Variable Compleja I (3 o de Matemáticas) Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de análisis complejo, con ejemplos resueltos (7-8) En estos apuntes, consideraremos las funciones anaĺıticas (holomorfas) en un conjunto abierto Ω en el plano que contiene a un contorno (una curva simple y cerrada, C a troos) y supondremos que el interior de también forma parte de Ω. A veces, la función f no será anaĺıtica en todo punto de Ω sino tendrá una o varias singularidades aisladas (con frecuencia, polos); será especialmente interesante el caso en que algunas de esas singularidades estén situadas en el interior del contorno. Hay tres teoremas importantes que se suelen aplicar en estas situaciones:. el teorema (integral) de Cauchy,. la fórmula integral de Cauchy, 3. el teorema de los residuos. He aquí una regla general sobre su uso: aplicamos el teorema de Cauchy cuando la función f en cuestión es derivable en todo Ω, usamos la fórmula integral de Cauchy cuando f es anaĺıtica en Ω salvo en un polo que se ubica dentro de y, por fin, utiliamos el teorema de los residuos cuando f tiene o bien un polo de orden superior a uno, o bien varios polos u otras singularidades aisladas en el interior de. No obstante, en este último caso habrá excepciones que, a veces, permitan reducir la tarea al uso de la fórmula integral de Cauchy. El teorema integral de Cauchy Teorema (integral) de Cauchy. Sea f una función anaĺıtica en un conjunto abierto Ω en el plano que contiene a un contorno, junto con su dominio interior. Entonces f()d =. Ejemplo. Para cualquier contorno tenemos e 3 + d =, ya que la función e 3 + es anaĺıtica en todo el plano (podemos tomar Ω = C). Obsérvese que tenemos la flexibilidad de reducir el dominio Ω si es necesario; lo importante es que el contorno (junto con su dominio interior Ω i ()) esté contenido en él. Ejemplo. La función g() = ctg = cos sen ya no es anaĺıtica en todo el plano porque el denominador se anula en los puntos n = πn, n Z (Ejercicio: usando la definición de la función compleja seno a través de la función exponencial, demuéstrese que esos son los únicos ceros en todo el plano). No obstante, si = C(, ) = { C : = } (con cualquier orientación), para calcular g() d, basta tomar un dominio reducido, por ejemplo Ω = D(; /9) = { C : < /9}. Ese disco no contiene ninguno de los puntos n (por tanto, g es holomorfa en Ω) y sí contiene a la curva y a su interior. Por tanto, se cumplen las condiciones del teorema de Cauchy, lo cual nos permite concluir que cos sen d =.
Singularidades aisladas. Residuos Definición. Diremos que una función f tiene una singularidad aislada en el punto = a si f es holomorfa (anaĺıtica) en { Ω : a} para un conjunto abierto Ω que contiene al punto a. Esto es equivalente a suponer que es holomorfa en un disco agujereado D (a; r) = D(a; r) \ {a} = { C : < a < r}. Existen tres posibilidades en cuanto al comportamiento de la función f cerca de la singularidad aislada en el punto a: () f está acotada en algún disco agujereado D (a; R), donde < R r. () lim a (pensando en términos de los números reales: lim a f() = +.); (3) no se cumple ninguna de las condiciones () y (). En el caso () diremos que f tiene una singularidad evitable en a, en el caso (), que tiene un polo en a y, en el caso (3), que f tiene una singularidad esencial en a. El nombre singularidad evitable está justificado por el siguiente teorema que debemos a Riemann: Teorema de la singularidad evitable. Si f está acotada en algún disco agujereado D (a; R), donde < R r, entonces, de hecho, existe el ĺımite finito L = lim a f() y la función extendida: es holomorfa en D(a; R). { f(), si D (a; R), L, si = a Por tanto, una función holomorfa en un dominio Ω salvo en un punto a Ω (o en una cantidad finita de puntos en Ω), es a todos efectos como una función holomorfa en todo Ω, después de aplicarle la extensión correspondiente. Ejemplo 3. Las funciones cos, g() = ctg = ( ) sen tienen polos, respectivamente, en = y en =. Obsérvese que no hay cancelaciones en la fracción que representa la función f. Considerando la función h() = ( ) /( + ), vemos que ésta es = cuando, por lo que consideraremos que no tiene polo en =, al cancelarse el factor +, ni tampoco en ningún otro punto. Propiedad. Puede demostrarse que toda f con un polo en = a puede escribirse como g() ( a) n para un único número natural n, donde g es anaĺıtica en el conjunto abierto Ω en la definición. Equivalentemente, hay un único n tal que existe lim a ( a) n f() y es,. Definición. El número n arriba mencionado se llama el orden del polo = a. Si n =, hablamos de un polo simple y si es igual a dos, de un polo doble en = a. Ejemplo 4. La función f() del Ejemplo 3 tiene un polo doble en =, ya que lim ( ) lim( ) =,.
