CAPITULO 5 SIMULACIÓN EN MATLAB En este apartado intentaré explicar los puntos más importantes en la simulación en Matlab del trabajo realizado, y que como he venido comentando anteriormente trata sobre los sistemas de diversidad en transmisión, más concretamente, el esquema de diversidad en transmisión de dos ramas propuesto por Alamouti. He dividido el trabajo de simulación en tres partes bien diferenciadas, dependientes cada una del tipo de modulación usado. En todas ellas se compara la probabilidad de error de bits (BER) frente a la tasa E b /N 0. Al igual que hizo Alamouti en su artículo, para cada modulación se hace una comparativa entre el esquema MRRC (Maximal Ratio Receive Combining) que ya ha sido comentado teóricamente en el apartado 3.3, y el nuevo esquema de Alamouti. Por supuesto también se ha representado el sistema sin ningún tipo de diversidad, sistema con un transmisor y un receptor solamente, para comprobar cómo de eficientes son ambos esquemas de diversidad. También, para las modulaciones QPSK y 16QAM se ha estudiado el efecto de un elemento no lineal en el sistema. Hay que destacar que a lo largo de toda la simulación se trabajará con matrices, en las que cada elemento representa una señal en un instante determinado, ya que se trata de sistemas en tiempo discreto. Por tanto habrá partes de la simulación en que se trabajará con matrices con más de un fila en las que cada fila representa por ejemplo la señal transmitida por una de las dos antenas que componen el sistema. Así puede simu-
larse la codificación espacio-temporal. Más adelante se tratará este asunto con más profundidad. A continuación se detallará con más precisión cada una de las tres modulaciones, así como sus correspondientes funciones utilizadas en Matlab. 5.1 Modulación BPSK Explicaré por encima la modulación BPSK, para después pasar a describir las funciones usadas para la simulación. La modulación por desplazamiento de fase o PSK (Phase Shift Keying) es una forma de modulación angular que consiste en hacer variar la fase de la portadora entre un número de valores discretos. La diferencia con la modulación de fase convencional (PM) es que mientras en ésta la variación de fase es continua, en función de la señal moduladora, en la PSK la señal moduladora es una señal digital y, por tanto, con un número de estados limitado. Dependiendo del número de posibles fases a tomar, recibe diferentes denominaciones. Para el caso de dos únicas fases estamos hablando de BPSK (Binary Phase Shift Keying). Como ya se ha comentado sólo emplea 2 símbolos, con 1 bit de información cada uno. Es también la que presenta mayor inmunidad al ruido, puesto que la diferencia entre símbolos es máxima (180º). Dichos símbolos suelen tener un valor de salto de fase de 0º para el 1 y 180º para el 0. En cambio, su velocidad de transmisión es la más baja de las modulaciones de fase. La descripción matemática de una señal modulada BPSK es la siguiente: s( t) A m( t) cos(2πf t) = c (5,1)
donde m(t) es 1 o -1, dependiendo de si el bit es 0 o 1; A es la amplitud de la portadora y f c es la frecuencia de la portadora. Se muestra en la siguiente figura el diagrama de la constelación Figura 5.1 Constelación de una modulación BPSK 5.2 Modulación QPSK Al igual que la modulación BPSK, la QPSK también es una modulación por desplazamiento de fase. Todas las características que se definieron en el punto anterior son aplicables para esta modulación que tratamos ahora, salvo que este esquema de modula-ción consta de cuatro símbolos. Éstos se encuentran desplazados entre si 90º, siendo los valores normalmente utilizados 45º, 135º, 235º y 315º. Cada símbolo aporta 2 bits. Suele dividirse el flujo de cada bit que forman los símbolos como fase y cuadratura (parte real y parte imaginaria). Se muestra en la siguiente figura la constelación de símbolos para la QPSK usada en la simulación:
Figura 5.2 Constelación de la modulación QPSK usada La gran ventaja de las modulaciones PSK es que la potencia de todos los símbolos es la misma, por lo que se simplifica el diseño de los amplificadores y etapas receptoras (reduciendo costes), dado que la potencia de la fuente es constante. 5.3 Modulación 16 QAM Como se ha hecho con las dos anteriores modulaciones se dará a continuación una pequeña descripción de la modulación sin entrar en muchos detalles. La Modulación de Amplitud en Cuadratura o QAM es una modulación digital en la que el mensaje está contenido tanto en la amplitud como en la fase de la señal transmitida. Se basa en la transmisión de dos mensajes independientes por un único camino. Esto se consigue modulando una misma portadora, desfasada 90º entre uno y otro mensaje. Esto supone la formación de dos canales ortogonales en el mismo ancho de banda, con lo cual se mejora en eficiencia de ancho de banda que se consigue con esta modulación. Es un esquema utilizado en multitud de aplicaciones hoy en día, entre ellas podemos destacar:
