probar que un espacio métrico (E, d) es conexo si y sólo si todo subconjunto propio de E tiene frontera no vacía. Supongamos que A es un subconjunto propio de E y que frt(a) =. Entonces A = int(a) frt(a) = int(a). Por lo tanto A es abierto y cerrado en (E, d) y E no es conexo. Recíprocamente, si E no es conexo, existe un subconjunto propio A E abierto y cerrado en (E, d); es decir, A = A = int(a) lo que implica que frt(a) =
11 5.14 Si A y B son subconjuntos del espacio (E, d) tales que A es conexo, y A B y A (E \ B) ; demuestra que A frt(b) Supongamos que A frt(b) =. Entonces y Así, pues, A B = A int(b) A (E \ B) = A ext(b). A = (A B) (A (E \ B)) = (A int(b)) (A ext(b)) Ahora, puesto que int(b) y ext(b) están separados (son dos abiertos disjuntos), se tiene que A int(b) y A ext(b) están separados, de manera que A es unión de dos conjuntos no vacíos y separados y, por lo tanto, no es conexo.
12 5.15 Sean A y B conjuntos conexos y A B. Si C es una componente conexa de B \ A, demostrar que B \ C es conexo. Supongamos que B \ C no es conexo. Entonces B \ C = S T con S y T no vacíos y separados. Ahora, puesto que A B \ C = S T y A es conexo, necesariamente es A S o A T. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que A S; entonces T A = de modo que T (B \ C) \ A = (B \ A) \ C y, puesto que C es una componente conexa de B \ A, se tiene que (B \ A) \ C y C están separados, de manera que T y C están separados. Así, pues, B = (B \ C) C = T (S C) y B no sería conexo, en contra de la hipótesis. La figura siguiente muestra la situación.
13 5.16 Demostrar que las componentes conexas de un conjunto A son conjuntos cerrados en el subespacio (A, d) No es cierto, en general, que las componentes conexas de A sean abiertos en (A, d) (póngase un ejemplo), pero sí es cierto si el número de componentes conexas es finito; demuéstrese. Sea C una componente conexa de A. Entonces C A, de manera que C C A = C y, por tanto, C A es conexo. Pero, puesto que C es el mayor conjunto conexo que contiene a cualquiera de sus puntos, resulta que C = C A y C es cerrado en (A, d). Nota: no es cierto que C sea cerrado en (E, d). Considérese por ejemplo, dos abiertos conexos y disjuntos. Considérese Q en la recta real. Entonces para todo x Q, se tiene que C(x) = {x} y C(x) no es abierto en (Q, d). Si hay un número finito de componentes conexas, entonces y A = n i=1 C n n C k = A \ i=1,i k C n de manera que C k es abierto en (A, d).
14 5.18 Sea A un conjunto conexo, abierto y cerrado en (E, d). Demostrar que A es una componente conexa de E. Por coherencia, suponemos que A no es vacío. Sea, entonces, x A y llamemos C a la componente conexa de E que contiene a x. Puesto que A es conexo y x A, se tiene que A C. Supongamos que A C; entonces A C = A es abierto en C por ser A abierto em E y también cerrado en C por ser A cerrado en E. Así, pues, A es un subconjunto propio, abierto y cerrado en C, de manera que C no es conexo. Absurdo, porque C es una componente conexa.
Espacios conexos. Capítulo Conexidad
Capítulo 5 Espacios conexos 1. Conexidad En este capítulo exploraremos el concepto de conexidad en un espacio métrico, y estudiaremos algunas de sus aplicaciones. Definición 5.1. Decimos que el espacio
Más detalles6.1 Pruébese que la unión de un número finito de conjuntos acotados es un conjunto acotado.