Obsérvese que lim ( ), mientras que lim ( ) 3. En el caso de la función g del Ejemplo 3, el polo en = es simple, ya que lim g() = lim cos = cos =. sen Consideremos una función f anaĺıtica en un conjunto abierto Ω, salvo en un punto a Ω (una singularidad aislada). Entonces existe un disco abierto D(a, r) Ω, r >, tal que f es anaĺıtica en el disco agujereado D (a, r) = { C : < a < r}. Propiedad. En las condiciones especificadas arriba, siendo < ρ < r y la orientación de la circunferencia { C : a = ρ} siempre positiva, el valor de la integral f() d πi no depende de ρ. a =ρ Definición. El valor constante de las integrales de arriba se denomina el residuo de f en = a. Notación: Res (f; a). Observación. Cuando = a es una singularidad evitable, entonces a =ρ f() d = y, por lo tanto, Res (f; a) =. Fórmulas para el cálculo del residuo en un polo. Si = a es un polo simple de f, entonces Si a es un polo doble, entonces Más generalmente, si es un polo de orden n, entonces Res (f; a) = Res (f; a) = lim a ( a)f(). Res (f; a) = lim a [( a) f()]. (n )! lim d n a d n [( a)n f()]. Ejemplo 5. El residuo en el polo simple = de la función g del Ejemplo 3 es Res (g; ) = lim g() = lim sen cos =. Ejemplo 6. El residuo en el polo doble = de la función f del Ejemplo 3 es Res (f; ) = lim [( ) f()] = lim [ ] = lim =. Ejemplo 7. La función e / tiene en = una singularidad esencial, ya que no está acotada en ningún entorno del origen ni tampoco tiende al infinito cuando. Por ejemplo, la sucesión n = /n y 3
f( n ) = e n cuando n. La sucesión w n = i/n también tiende a cuando n ; sin embargo, f(w n ) = e in =. Cómo calcular Res (f; )? Podemos hacerlo utiliando la serie de Laurent de f que se obtiene fácilmente del desarrollo de Taylor de la función entera e w : e w = n= n= convergente absolutamente para todo w complejo. Sustituyendo w = /, se obtiene una serie en convergente en todo : e / = n! n = k ( k)!, w n n!, k= después del evidente cambio de índice k = n. Hemos demostrado en clase que el residuo es igual al coeficiente a, el que va unido a la potencia ; en este caso, Res (f; ) = a =. Esto se puede comprobar directamente, integrando la serie término por término, es decir, intercambiando la suma y la integral sobre la circunferencia unidad T, por ejemplo: f() d = π T k= T k ( k)! d = T d =, recordando que la integral sobre T de cualquier potencia k es igual a cero, salvo cuando k = (visto en clase). Fórmula integral de Cauchy Cómo integrar a lo largo de un contorno una función con una singularidad aislada dentro del contorno? En el caso de que ésta sea evitable, todavía podemos usar el Teorema integral de Cauchy, como muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 8. Sea T = { C : = } la circunferencia unidad, con la orientación positiva. La función sen / tiene una singularidad aislada en el origen, es decir, dentro de T y es holomorfa en todos los demás puntos del plano. No obstante, esta singularidad es evitable, puesto que lim. Por tanto, f se puede extender para que sea holomorfa en todo el plano (entera) y, por consiguiente, sen d =. T Cuando dentro del contorno se encuentra un polo simple del integrando, necesitaremos el siguiente importante resultado. Fórmula integral de Cauchy. Sea Ω un conjunto abierto y un contorno contenido dentro de Ω, junto con su dominio interior. Sea f una función de la forma g() a, 4