Sistemas de transmisión de televisión, microondas, satélites, etc. Es la base de la modulación TCM (Trellis Coded Modulation), que consigue velocidades de transmisión muy elevadas combinando la modulación con la codificación de canal. Módems ADSL que trabajan en el bucle de abonado, consiguiendo tasas de transmisión elevadas, modulando en QAM diferentes portadoras. La representación analógica de una señal modulada en QAM es: s( t) I( t)cos(2π f t) + Q( t) sen(2πf t) = c c (5,2) donde I(t) y Q(t) son fases moduladas (en fase y cuadratura respectivamente), y f c es la frecuencia de la portadora. En el receptor estas dos señales moduladas pueden ser remoduladas usando un demodulador coherente. Para esto se multiplica la señal recibida separadamente con un coseno y un seno para producir las estimaciones de I(t) y Q(t) respectivamente. A causa de la propiedad ortogonal de las señales es posible detectar las señales moduladas independientemente. La fase de la señal recibida debe ser conocida perfectamente por el receptor. Si la fase de demodulación está solamente un poco cambiada, el resultado es una diafonía entre señales moduladas. Este problema de sincronización de portadoras del receptor tiene que ser gestionada de cualquier manera en los sistemas QAM. El demodulador coherente necesita estar exactamente en fase con la señal recibida, sino, la señal modulada no puede ser recibida independientemente. Se suelen usar más las modulaciones QAM frente a las PSK de alto orden debido a la mayor distancia entre los puntos adyacentes en el plano I-Q. La complicación es que los puntos no tienen la misma amplitud y de esta manera el demodulador tiene ahora que detectar correctamente ambas fases y amplitudes, en lugar de las fases únicamente. En la simulación se ha utilizado una modulación 16 QAM rectangular.
Las modulaciones QAM rectangulares no maximizan el espacio de los puntos de la constelación para una energía dada. Sin embargo, tienen la ventaja de que pueden ser transmitidas como una señal modulada PAM sobre portadoras en cuadratura, y por esto sencillamente demoduladas. Las constelaciones no cuadradas tienen una BER mejor pero son más difíciles de modular y demodular. La constelación de la modulación 16 QAM que se usó para la simulación se muestra en la siguiente figura: Figura 5.3 Constelación de la modulación 16 QAM 5.4 Funciones de la simulación Como se comentó al principio del apartado, las simulaciones están divididas según el esquema de modulación utilizado, aunque para los tres casos el esquema de las funciones utilizadas es el mismo. A saber, los tres casos tienen una función principal en
la que se definen las constantes globales, y en la que se llama al resto de funciones (principal_xxx.m, donde xxx indica la modulación utilizada). Las funciones específicas de cada modulación son las de modulación de los bits recibidos para obtener los símbolos que posteriormente son tratados por el transmisor y enviados a través del canal: codif_qpsk.m y codif_qam.m, para QPSK y 16 QAM respectivamente. La BPSK al ser una modulación muy sencilla se ha incluido sólo la instrucción en el archivo principal. A continuación en el archivo principal se llamará a las funciones específicas del esquema utilizado en el que se simula el codificador (para el caso del esquema de Alamouti solamente), así como el canal, y los elementos del receptor necesarios para obtener una tasa de error de bits en función de la tasa E b /N 0 (para algunos de los esquemas este receptor consiste en un combinador además del decisor), esto es: sistema sin diversidad, no_diversidad.m, esquema de diversidad en recepción MRRC, MRRC_xxx.m (donde xxx indica QPSK o QAM), nuevo esquema de diversidad en transmisión de Alamouti, ALAM_xxx.m (con xxx el esquema de modulación). Estas tres funciones devuelven una matriz con la tasa de error de bits según el valor de la relación E b /N 0. Con estos valores se generan las gráficas para poder comparar el rendimiento de cada uno de los esquemas usados. Esta parte también se realiza dentro de la función principal. Una última función que se utilizará a lo largo de la simulación será NL.m, que es la encargada de simular la no linealidad introducida en el sistema. A continuación se entrará en detalle en las distintas funciones que se han nombrado anteriormente en el apartado, indicando el porqué del código usado para su mejor comprensión del mismo.
