Capítol 6. Circuits de corrent continu. Energia i potència

Capítol 6 Circuits de corrent continu. Energia i potència 6.1 Introducció 6.2 Generador lineal 6.3 Receptor lineal 6.4 Diferència de potencial entre dos punts d un circuit 6.5 Equació del circuit 6.6 Problemes Objectius Conéixer el generador de força electromotriu i el receptor de força contraelectromotriu. Realitzar balanços energètics en circuits. Calcular la diferència de potencial entre dos punts d un circuit. Resoldre circuits simples. 6.1 Introducció L existència de càrrega lliure sotmesa a l acció d un camp elèctric dóna com a resultat un corrent elèctric a causa de les forces elèctriques que actuen sobre aquestes càrregues. L existència d un gradient de potencial elèctric implica l existència d un camp elèctric, per la qual cosa es pot relacionar directament el corrent elèctric amb la diferència de potencial entre dos punts. Si s uneixen amb un fil conductor dos conductors a distint potencial, s iniciarà un moviment de càrregues elèctriques que comporten el transport d electrons del conductor de menor potencial al de major potencial fins a aconseguir l equilibri electrostàtic en què ambdós conductors estan a igual potencial i, per tant, es deté el moviment de càrrega elèctrica. Cal recordar que la intensitat, tal com s ha definit, es correspon amb el moviment de les càrregues positives, després aniria des del conductor de major potencial fins al de menor potencial. Per a produir un corrent durador, cal mantenir la diferència de potencial de manera permanent, i això s aconsegueix mitjançant un dispositiu denominat generador. 6-1

Un generador és el dispositiu que manté qv 2 U la diferència de potencial entre els dos extrems, denominats borns i, per tant, subministra q l energia necessària perquè les càrregues qv 1 circulen per un circuit. U = q V Un símil el trobem en una font d aigua de cicle tancat: de la mateixa manera que cal una Figura 6.1 bomba per elevar l aigua fins a l eixida de la canella, cal un dispositiu que eleve el potencial de les càrregues, perquè aquestes adquirisquen l energia necessària. La bomba pren aigua del recipient i li proporciona energia potencial per a elevar-la. De manera anàloga, considerarem que les càrregues entren al generador amb un potencial V 1, i per tant amb una energia qv 1, i són portades a un altre potencial V 2, i per tant una energia qv 2. L energia subministrada a cada càrrega és q V. qv 1 qv 2 U = q (V 2 - V 1 ) I Figura 6.2. ls generadors, el corrent ix del born positiu. En la Figura 6.2 es pot observar el símbol del generador, on la línia vertical major es correspon amb el born de major potencial (born positiu). diferència del que passa en una resistència, la intensitat de corrent travessa el generador des del born de menor potencial (born negatiu) fins al de major potencial. Els generadors poden ser de tipus diferents, segons siga l energia primària que es transforma en energia elèctrica, per exemple, de tipus químic (piles o bateries), mecànic (alternadors i generadors elèctrics) i fotovoltaic, entre d altres. També convé assenyalar que, a més de generar-se corrent continu, es pot generar corrent altern, com passa a les grans centrals elèctriques o a l alternador d un automòbil. En aquest tema ens limitarem a estudiar els generadors de corrent continu, també denominats fonts de tensió. Es defineix l energia generada com aquella que el generador converteix des de l energia primària en energia elèctrica. questa energia s utilitza per a aportar energia potencial a les càrregues que travessen el generador. L energia generada per unitat de càrrega es denomina força electromotriu,. Força electromotriu d un generador (fem) és l energia produïda per unitat de càrrega que travessa el generador du = dq Equació 6.1 També pot definir-se en funció de la potència, dividint numerador i denominador de l expressió anterior entre dt: du = dt Pgenerada = dq I P generada = I dt 6-2