donde g es anaĺıtica en Ω y a es un punto en el interior del contorno. Entonces g() πi a d = g(a), n! g() πi ( a) n+ d = g(n) (a), n. Ejemplo 9. Sea la circunferencia unidad con la orientación positiva. Entonces cos d = πi cos = πi, ya que cos es una función anaĺıtica en Ω = C, salvo en el punto a =, interior a ; es decir, en este caso g() = cos, una función anaĺıtica en todo el plano. Considerando la misma circunferencia, pero con la orientación negativa (denotada ), obtendríamos cos cos d = d = πi, cambiando el signo en el resultado final. Ejemplo. De manera análoga, para la misma circunferencia (digamos, con la orientación positiva de nuevo), cos d = g() d = πig() = πi ( ) = πi, eligiendo esta ve Ω = { C : } y g() = cos, anaĺıtica en Ω. Obsérvese que el punto problemático = no pertenece ni a ni a su interior. Ejemplo. Siendo la circunferencia unidad con la orientación positiva, calcular la integral cos I = d. No podemos aplicar la fórmula integral de Cauchy a la función cos / en Ω = { : } con a = : ese punto pertenece al interior de pero el interior de no está contenido en Ω. Sin embargo, podemos usar la fórmula integral de Cauchy para la derivada de la función cos : f() πi = f () = sen =, siendo n = y a = en la fórmula para la derivada n-ésima en la fórmula integral de Cauchy. Teorema de los residuos Cómo integrar a lo largo de un contorno una función con varias singularidades aisladas o algún polo múltiple (de orden mayor que uno) dentro del contorno? La respuesta viene dada por el siguiente resultado fundamental. 5
Teorema de los residuos. Sea Ω un dominio y un contorno contenido en Ω, junto con su dominio interior Ω i (). Sea f una función anaĺıtica en Ω, salvo en las singularidades aisladas c, c,...,c n, todas ellas contenidas en Ω i (). Entonces n f()d = Resf(c k ). πi Obsérvese que la fórmula integral de Cauchy constituye el caso especial n = de este teorema (con un polo simple). Ejemplo. Siento T la circunferencia unidad con la orientación positiva, calcular e / d. T Ya sabemos que Res (e / ; ) = (Ejemplo 7) y = es obviamente la única singularidad aislada de e / en el plano. Por el Teorema de los residuos, e / d = πi. Ejemplo 3. Evaluar la integral T I = k= d 4, donde es la circunferencia unidad { : = } con la orientación positiva. Solución. El problema se puede resolver de distintas maneras. Solución vía el teorema de los residuos. La función 4 = ( /)( + /) evidentemente tiene dos polos simples en el plano complejo: c = / y c = /, ambos dentro de la curva, que es simple, cerrada y C. Por tanto, aunque no sea aplicable la fórmula integral de Cauchy, el Teorema de los residuos sí lo es: f()d = πi (Res (f; c ) + Res (f; c )). Para evaluar esos residuos, utiliamos la fórmula habitual para el residuo en un polo simple: Res (f; c ) = lim ( /) lim / / ( + /) =. De manera análoga, Res (f; c ) = y, por consiguiente, 4 d =. Observación: a pesar de que el resultado de integración sea cero, no podríamos haberlo obtenido usando el teorema de Cauchy, ya que éste no era aplicable. 6
