c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 1 CUESTIONES Y PROBLEMAS DE EXÁMENES DE LOS CURSOS 2003-2004 A 2006-2007 CUESTIONES Y PROBLEMAS DEL TEMA 1 Cuestión 1.- Considere el campo vectorial escrito en coordenadas cilíndricas que se muestra a continuación: E(ρ, ϕ) = σ 0ρ 4ɛ 0 R [ cos(2ϕ)u ρ + sen(2ϕ)u ϕ ] ; r < R E(ρ, ϕ) = σ ) ] 0R [(1 + R2 2ɛ 0 ρ 2ρ 2 cos(2ϕ) u ρ + R2 2ρ 2 sen(2ϕ)u ϕ ; r > R a) Demuestre que el campo vectorial cumple TODAS las condiciones para ser un campo electrostático. b) Calcule las densidades de carga superficial y volumétrica que crean ese campo electrostático. Cuestión 2.- Se dispone de dos discos cargados superficialmente con densidades de carga uniformes +σ 0 y -σ 0. Los discos son paralelos y comparten el mismo eje de revolución. Los discos tienen radio a y están separados una distancia d, siendo d << a. Sin hacer muchos cálculos, determine: a) El campo eléctrico en la porción del eje de revolución común que queda entre los dos discos (esto es, en los puntos del eje z de la figura para los que z d/2). a) El campo eléctrico en los puntos del eje de revolución común que están muy alejados de los dos discos en relación con su tamaño (esto es, en los puntos del eje z de la figura para los que z >> a. x a a z d/2 d/2 Figura Cuestión 2: Pareja de discos paralelos con distribución superficial de carga uniforme y de signos opuestos. y Cuestión 3.- Una carga puntual positiva q > 0 se encuentra a una distancia d del centro de una esfera conductora de radio a, que también está cargada positivamente con carga Q > 0. Indique razonadamente si será atractiva o repulsiva la fuerza que ejerce la esfera conductora sobre la carga puntual cuando: a) La carga puntual está muy cerca de la superficie de la esfera conductora (esto es, cuando d a << a). b) La carga puntual está lejos de la esfera conductora (esto es, cuando d >> a). Figura Cuestión 3: Carga puntual positiva frente a esfera conductora aislada y cargada positivamente. Cuestión 4.- Nueve cargas puntuales idénticas, de valor q, se encuentran situadas en los vértices de un polígono regular de nueve lados (vea la figura). La distancia de cada carga al centro del polígono vale a. Cuál es la fuerza neta sobre una carga Q situada en el centro del polígono?. Suponga que la carga q situada sobre el eje x de la figura es eliminada. Cuánto vale ahora la fuerza sobre Q?. Explique detalladamente los razonamientos utilizados. Figura Cuestión 4: Nueve cargas puntuales uniformemente distribuidas sobre una circunferencia y una carga en su centro.
c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 2 Cuestión 5.- Sobre la superficie de una esfera de radio a se distribuye una carga superficial de forma no uniforme, siendo σ(θ, ϕ) la densidad superficial de carga con respecto a un sistema de coordenadas esféricas con origen en el centro de la esfera (vea la figura). Demuestre que el potencial en el centro de la esfera vale: φ(r = 0) = Q 4πε 0 a siendo Q la carga total sobre la esfera. Demuestre también que el campo eléctrico en el centro de la esfera vale: E(r = 0) = p 4πε 0 a 3 siendo p el momento dipolar eléctrico de la distribución de carga sobre la esfera. Figura Cuestión 5: Distribución superficial esférica de carga no uniforme. Cuestión 6.- En el origen de coordenadas se encuentra situada una carga puntual positiva de valor + 4q. A una distancia a a lo largo de cada uno de los ejes coordenados x e y (véase la figura) se encuentran situadas cuatro cargas negativas de valor q. Encuentre el término dominante del desarrollo multipolar para el potencial en puntos alejados de la distribución de cargas. Figura Cuestión 6: Distribución de cargas puntuales. Cuestión 7.- Dos superficies planas cargadas uniformemente con densidades de carga superficial +σ 0 y -σ 0 se disponen perpendicularmente como se muestra en la figura. Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio y dibuje las líneas de campo. Figura Cuestión 7: Dos planos que intersectan en el eje z con cargas superficiales positiva y negativa. Cuestión 8.- Un anillo está uniformemente cargado con una carga total Q. El anillo está contenido en el plano z = 0 y su centro coincide con el origen de coordenadas (vea la figura). a) Calcule el campo eléctrico creado en el eje del anillo y obtenga la posición de los puntos del eje donde el módulo de este campo eléctrico se hace máximo. b) Si se coloca una carga puntual q de masa m en el eje del anillo de forma que pueda moverse a lo largo del mismo, demuestre que existe un valor umbral de m por debajo del cual es posible encontrar un punto del eje en el que la carga puntual levita. Cuánto vale ese valor umbral de m?. Figura Cuestión 8: Circunferencia cargada frente a carga puntual con masa no nula.
c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 3 Cuestión 9.- Una carga puntual de valor q se encuentra situada en uno de los vértices de un cubo. Determine razonadamente el flujo de campo eléctrico que atraviesa cada una de las caras del cubo. Figura Cuestión 9: Carga puntual en origen de coordenadas y cubo a través de cuyas caras hay que calcular el flujo. Cuestión 10.- Una esfera de radio a, cargada uniformemente en volumen con densidad de carga ρ 0, se encuentra sometida al campo eléctrico creado por una carga puntual q. La carga puntual está situada a una distancia d del centro de la esfera (d > a). Calcule la fuerza que actúa sobre la esfera. Figura Cuestión 10: Carga puntual frente a esfera con carga volumétrica. Problema 1.- Considere una anilla de radio a que está cargada uniformemente con carga positiva Q (Q > 0). a) Calcule el campo eléctrico y el potencial eléctrico creados por la anilla en su eje de revolución (eje z en la figura), suponiendo que el centro de la anilla coincide con el origen de coordenadas. b) Considere una carga puntual negativa, -q (q > 0), con una masa m, situada en el eje de revolución de la anilla a una distancia prácticamente infinita de ésta. Si se suelta la carga -q partiendo del reposo, demuestre que la carga se moverá por el eje de la anilla bajo la atracción de ésta y calcule la velocidad que tendrá la carga puntual al pasar por el centro de la anilla. c) Si la carga -q se encuentra en el centro de la anilla y se la desplaza desde este punto a lo largo del eje z una distancia pequeña z 0 (z 0 << a), demuestre que la carga seguirá un movimiento oscilatorio y calcule la frecuencia de las oscilaciones. d) Considere ahora una carga puntual positiva +q (q > 0) situada sobre el eje de revolución de la anilla a una distancia prácticamente infinita de ésta. Si se obliga a esta carga a moverse a lo largo del eje de la anilla en dirección hacia la misma, qué velocidad inicial habrá que comunicarle a la carga q para que llegue con velocidad nula al centro de la anilla?. Figura Problema 1: Anilla circular cargada y cargas puntuales que se mueven a lo largo del eje z.