Les dimensions de la força electromotriu són les mateixes que les del potencial electrostàtic i, per tant, la seua unitat en el SI és el volt (V). La seua denominació com a força té caràcter històric i prové de quan el concepte de força s associava a tot "motor" de canvi: no s ha de confondre amb el concepte actual de força, més restrictiu, que es deriva de les lleis de Newton. 6.2 Generador lineal El funcionament que seria desitjable que tinguera un generador és que la diferència de potencial entre els borns es poguera fixar de manera independent a la intensitat subministrada. Però això no és així. En un generador real, en augmentar la intensitat que subministra al circuit, la diferència de potencial entre els borns disminueix. ixò es deu a diferents factors de funcionament i depén del dispositiu utilitzat. Una situació bastant habitual és la mostrada en la Figura 6.1, en la qual la caiguda de tensió entre els borns del generador varia linealment amb la intensitat. Un generador amb aquest comportament es denomina generador lineal. El generador ideal seria equivalent a un generador lineal de pendent nul i com a conseqüència la d.d.p. entre els borns seria constant i igual a la força electromotriu. ssumint que la caiguda de tensió es deu a pèrdues energètiques a l interior del generador, la força electromotriu serà la d.d.p. en els borns del generador quan la intensitat siga nul la (en circuit obert). En connectar el circuit i travessar una intensitat el generador, part de la potència generada (I ) serà dissipada en el mateix generador abans de ser subministrada al circuit. Si es considera que aquestes pèrdues internes es r Figura 6.2. Model de generador lineal. I V Generador ideal: V = Generador real: V = - Ir Figura 6.1. Corbes característiques d un generador ideal i real. corresponen a pèrdues per efecte Joule al generador, tindran com expressió ri 2, sent r la resistència interna del generador. l eixida del generador, la potència consumida pel circuit en què està instal lat, o subministrada pel generador, té com a valor I(V -V ), sent V >V (Figura 6.2). Si es realitza un balanç de potències, la potència subministrada al circuit ha de ser igual a la generada al generador menys les pèrdues internes: P sum = P g - P joule = I - I 2 r = I ( - Ir) = I (V V ) on, eliminant les intensitats, s obté l equació de la recta que representa el comportament del generador lineal en la Figura 6.1. Llavors, l equació de la recta que ens dóna la característica tensió intensitat del generador serà de la forma: I 6-3

V V = - Ir Equació 6.1 la qual cosa és equivalent a suposar que un generador real és equivalent a un generador ideal i una resistència r, denominada resistència interna, posats en sèrie (Figura 6.2). La recta té un pendent negatiu, la qual cosa significa que hi haurà una intensitat tal que la diferència de potencial als borns s anul le. questa intensitat es denomina intensitat de curtcircuit, i és la intensitat màxima que pot produir un generador. V 0 ; I I C = r r Figura 6.3. Generador lineal amb càrrega. I R La fem es calcularà com la intersecció entre la recta i l eix d ordenades, mentre que el pendent de la recta es correspon amb la resistència interna. La intensitat pot calcular-se considerant el circuit on està connectat el generador. Si denominem R la resistència externa, la caiguda de tensió en aquesta val IR = V V = - Ir. La resistència interna no pot aïllar-se de la resta del generador, ja que no és una resistència tangible, però ha sigut separada en l esquema per a major claredat. En la Figura 6.4 s ha representat de manera esquemàtica la caiguda de potencial entre els borns d un generador lineal tenint en compte els elements que el formen. ïllant I de l expressió anterior, tindrem: I = R + r Convé ressaltar la distinció entre potència generada i potència subministrada. Potència generada és tota la potència que el generador aporta al sistema al qual pertany, i val I. La potència subministrada al circuit extern al generador, I(V -V ), és menor, ja que part de la potència generada es dissipa en la resistència interna per efecte Joule, que val I 2 r, P generada P dissipada I I 2 r P subministrada I (V V ) V V r Figura 6.4. Desglossament d un generador real en el component generador i el component resistiu. I Ir El rendiment d un sistema és la relació entre l objectiu assolit pel sistema i el cost utilitzat per fer-ho. L objectiu d un generador és subministrar potència al circuit i amb aquest fi ha hagut de produir una determinada quantitat de potència. ixí doncs, el rendiment d un generador és el quocient entre la potència subministrada i la potència generada: 6-4