Solución vía las fracciones simples y la fórmula integral de Cauchy. Un método alternativo consiste en descomponer la función f en fracciones parciales (simples) y aplicar a cada una de ellas la fórmula integral de Cauchy. Empeamos escribiendo De aquí se obtiene Por tanto, tenemos ( )( + ) = A + B +. = ( + )A + ( )B = (A + B) + (A B). A + B =, A B =. Finalmente, de ahí obtenemos que A =, B = y, por tanto, lo cual nos será más cómodo escribir como +, / + / para poder aplicar la fórmula integral de Cauchy. Recordemos que se necesita una función de la forma a en el denominador. Observando que tanto el punto = / como = / se encuentran en el interior de, ya podemos calcular directamente: 4 d = / d + / d = =, donde la fórmula integral de Cauchy en ambas integrales se ha aplicado a la función constante f = en el numerador. Ejemplo 4. Calcular la integral R ( + ) d, donde R >, R = I R +C R, I R = [ R, R] y C R es la semi-circunferencia de radio R en el semiplano superior centrada en el origen, desde R hasta R. La curva R está orientada en el sentido positivo. Solución. Puesto que + = ( i)( + i), se observa que ( i) ( + i). Por tanto, f es anaĺıtica en el conjunto abierto Ω = { C : ±i} y tiene dos polos dobles en el plano: = i y = i. Sin embargo, sólo el polo = i se encuentra en el interior de R (ya que R > ). Hallamos el valor del residuo en ese polo según la fórmula para un polo doble, por la fórmula vista antes: ( Res (f; i) = lim[( i) f()] = lim i i ( + i) ) = lim i ( + i) 3 = (i) 3 = 4i = i 4. 7
El teorema de los residuos nos dice que R ( d = πi Res (f; i) = πi + ) ( i ) = π 4. Los cálculos como éste serán muy importantes a la hora de evaluar diversas integrales impropias de funciones reales. Integración de algunas funciones trigonométricas en [, π] Sea T la circunferencia unidad con la orientación positiva. Podemos parametriarla, escribiendo cada punto T como = e it, t π. Además, tal y como se ha visto en clase, se deduce de la fórmula de Euler que + = eit + e it = cos t, = eit e it = i sen t. Por consiguiente, cos t = ( + ), sen t = ( ) = i ( ) i para los puntos = e it T. Observando que d = ie it dt = i dt y que, por tanto, podemos escribir dt = d/(i), todo esto nos permite escribir las diferentes integrales trigonométricas de la forma π u(cos t, sen t) dt, donde u es una función elemental de dos variables reales, como integrales sobre el contorno T: π ( ( u(cos t, sen t) dt = u + ), ( )) d i i, T con lo cual transformamos la integral inicial de una función real en otra integral de una función compleja elemental de. En nuestros ejemplos, esta nueva función de será anaĺıtica y con frecuencia racional, así que luego podremos aplicar la fórmula integral de Cauchy o el teorema de los residuos. Ejemplo 5. Calcular el valor de la integral I = π cos(t) 5 4 sen t dt. Solución. De manera similar a las deducción de las fórmula de arriba, también obtenemos cos(t) = ( + ), = e it T. 8
Aplicando las fórmulas indicadas, se deduce que ( + ) I = T 5 ( ) i d i = La función obtenida T 4 + ( + 5i + ) 4 + ( + 5i + ) d tiene tres polos: un polos doble = y dos simples: = i y = i/. Esto es cierto porque = i y = i/ son los ceros del polinomio + 5i +, lo cual permite la siguiente factoriación: y, por tanto, + 5i + = ( i )( i) 4 + ( + 5i + ) = 4 + 4 ( i. )( i) Dos de los polos se encuentran dentro de T: el polo simple i/ y el doble =. Aplicando las fórmula habituales para el cálculo del residuo en un polo (simple y doble, respectivamente), después de un poco de cálculo, obtenemos: Res (f; i ) = 7i 5i, Res (f; ) = 4 8. Por el teorema de los residuos, obtenemos I = πi (Res (f; i ) ) + Res (f; ) = π 6. Estimaciones para las integrales de ĺınea En lo que sigue, será una curva C a troos, parametriada de la siguiente manera: = (t), a t b. Puede ser un simple y cerrada (un contorno) o no. Ya hemos definido que d = (t) dt y ahora acordemos que d = (t) dt, una cantidad siempre no negativa. Entenderemos, por tanto, que b u() d = u((t)) (t) dt. En particular, poniendo u y escribiendo (t) = u(t) + iv(t), (t) = u (t) + iv (t), obtenemos d = b a (t) dt = donde l() denota la longitud de la curva. a b a [u (t)] + [v (t)] dt = l(), 9
