Física y Química 1º Bachillerato LOMCE Bloque 3: Trabajo y Energía Trabajo y Energía 1
El Trabajo Mecánico El trabajo mecánico, realizado por una fuerza que actúa sobre un cuerpo que experimenta un desplazamiento, se define como el producto escalar de la fuerza y el desplazamiento. 2
Ejercicio 1 Sobre un cuerpo, de 10 kg de masa, se ejerce una fuerza de 8 N, que forma un ángulo de 30º con la horizontal. El coeficiente de rozamiento vale µ=0,15. Determina el trabajo realizado por cada una de las fuerzas cuando el cuerpo se desplaza 2 metros. F 30º Ejercicio 2 Un cuerpo se desplaza horizontalmente hacia la derecha 50 metros bajo la acción de una fuerza de 100 N. Determina el trabajo realizado por dicha fuerza: a) Cuando actúa en la misma dirección y sentido del movimiento. Solución: 5.000 J b) Cuando forma un ángulo de 60º con la horizontal. Solución: 2.500 J c) Cuando actúa perpendicularmente hacia arriba. Solución: W=0 d) Cuando forma un ángulo de 150º con la dirección del desplazamiento. Solución: -4330 J Ejercicio 3 La posición de un cuerpo viene dada por: Calcula: 2 12 m a) El módulo del vector desplazamiento en el intervalo t=0 s y t=2 s b) El módulo del vector aceleración. c) El módulo de la fuerza que actúa si la masa del cuerpo es de 3 kg d) El trabajo realizado por la fuerza. Ejercicio 4 Un cuerpo, de 2 kg de masa, recorre 10 metros ascendiendo por un plano inclinado 30º, al tirar de él con una fuerza de 15 N, paralela al plano. Si el coeficiente de rozamiento vale 0,2 calcula el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que intervienen y el trabajo total. Solución: W total = 18,1 J 3
La Potencia Se denomina potencia a la rapidez con la que se realiza un trabajo. La unidad de potencia en el Sistema Internacional de Unidades es el vatio ( W ). El vatio se define como la potencia desarrollada cuando se realiza el trabajo de 1 julio en 1 segundo. 4
La Energía Cinética La energía cinética de un cuerpo es la capacidad que tiene dicho cuerpo de realizar un trabajo por el hecho de encontrarse en movimiento. 5
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EJERCICIOS PROPUESTOS 7
La Energía Potencial Existe una capacidad de realizar trabajo que está asociada a la posición de los cuerpos, distinta de la posición de equilibrio. Esta capacidad de realizar trabajo asociada a la posición se denomina energía potencial. La energía potencial de un cuerpo depende de la fuerza involucrada (fuerza gravitatoria, fuerza eléctrica, fuerza elástica, etc.) y, por tanto, existirá una energía potencial gravitatoria, una energía potencial eléctrica, una energía potencial elástica, La Energía Potencial Gravitatoria Es la capacidad de realizar trabajo que tiene un cuerpo por ocupar una posición distinta a la posición de equilibrio y en la que está sometido a la acción de la fuerza gravitatoria. Para nuestros propósitos consideraremos que la posición de equilibrio de los cuerpos es el suelo. Por tanto, cualquier cuerpo situado a una altura, h, sobre el suelo, tendrá una energía potencial gravitatoria que viene dada por la expresión matemática: Esta expresión de la energía potencial gravitatoria sólo es válida para alturas muy pequeñas comparadas con el radio del planeta, en nuestro caso, comparadas con el radio de la Tierra. En el próximos curso trabajaremos con una expresión más general para la energía potencial gravitatoria. La Energía Potencial Elástica Es la capacidad de realizar trabajo que tiene un cuerpo por ocupar una posición distinta a la posición de equilibrio y en la que está sometido a la acción de la fuerza elástica. Para nuestros propósitos consideraremos solamente los muelles como cuerpos elásticos. Un cuerpo enlazado a un muelle que es comprimido o estirado, es un cuerpo que posee energía potencial elásticas. La expresión matemática que permite calcular la energía potencial elástica de un cuerpo es: 8
EJERCICIOS PROPUESTOS 9