P η = P sum gen I ri = I 2 V = En aquesta expressió, es veu que el rendiment augmenta en disminuir la resistència interna. En una bateria ideal el rendiment és la unitat, i per a qualsevol bateria real, el rendiment és sempre menor que un. 6.3 Receptor lineal Un receptor és un dispositiu que transforma energia elèctrica en altres formes de l energia distintes de la calor, és a dir, qualsevol dispositiu que dissipe o emmagatzeme energia per mecanismes diferents a la llei de Joule. Si bé el cas més comú són els motors que transformen energia elèctrica en mecànica, hi ha sistemes de consum d energia per a usos químics, com els acumuladors o els banys electrolítics; generadors d ones electromagnètiques, com els forns microones; o de camps magnètics com les grues electromagnètiques, per posar-ne uns exemples. El paràmetre característic de tot receptor és la força contralectromotriu que es defineix de la manera següent: < 1 La força contraelectromotriu d un receptor és l energia transformada pel receptor en energia mecànica o altres, per unitat de càrrega que travessa el receptor. du ' = dq Equació 6.1 L equació dimensional és igual a la de la força electromotriu i la unitat en el SI és el volt (V). La potència que transforma, pot obtenir-se dividint numerador i denominador en l expressió anterior per dt: P transf = I El comportament d un receptor ideal seria el del que transforma tota l energia que se li subministra, és a dir, que la potència consumida pel receptor (P cons =I(V -V ), sent V -V la d.d.p. entre els borns del receptor) siga igual a la potència transformada, de manera que la diferència de potencial als borns V - V, coincidisca amb la seua força contraelectromotriu en qualsevol circumstància. El símbol d un receptor està representat en la Figura 6.1. La intensitat que travessa un receptor ho fa sempre entrant pel born de major potencial, de la mateixa manera que passa en una resistència. ' ' + - M ' - + Figura 6.1. Símbols de receptors. En tots aquests la intensitat els travessa entrant pel born de major potencial. 6-5

Quan en un circuit s ha instal lat un generador i la intensitat que el travessa ho fa entrant pel born positiu, aquest generador es comporta com un receptor de força contraelectromotriu igual a la força electromotriu del generador. Seria aquest el cas, per exemple, quan instal lem una bateria recarregable en un circuit de càrrega. En la realitat sempre hi ha pèrdues d energia al receptor, per la qual cosa consumeix més energia que la que es transforma, o, el que és el mateix, la diferència de potencial a l entrada del receptor sempre és major que la força contraelectromotriu. Un receptor lineal serà aquell en què l evolució de la d.d.p. entre els seus borns amb la intensitat siga una línia recta. Si se suposa que les pèrdues al receptor són degudes a dissipació de calor per efecte Joule i es realitza un balanç de potències, s obté: P cons =P transf + P calor = I + I 2 r = I( + Ir ) = I (V V ) on, eliminant la intensitat, s obté l equació d una recta que relaciona la d.d.p. en borns del receptor amb la intensitat que el travessa: V Receptor real: V = + Ir Receptor ideal: V = Figura 6.2. Corbes característiques d un receptor ideal i real. I V V = + Ir Equació 6.2 que es correspon amb la descrita en el gràfic. El pendent positiu de la recta es correspon amb la resistència interna del receptor r, responsable de la calor dissipada. Llavors, el comportament d un receptor es pot considerar anàleg al d un receptor ideal i una resistència en sèrie. Per tant, un receptor lineal està caracteritzat per dos paràmetres, força contrelectromotriu i resistència interna, i la seua es pot considerar equivalent al d un receptor ideal amb una resistència en sèrie. ' r' ' r' Figura 6.3. Model de receptor lineal. En la Figura 6.4 es representa la caiguda de potència dels borns d un receptor lineal descompost a partir dels dos elements que el conformen. 6-6

De forma anàloga al receptor, convé assenyalar les diferències existents en un receptor lineal entre la potència que el receptor transforma en un altre tipus d energia, potència transformada; les pèrdues per efecte Joule en la resistència interna, potència dissipada, i la potència consumida pel receptor, que és la suma de les dues anteriors: V Ir r I P transformada I P dissipada I 2 r P consumida I (V V ) V Figura 6.4. Desglossament d un receptor real en el component transformador i el component resistiu. L objecte d un receptor és la transformació de potència elèctrica en un altre tipus de potència, per a la qual cosa consumeix una quantitat major de potència a causa de la presència de pèrdues. Llavors, el rendiment d un receptor és el quocient entre la potència transformada i la potència subministrada: Ptransf ' η = = < 1 Psum V el rendiment augmenta quan disminueix la resistència interna. El rendiment és la unitat per al cas d un receptor ideal, i menor que un per al cas d un receptor real. 6.4 Diferència de potencial entre dos punts d un circuit Si considerem el tram d un circuit, representat en la Figura 6.1, travessat per una intensitat amb sentit del punt al, podem realitzar un balanç de potències tenint en compte que la potència consumida pel tram en la seua totalitat serà la potència consumida en cadascun dels elements que el formen. 1 r 1 2 r 2 ' r' R + Figura 6.1. ranca d un circuit entre els punts i, amb generadors, receptors i una resistència. tés que la intensitat que travessa el tram, ho fa des de cap a, la potència total consumida és I(V -V ) (si aquest valor fóra negatiu indicaria que el tram del circuit considerat genera més energia de la que consumeix). Les potències consumides apareixeran amb signe positiu a la dreta de la igualtat, mentre que les generades apareixeran amb signe negatiu. ixí, el generador 1, treballa com a receptor, atés que la intensitat el travessa de major a menor potencial, de manera que consumeix una potència igual a 1 I+r 1 I 2 ; el generador 2, participa com a generador i, per tant, genera una potència igual a 2 I (que apareixerà amb signe negatiu) i la potència 6-7