c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 4 Problema 2.- La región del espacio comprendida entre los planos z = d/2 y z = +d/2 está ocupada por una distribución volumétrica de carga uniforme de densidad de carga ρ 0 (vea la figura). (a) Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio. (b) Calcule el potencial eléctrico en todos los puntos del espacio tomando el plano z = 0 como origen de potencial. (c) Calcule el par de fuerzas y la fuerza neta que actúa sobre un dipolo de momento dipolar p = p 0 u z situado en el origen de coordenadas. Figura Problema 2: Distribución laminar volumétrica de carga uniforme y dipolo eléctrico. Problema 3.- Considere los dos campos vectoriales escritos en coordenadas esféricas que se muestran a continuación: Caso 1 E = E 0 cos θ û r + E 0 sen θ û θ ; r < R ( ) 2R 3 E = E 0 r 3 cos θ û r + R3 r 3 sen θ û θ ; r > R Caso 2 ( ) ( 6r E = E 0 R 4 cos θ û r + E 0 4 3r ) sen θ û θ ; r < R R ( ) 2R 3 E = E 0 r 3 cos θ û r + R3 r 3 sen θ û θ ; r > R a) Demuestre que los campos vectoriales cumplen TODAS las condiciones para ser campos electrostáticos. b) Calcule las densidades de carga superficiales y volumétricas causantes de esos campos electrostáticos. Problema 4.- Consideremos una anilla de radio a que está cargada uniformemente con una densidad de carga lineal λ 0. Supongamos que se coloca un dipolo eléctrico en el eje de revolución de la anilla a una distancia d del centro de la anilla, y supongamos que el momento dipolar del dipolo es paralelo al plano que contiene la anilla (vea la figura). Sea p 0 el módulo de dicho momento dipolar. a) Calcule el par de fuerzas que actúa sobre el dipolo. Suponiendo que el dipolo está sujeto por su centro pero puede girar libremente alrededor de ese punto, indique cuál será la dirección y sentido que tomará momento dipolar del dipolo en el equilibrio. b) Una vez que el dipolo ha girado hasta alcanzar la posición de equilibrio, calcule la fuerza eléctrica que actúa sobre el dipolo. Obtenga asimismo el valor de d para el cual dicha fuerza se anula. Figura Problema 4: Distribución lineal de carga en forma de circunferencia frente a dipolo.
c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 5 Problema 5.- Dos hilos infinitos cargados uniformemente con densidades lineales de carga +λ 0 están contenidos en el plano y =0, son paralelos al eje z y equidistan de dicho eje, tal y como se muestra en la figura. a) Calcule el campo eléctrico creado por los hilos sobre los puntos del eje y. b) Calcule la fuerza que ejercen los hilos sobre un dipolo de momento dipolar p= p 0 u y, situado sobre el eje y a una distancia ddel origen de coordenadas. c) Demuestre que hay dos puntos del eje y en los que el campo eléctrico creado por los hilos cargados se hace máximo, y determine esos puntos. d) Demuestre que si el dipolo citado en el apartado b) se ubica en alguno de esos puntos, estará en equilibrio. Es la posición del dipolo una posición de equilibrio estable?. Figura Problema 5: Pareja de hilos infinitos cargados interactuando con un dipolo eléctrico. CUESTIONES Y PROBLEMAS DEL TEMA 2 Cuestión 11.- Considere un cuerpo conductor en equilibrio electrostático y conectado a masa (tierra), que está rodeado por otros cuerpos conductores cargados positivamente (vea la figura). Indique razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) La carga total del conductor a masa es nula. b) La densidad superficial de carga tiene el mismo signo en toda la superficie del conductor a masa. c) El potencial eléctrico del conductor a masa es nulo. d) El campo eléctrico es nulo tanto en el interior del conductor a masa como en su superficie. Figura Cuestión 11: Conductores cargados positivamente frente a conductor a masa. Cuestión 12.- Considere un conductor en el seno de un campo electrostático. a) Puede una línea de campo que sale de la superficie del conductor retornar a dicha superficie?. b) Pueden existir simultáneamente líneas de campo que terminan en la superficie del conductor y líneas de campo que parten de dicha superficie?. Figura Cuestión 12: (a) Conductor del que salen líneas de campo eléctrico que vuelven sobre él. (b) Conductor al que llegan y del que salen líneas de campo eléctrico.
c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 6 Cuestión 13.- Una esfera conductora de radio a se encuentra situada en el centro del hueco esférico de radio b de otra esfera conductora de radio exterior c (véase figura). Mediante una batería se pone la esfera interna a V 0 voltios. Teniendo en cuenta que la esfera conductora hueca está descargada, determine el potencial de la misma y la carga que adquiere la esfera interior. Figura Cuestión 13: Dos esferas conductoras concéntricas con la interior a potencial V 0. Cuestión 14.- Considere un condensador de capacidad C cuyas armaduras están cargadas con cargas +Q y -Q (Q > 0). Calcule el trabajo necesariopara transferir un elemento infinitesimal de carga positivo, q > 0 ( q << Q), desde la armadura cargada negativamente hasta la armadura cargada positivamente. Figura Cuestión 14: Carga infinitesimal transportada desde la armadura negativa a la positiva de un condensador. Cuestión 15.- Considere una esfera conductora de radio c que tiene un hueco esférico de radio b. El hueco esférico y la superficie externa de la esfera conductora no son concéntricos. Una segunda esfera conductora de radio a < b está situada en el interior del hueco esférico de forma que la superficie de esta segunda esfera y el hueco esférico sí son concéntricos. Si la esfera conductora de radio a está puesta a tierra y la esfera conductora de radio c tiene una carga Q, calcule: a) La carga de la esfera de radio a. b) El potencial de la esfera de radio c. Figura Cuestión 15: Esfera conductora cargada con hueco. Dentro del hueco hay una esfera conductora a masa. Cuestión 16.- Un conductor esférico de radio c tiene en su interior una cavidad, también esférica, de radio b. La superficie exterior del conductor y la cavidad no son concéntricas (vea la figura). El conductor esférico hueco está descargado. En el interior de la cavidad y concéntrico con ésta, hay un segundo conductor esférico macizo de radio a que está cargado con una carga Q (vea la figura). Calcule la energía electrostática almacenada en este sistema. Figura Cuestión 16: Esfera conductora descargada con hueco esférico descentrado que encierra a otra esfera conductora cargada con carga Q.