6.1 Pruébese que la unión de un número finito de conjuntos acotados es un conjunto acotado. Dificultad [2] Supongamos que A 1, A 2,..., A n son conjuntos acotados y tomemos un punto cualquiera del espacio,
Más detallesEspacios topológicos. 3.1 Espacio topológico
Capítulo 3 Espacios topológicos 3.1 Espacio topológico Definición 3.1.1. Un espacio topológico es un par (X, τ), donde X es un conjunto, y τ es una familia de subconjuntos de X que verifica las siguientes
Más detallesSubconjuntos notables de un Espacio Topológico
34 Capítulo 4 Subconjuntos notables de un Espacio Topológico 4.1 Adherencia Definición 4.1.1 (Punto adherente). Sea (X, τ) un espacio topológico, y sea S un subconjunto de X. Diremos que x X es un punto
Más detallesEl Teorema de Baire Rodrigo Vargas
El Teorema de Baire Rodrigo Vargas Teorema 1 (Baire). Sea M un espacio métrico completo. Toda intersección numerable de abiertos densos es un subconjunto denso de M. Definición 1. Sea M un espacio métrico.
Más detallesEspacios completos. 8.1 Sucesiones de Cauchy
Capítulo 8 Espacios completos 8.1 Sucesiones de Cauchy Definición 8.1.1 (Sucesión de Cauchy). Diremos que una sucesión (x n ) n=1 en un espacio métrico (X, d) es de Cauchy si para todo ε > 0 existe un
Más detallesEspacios métricos completos
5 Espacios métricos completos Comenzamos introduciendo las sucesiones de Cauchy, que relacionamos con las sucesiones convergentes. En el caso de que coincidan, se trata de un espacio métrico completo.
Más detallesCálculo Infinitesimal 1. Cuestiones de examen (2010/2011 a 2015/2016)
Cálculo Infinitesimal 1. Cuestiones de examen (2010/2011 a 2015/2016) 1. Justifíquese la verdad o falsedad de la siguiente afirmación: La suma de dos números irracionales iguales es irracional (enero 2011).
Más detallesTerminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales.
TEMA 5. CARDINALES 241 Tema 5. Cardinales Terminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales. Definición A.5.1. Diremos que el conjunto X tiene el mismo cardinal que el conjunto
Más detallesEspacios Topológicos 1. Punto de Acumulación. Al conjunto de puntos de acumulación de A se le denomina el conjunto derivado de A (A a Notación).
Espacios Topológicos 1 Punto de Acumulación Definición: Sea A un subconjunto arbitrario de R n, se dice que x R n es un punto de acumulación de A si toda bola abierta con centro x contiene un punto A distinto
Más detalles1. Producto escalar, métrica y norma asociada
1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la
Más detallesTema 2 Conjuntos convexos
Tema 2 Conjuntos convexos José R. Berrendero Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid Contenidos del tema 2 Conjuntos convexos. Propiedades básicas y ejemplos. Cierre e interior de un
Más detallesSemana02[1/23] Conjuntos. 9 de marzo de Conjuntos
Semana02[1/23] 9 de marzo de 2007 Introducción Semana02[2/23] La teoría de conjuntos gira en torno a la función proposicional x A. Los valores que hacen verdadera la función proposicional x A son aquellos
Más detallesSubconjuntos destacados en la
2 Subconjuntos destacados en la topología métrica En este capítulo, introducimos una serie de conceptos ligados a los puntos y a conjuntos que por el importante papel que juegan en la topología métrica,
Más detallesPor ser f continua y R compacto, existen x 0, y 0 en R tales que f(x 0 ) = sup{f(t) : t R} y f(y 0 ) = inf{f(t) : t R}
Proposición. Sea un rectángulo en R n, y sea f : R una función continua. Entonces f es integrable en. Conjuntos de Demostración: Como f es continua en, y es compacto, f es acotada en, y uniformemente continua.
Más detallesCálculo diferencial e integral 4
Cálculo diferencial e integral 4 http://academicos.fciencias.unam.mx/nataliajonard/calculo-4 menos que indiquemos lo contrario, R siempre denotará un rectángulo de la forma con a i < b i. R = [a 1, b 1
Más detallesCONJUNTOS COMPACTOS. . En consecuencia, ninguna unión finita de {G n n N} puede contener a H H no es compacto
CONJUNTOS COMPACTOS Denición. Se dice que un conjunto K es compacto si siempre que esté contenido en la unión de una colección g = {G α } de conjuntos abiertos, también esta contenido en la unión de algún
Más detallesTeoría de la Probabilidad Tema 2: Teorema de Extensión
Teoría de la Probabilidad Tema 2: Teorema de Extensión Alberto Rodríguez Casal 25 de septiembre de 2015 Definición Una clase (no vacía) A de subconjuntos de Ω se dice que es un álgebra si A es cerrada
Más detallesExtensiones finitas.