dissipada val r 2 I 2 ; el receptor té la polaritat assenyalada en la figura i consumeix una potència igual a 'I+r'I 2 i la resistència dissipa RI 2. Realitzant el balanç de potències, tenim: I(V -V )= 1 I+r 1 I 2 + 2 I+ r 2 I 2 +'I+r'I 2 + RI 2 equació que, dividida per la intensitat, quedarà: V -V = 1 +r 1 I+ 2 + r 2 I+'+ r'i + RI Expressió que ens permet calcular la diferència de potencial entre els punts i. quest resultat, pot sistematitzar-se per a poder usar-lo com una regla: V = V - V = ΣIR - Σ Equació 6.1 Equació que s ha d utilitzar amb el criteri de signes següent: 1. V V representa la diferència de potencial entre el punt i el punt. Per a calcular aquesta diferència de potencial es recorre la branca del circuit des de fins a. 2. En el sumatori ΣIR, s han de considerar totes les resistències del circuit, incloent-hi les resistències internes de bateries i receptors. En aquest sumatori, la intensitat és positiva si va de a (en el mateix sentit en què es recorre la branca), i negativa si va en sentit oposat. 3. Σ representa el sumatori per a totes les forces electromotrius i contraelectromotrius. En aquest sumatori, es considera positiu quan en recórrer la branca de a eixim pel born positiu de la bateria o del receptor, i és negatiu quan en anar de a eixim pel born negatiu de la bateria o del receptor. En aquest criteri no es diferencia entre bateries i receptors, l única cosa que s ha de considerar és el signe del born pel qual s ix en recórrer el circuit de a. Podem arribar a la mateixa solució recorrent el circuit element a element. mb aquest fi partim d una branca com la de la Figura 6.2, i la recorrem d un punt a un altre. En aquest cas, suposarem que la intensitat que travessa el tram de circuit ho fa des de cap a, la qual cosa implica la polaritat assenyalada en el receptor. 6-8

Eixint del punt, travessem en R ' primer lloc una resistència, que és + 1 2 travessada pel corrent I. Les resistències sempre produeixen una caiguda del potencial, per la qual I cosa la tensió a l eixida (el punt ) és menor que a l entrada. Com hem eixit 1 del punt, això suposa que el V 2 ' potencial puja en una quantitat IR. continuació travessem un receptor ideal que implica una nova caiguda de potencial en el sentit de la V IR intensitat. Posteriorment, travessem Figura 6.2. Diferència de potencial entre i. un receptor 1, eixint pel born positiu, per la qual cosa eixim amb més potencial que hem entrat, en una quantitat 1. Finalment, travessem un generador 2, eixint pel born negatiu, és a dir, eixim amb un potencial 2 menor. Si sumem tots aquests augments i disminucions del potencial, arribem a: V = V - V = -IR - ' - 1 + 2. Exemple 6.1 Calculeu la diferència de potencial entre els punts i de la branca de la figura. La branca consumeix o subministra energia a la resta del circuit? 50 V 30 Ω 30 V 10 Ω 10 V Solució plicant l Equació 6.1, tindrem: M I = 2 V = V - V = ΣIR - Σ = -2(40) - (-50 + 30 + 10) = -80 +10 = -70 V Observem d una banda, que la intensitat va de a, i per tant en sentit contrari al nostre desplaçament, per la qual cosa és negativa. D altra banda, en els motors, el corrent ix pel negatiu, per la qual cosa en anar de a, hem eixit pel positiu. En aquesta branca, les càrregues ixen per amb menys energia que han entrat per, per la qual cosa la branca en conjunt consumeix energia de la resta del circuit. 6-9