c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 7 Cuestión 17.- Se dispone de un recipiente cilíndrico de vidrio cuya base es un círculo metálico. El recipiente tiene un émbolo circular metálico que puede deslizar manteniendo contacto hermético con las paredes de vidrio. El recipiente está lleno de aire (cuya permitividad se supone igual a ε 0 ). En el equilibrio la presión dentro del recipiente vale p 0 y la separación entre la base del recipiente y el émbolo vale d 0 (vea la figura). Si a temperatura constante se establece una diferencia de potencial Φ entre el émbolo y la base del recipiente, demuestre que la nueva separación entre ambos, d, satisface la siguiente ecuación: 1 ε 0 ( Φ) 2 ) + d 2 d 0 d = 0 2 p 0 Nota: desprecie en los cálculos los efectos de borde y suponga que el aire se comporta como un gas ideal. Figura Cuestión 17: Émbolo con pistones metálicos sujetos a una diferencia de potencial. Cuestión 18.- Considere dos conductores macizos C 1 y C 2, y un conductor hueco C 3. Los conductores C 1 y C 2 se hallan alojados en el interior del conductor C 3, tal y como muestra la figura. Establezca relaciones entre los coeficientes de potencial p ij (i, j =1,2,3) y los coeficientes de capacidad C ij (i, j =1,2,3) del conjunto de tres conductores. Figura Cuestión 18: Sistema de tres conductores arbitrarios en el que dos de ellos se encuentran encerrados en una cavidad del tercero. Cuestión 19.- Utilizando el teorema de reciprocidad, calcule el potencial de una esfera conductora de radio R con carga Q cuyo centro dista una distancia d, (d > R) de una carga puntual q. Figura Cuestión 19: Carga puntual frente a esfera conductora aislada pero cargada con una carga Q. Problema 6.- Un conductor plano infinito puesto a tierra posee una protuberancia semicilíndrica de radio a. Se coloca un hilo cargado con densidad de carga lineal λ 0 a una distancia d de la parte plana de la superficie del conductor, dispuesto paralelamente a la protuberancia semicilíndrica, tal y como se muestra en la figura. a) Calcule el potencial eléctrico en todos los puntos del espacio. b) Calcule la fuerza por unidad de longitud que ejerce la carga inducida en el conductor sobre el hilo cargado. Figura Problema 6: Línea de carga infinita sobre plano de masa con protuberancia cilíndrica. Problema 7.- Considere dos esferas conductoras concéntricas, una maciza de radio a y otra hueca de radio interior b y radio exterior c (a < b < c). Partimos de una situación (situación (a) en la figura) en la que la esfera interna está cargada con una carga Q y la externa se encuentra descargada y aislada. Calcule en esta situación los potenciales de las esferas interna y externa.a continuación, mediante un hilo conductor, se ponen en contacto las esferas interna y externa (situación (b) en la figura), manteniendo aislado el conjunto de las dos esferas. Acto seguido, se desconecta el hilo conductor de la esfera externa y se utiliza el mismo hilo para poner a masa la esfera interna, manteniendo aislada la esfera externa (situación c) en la figura). Calcule en esta última situación la carga de la esfera interna y el potencial de la esfera externa.
c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 8 Figura Problema 7: Conductores esféricos concéntricos en diversas situaciones. Problema 8.- Considere una esfera conductora de radio c que tiene dos huecos esféricos de radios b 1 y b 2. Dentro de esos dos huecos hay dos esferas conductoras macizas de radios a 1 y a 2 (a 1 < b 1 y a 2 < b 2 ), siendo estas dos esferas conductoras concéntricas con los huecos en los que están ubicadas (vea la figura). Calcule la matriz de coeficientes de capacidad del conjunto de las tres esferas conductoras. El espacio entre esferas es aire. Problema 9.- Considere dos discos conductores circulares de radio a y espesor e, situados uno encima del otro y separados una distancia t (t <<< a). Los discos están situados dentro de una cavidad cilíndrica practicada en un conductor esférico, de forma que el conjunto formado por los discos y el conductor esférico hueco posee simetría de revolución alrededor del eje z (vea la figura). La cavidad cilíndrica tiene radio b (b = 4a < c), siendo c el radio del conductor esférico, y altura 2e+2h+t (h <<< a), siendo h la distancia de los discos conductores a las superficies planas que limitan la cavidad por arriba y por abajo. Despreciando los efectos de borde, calcule la matriz de capacidad del sistema de tres conductores descrito. Figura Problema 8: Conjunto de tres conductores esféricos de distintos tamaños, dos de los cuales se encuentran en el interior de sendos huecos esféricos de un tercero. Figura Problema 9: Dos discos conductores circulares paralelos y muy próximos en cavidad cilíndrica practicada en esfera conductora. Problema 10.- Una lámina plana infinita está cargada con densidad superficial de carga σ 0. La lámina es paralela a un plano conductor a tierra situado a una distancia d de la lámina. a) Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio. b) Calcule la diferencia de potencial entre la lámina cargada y el plano conductor a tierra. c) Si se sitúa una carga puntual q a una distancia a del plano conductor a tierra (a < d), calcule la fuerza que actúa sobre dicha carga puntual. d) Calcule la energía potencial electrostática de la carga puntual citada en el apartado anterior. d Apartados a) y b) d q a Apartados c) y d) Figura Problema 10: Plano de carga superficial frente a plano de masa sin y con carga puntual.