2. EXTENSIONES ALGEBRAICAS. Hemos dividido este tema en dos secciones: Extensiones finitas, y Clausura algebraica. En la primera relacionamos extensión finita y extensión algebraica: probamos que toda
Más detallesEspacios vectoriales
Espacios vectoriales [Versión preliminar] Prof. Isabel Arratia Z. Algebra Lineal 1 En el estudio de las matrices y, en particular, de los sistemas de ecuaciones lineales realizamos sumas y multiplicación
Más detallesUna topología de los números naturales*
Una topología de los números naturales* Divulgación Gabriel Ruiz Hernández Instituto de Matemáticas, UNAM 1 de septimebre de 1997 resumen En este trabajo vamos a describir un espacio topológico X con las
Más detallesALGEBRA y ALGEBRA LINEAL. Primer Semestre CAPITULO I LOGICA Y CONJUNTOS.
ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142 Primer Semestre CAPITULO I LOGICA Y CONJUNTOS. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Concepción 1 La lógica es
Más detalles(TALF- ITIS- C) Clase 3 5 de Octubre de 2010
(TALF- ITIS- C) Clase 3 5 de Octubre de 2010 Ac=vidades de par=cipación de alumnos 2 Alumnos : Blog de la Asignatura: hip://talf.blogspot.es/ 1 Alumno: BiograMa relacionada con la asignatura ACTIVIDADES
Más detallesConjuntos, relaciones y funciones Susana Puddu
Susana Puddu 1. Repaso sobre la teoría de conjuntos. Denotaremos por IN al conjunto de los números naturales y por ZZ al de los enteros. Dados dos conjuntos A y B decimos que A está contenido en B o también
Más detallesLas variedades lineales en un K-espacio vectorial V pueden definirse como sigue a partir de los subespacios de V.
Capítulo 9 Variedades lineales Al considerar los subespacios de R 2, vimos que éstos son el conjunto {(0, 0)}, el espacio R 2 y las rectas que pasan por el origen. Ahora, en algunos contextos, por ejemplo
Más detallesEspacios Vectoriales
Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Verónica Briceño V. noviembre 2013 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 1 / 47 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios
Más detallesContinuidad. 5.1 Continuidad en un punto
Capítulo 5 Continuidad 5.1 Continuidad en un punto Definición 5.1.1 (Aplicación continua en un punto). Sean (X, τ) e (Y, τ ) dos espacios topológicos, y sea f : X Y una aplicación entre ellos. Diremos
Más detallesELEMENTOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL
ELEMENTOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL Guillermo Ames Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Córdoba 2011 TEMA 1: NOCIONES BÁSICAS DE ESPACIOS MÉTRICOS Espacios métricos: definición y ejemplos Definición
Más detallesCAPÍTULO 2 NOCIONES BÁSICAS DE TEORÍA DE CONJUNTOS
CAPÍTULO 2 NOCIONES BÁSICAS DE TEORÍA DE CONJUNTOS 2.1. NOCIONES PRIMITIVAS Consideraremos tres nociones primitivas: Conjunto, Elemento y Pertenencia. Conjunto Podemos entender al conjunto como, colección,
Más detallesCamilo Ernesto Restrepo Estrada, Félix Ruiz de Villalba, Lina María Grajales Vanegas y Sergio Iván Restrepo Ochoa 1.