Propiedad. Si es una curva C a troos, f una función continua en (la traa de) y M una constante tal que f() M para todo (por ejemplo, M = max f() ), entonces f() d f() d M d = M l(). Utiliaremos esta propiedad con frecuencia, no sólo para acotar las integrales, sino fundamentalmente para demostrar que cuando el contorno depende de un número positivo R y R +, entonces la integral f() d, lo cual será fundamental en el cálculo de distintas integrales reales. Ejemplo 6. Denotemos por C R la semi-circunferencia, de radio R en el semiplano superior, centrada en el origen, desde R hasta R. Demostrar que C R ( d, R +. + ) Solución. Necesitamos una cota superior, M, para la función /( + ) en C R. Por tanto, debemos acotar el denominador ( + ) inferiormente. Cuando pertenece a la semi-circunferencia C R, tenemos = R y, aplicando una forma de la desigualdad triangular: a b a b, con a =, b =, obtenemos + = R >. Por lo tanto, + (R ) y, finalmente, Puesto que lim R + ( + ) d C R C R (R ) d = (R ) l(c R) = πr =, se sigue que (R ) C R ( d, R +. + ) Lema de Jordan. Para todo R > se tiene la desigualdad < π e R sen t dt < π R. Demostración. Utiliando la desigualdad de Jordan vista en los cursos de Cálculo: t π sen t π t πr (R ). y la simetría de la gráfica de la función e R sen t respecto a la recta vertical t = π/, obtenemos que π π/ π e R sen t dt = e R sen t dt e Rt/π dt = π R ( e R ) < π R. La positividad de la integral es obvia. Ejemplo 7. Sea C R la semi-circunferencia del ejemplo anterior. Demostrar que CR e i ( ) d, R +. +
Solución. Por la desigualdad triangular, para = R > y R suficientemente grande (por ejemplo, R > será suficiente), obtenemos ( ) + (R ). Escribiendo = Re it, t π, observemos también que en C R se cumple C R e i = e ir cos t R sen t = e R sen t. Por tanto, teniendo en cuenta que en C R : d = Re it dt y aplicando el Lema de Jordan, obtenemos e CR i ( ) + d e i ( ) + d R π (R ) e R sen t π dt < (R ) cuando R +. Cálculo de ciertas integrales impropias (sobre intervalos infinitos) El cálculo de residuos es muy efectivo para evaluar ciertas integrales impropias de funciones racionales. Ejemplo 8. Comprobar la convergencia de la integral y evaluarla, usando los residuos. I = + Solución. En primer lugar, la integral converge ya que + dx (x + ) = dx (x + ) dx + (x + ) + dx (x + ) y ambas integrales convergen. La integral sobre el intervalo [, ] converge porque no es impropia sino una integral habitual de Riemann de una función continua en un intervalo cerrado y acotado. La integral impropia sobre el intervalo (, + converge debido al criterio de comparación, ya que (x + ) < x 4, x >, y /x 4 dx converge. Sin embargo, el cálculo de las integrales de este tipo suele ser no trivial. Para calcular I, utiliaremos el método de los residuos. Consideraremos el contorno ya habitual: R = I R + C R, donde I R = [ R, R] y C R es la semi-circunferencia de radio R en el semiplano superior centrada en el origen, desde R hasta R; le daremos a R la orientación positiva, de modo que el intervalo I R se recorrerá desde R hasta R y C R desde R hasta R. Cuando R >, la función tiene un polo doble, a saber, = i, dentro de ( +) R. Usando el teorema de los residuos, en el ejercicio 4 hemos evaluado la integral R ( + ) d = π.