c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 9 Problema 11.- Considere una esfera conductora de radio b que tiene un hueco esférico concéntrico de radio a. La esfera conductora está puesta a tierra. Se sitúa una carga puntual q en el interior del hueco a una distancia d del centro de la esfera hueca, siendo d < a (vea la figura). a) Calcule el potencial en todos los puntos del espacio. b) Calcule la fuerza que actúa sobre la carga puntual. c) Indique cómo se modifican los resultados anteriores si la esfera conductora se coloca a un potencial V 0. Figura Problema 11: Carga puntual en hueco esférico practicado en esfera conductora a masa. Problema 12.- Considere tres láminas conductoras planas iguales de espesor despreciable. Las tres láminas son paralelas pero, mientras que las dos láminas de los extremos están fijas, la lámina que está en medio se puede mover libremente en dirección perpendicular a las tres láminas. Se conectan las láminas a tres generadores que las ponen a potenciales V 1 = V 2 /4, V 2 y V 3 = V 2 /2 (vea la figura). Si la separación entre las láminas de los extremos vale d, encuentre cuánto valen en el equilibrio las distancias entre la lámina que está en medio y las láminas de los extremos (a y b en la figura). Figura Problema 12: Tres placas conductoras paralelas a potenciales distintos. Problema 13.- Considere dos semiplanos conductores que forman una cuña. En la arista de la cuña se coloca una varilla de material aislante que impide que los dos semiplanos se toquen (vea la figura). Uno de los semiplanos conductores se coloca a un potencial +V, y el otro a un potencial V. En esas condiciones: y V a) Dibuje las líneas de campo eléctrico en la región existente entre los dos semiplanos conductores. Consejo: si utiliza las coordenadas adecuadas, la simetría del problema le dará información sobre la orientación del campo eléctrico. b) Si se coloca un dipolo en el plano bisectriz de la cuña de forma que su momento dipolar apunta perpendicularmente a dicho plano bisectriz (vea la figura), cuál es la dirección y sentido de la fuerza que actúa sobre el dipolo? Razone la respuesta. V p Figura Problema 13: Dos placas conductoras semiinfinitas que forman un ángulo 2α a potenciales +V y -V. x
c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 10 Problema 14.- Una superficie esférica de radio b está cargada uniformemente con una densidad superficial de carga σ 0. La superficie esférica encierra un conductor esférico macizo de radio a conectado a masa. La superficie esférica y el conductor esférico a masa son concéntricos. El conjunto formado por la superficie esférica y el conductor a masa está situado en el interior de un conductor esférico hueco de radio interior c y exterior d, de forma que el conductor hueco, la superficie esférica cargada y el conductor esférico a masa son también concéntricos (vea la figura). Sabiendo que el conductor esférico hueco está descargado, determine: (a) El campo eléctrico en todos los puntos del espacio. (b) El potencial eléctrico en todos los puntos del espacio. (c) La densidad de carga superficial sobre el conductor macizo, y las densidades de carga superficiales sobre las superficies exterior e interior del conductor hueco. Figura Problema 14: Distribución superficial de carga esférica entre esferas conductoras. Problema 15.- En la figura se muestran tres placas conductoras idénticas dispuestas paralelamente y separadas unas distancias pequeñas en comparación con las dimensiones de las placas. a) Calcule la matriz de capacidad. b) Si V 1 = V 3 = 0 y V 2 = V, calcule la fuerza que se ejerce sobre la placa central en direcciones horizontal y vertical. Desprecie los efectos de borde en la resolución del problema. Figura Problema 15: Tres placas conductoras planas y paralelas próximas entre sí. c Problema 16.- Se dispone de una esfera conductora maciza de radio a y de otra esfera conductora concéntrica y hueca de radio interno b y externo c (a < b < c). La esfera interna está a un potencial V y la esfera externa está a tierra. b a V a) Calcule el potencial eléctrico en todos los puntos del espacio así como la carga de los dos conductores. b) Se desconecta la esfera externa de tierra dejándola aislada. Asimismo, se desconecta la esfera interna del generador que la mantiene a potencial V y se conecta a tierra. Calcule de nuevo el potencial eléctrico en todos los puntos del espacio y la carga de los dos conductores. c) Calcule la variación de energía electrostática. aislada b a Figura Problema 16: Esferas conductoras concéntricas en dos situaciones consecutivas. c
c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 11 Problema 17.- Considere un conductor semiinfinito puesto a tierra cuya superficie es un plano que posee una protuberancia semiesférica de radio a. Se coloca una carga puntual q a una distancia d (d > a) de la parte plana de la superficie del conductor (vea la figura). a) Calcule el potencial eléctrico en todos los puntos del espacio. b) Calcule la fuerza que ejerce la carga inducida sobre la superficie del conductor sobre la carga puntual. Figura Problema 17: Carga puntual sobre superficie conductora plana con protuberancia semiesférica. Problema 18.- Una partícula cargada con carga q y masa m es mantenida en reposo a una distancia d de un plano conductor a tierra. Si la partícula se libera, calcule el tiempo que tarda en chocar contra el plano conductor a tierra. Figura Problema 18: Carga puntual sobre superficie conductora plana en movimiento baja la acción de la fuerza apropiada. CUESTIONES Y PROBLEMAS DEL TEMA 3 Cuestión 20.- Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique brevemente su respuesta: a) Dos puntos de una línea de campo eléctrico están al mismo potencial eléctrico si en el tramo de línea situado entre los dos puntos no hay ninguna carga. b) Como una carga puntual no ocupa volumen, el campo eléctrico que crea la carga tiene divergencia nula en todos los puntos del espacio. c) Si se tiene un cuerpo polarizado en ausencia de cargas libres, el vector D necesariamente es cero en todos los puntos del espacio. d) La componente del vector desplazamiento eléctrico perpendicular a la superficie de separación entre dos dieléctricos es siempre continua. Cuestión 21.- La superficie plana de un dieléctrico está en contacto con el aire, cuya permitividad supondremos igual a ɛ 0. Se sabe que la dirección del campo eléctrico en el aire forma un ángulo π/6 con la normal a la superficie del dieléctrico, y que el módulo del campo eléctrico en el aire vale 100 V/m. Asimismo, la dirección del campo eléctrico en el interior del dieléctrico forma un ángulo π/3 con la normal (vea la figura). Calcule: a) La permitividad relativa del dieléctrico. b) El módulo del campo eléctrico en el interior del dieléctrico. c) La densidad superficial de carga de polarización en la superficie del dieléctrico. Figura Cuestión 21: Refracción de línea de campo eléctrico al atravesar la frontera entre un dieléctrico de permitividad relativa ε r y el vacío.