6.5 Equació del circuit Si en un circuit tancat es coneixen tots els elements que el configuren, és possible calcular el valor de la intensitat que hi circula. ixí, suposem el circuit de la Figura 6.1 i ens fixem en els punts i, que estan units per un conductor sense resistència, per la qual cosa la diferència de potencial V és zero. Si calculem V pel camí llarg, tindrem: V = 0, r, r I R ΣIR = Σ Obtenint una equació que ens permet calcular la intensitat de corrent que circula per un circuit tancat que conté generadors, receptors i resistències: I = Equació 6.1 R Resulta útil per comprendre el funcionament d un circuit fer un balanç d energia o de potències, assenyalant en un esquema la totalitat de les energies posades en joc per cada element d un circuit, i comprovar així el principi de conservació de l energia. Per exemple, per al circuit mostrat en la Figura 6.1, tindríem un diagrama com el mostrat en la Figura 6.2. I 2 r I 2 r P gen = I Figura 6.1. Circuit simple amb un generador, un receptor i una resistència. P acum = I I 2 R Figura 6.2. Diagrama d un balanç d energia. Hi observem que la suma de la potència subministrada equival a la suma de la potència consumida. I = I 2 r + I 2 r + I + I 2 R Determinació del sentit de la intensitat En les equacions presentades, se suposa coneguda la intensitat del circuit. Normalment, resoldre un circuit implica calcular la intensitat, coneguts els elements que el formen. l hora de calcular la intensitat, és important obtenir adequadament el sentit. De vegades, la col locació de les bateries indica clarament quin és el sentit de la intensitat, però altres vegades (quan hi apareixen bateries i receptors), pot no ser evident quin és el sentit que tindrà la intensitat. 6-10

En cas de dubte sobre el sentit de la intensitat s ha de procedir de la manera següent: 1. Suposar de manera arbitrària un sentit per a la intensitat. 2. Mitjançant l expressió anterior, calcular el valor de la intensitat, i comprovar si és positiva o negativa. 3. Si la intensitat resultant és positiva, el sentit que inicialment hem suposat és el correcte i el problema queda resolt. 4. Si la intensitat és negativa el sentit que inicialment hem suposat en l apartat 1 no és l adequat. Llavors hem d assignar-li el sentit contrari. 5. Calculem novament la intensitat, i tornem a comprovar-ne el signe. 6. Si la intensitat és positiva, el sentit que hem suposat en el punt 4 és el correcte i el problema queda resolt. 7. Si la intensitat és negativa, aquest sentit que hem suposat tampoc és el correcte. D aquesta manera, cap dels dos sentits de la intensitat és possible, la qual cosa indica que no hi ha corrent en el circuit: la intensitat és zero. ixò pot ser així en el cas que en el circuit tinguem algun motor, i les bateries d aquest no tinguen potència suficient per moure el motor. Hem d assenyalar que en absència de receptors, si la intensitat és negativa, podem deduir que la intensitat va en sentit contrari al calculat però amb el mateix valor absolut. ixò es deu al fet que l Equació 6.1 és simètrica (el canvi de sentit de la intensitat afecta per igual el signe de tots els sumands) en absència de receptors. La presència d un receptor trenca aquesta simetria i obliga a realitzar novament els càlculs davant d un valor de la intensitat negativa que el travesse. 6-11

Exemple 6.1 Calculeu la intensitat que circula pel circuit de la figura. Solució Podem observar que els possibles generadors estan disposats de manera que els seus efectes se sumen, per la qual cosa no hi ha receptors, i el sentit del corrent és el de la figura. La intensitat, l obtenim aplicant l equació del circuit. 30 + 22 I = = 5 10,4 2 Ω 30 V 0,2 Ω 3 Ω I 4 Ω 1 Ω 22 V 0,2 Ω Exemple 6.2 Donat el circuit de la figura, responeu les qüestions següents: a) Calculeu el valor i el sentit de la intensitat que circula pel circuit. b) Diferència de potencial entre el punt i el C (V V C ). Desenvolupeu el càlcul pel camí C i pel camí DC. c) Quins elements subministren energia al circuit? Calculeu el valor de la potència subministrada per cada element. d) Quins elements consumeixen energia en el circuit? Calculeu el valor de la potència consumida per cada element. e) Quin és el rendiment del motor? I el de la font (2)? f) Si modifiquem la força electromotriu de la font (1), quin ha de ser el nou valor perquè la diferència de potencial entre els punts i C tinga valor zero? Quina és la intensitat del circuit en aquest cas? Solució: a) la vista de les fonts que actuen i la polaritat d aquestes, cal esperar que la intensitat tinga sentit dextrogir. Si calculem el valor amb aquesta consideració prèvia: 6-12