Fuerzas Conservativas y Fuerzas No Conservativas Se denomina energía mecánica de un sistema a la suma de su energía cinética y su energía potencial. Se denominan fuerzas conservativas aquellas fuerzas que al actuar sobre un sistema provocan transformaciones de energía pero cuya acción supone una conservación de la energía mecánica. La fuerza gravitatoria (el peso de los cuerpos), la fuerza electrostática y la fuerza recuperadora de un muelle son fuerzas conservativas. Se denominan fuerzas no conservativas aquellas fuerzas que al actuar sobre un sistema provocan una pérdida de energía mecánica. La fuerza de rozamiento, la fuerza de resistencia del aire, la tensión de una cuerda, la fuerza ejercida por el motor de un vehículo y la fuerza ejercida por una persona, son fuerzas no conservativas El trabajo realizado por las fuerzas conservativas que actúan sobre un sistema es igual a la variación negativa de la energía potencial del sistema. "#"$"%& '"#%& 10
Conservación de la Energía Mecánica Sólo intervienen fuerzas conservativas Intervienen fuerzas conservativas y no conservativas ( (,(,(,(,(,(,(,(,( "#"$"%& '"#%& '"#%& "#"$"%& '"#%& "#"$"%& La energía mecánica final es igual a la energía mecánica inicial y, por tanto, la energía mecánica se conserva. Principio de Conservación de la Energía Mecánica: Si sobre un sistema sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica se conserva. Si el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es positivo, la energía mecánica final es mayor que la energía mecánica inicial. Si el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es negativo, la energía mecánica final es menor que la energía mecánica inicial. Si el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es nulo, la energía mecánica final es igual a la energía mecánica inicial y, por tanto, la energía mecánica se conservaría. 11
Ejemplo Sistema en el que sólo intervienen fuerzas conservativas Un cuerpo se deja caer desde una altura de 40 metros. Suponiendo que no existe fuerza de fricción con el aire, determina la velocidad con la que llega al suelo. En la caída del cuerpo, la única fuerza que actúa es el peso (fuerza gravitatoria) que es una fuerza conservativa. Por tanto, debe cumplirse que: Comprueba que el resultado es idéntico al obtenido en la página 6, al resolver este problema por otros mecanismos. 12
Ejemplo Sistema en el que intervienen fuerzas no conservativas cuyo trabajo es negativo Un cuerpo, de 100 kg de masa, es impulsado sobre una superficie horizontal con una velocidad de 36 km/h. El coeficiente de rozamiento vale µ=0,20. Al cabo de un cierto tiempo, la velocidad es de 18 km/h. Determina el espacio recorrido por el cuerpo en ese tiempo. F r Durante el movimiento, la única fuerza que actúa, en la dirección del movimiento, es la fuerza de rozamiento, que es una fuerza no conservativa. Por tanto, debe cumplirse que: 13
Ejemplo Sistema en el que intervienen fuerzas conservativas y no conservativas cuyo trabajo es negativo Un cuerpo, de 10 kg de masa, se deja caer desde la parte alta de un plano inclinado 30º. Si la altura del plano es de 5 metros, determina la velocidad con la que el cuerpo llega al final del plano. El coeficiente de rozamiento vale µ=0,1 F r N 5 m P y P x En la dirección del movimiento intervienen fuerzas conservativas (P x ) y fuerzas no conservativas cuyo trabajo es negativo (F r ). Debe cumplirse que: 14
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3.- DINÁMICA DEL M.A.S. Vamos a suponer un oscilador consistente en un cuerpo unido a un muelle horizontal. Cuando apartamos el cuerpo del equilibrio una fuerza restauradora de valor F = k x tenderá a devolverlo a su sitio. Vamos a plantear la ecuación que nos sale y que deberemos resolver 2. Sabemos, por la segunda ley de Newton que la suma de todas las fuerzas que actúan en un sistema será igual a la masa por la aceleración y que la aceleración es la segunda derivada de la posición. F =m a=m d²x (15) dt² 2 La ecuación que obtenemos es una ecuación diferencial. Este tipo de ecuaciones tiene la incógnita derivándose, por lo que su resolución no suele ser fácil. Lógicamente escapa de cualquier objetivo de un curso de Bachillerato. Sin embargo, me parece oportuno ponerla para que los alumnos vayáis comprobando que las herramientas matemáticas de las que se sirve la física van mucho más allá de las simples ecuaciones, relaciones trigonométricas, vectores... 16