c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 12 Cuestión 22.- Una línea de campo eléctrico se refracta al atravesar la superficie de separación entre dos dieléctricos diferentes de permitividades ε 1 y ε 2 (vea la figura). Si θ 1 y θ 2 son los ángulos que forma la línea de campo eléctrico en cada medio con la normal a la superficie de separación y se cumple que θ 2 > θ 1 (vea la figura), indique razonadamente cuál de los dos dieléctricos tiene mayor permitividad. Figura Cuestión 22: Refracción de línea de campo eléctrico al atravesar la frontera entre dos dieléctricos de permitividades distintas. Cuestión 23.- Una carga puntual q se encuentra situada en la frontera plana de separación entre dos medios dieléctricos semiinfinitos de permitividades ε 1 y ε 2. Calcule el campo eléctrico, el vector desplazamiento y la polarización en todos los puntos del espacio. Figura Cuestión 23: Carga puntual en la frontera de separación entre dos dieléctricos. Cuestión 24.- Considere un condensador de placas planas y paralelas entre las cuales sólo hay aire. Se conectan las placas del condensador a los polos de una pila de V voltios. A continuación se desconecta la pila. Una vez desconectada la pila, se introduce entre las placas una lámina dieléctrica de permitividad ε = 3 ε 0 que ocupa todo el espacio entre las placas. Despreciando los efectos de borde, determine cómo se modifica el campo eléctrico, el vector desplazamiento, la diferencia de potencial entre las placas, la carga libre de las placas, la capacidad y la energía electrostática. En caso de que ésta última haya variado, razone cuál es el origen de tal variación. Figura Cuestión 24: Condensador de placas paralelas antes y después de ser cargado con una lámina dieléctrica. Cuestión 25.- Considere un condensador de placas planas y paralelas entre las cuales sólo hay aire. Se conecta una pila a las placas del condensador. Manteniendo conectada la pila, se introduce entre las placas una lámina dieléctrica de permitividad ε =3ε 0 que ocupa todo el espacio entre las placas. Despreciando los efectos de borde, determine cómo se modifican al introducir la lámina dieléctrica el campo eléctrico, el vector desplazamiento, la diferencia de potencial entre las placas, la carga libre sobre las placas, la capacidad y la energía electrostática. Figura Cuestión 25: Condensador de placas paralelas antes y después de ser cargado con una lámina dieléctrica a potencial constante.
c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 13 Cuestión 26.- Considere un cilindro dieléctrico infinito de sección circular de radio a (permitividad del material ε). En el eje de ese cilindro hay un hilo de radio despreciable cargado con una densidad de carga lineal uniforme λ 0 C/m. Calcule el campo eléctrico, el vector desplazamiento, la polarización y las densidades de carga de polarización en TODOS los puntos del espacio. a Figura Cuestión 26: Densidad de carga lineal en el eje central de un cilindro dieléctrico. 2a Cuestión 27.- Considere un condensador formado por una pareja de placas conductoras circulares de radio a dispuestas paralelamente. Las placas están separadas una distancia d, significativamente menor que a (se pueden despreciar los efectos de borde). El condensador está cerrado mediante una pared dieléctrica lateral de espesor despreciable (cuya permitividad relativa vale aproximadamente uno). Se rellena el condensador hasta la mitad con un líquido dieléctrico de permitividad ε r ε 0. A continuación se conecta a una pila de f.e.m. V 0 voltios. Cuánto vale la capacidad del condensador?. Y la energía electrostática almacenada entre las placas?. Si se retira la pila y se orienta el condensador verticalmente, tal y como se muestra en la figura, cuánto valen ahora la capacidad y la energía electrostática?. d/2 d/2 r r Figura Cuestión 27: Condensador de placas paralelas circulares parcialmente relleno de un dieléctrico líquido hasta la mitad colocado horizontal y verticalmente. V 0 Cuestión 28.- Un condensador esférico de radio interno a y radio externo b está completamente lleno de un líquido dieléctrico de permitividad ε =2ε 0. Mediante una pila se colocan las armaduras del condensador a una diferencia de potencial V. Desconectamos la pila del condensador y, a continuación, extraemos el líquido dieléctrico mediante una jeringuilla. Indique cuánto valen la carga de las armaduras, la diferencia de potencial y la energía electrostática almacenada antes y después de extraer el líquido. Cómo justificaría la variación de energía electrostática que ha tenido lugar en términos mecánicos?. Figura Cuestión 28: Condensador esférico con un dieléctrico en su interior al que se aplica una diferencia de potencial mediante una batería que, posteriormente, se desconecta. Acto seguido se extrae el líquido dieléctrico mediante una jeringuilla.
c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 14 Cuestión 29.- Las placas de un condensador plano se sumergen parcialmente en un líquido dieléctrico, como se muestra en la figura. Al aplicar una diferencia de potencial entre las placas el líquido dieléctrico experimenta un empuje que le hace subir por encima del nivel del líquido fuera del condensador. Cuál es el origen físico de la fuerza responsable de este fenómeno?. Figura Cuestión 29: Condensador de placas paralelas parcialmente sumergido en un líquido dieléctrico y conectado a una batería de f.e.m. V. Cuestión 30.- Una carga puntual q se encuentra situada en el centro de un hueco esférico de radio a y relleno de aire (cuya permitividad se supone igual a ε 0 ), practicado en el seno de un medio infinito de constante dieléctrica relativa ε r. a) Calcule los campos E, D y P en todos los puntos del espacio. b) Calcule las cargas de polarización. Figura Cuestión 30: Carga puntual en el centro de un hueco esférico vacío practicado en un dieléctrico de extensión infinita de permitividad relativa ε r. Problema 19.- Considere un condensador esférico compuesto por dos conductores esféricos concéntricos, uno macizo de radio a y otro hueco de radio interno b (a < b). El espacio entre los conductores está ocupado por un dieléctrico de permitividad ε. Se conecta una pila entre los conductores que establece entre ellos una diferencia de potencial V 0. Manteniendo conectada la pila, el conductor externo se dilata por efecto del calor y se despega del dieléctrico de manera que su forma esférica se mantiene y su radio interno pasa a valer b = b(1 + δ) (δ > 0), tal y como muestra la figura. Calcule: a) Los vectores campo eléctrico y desplazamiento en el espacio existente entre los conductores, antes y después de la dilatación. 2a 2b 2b b) La relación entre los valores de la capacidad antes y después de la dilatación y el valor aproximado que toma esta relación cuando δ << 1. 2b Figura Problema 19: Condensador esférico relleno de dieléctrico sólido antes y después de dilatarse la armadura esférica exterior.