principal_xxx.m Esta función se diferencia muy poco dependiendo del esquema de modulación que se use, por ello se explicarán todas de la misma manera. La función empieza definiendo tres constantes globales que deberán estar presentes en la simulación y que son utilizadas por muchas de las funciones, y no sólo en principal.m, y que son: N, que representa el número de muestras de la simulación, estas muestras son el número de bits aleatorios que entran en el sistema. Eb_N0_dB. Son los distintos valores de la tasa de energía de señal entre ruido. Toma valores entre cero y veinticinco, y será el índice del bucle for en las funciones específicas de cada esquema. b, que representa la sucesión de bits 0 y 1 generados de forma aleatoria, que serán transmitidos a través del sistema. Tras las constantes aparece en la función el modulador, que llamará a las funciones encargadas de modular los bits recibidos y generar los símbolos para su transmisión. Una vez obtenidos los símbolos modulados, la función principal genera las cinco matrices con los datos de la tasa de error para cada tipo de esquema de diversidad. Para ello hace llamadas a las funciones no_diversidad.m, MRRC_xxx.m y ALAM.m. Los parámetros para cada una de estas funciones se detallan más adelante. Por último, en la función principal se presentan los resultados en gráficas, usando para ello los valores devueltos por las funciones anteriores. Se hace uso de la función semilogy puesto que los valores de E b /N 0, están en decibelios. Con esto termina la función principal. codif_qpsk.m; codif_qam.m Tanto codif_qpsk.m como codif_qam.m, actúan sobre los bits recibidos de una ma-nera similar. Primero de todo obtienen el número de símbolos. Tras esto, y en ambos casos es parecido, usando un bucle for, se van tomando bits en grupos de dos o de cuatro (dos para la QPSK y cuatro para la 16 QAM), y se van obteniendo los símbolos que son colocados en la matriz de símbolos que devolverá la función. Hay que hacer notar que en el caso de la modulación QAM se divide la modulación en parte
real y par-te imaginaria, mientras que en el caso de la QPSK se hace uso de la definición de cada símbolo mediante la fase del mismo. no_diversidad.m Una vez obtenidos los datos modulados, pasamos a simular el resto del sistema. En esta función se trata de simular un esquema sin ningún tipo de diversidad, es decir sólo existe una antena transmisora que envía los símbolos, el canal con el ruido y la interferencia, y el receptor con su esquema de detección de símbolos, que es distinto según el esquema de modulación que se haya usado. Al igual que en las dos funciones que se verán a continuación, los símbolos pasarán por todas estas etapas el número de veces que indica la constante Eb_N0_dB. Para ello se usa el bucle for i=1:length(eb_n0_db). Datos modulados Canal Receptor Decisor Figura 5.4 Diagrama del esquema sin diversidad MRRC_xxx.m Al igual que en el caso sin diversidad, la función se compone de un bucle for que va recorriendo los valores de la constante Eb_N0_dB, y obteniendo un valor del número de errores encontrados, n_err(i), que una vez terminado el bucle y tras la instrucción BER_sim = n_err/n; será el valor devuelto por la función. En este esquema no existe ningún tipo de elemento que aparezca posterior al modulador, así que los símbolos pasan por el canal antes de llegar al receptor. En este esquema sí que aparecen nuevos elementos, ya que como se explicó en apartados anteriores de la memoria este es un esquema de diversidad en recepción. Para ello y tras diversas modificaciones en las señales recibida y del canal se obtienen las
señales tras salir del combinador con la instrucción (que simula la ecuación (3,15) del apartado 3 de la memoria): s_comb = sum(h_mod.*y_mod,1)./pot_hmod; (5,3) Como se comentó en la introducción del punto 5, en la simulación se utilizan matrices con un número de filas mayor que uno para simular la diversidad en el sistema. En este esquema de MRRC la diversidad se produce en el receptor, es por ello el uso de las dos siguientes instrucciones: y_mod = reshape(y,nrx,nsimb); (5,4) h_mod = reshape(conj(h),nrx,nsimb); (5,5) En ambas se ordenan las señales (ya sean recibidas o la representación del canal) en matrices con nrx filas y Nsimb columnas, donde nrx es el número de antenas receptoras. Para el canal se procede de una manera análoga. Por ejemplo para el caso de dos antenas receptoras y_mod y h_mod tendrán dos filas con Nsimb columnas. Los elementos de la misma columna en ambas matrices se usan en (5,3) para obtener la señal estimada que teóricamente estudiamos en la ecuación (3,15). La señal s_comb por supuesto está formada por los elementos de la señal que sale del combinador en cada instante k. Para el caso de cuatro antenas en recepción las ecuaciones tras el combinador no se han definido explícitamente en teoría, pero la generalización es sencilla quedando: ~ s + r * * * * 0 = h0 r0 + h1 r1 + h2r2 h3 3 (5,6). Sabiendo que s i corresponde a la señal recibida por la antena i, y que los h i son la representación del canal entre el transmisor y la antena receptora i. En la simulación se tendrán señales con cuatro filas, para que una vez que se use la instrucción (5,3) nos quede la ecuación (5,6).