( i i ) Ri 30 20 I = = = 0,04 250 com I > 0, el sentit de les intensitats, tal com s havia previst, és dextrogir. Si haguérem suposat un sentit levogir d intensitats, haguérem obtingut el següent: ' ( i i ) 30 10 + 10 I = = = 0,12 R 250 i La qual cosa implicaria recalcular novament la intensitat en l altre sentit. Observeu que la presència de la força contraelectromotriu del motor fa que l equació no siga simètrica amb el sentit de les intensitats i, per tant, els valors absoluts de les quantitats calculades no coincideixen. b) Calcularem en primer lloc V - V C seguint el camí que passa pel punt : pliquem l equació: V VC = IC Ri C i C i C ( ) I C és la intensitat que va de a C, amb el signe corresponent, i els termes inclosos en el sumatori corresponen als elements que es troben entre i C en el camí elegit. Llavors: V V C = 0,04(10+100+10) - (-10 + 10) = 4,8 V Si el camí elegit és el que passa pel punt D, observem la presència d una força contraelectromotriu deguda al motor. Llavors el càlcul correcte de la diferència de potencial haurà de fer-se de tal manera que la intensitat que travessa el motor tinga valor positiu en l expressió: per tant calcularem V C - V. D aquesta manera la intensitat considerada en l equació travessa el motor amb la polaritat correcta. V C V = 0,04(20+100+10) - (20-10) = - 4,8 V amb la qual cosa, V V C = 4,8 V valor que es correspon amb el que hem trobat anteriorment. c) Les fonts són els únics elements amb capacitat de subministrar energia al circuit. Entre aquestes, subministraran energia aquelles l aportació de les quals al circuit implique prendre càrregues a un potencial i tornar-les al circuit amb un potencial major, o el que és el mateix, amb major energia potencial. Llavors, subministraran energia aquelles fonts en les quals el corrent elèctric entra pel born negatiu. En aquest exercici, això passa amb les fonts (2) i (3). La potència que subministren al circuit serà el resultat de llevar a la potència generada per les fonts les pèrdues per efecte Joule en les seues resistències internes: 6-13

La font (2): La font (3): P S = P g - P J = I - ri 2 P S = 10 0,04-10 0,04 2 = 0,384 W P S = 20 0,04-20 0,04 2 = 0,768 W La potència total subministrada al circuit és la suma d ambdós valors = 1,152 W d) Consumiran energia les resistències, el motor i aquelles fonts en les quals les càrregues elèctriques perden energia en travessar-les (entren pel born positiu), la qual cosa passa, en aquest exercici, amb la font (1). La potència consumida serà: - En les resistències, per efecte Joule: P JR = RI 2 = 100 0,04 2 = 0,16 W Sent aquest valor comú per a ambdues resistències. - En el motor s haurà de considerar la potència transformada i les pèrdues per efecte Joule en les seues resistències internes: P CM = P T + P J = I + ri 2 = 10 0,04 + 10 0,04 2 = 0,416 W - En el generador (1), la força electromotriu actua com a contraelectromotriu, consumint o emmagatzemant energia. També s hauran de considerar les pèrdues per efecte Joule en les seues resistències internes. P C = P + P J = I + ri 2 = 10 0,04 + 10 0,04 2 = 0,416 W En total, la potència consumida en el circuit (sense considerar les resistències internes dels generadors que actuen com a tals), és: P C = 2P JR + P CM + P C = 2 0,16 + 0,416 + 0,416 = 1,152 W Valor que és igual a la potència subministrada al circuit. El balanç de potències dóna per tant, tal com ha de passar, la igualtat entre energies subministrades i consumides en el circuit. e) L objecte d un receptor és transformar potència elèctrica en un altre tipus de potència. En el cas del motor aquesta última serà potència mecànica. El rendiment ens donarà una valoració de l èxit obtingut en aquesta tasca. El seu valor vindrà donat per la relació entre la potència transformada i la potència total consumida: PT I 0,4 η = = = = 0,962 P I + ri 2 0,416 C M Donant el resultat en %, tindrem: 6-14