c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 15 Problema 20.- Un condensador cilíndrico está formado por dos conductores cilíndricos concéntricos, uno macizo de radio a y otro hueco de radio interior b (a < b). Las dos bases del cilindro así formado están cerradas por láminas dieléctricas de permitividad relativa aproximadamente igual a uno. Estando el espacio entre las placas ocupado por aire y estando el condensador apoyado sobre una de sus bases, se llena éste de un líquido dieléctrico de permitividad ε hasta la mitad. A continuación, mediante una batería de corriente continua, se establece una diferencia de potencial V 0 entre los conductores. Cuánto valen la carga libre en los conductores, lacapacidad y la energía electrostática almacenada?. Ahora se desconecta la batería y se vuelca el condensador apoyándolo sobre su superficie lateral. Diga cuánto valen ahora la carga libre, la capacidad, la diferencia de potencial entre los conductores y la energía electrostáticaalmacenada. Nota: en la realización del problema, desprecie los efectos de borde en los extremos del condensador cilíndrico. Figura Problema 20: Condensador cilíndrico parcialmente relleno de dieléctrico líquido en posiciones vertical y horizontal. Problema 21.- Considere un condensador esférico formado por dos esferas metálicas, una maciza de radio a y otra hueca de radio interior b (b > a). a) Se establece con un generador una diferencia de potencial V entre los dos conductores del condensador. Acto seguido, se desconecta el generador y se llena la mitad del hueco existente entre las dos esferas con un líquido dieléctrico de permitividad ε (vea la figura). Calcule los vectores E, D y P en la región comprendida entre las dos esferas después de introducir el líquido. Calcule también las variaciones de capacidad y de energía electrostática con respecto a la situación inicial. Aumenta o disminuye la energía electrostática?. Por qué?. b) Repita el apartado anterior si se introduce el líquido sin desconectar el generador. Figura Problema 21: Condensador esférico que, tras ser cargado mediante una batería de f.e.m. V se rellena hasta la mitad de un líquido dieléctrico.
c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 16 Problema 22.- Considere dos conductores esféricos concéntricos, uno macizo de radio a y otro hueco de radio interno b y radio externo c (a < b < c). La mitad del espacio entre los conductores está ocupada por un dieléctrico de permitividad ε y la otra mitad está ocupada por aire (cuya permitividad supondremos igual a ε 0 ), siendo la superficie de separación entre el dieléctrico y el aire una superficie plana ortogonal a la superficie de los conductores esféricos (vea la figura). El exterior del conductor esférico hueco está también ocupado por aire (de permitividad ε 0 ). a) Si el conductor esférico macizo se coloca a un potencial V 1 y el conductor esférico hueco se conecta a tierra, calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio y la carga total que adquiere cada uno de los dos conductores. b) Si el conductor esférico macizo se conecta a tierra y el conductor esférico hueco se coloca a un potencial V 2, calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio y la carga total que adquiere cada uno de los dos conductores. V 2 V 1 b a c apartado a) b V a c apartado b) c) A partir de los resultados obtenidos en los apartados a) y b), determine la matriz de capacidad del conjunto de dos conductores descrito. Figura Problema 22: Sistema de dos conductores esféricos con dieléctrico no homogéneo con dos excitaciones diferentes. Problema 23.- Se dispone de un condensador de placas paralelas rectangulares que están separadas una distancia s. El condensador se sumerge parcialmente en un líquido dieléctrico de permitividad ε, manteniendo las placas perpendiculares a la superficie de separación entre el líquido y el aire (vea la figura). Si se aplica una diferencia de potencial V entre las placas del condensador mediante una batería de corriente continua, se observa que el líquido asciende una altura h en la región comprendida entre las placas. Sabiendo que la densidad másica del líquido vale ρ m, calcule cuánto vale h. Al determinar h suponga que la permitividad del aire vale ε 0. Figura Problema 23: Condensador de placas paralelas parcialmente sumergidas en líquido dieléctrico y conectado a una batería. CUESTIONES Y PROBLEMAS DEL TEMA 4 Cuestión 31.- Entre dos discos conductores perfectos de radio a se coloca otro disco de espesor d y del mismo radio fabricado con un material semiaislante de permitividad ε = ε r ε 0 y conductividad σ. Decimos que la capacidad del condensador así formado es C = επa 2 /d, y la resistencia de fugas del mismo es R = d/(σπa 2 ). Diga cuál de esas expresiones es aproximada y cuál es exacta, explicando razonadamente su respuesta. Figura Cuestión 31: Condensador de placas paralelas circulares con dieléctrico con pérdidas óhmicas en su interior.
c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 17 Cuestión 32.- Se dispone de dos electrodos metálicos esféricos concéntricos, uno macizo interior de radio a y otro hueco de radio interno b (b > a). Tres cuartas partes del espacio entre los electrodos está ocupada por un dieléctrico ideal de permitividad ɛ 1 y conductividad nula, siendo la cuarta parte restante un material de permitividad ɛ 2 y conductividad σ 2 (mucho menor que la conductividad del metal). Calcule la resistencia existente entre los dos electrodos metálicos. Figura Cuestión 32: Sistema de dos conductores esféricos concéntricos separados por dos medios diferentes, uno aislante ideal y el otro aislante con pérdidas óhmicas. Cuestión 33.- Se dispone de un recipiente cilíndrico lleno de mercurio cuya altura vale h, y cuya sección transversal tiene un área A. Entre los extremos del recipiente se aplica una diferencia de potencial V mediante un generador de resistencia interna despreciable. Si el mismo volumen de mercurio se vierte en otro recipiente cilíndrico cuya sección transversal tiene un área A = A/2 y aplicamos la misma diferencia de potencial V entre los extremos, cómo se modifican el campo eléctrico, la resistencia, la densidad de corriente y la intensidad de corriente como consecuencia del cambio de forma del recipiente?. Figura Cuestión 33: Dos resistores de mercurio con diferentes longitudes y secciones pero con el mismo volumen. Cuestión 34.- Considere un resistor con forma de media corona circular, que ha sido fabricado con un material conductor pobre de conductividad σ (típicamente en la práctica se usa grafito mezclado con un aglutinante). El resistor tiene un espesor h, y a y b son los radios interior y exterior de la media corona circular (vea la figura). Si los extremos del resistor se conectan a dos electrodos metálicos como se muestra en la figura, calcule la resistencia entre los electrodos en función de σ y de las dimensiones del resistor. Figura Cuestión 34: Resistor en forma de corona semicircular con sus electrodos de contacto de muy alta conductividad.