Guía de estudio Métodos de demostración Unidad A: Clase 3 Camilo Ernesto Restrepo Estrada, Félix Ruiz de Villalba, Lina María Grajales Vanegas y Sergio Iván Restrepo Ochoa 1.. Inferencias y métodos de
Más detallesSucesiones acotadas. Propiedades de las sucesiones convergentes
Sucesiones acotadas. Propiedades de las sucesiones convergentes En un artículo anterior se ha definido el concepto de sucesión y de sucesión convergente. A continuación demostraremos algunas propiedades
Más detallesConjuntos Infinitos. Ramón Espinoza Armenta AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO
Ramón Espinoza Armenta AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO El estudio de los conjuntos infinitos se inicia con Las Paradojas del Infinito, la última obra del matemático checo Bernard Bolzano, publicada
Más detallesConjuntos convexos. Capítulo Conceptos básicos.
Capítulo 1 Conjuntos convexos 1.1. Conceptos básicos. Dados x, y R n, se define [x, y] = {λx + (1 λ)y 0 λ 1} (segmento cerrado), (x, y) = {λx + (1 λ)y 0 < λ < 1} (segmento abierto), y análogamente definimos
Más detalles- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Topología
- Fernando Sánchez - - 6 Topología Cálculo I en R 26 10 2015 Elementos de la topología en R. Una topología en un conjunto da un criterio para poder hablar de proximidad entre los elementos de un conjunto.
Más detallesReconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topología métrica.
3 Funciones continuas De entre todas las aplicaciones que pueden definirse entre dos espacios métrico, las aplicaciones continuas ocupan un papel preponderante. Su estudio es fundamental no sólo en topología,
Más detallesFunciones de Clase C 1
Capítulo 7 Funciones de Clase C 1 Vamos a considerar ahora la extensión a varias variables del concepto de función de clase C 1. Cada vez que establezcamos una propiedad de las funciones diferenciables,
Más detallesConjuntos. () April 4, / 32
Conjuntos En general, un conjunto A se de ne seleccionando los elementos de un cierto conjunto U de referencia (o universal) que cumplen una determinada propiedad. () April 4, 2014 1 / 32 Conjuntos En
Más detallesCOMPLEMENTO DEL TEÓRICO
ÁLGEBRA I PRIMER CUATRIMESTRE - AÑO 2016 COMPLEMENTO DEL TEÓRICO El material de estas notas fue dictado en las clases teóricas pero no se encuentra en el texto que seguimos en las mismas ( Álgebra I -
Más detallesy valores extremos. En esta sección estudiaremos los conjuntos convexos. Recordemos que un conjunto K R n es convexo si, para todo x,y K y t [0,1],
Capítulo 4 Convexidad 1. Conjuntos convexos En este capítulo estudiaremos el concepto de convexidad, el cual es sumamente importante en el análisis. Estudiaremos conjuntos convexos y funcionesconvexas
Más detallesb) Sea una relación de equivalencia en A y una operación en A. Decimos que y son compatibles si a b a c b c y c a c b para todo a, b, c A
APENDICE Relaciones y Operaciones Compatibles 1 Definición: a) Sea A un conjunto y una relación entre elementos de A. Decimos que es una relación de equivalencia si es: i Reflexiva: a A, a a. ii Simétrica:
Más detallesVolumen y conjuntos de medida cero
Capítulo 2 Volumen y conjuntos de medida cero En la recta real normalmente las funciones se integran sobre intervalos. En R n es deseable poder considerar integrales de funciones sobre conjuntos más complicados
Más detallesCONJUNTOS SEMIABIERTOS Y SEMICERRADOS. Jhuly Jovanna López Gonzalez
CONJUNTOS SEMIABIERTOS Y SEMICERRADOS Jhuly Jovanna López Gonzalez UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICAS BUCARAMANGA 2006 CONJUNTOS SEMIABIERTOS Y SEMICERRADOS
Más detallesEstructuras algebraicas
Semana 11[1/22] 4 de mayo de 2007 Anillos y cuerpos Semana 11[2/22] Anillos Comenzamos ahora el estudio de estructuras algebraicas que tengan definidas dos operaciones, y las clasificaremos en anillos
Más detallesALGEBRA LINEAL - 2do Cuatrimestre 2014 Práctica 2 - Espacios vectoriales
Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 1 ALGEBRA LINEAL - 2do Cuatrimestre 2014 Práctica 2 - Espacios vectoriales Espacios vectoriales 1. Sea V un espacio vectorial
Más detallesTopología de R n. Beatriz Porras
Producto escalar, métrica y norma asociada. Topología de R n Beatriz Porras 1 Producto escalar, métrica y norma asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores
Más detallesTeoremas de Convergencia
Capítulo 24 Teoremas de Convergencia El teorema de la convergencia monótona (Lema 21.3) establece ciertas condiciones sobre una sucesión de funciones medibles para que se puedan permutar los símbolos y
Más detallesque para cualesquiera e, v E, λ, µ k satisfaga las siguientes propiedades:
Capítulo I Espacios Vectoriales Este capítulo está dedicado a definir la estructura fundamental del Álgebra Lineal: el espacio vectorial; también definiremos las aplicaciones entre espacios vectoriales
Más detallesAxiomas de separación
CAPíTULO 6 Axiomas de separación Tema 1. Axiomas de separación: conceptos básicos El objetivo de este capítulo es considerar ciertas propiedades topológicas que comparten algunos espacios topológicos y
Más detallesSucesiones en R n. Ejemplos.-Considerando el espacio R 2 sea la sucesión {x k } 1 dada por x k = ( k, 1 k) podemos listar como sigue:
Sucesiones en R n Definición. Una sucesión en R n es cualquier lista infinita de vectores en R n x, x,..., x,... algunos de los cuales o todos ellos pueden coincidir entre si. Dada una sucesión x, x,...,
Más detallesConjuntos Medibles. Preliminares
Capítulo 18 Conjuntos Medibles Preliminares En el capítulo anterior vimos que la medida exterior de Lebesgue no resulta σ-aditiva en todo R n. Ahora vamos a construir una familia M de subconjuntos de R
Más detalles3er Concurso Unversitario de Matemáticas Galois-Noether 2013 Segunda Etapa
3er Concurso Unversitario de Matemáticas Galois-Noether 013 Segunda Etapa Sábado 17 de agosto 013 Bienvenido a la Segunda Etapa del Concurso Universitario de Matemáticas Galois-Noether Responde a las preguntas
Más detallesFunciones de Variable Real
Tema 1 Funciones de Variable Real 1.1. La Recta Real Los números reales se pueden ordenar como los puntos de una recta. Los enteros positivos {1, 2, 3, 4,...} que surgen al contar, se llaman números naturales
Más detallesNúmeros. Espacios métricos (Curso )
CÁLCULO Práctica 1 Números. Espacios métricos (Curso 2012-2013) 1. Obtener los subconjuntos de IR que verifican: a) x+2 3 x = x+2 3 x, x 3 b) x 3 3x 2 + 2x > x 3 3x 2 + 2x c) 1 x 2 > 1 1+x, x 1 d) x 2
Más detalles10.1 NOCIONES Y PROPOSICIONES FUNDAMENTALES. i 1. i) Llamaremos razón al cociente de dos cantidades expresadas en la misma unidad de medida.
0. NOCIONES Y PROPOSICIONES FUNDAMENTALES 0.. Propiedades básicas de las fracciones. Para a, b, c, d R se cumple: a c b d i) Si entonces y a b ; a, b, c, d 0. b d a c c d a c a b c d a b c d ii) Si entonces
Más detallesInducción Matemática Conjuntos Funciones. Matemática Discreta. Agustín G. Bonifacio UNSL. Repaso de Inducción, Conjuntos y Funciones
UNSL Repaso de Inducción, y Inducción Matemática (Sección 1.7 del libro) Supongamos que queremos demostrar enunciados del siguiente tipo: P(n) : La suma de los primeros n números naturales es n(n+1)
Más detallesTopología de la Recta
Capítulo 2 Topología de la Recta 21 Introducción En este capítulo introducimos algunas nociones sobre topología de los espacios métricos Nuestro interés se limitará en el futuro al caso real o a los espacios
Más detallesProblemas con soluciones
Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María, MAT-223. Problemas con soluciones 1) Muestre que si A es una base de una toplogía en X, entonces la topología generada por A es iqual
Más detallesApéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales
Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Juan-Miguel Gracia 10 de febrero de 2008 Índice 2 Determinante wronskiano. Wronskiano de f 1 (t), f 2 (t),..., f n (t). Derivada de un determinante de funciones.