η = 96,2 % O siga, cada 100 watts consumits pel motor, 96,2 es transformen el potència mecànica, i la resta es perd per escalfament. Per la seua banda, l objecte d un generador és prendre potència d una font energètica i subministrar-la al circuit en forma de potència elèctrica. Però part de la potència transformada, que en aquest cas denominem "generada", es perd abans d arribar al circuit a causa de l existència de resistències internes al generador. El rendiment ens donarà una valoració de l èxit obtingut pel generador per a executar la seua tasca i vindrà donat per la relació entre la potència subministrada al circuit i la generada: P η = P Valor que donat en % queda: S g I - r I = I 2 = 0,384 0,4 = 0,96 η = 96 % Llavors cada 100 watts generats per la font, 4 es perden per escalfament en les resistències internes. f) La presència del motor planteja la possibilitat que hi haja dues solucions distintes que donen com a resultat que V - V C = 0, atés que l equació que determina aquesta diferència de potencial pel camí DC és distinta en funció del sentit que tinga la intensitat en el circuit. Si considerem que la intensitat manté el sentit dextrogir, i calculem V C - V pel camí DC: d on V C - V = 130 I - (20-10) = 0 I = 1 13 Per a calcular el valor de la força electromotriu de la font (1), calcularem aquesta mateixa diferència de potencial pel camí C: d on V C V 1 = 120-13 120 = 10 = 13 ( -10) 10 13 V = 0 Exemple 6.3 6-15

El motor del circuit de la figura consumeix 20 W, dels quals un 10 % és per efecte Joule. Si la font subministra 60 W al circuit extern, determineu: a) la potència consumida en la resistència de 10 W, b) si la font genera una potència de 64 W, determineu-ne les característiques:, r c) finalment, calculeu les característiques del motor:, r 50 Ω r M r Solució: El problema està plantejat en termes d energia, i podem recordar el comportament dels elements del circuit a partir d aquest punt de vista per poder fer un plantejament general del circuit abans de resoldre els apartats: El generador és l únic que pot aportar energia al circuit. L energia que genera per unitat de temps, la potència generada, és proporcional a la intensitat que circula pel circuit: P g = I. D aquesta energia, una part es perd en forma de calor en el mateix generador (I 2 r), i la resta és la que es transmet a les càrregues, se subministra al circuit. Expressades en termes de potència, les pèrdues es calculen amb les de l efecte Joule de la resistència interna del generador, i l energia subministrada al circuit per unitat de temps serà la potència generada menys les pèrdues, i seguirà l expressió següent: P JG = I 2 r; P S = IV - IV = I - I 2 r En la resistència les càrregues sempre perden energia, segons la llei de Joule, la qual ens donarà la calor produïda per unitat de temps: P J = I 2 R 6-16

Finalment, en el motor les càrregues aporten l energia que es transforma una part en energia mecànica ('I), i una altra que es perd en forma de calor en el mateix motor (I 2 r'). Per tant, l energia que consumeix el motor per unitat de temps és la suma de la transformada més les pèrdues per efecte Joule en la seua resistència interna: P c = I + I 2 r ixí, podem considerar el circuit com un sistema en el qual, de manera contínua, es produeixen intercanvis d energia, i podem representar-lo utilitzant el diagrama de flux d energia per unitat de temps següent. Si ara, tenint en compte totes aquestes consideracions, interpretem progressivament les dades del problema, arribarem a determinar totes les característiques del generador i del motor. En el generador la potència consumida s inverteix en produir potència mecànica (90%) i en pèrdues per efecte Joule (10%) ' I + I 2 r = 20 W 10 % (20 W) = 2 W = I 2 r 18 W = I La potència que subministra el generador al circuit (60 W) serà igual a la suma de la que consumeix el motor (20 W) i la que es perd per efecte Joule en la resistència R: 60 W = 20 W + I 2 R P J = I 2 R = 40 W = I 2 10 Ω I = 2 Dels 64 W que genera el generador, 60 W se subministren al circuit i la resta són pèrdues per efecte Joule en el mateix generador: I = 64 W = 60 W + I 2 r 6-17