c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 18 Cuestión 35.- Una corriente pasa a través de la interfase plana entre dos aleaciones metálicas de nicromo (níquel 65 %, hierro 23 % y cromo 12 %) y constantán (cobre 60 % y níquel 40 %). En el nicromo las líneas de corriente forman un ángulo de 45 o con la normal a la interfase, y en el contastán, de 64 o. a) Si la conductividad del nicromo vale σ 1 = 10 6 (Ωm) 1, cuánto vale la conductividad del constantán?. b) Si el campo eléctrico en el nicromo tiene un módulo de 10 4 V/cm, cuánto vale el módulo del campo eléctrico en el constantán?. Calcule también el módulo de la densidad de corriente en las dos aleaciones. Figura Cuestión 35: Refracción de una línea de corriente eléctrica al atravesar la frontera plana de separación entre dos muestras de diferentes conductores. Problema 24.- Un cable de longitud infinita está fabricado con dos conductores cilíndricos coaxiales, uno macizo de conductividad σ 1 y radio a, y otro hueco de conductividad σ 2, radio interno a y radio externo b (vea la figura). Por el cable circula una corriente de intensidad I en la dirección del eje de revolución de los conductores. a) Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente en el interior de los conductores. b) Calcule la intensidad de corriente que circula por cada conductor. c) Calcule la resistencia de un tramo de longitud l, la diferencia de potencial entre los extremos y la potencia consumida por efecto Joule. d) Obtenga el valor numérico de las magnitudes requeridas en los apartados b) y c) cuando a = 0,5 cm, b = 1,5 cm, σ 1 = 1,03 10 7 (Ωm) 1 (acero), σ 2 = 3,77 10 7 (Ωm) 1 (aluminio), I = 1.000 A y l = 300 m. Figura Problema 24: Cable conductor fabricado con dos conductores diferentes a través del cuál circula una corriente. CUESTIONES Y PROBLEMAS DEL TEMA 5 Cuestión 36.- Considere una espira no plana cuyo contorno coincide con seis de las aristas de un cubo (como se muestra en la figura). La espira transporta una corriente de intensidad I y cada arista del cubo tiene una longitud l. Aplicando el principio de superposición, calcule: a) Un vector unitario que nos dé la dirección y sentido del campo magnético en el vértice A del cubo que se muestra en la figura. b) El momento dipolar magnético de la espira. Figura Cuestión 36: Espira no plana sobre las aristas de un cubo. Cuestión 37.- Un electrón tiene masa m e y carga -e. Se va a utilizar para medir un campo eléctrico y un campo magnético (uniformes y estáticos) que hay en una cierta región del espacio. a) Se sitúa el electrón en reposo en dicha región y se observa que adquiere una aceleración a = a 2 û y, siendo a 2 constante. b) Se introduce el electrón en la región con velocidad inicial v = v 0 û x, y en ese instante, adquiere una aceleración a = a 2 û y + a 3 û z. c) Se introduce el electrón en la región con velocidad inicial v = v 0 û y y adquiere una aceleración a = a 2 û y. Calcule los campos eléctrico y magnético en la región considerada en función de los datos del problema.
c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 19 Figura Cuestión 37: Electrón que se mueve en diferentes circunstancias bajo la acción de un campo eléctrico y un campo magnético desconocidos. Cuestión 38.- Una espira circular de radio a por la que circula una corriente de intensidad I 2 se encuentra situada en el interior de un solenoide cilíndrico de longitud h y radio b (h >>> b > a), de forma que el centro de la espira coincide con el centro del solenoide. El solenoide se ha fabricado con un bobinado de N vueltas de hilo de cobre esmaltado, y por el hilo circula una corriente de intensidad I 1. Si el eje de revolución de la espira forma un ángulo α con el eje del solenoide, calcule el par de fuerzas que actúa sobre la espira. Figura Cuestión 38: Espira circular plana en el interior de un solenoide recto cilíndrico. Cuestión 39.- En la figura se muestra una espira que transporta una corriente estacionaria de intensidad I. a) Calcule el campo magnético creado por la espira en el origen de coordenadas. b) Si se coloca un dipolo de momento dipolar m = m 0 u x en el origen de coordenadas de forma que esté sujeto por su centro, calcule el par de fuerzas sobre el dipolo. Indique asimismo la dirección y sentido que debe tomar el momento dipolar para que el dipolo se encuentre en una posición de equilibrio estable. Cuestión 40.- Con un hilo de un material conductor de conductividad σ se construye un solenoide de N vueltas, radio a y longitud h. A continuación, se conecta el solenoide a un generador de corriente continua de fuerza electromotriz V 0 y resistencia interna despreciable (vea la figura). Si con el mismo hilo conductor se construye un segundo solenoide de 2N vueltas, radio a y longitud h, y este segundo solenoide se conecta al mismo generador que el primero (vea de nuevo la figura), establezca una relación entre las resistencias de los dos solenoides, las intensidades de corriente que los atraviesan, los campos magnéticos existentes en su interior, y las potencias disipadas por efecto Joule. Desprecie los efectos de borde en el cálculo de los campos magnéticos. Figura Cuestión 39: Espira plana con forma de sector de corona circular y dipolo magnético. V 0 h N vueltas 2a V 0 h 2N vueltas Figura Cuestión 40: Dos solenoides construidos con el mismo tipo de hilo conductor y con diferente número de vueltas. 2a