Más detallesContinuidad y monotonía
Tema 14 Continuidad y monotonía Generalizando lo que se hizo en su momento para sucesiones, definiremos la monotonía de una función, en forma bien fácil de adivinar. Probaremos entonces dos resultados
Más detallesLa estructura de un cuerpo finito.
9. CUERPOS FINITOS El objetivo de este capítulo es determinar la estructura de todos los cuerpos finitos. Probaremos en primer lugar que todo cuerpo finito tiene p n elementos, donde p es la característica
Más detallesSELECCIONES CONTÍNUAS
Universidad de Los Andes Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas SELECCIONES CONTÍNUAS Doris Mileidi Pernía Méndez Trabajo especial de grado: Modalidad Seminario-Monografía Tutor: Dr. Carlos Uzcátegui.
Más detallesx, y = x 0 y 0 + x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. Es fácil ver que verifica 1. Es simétrica. x, y = y, x para todo x, y R 4.
1 Tema 2. Sección 1. Espacio vectorial de Minkowski. Manuel Gutiérrez. Departamento de Álgebra, Geometría y Topología. Universidad de Málaga. 29071-Málaga. Spain. Abril de 2010. En este capítulo se recordará
Más detallesJosé Luis Navarro Departamento de Matemáticas Universidad de Zaragoza
TOPOLOGÍA GENERAL II José Luis Navarro Departamento de Matemáticas Universidad de Zaragoza (1) Introducción (2) Topología Producto (3) Topología Cociente (4) Separación (5) Compacidad (6) Conexión (7)
Más detallesEstructuras Algebraicas
Tema 1 Estructuras Algebraicas Definición 1 Sea A un conjunto no vacío Una operación binaria (u operación interna) en A es una aplicación : A A A Es decir, tenemos una regla que a cada par de elementos
Más detallesEspacios compactos. Capítulo Cubiertas. En este capítulo estudiaremos el concepto de compacidad en un espacio métrico.
Capítulo 3 Espacios compactos 1. Cubiertas En este capítulo estudiaremos el concepto de compacidad en un espacio métrico. Definición 3.1. Sea (X, d) un espacio métrico y A X. Una cubierta de A es una familia
Más detalles1 Números reales. Funciones y continuidad.
1 Números reales. Funciones y continuidad. En este tema nos centraremos en el estudio de la continuidad de funciones reales, es decir, funciones de variable real y valor real. Por ello es esencial en primer
Más detallesa. no (si A entonces B)
Una tabla de verdad es una tabla que despliega el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes. Las tablas de verdad son
Más detallesNúmeros reales. por. Ramón Espinosa
Números reales por Ramón Espinosa Existe un conjunto R, cuyos elementos son llamados números reales. Los números reales satisfacen ciertas propiedades algebraicas y de orden que describimos a continuación.
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial
Tema 1 Espacios Vectoriales. 1.1. Definición de Espacio Vectorial Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los números Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS. Fracciones continuas, ecuación de Pell y unidades en el anillo de enteros de los cuerpos cuadráticos
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS E.A.P. DE. MATEMÁTICA PURA Fracciones continuas, ecuación de Pell y unidades en el anillo de enteros de los cuerpos cuadráticos
Más detallesFunciones convexas Definición de función convexa. Tema 10
Tema 10 Funciones convexas Los resultados obtenidos en el desarrollo del cálculo diferencial nos permiten estudiar con facilidad una importante familia de funciones reales de variable real definidas en
Más detallesUn subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:
4 Subespacios 29 b) x 5 [25;5], 5 [;24], z 5 [4;4] Use a 5 2, a 5 / a 5 2 / 2 c) Su propia elección de x,, z /o a 2 a) Elija algunos valores para n m genere tres matrices aleatorias de n m, llamadas X,
Más detallesSea Σ un alfabeto y L el lenguaje de los palíndromos sobre Σ. Sean a, b dos elementos de Σ. Se demuestra por reducción al absurdo que L no es regular:
Universidad Rey Juan Carlos Grado en Ingeniería de Computadores Máquinas Secuenciales, Autómatas y Lenguajes Hoja de Problemas: Propiedades Lenguajes Regulares Nivel del ejercicio : ( ) básico, ( ) medio,
Más detallesEn general, un conjunto A se define seleccionando los elementos de un cierto conjunto U de referencia que cumplen una determinada propiedad.