Observemos que su valor es independientemente de R, siempre y cuando R >. Por otro lado, parametriando el intervalo I R simplemente como = x, R x R, obtenemos R ( + ) d = C R ( + ) d + R R (x + ) dx. Dejando que R +, obtenemos π = lim R R + R ( d = lim + ) R + C R ( d + lim f(x) dx = + ) R + R puesto que en el Ejemplo 6 hemos demostrado que lim R + C R ( + ) d =. Dado que f(x) = /(x + ) es una función par, se sigue que y, por tanto, I = π/4. π = + f(x) dx = + f(x) dx = I + f(x) dx, El método de los residuos también es útil cuando tenemos una integral mixta, involucrando una función racional y otra trigonométrica. Para ello conviene utiliar el lema de Jordan explicado antes. Ejemplo 9. Usando los residuos, evaluar las integrales I = + comprobando previamente su convergencia. cos x dx (x ) +, J = + sen x dx (x ) +, Solución. La integral I es convergente. Primero observemos que cos x (x ) + (x ) + x, x. Dado que /x dx converge, el criterio asintótico demuestra que converge la integral + y entonces, según el criterio de comparación, la integral + dx (x ) + cos x dx (x ) + converge absolutamente. De manera análoga, se demuestra que converge absolutamente la integral cos x dx (x ) +,
mientras que la integral desde hasta de la misma función tiene valor finito, al ser la integral de una función continua en un intervalo finito y cerrado (el denominador no se anula). La comprobación es completamente similar para la integral del seno. Demostrada la convergencia, pasamos a la evaluación de las integrales usando el método de los residuos. Integraremos la función convenientemente elegida: e i ( ) + sobre el mismo contorno R = I R + C R que en los ejemplos anteriores. Es fácil ver que ( ) + = si y sólo si = ±i, es decir, los ceros de este polinomio son = ± i. Así obtenemos la factoriación e i ( i)( + i) De los dos polos simples de f, sólo = + i se encuentra dentro de R, cuando R es suficientemente grande, a ser precisos, cuando R > + i =. Es fácil calcular el residuo en este polo: Res (f; + i) = Según el teorema de los residuos, lim ( i) lim +i +i e i + i = e +i. i R f() d = πi Res (f; + i) = πi e +i i = πe (cos + i sen ). Una ve más, tenemos f() d = f() d + R C R R R f(x) dx. En el Ejemplo 7 ya hemos demostrado que C R f() d, cuando R +, utiliando el lema de Jordan. Finalmente, pasando al ĺımite cuando R +, obtenemos π (cos + i sen ) = e lim f() d = R + R + f(x) dx = + cos x dx + (x ) + + i sen x dx (x ) +. Igualando las partes reales e imaginarias en los dos extremos de la igualdad anterior, obtenemos + cos x dx (x ) + = π e cos, + sen x dx (x ) + = π e sen. Ejemplo. Evaluar la integral I p = + x p + x dx, comprobando previamente su convergencia para todo p (, ). Solución. Cerca de x =, la función x p /( + x ) x p y la integral p >. Por tanto, la integral xp dx converge si y sólo si x p dx converge si y sólo si p >. Cuando x +, la función +x 3
x p /( + x ) /x p y + /x p dx converge si y sólo si p <. Por consiguiente, I p converge si y sólo si se cumplen a la ve ambas condiciones: p > y p <. Consideraremos la función compleja p /( + ) definida en un dominio conveniente. Por ejemplo, podemos definir la función p = e p log, eligiendo la siguiente rama del logaritmo: log = ln + i arg, en el dominio Ω = { C : π/ < arg < (3π)/}, el plano menos el semieje imaginario negativo. Conviene elegir el siguiente contorno R,ε en Ω: R,ε = C R + I + C ε + I +, donde C R = { = Re it : t π} es la semi-circunferencia de centro en el origen y radio R contenida en el semiplano superior, recorrida desde R hasta R, I = [ R, ε] (intervalo en el semieje real negativo), C ε = { = εe it : π ε } es la semi-circunferencia de centro en el origen y radio ε, recorrida desde ε hasta ε y, por fin, I + = [ε, R] (intervalo en el semieje real positivo). Es importante elegir ε pequeño y R grande, digamos, < ε < < R. De esta forma, el dominio interior al contorno también estará contenido en Ω. Nuestra función f es holomorfa en Ω, salvo en un polo simple, = i, que se encuentra en el interior del contorno. Teniendo en cuenta que i = e πi/ y, por tanto, i p = e πip/, calculamos el residuo correspondiente: Res (f; i) = ip cos(πp)/ + i sen (πp)/ = i i Es fácil ver que C R f() d πr R p /(R ) cuando R +. De manera similar, C ε f() d πε ε p /( ε ) cuando ε +. Cuando I, tenemos que = x < y por tanto log = ln( x)+πi. Después de evaluar cuidadosamente la integral sobre I y sumarla con la integral sobre I + y ocuparnos de todos los detalles algebraicos, dejando que ε o to + y R +, se obtiene + ( + ( ) p x p ) dx = π(cos(πp)/ + i sen (πp)/) + x y de ahí se sigue el resultado del problema, después de un poco de álgebra de los números complejos. Preparado por: Dragan Vukotić en enero de 8 4