c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 20 Cuestión 41.- Sea el potencial vector magnético siguiente: ( ) aρ A = µ 0 J 0 2 ρ2 û ϕ ; ρ < a ; A = µ 0J 0 a 3 3 6ρ û ϕ ; ρ > a a) Calcule el campo magnético. b) Calcule la densidad de corriente que crea el campo magnético. c) Calcule el flujo magnético a través de un círculo de radio R > a centrado en el eje z y situado en un plano perpendicular a dicho eje. Caso a) Problema 25.- Estudie las siguientes situaciones: a) Considere un conductor laminar con forma de media superficie cilíndrica de radio c y longitud infinita (vea la figura a). Por el conductor circula una corriente uniformemente distribuida de intensidad I en la dirección del eje de revolución de la superficie cilíndrica (eje z en la figura). Calcule el campo magnético en los puntos de dicho eje. x I z c y b) Considere ahora un conductor volumétrico con forma de medio cilindro hueco de radio interno a y radio externo b. Por el conductor circula una corriente uniformemente distribuida de intensidad I en la dirección del eje z de la figura. Utilizando los resultados del apartado anterior, calcule de nuevo el campo magnético producido por esa distribución de corriente en los puntos del eje z. c) Si al conductor del apartado anterior le añadimos la mitad que le falta para formar un cilindro hueco completo por el que circula una corriente de intensidad 2I, cuánto valdría ahora el campo magnético en los puntos del eje z (eje de revolución del cilindro hueco completo)?. Podría calcular en este caso de forma sencilla el campo magnético creado en todos los puntos del espacio (esto es, no sólo en el eje)?. Por qué no sería tan fácil calcularlo en el caso tratado en el apartado (b)?. x Caso b) b I Figura Problema 25: Distribuciones superficial (a) y volumétrica (b) de corriente con forma semicilíndrica. z a y
c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 21 I 1 N vueltas Problema 26.- Calcule el coeficiente de inducción mutua entre las parejas de espiras siguientes: a) Un solenoide toroidal de sección rectangular y un hilo conductor infinito situado en el eje de revolución del solenoide. El solenoide toroidal se ha fabricado con un bobinado de N vueltas, y sus dimensiones son las que se muestran en la figura. El hilo infinito puede considerarse parte de una espira que se cierra por el infinito. b) Dos hilos conductores infinitos paralelos separados una distancia d (que forman parte de una misma espira que se cierra por el infinito, y por lo tanto, transportan la misma corriente en sentidos contrarios) y una espira rectangular que se encuentra en el mismo plano que los hilos. Las dimensiones de la espira rectangular y su distancia a los hilos se muestran en la figura. I 2 a a b Caso (a) I 1 I I 1 2 b c d Caso (b) Figura Problema 26: Dos casos de parejas de circuitos eléctricos cerrados acoplados magnéticamente. h Problema 27.- Aunque es habitual suponer que la corriente en los solenoides lleva siempre dirección perpendicular al eje, en la práctica eso no suele ocurrir. Considere un solenoide cilíndrico infinito de radio a en el que el hilo conductor enrollado alrededor del solenoide tiene forma helicoidal, y en el que la dirección de la corriente forma un ángulo α con el plano perpendicular al eje de revolución del solenoide (vea la figura). Sea I la intensidad de corriente que circula por el hilo conductor. Si el bobinado del hilo conductor es denso y uniforme, se puede demostrar que el solenoide se puede modelar mediante un conductor cilíndrico laminar por el que circula una corriente superficial de densidad de corriente: K = K 0 (cos α u ϕ + senα u z ) siendo K 0 = I/(2πasenα), y siendo el eje z el eje de revolución del solenoide. Utilizando el modelo que se acaba de describir basado en el conductor cilíndrico laminar, obtenga el campo magnético creado por el solenoide en todos los puntos del espacio. Figura Problema 27: Tramo de solenoide cilíndrico con bobina enrollada de forma helicoidal. Problema 28.- Una espira circular de radio a está recorrida por una corriente estacionaria de intensidad I. Si se hace coincidir el centro de la espira con el origen de coordenadas y se hace coincidir el eje de revolución de la espira con el eje z (vea la figura), es posible demostrar que el campo magnético creado por la espira en todos los puntos del espacio admite en coordenadas cilíndricas una expresión del tipo B = B ρ (ρ, z)u ρ + B z (ρ, z)u z. a) Obtenga el valor del campo magnético en el eje de revolución de la espira. b) Demuestre que en puntos próximos al eje de revolución de la espira (esto es, en puntos para los que ρ <<< a), la componente radial del campo magnético se puede aproximar por: Obtenga el valor de la función f 1 (z). B ρ (ρ, z)] ρ<<<a ρf 1 (z)
c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 22 c) Utilizando el resultado obtenido en el apartado c), demuestre que en puntos próximos al eje de revolución de la espira, la componente axial del campo magnético se puede aproximar por: B z (ρ, z)] ρ<<<a f 2 (z) + ρ 2 f 3 (z) Obtenga los valores de las funciones f 2 (z) y f 3 (z). Consejo: utilice las expresiones de la divergencia y el rotacional del campo magnético creado por la espira para resolver los apartados b) y c). Figura Problema 28: Espira circular centrada en el origen y situada en el plano z =0. 2a Problema 29.- Considere un conductor cilíndrico hueco de longitud infinita cuyo eje de revolución coincide con el eje z (vea la figura). El radio interno del conductor cilíndrico vale a, y el radio externo vale b. Por el conductor circula una corriente de densidad volumétrica J = J 0 u ϕ. a) Calcule el campo magnético creado por el conductor cilíndrico en todos los puntos del espacio. b) Calcule el potencial vector en todos los puntos del espacio, tomando como origen de potencial vector el eje del conductor cilíndrico. m u = m 0 z j u = J 0 c) Calcule la fuerza que actúa sobre un dipolo de momento dipolar m = m 0 u z, situado dentro del conductor a una distancia c de su eje (a < c < b). 2b z Figura Problema 29: Corriente cilíndrica azimutal que fluye en un cilindro hueco con dipolo magnético en su interior. Problema 30.- Un electrón de carga e y masa m e sigue un movimiento rectilíneo uniforme en el sentido positivo del eje x con velocidad v = v 0 u x. El electrón entra en una región de campo magnético uniforme B=B 0 u z que está limitada por los planos x = 0 y x = b. Al salir de esta región, el electrón continúa moviéndose hasta impactar sobre una pantalla detectora situada en el plano x = b+c. El electrón impacta en la pantalla en un punto situado a una distancia d del plano y = 0 (vea la figura). a) Cuál es el valor máximo que puede tener b para que el electrón pueda alcanzar la pantalla? b) Para los valores de b inferiores al obtenido en el apartado a), determine el valor de d. Figura Problema 30: Electrón que atraviesa una región de campo magnético uniforme e impacta en una pantalla posterior.