nidad 3: Conjuntos 3.1 Introducción Georg Cantor [1845-1918] formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas
Más detallesAnálisis Real: Primer Curso. Ricardo A. Sáenz
Análisis Real: Primer Curso Ricardo A. Sáenz Índice general Introducción v Capítulo 1. Espacios Métricos 1 1. Métricas 1 2. Métricas en espacios vectoriales 4 3. Topología 9 Ejercicios 16 Capítulo 2.
Más detallesMinicurso de Teoría de Gráficas Escuela de Verano 2014 por María Luisa Pérez Seguí Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas, Universidad Michoacana
Minicurso de Teoría de Gráficas Escuela de Verano 014 por María Luisa Pérez Seguí Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas, Universidad Michoacana Índice 1. Conceptos básicos 1 1.1. Nomenclatura...................................
Más detallesIntersección y suma de subespacios
Intersección y suma de subespacios Objetivos Demostrar que la intersección y la suma de dos subespacios de un espacio vectorial también son sus subespaicios Requisitos Espacio vectorial, subespacio vectorial
Más detallesALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Enteros
Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Z = N {0} N Enteros Las operaciones + y. son cerradas en Z, es decir la suma de dos números enteros es un número entero y el producto
Más detallesCONJUNTO Y TIPOS DE CONJUNTOS
CONJUNTO Y TIPOS DE CONJUNTOS Ejemplos 1. Determine cuáles de los siguientes conjuntos corresponden a conjuntos vacíos. a) El conjunto de los números naturales mayores que 3 y menores que 6. b) El conjunto
Más detallesEspacios Vectoriales
Espacios y subespacios vectoriales Espacios Vectoriales 1. Demuestre que con la suma y multiplicación habituales es un espacio vectorial real.. Considere el conjunto C de los números complejos con la suma
Más detallesAcerca del producto de funciones uniformemente continuas en subconjuntos de la recta real
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA Acerca del producto de funciones uniformemente continuas en subconjuntos de la recta real Trabajo Especial de Grado presentado
Más detallesIN Guía de Problemas Resueltos de Geometría de Programación Lineal v1.0
IN3701 - Guía de Problemas Resueltos de Geometría de Programación Lineal v1.0 Acá va una pequeña guía con problemas resueltos de Geometría en Programación Lineal con problemas básicamente extraídos del
Más detallesLa Intersección Arbitraria de una Familia de Subconjuntos Abiertos con la Propiedad α-s-localmente Finita es α-semiabierta
Divulgaciones Matemáticas Vol. 8 No. 2 (2000), pp. 155 162 La Intersección Arbitraria de una Familia de Subconjuntos Abiertos con la Propiedad α-s-localmente Finita es α-semiabierta The Intersection of
Más detallesContinuidad y monotonía
Tema 14 Continuidad y monotonía Generalizando lo que se hizo en su momento para sucesiones, definiremos la monotonía de una función, en forma bien fácil de adivinar. Probaremos entonces dos resultados
Más detallesIntegrales paramétricas propias
Integrales paramétricas propias ISABEL ARRERO Departamento de Análisis atemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es Índice 1. Introducción 1 2. Tipos de integrales paramétricas 1 2.1. Simples..............................................