ra ja podem resoldre tots els apartats del problema: a) P J = I 2 R = 40 W b) I = 64 W = 32 V I 2 r = 4 W r = 1 Ω c) I = 18 W = 9 V I 2 r = 2 W r = 0,5 Ω 6.6 Problemes 1. Es connecta una resistència variable R a un generador de força electromotriu que es manté constant independentment de R. Per a un valor de R = R 1 el corrent és de 6. Quan R augmenta fins a R = R 1 + 10 Ω, el corrent cau fins a 2. Calculeu: a) R 1, b). Sol: a) 5 Ω, b) 30 V 2. Una bateria té una força electromotriu i una resistència interna r. Quan es connecta una resistència de 5 Ω entre els terminals d aquesta, el corrent és de 0,5. Quan se substitueix aquesta resistència per una altra d 11 Ω, el corrent és de 0,25. Calculeu: a) La força electromotriu i b) la resistència interna r. Sol: a) 3 V, b) 1 Ω 3. En el circuit de la figura la = 6 V i la r = 0,5 Ω. La dissipació de calor per efecte Joule en r és 8 W. Calculeu: a) la intensitat, b) la diferència de potencial entre els extrems de R, c) valor de R. Sol: a) 4, b) 4 V, c)1 Ω R, r 4. Calculeu la diferència de potencial entre els borns del generador. Sol: 29 V 30 V 0,2 Ω 4 Ω 2 Ω 3 Ω 22 V 0,2 Ω 1 Ω 5. Si a un generador de força electromotriu i resistència interna r es connecta una resistència R, determineu quin ha de ser-ne el valor perquè la potència dissipada en R siga màxima. Sol: R = r 6. En les figures es representa la característica tensió corrent de diferents elements d un circuit de CC. Identifiqueu-ne cadascuna amb l element al qual correspon. 6-18

7 V (V) 6 5 4 3 (a) (b) generador receptor resistència recta característica 2 1 (c) 1 2 3 4 5 I () 7. En la figura es representa la característica tensió corrent d un generador. Representeu en la mateixa figura la gràfica corresponent a: a) tres generadors idèntics a l anterior disposats en paral lel, b) ídem en sèrie. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 V (V) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I () r r r r r r r a) b) 8. Determineu la diferència de potencial entre els punts i en les figures següents: Sol: a) 290 V, b) -118 V, c) 10 V, d) 5 V 6-19

10 V 20 Ω 30 V 10 Ω 50 V M I = 10 a) 5 Ω 10 V 12 V 20 V 7 Ω I = 10 b) 10 V 4 Ω 3 Ω C c) 2 Ω D 3 Ω 4 Ω 1 Ω d) 10 V 2 Ω 9 Ω 10 V 9. Un conjunt de N generadors idèntics amb força electromotriu i resistència interna r s associen en sèrie tancant el circuit amb un fil sense resistència. Calculeu: a) intensitat que recorre el circuit, b) diferència de potencial entre dos punts qualssevol j i k. Sol: a) /r, b) 0 10. Donat el circuit de la figura amb r 1 > r 2, calculeu el valor de R perquè la diferència de potencial en borns d un dels generadors siga zero. Indiqueu en quin. Sol: R = r 1 - r 2. En l 1. 11. El motor del circuit de la figura consumeix 50 W, dels quals un 20% ho és per efecte Joule. Si la font subministra 100 W al circuit extern, determineu: a) potència consumida en la resistència de 50 Ω, b) si la font genera una potència de 110 W, determineu les característiques de la font:, r, c) les característiques del motor:, r. Sol: a) 50 W, b) 110 V, r = 10 Ω, c) 40 V, 10 Ω. 12. Si pel circuit de la figura circula una intensitat I = 2, en el sentit indicat, i el rendiment del generador x és del 80%. Determineu els valors de x i R x. Sol: x = 225 V i R x = 22,5 Ω. 50 Ω, r 10 V 20 V 50 Ω 5 Ω I = 2 20 Ω r 1 r 2 R M r x r x 6-20

GLOSSRI Força electromotriu d un generador és l energia que subministra per unitat de càrrega. Generador lineal: Dispositiu que subministra energia a un circuit, que produeix una diferència de potencial entre els borns que decreix linealment amb la intensitat en la forma V V = - Ir Rendiment d un generador és el quocient entre la potència que subministra i la potència que genera. Receptor: Dispositiu que transforma energia elèctrica en altres formes de l energia distintes de la calor. Força contraelectromotriu d un receptor és l energia transformada pel receptor en energia mecànica o altres formes distintes de la calor, per unitat de càrrega que travessa el receptor. Rendiment d un receptor és el quocient entre la potència transformada i la potència subministrada. 6-21