ALAM_xxx.m Estas son las funciones que simulan el nuevo esquema de diversidad en transmisión que propuso Alamouti. Al igual que en los dos casos anteriores está presente el bucle for para recorrer todos los valores de la variable Eb_N0_dB y así obtener los valores del número de errores para calcular la tasa de error de bits en el sistema. Esta función introduce elementos propios como es el codificador espacio-tiempo de Alamouti. En la simulación se consigue mediante tres simples instrucciones construir una señal (s_cod) cuyos elementos son los definidos en la Tabla 1 del punto 3 de la memoria. s_cod es una matriz con dos filas, en las que las columnas representan el mismo instante de tiempo y las filas cada una de las antenas en el transmisor. Es interesante comentar la instrucción siguiente: h_mod = kron(reshape(h(k,:),2,nsimb/2),ones(1,2)); (5,7) en la que se repiten los elementos del canal para un mismo instante. Esto es necesario para posteriormente en el código poder simular las ecuaciones teóricas del esquema (ecuaciones (3,3), (3,4), (3,5) y (3,6)). La simulación se hace más compleja para el caso del sistema de diversidad en transmisión de Alamouti pero con dos antenas en el lado receptor, en vez de una. Las antenas transmisoras se simulan de la misma manera, puesto que el esquema no varía en este punto. Lo que sí varía es el número de señales recibidas, puesto que al tener dos antenas en recepción, llegarán cuatro señales, dos para cada una de las antenas. La manera para simular estas cuatro señales recibidas fue utilizar un nuevo bucle for entre 1 y nrx. Dentro del bucle se forman las dos matrices de cuatro filas cada una h_comb e y mediante una serie de instrucciones que modifican las señales para que puedan ser ~ utilizadas posteriormente por el combinador para obtener los símbolos s 0 y ~ s 1 definidos en las ecuaciones (3,8) y (3,9). Tanto en este caso como en los anteriores, el detector es fácil de simular y no conlleva más dificultad que distinguir entre los tres tipos de modulaciones. Para la
QAM se verán las dos funciones utilizadas para ello. En el caso de las modulaciones PSK se hace uso de la propiedad de que todas las señales tienen la misma energía, por tanto las fronteras de decisión son los ejes de coordenadas, quedando unas instrucciones para su simulación bastante sencillas. detector_16qam.m; decisor_bits.m Estas dos funciones simulan el detector cuando se trabaja con la modulación 16 QAM. El primero de ellos, detector_16qam.m, se encarga de detectar los símbolos recibidos. Mediante un bucle for y varias instrucciones if, else, la función devuelve los símbolos estimados que se le pasará a la segunda función decisor_bits.m. Esta segunda función no es más que un demodulador, puesto que devuelve la cadena de bits que corresponde a los símbolos modulados por la 16 QAM. Al igual que la función anterior mediante instrucciones if, else, los símbolos son convertidos en bits. Ambas funciones hacen uso de la división en parte real e imaginaria propia de las modulaciones QAM. NL.m Se ha comentó en la introducción del apartado que en el caso de las modulaciones QPSK y 16 QAM se simulará el sistema con un elemento no lineal. La función NL.m es la encargada de ello. Tal como se vio en la parte teórica se usa el modelo de Saleh para simular el efecto de un amplificador de potencia en el sistema. La señal lineal pasa por el elemento no lineal sufriendo una distorsión que podemos modelar con las siguientes expresiones: s out = s in s 1 in + µ 2 ; out ϕin ϕ = (5,8)
Donde s out y s in representan la magnitud de la señal a la entrada y a la salida del elemento no lineal respectivamente, y µ es el parámetro que representa la amplitud de saturación del amplificador. El modelo (modelo del SSPA) sólo afecta a la magnitud de la señal, dejando inalterada la fase de la misma. La función recibe como parámetros la señal y el valor del parámetro µ, devolviendo la señal de salida (señal no lineal) y también devuelve por pantalla el valor del OBO. Hasta aquí llega la explicación más o menos detallada de las funciones usadas para la simulación del proyecto. En el siguiente punto de la memoria se ofrece mediante gráficas los resultados obtenidos con esta simulación, así como algunas conclusiones que pueden obtenerse a la vista de los resultados.