Más detallesSucesiones y convergencia
Capítulo 2 Sucesiones y convergencia 1. Definiciones Una de las ideas fundamentales del análisis es la de límite; en particular, el límite de una sucesión. En este capítulo estudiaremos la convergencia
Más detallesCÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen
CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen Febrero 2012 T1. [2] Demostrar que la imagen continua de un conjunto compacto es compacto. T2. [2.5] Definir la diferencial de una función en un punto y demostrar
Más detallesIntroducción. El uso de los símbolos en matemáticas.
Introducción El uso de los símbolos en matemáticas. En el estudio de las matemáticas lo primero que necesitamos es conocer su lenguaje y, en particular, sus símbolos. Algunos símbolos, que reciben el nombre
Más detallesUniv. Nacional de Colombia, Medellín Escuela de Matemáticas Matemáticas Discretas Marzo 8, Soluciones Taller 3
Univ. Nacional de Colombia, Medellín Escuela de Matemáticas Matemáticas Discretas Marzo 8, 010 Soluciones Taller 3 1. Pruebe usando contradicción que: + 6 < 15. (Sin usar calculadora, sólo operaciones
Más detallesEspacios Vectoriales. Tema Introducción. 1.2 Repaso de Estructuras Algebraicas
Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Introducción Estas notas se han escrito con el ánimo de facilitar al estudiante una guía para el estudio de la asignatura, y no como un libro de texto o manual de Álgebra
Más detalles- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Cálculo II. Funciones. Límites y continuidad
- Fernando Sánchez - - 6 Funciones Cálculo II de Rn en Rm Límites y continuidad En este capítulo se van a estudiar funciones f : A R n R m donde A es un conjunto en R n, f = (f 1,..., f m ), x = (x 1,...,
Más detallesEjercicios de Análisis I
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS Ejercicios de Análisis I Ramón Bruzual Marisela Domínguez Caracas, Venezuela Febrero 2005 Ramón
Más detallesSubespacios Vectoriales
Subespacios Vectoriales Prof. Apuntes del Postgrado en Ingeniería 31 Mayo 2008 Subespacio Definición de Subespacio y Ejemplos. Definición Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V(K). Si
Más detallesEJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES
EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES Formas reducidas y escalonada de una matriz SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ) Encuentre una sucesión de matrices elementales E, E,..., E k tal que
Más detallesAPUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
CAPÍTULO 1: LA RECTA EN EL PLANO Conceptos Primitivos: Punto, recta, plano. APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Definición 1 (Segmento) Llamaremos segmento a la porción de una línea recta comprendida entre
Más detallesMÁS REFLEXIONES SOBRE CONJUNTOS ESTRELLADOS: LA FÁBRICA DE CONTRAEJEMPLOS
MÁS REFLEXIONES SOBRE CONJUNTOS ESTRELLADOS: LA FÁBRICA DE CONTRAEJEMPLOS Comunicación efectuada por el Dr. Guillermo Hansen en la Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires en la sesión privada extraordinaria
Más detallesHacia las gráficas: una introducción básica
Hacia las gráficas: una introducción básica Ilán A. Goldfeder Versión 0.0.21 1 Gráficas Definición 1. Una gráfica G es un par ordenado(v(g),a(g)) donde, para el presente texto, V(G) es un conjunto arbitrario
Más detallesMaterial educativo. Uso no comercial 2.4 EJERCICIOS PROPUESTOS
2.4 EJERCICIOS PROPUESTOS Temas: La geometría Euclidiana como una teoría deductiva. Axiomas de Incidencia. Axiomas de Orden. 1. En la geometría Euclidiana como una teoría deductiva, indique para cada uno
Más detallesSobre la estrechez de un espacio topológico
Morfismos, Vol. 5, No. 2, 2001, pp. 51 61 Sobre la estrechez de un espacio topológico Alejandro Ramírez Páramo 1 Resumen En este trabajo se muestran algunos resultados sobre la estrechez en la clase C
Más detallesTeorema del Valor Medio
Tema 6 Teorema del Valor Medio Abordamos en este tema el estudio del resultado más importante del cálculo diferencial en una variable, el Teorema del Valor Medio, debido al matemático italo-francés Joseph
Más detalles