Anexo. Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) Física y Química 1º Bachillerato (LOMCE) Como la única fuerza que actúa sobre mi sistema es la restauradora (suponemos que no existe rozamiento), obtendremos que: m d²x dt² = k x m d²x dt² +k x=0 d²x dt² + k m x=0 (16) Hasta ahora hemos supuesto que la ecuación de la solución era del tipo x= A cos(ω t+δ). Hacemos la segunda derivada de esta expresión y obtenemos: d²x dt² = A ω ² cos(ω t+δ) (17) Por lo que la expresión (16) queda, sustituyendo el resultado obtenido en (17): A ω ² cos(ω t+δ)+ k m A cos(ω t+δ)=0 (18) Si sacamos factor común A cos(ω t+δ) en la expresión (18): A cos(ω t+δ) [ ω ²+ k m ]=0 (19) Esta ecuación se cumplirá siempre que: A = 0, lo que indica que no hay movimiento. Este resultado no nos es válido. cos(ω t+δ)=0 ω t +δ= (2n+1)π, lo que ocurre solamente para algunos valores de t. 2 Tampoco nos es válido este resultado. ω ²+ k m =0 ω ²= k m (20), condición que sí que se le puede exigir a mi sistema. Por lo tanto, mi ecuación diferencial tiene como solución x= A cos(ω t +δ) con ω ²= k m, donde k es la constante elástica del muelle y m es la masa del cuerpo unido al mismo. Dado que existe una relación entre la frecuencia y el periodo, dada por (4), podemos concluir que: ω ²= k m T =2 π m k (21) Esta expresión nos relaciona el periodo de oscilación del muelle, con su constante restauradora y la masa de la partícula asociada a él. 4.- Consideraciones energéticas del M.A.S. El trabajo para llevar un cuerpo desde el punto x hasta la posición de equilibrio, será pues: W = x 0 F dx= x 0 ( k x) dx= 1 2 k [ x² ] x 0 = 1 2 k x² (22) 17
Anexo. Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) Física y Química 1º Bachillerato (LOMCE) Pero, como las fuerzas restauradoras son del tipo de la ley de Hooke, sabemos que serán conservativas. En estos casos W = - ΔE P W = Δ E P =E P ( x) E P (0) (23) En el punto de equilibrio, la energía potencial será nula. Por lo que, igualando (22) y (23) E P (x)= 1 2 k x² =1 2 k A² cos² (ω t+δ) (24) Por lo tanto, la energía potencial de un oscilador armónico varía periódicamente desde un valor mínimo en el punto de equilibrio ( E Pmin =0 ) hasta un valor máximo en los extremos ( E Pmax = 1 2 k A² ) La energía mecánica total será: E=E p +E c = 1 2 k x² + 1 2 m v² (25) Dado que sabemos de (13) que v=±ω A 2 x 2, si sustituimos este valor en (25) E=E p +E c = 1 2 k x² + 1 2 m (ω A² x² )²= 1 2 k x² + 1 2 m ω ² (A² x² ) (26) Además, llegamos a la conclusión de que para que la ecuación diferencial se cumpliese tenía que darse la condición (21), es decir, ω ²= k m ω ²=k, que sustituyendo en (26) m E= 1 2 k x² + 1 2 k ( A² x² )= 1 2 k A² (27) La energía mecánica de un oscilador que realiza un M.A.S. permanece constante, y es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud del movimiento y a la constante recuperadora de la fuerza. En los extremos la energía potencial es máxima y la cinética nula; mientras en el punto de equilibrio es al revés; la energía potencial nula y la cinética máxima. 18
Anexo. Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) Física y Química 1º Bachillerato (LOMCE) 5.- Un ejemplo de M.A.S. El péndulo simple Todo cuerpo capaz de oscilar alrededor de un eje horizontal, que no pase por su centro de gravedad, constituye un péndulo. Supongamos un cuerpo de masa m, suspendido de un punto fijo O mediante un hilo de masa despreciable. En reposo, el hilo se encontrará en posición vertical y el cuerpo ocupará la posición A de la figura, punto en el cual la fuerza peso, P = m g, se anula con la tensión del hilo, T Si desviamos el cuerpo un ángulo α respecto a su posición de equilibrio A y lo llevamos a la posición B, el peso P se descompone en una componente normal (F n ) a la trayectoria que describirá la masa en su movimiento y en una componente tangencial (F t ) a dicha trayectoria. La componente normal se anula con la tensión del hilo, mientras que la componente tangencial tiende a devolver el cuerpo a su posición de equilibrio A. Esta fuerza siempre es opuesta a la desviación respecto del equilibrio, por ello viene afectada de un signo negativo, y es la que da origen al movimiento del péndulo. De la figura anterior se deduce F t = m g senα (28) Combinando esta ecuación con la 2ª ley de Newton, se tiene F t = m g sen α=m a (29) Por trigonometría llegamos a que senα= x L (30) donde L es la longitud del péndulo y x es la desviación a la que lo hemos sometido Sustituyendo (30) en (29) obtenemos: F =m a= m g x m g = L L x= k x (25) siendo k = m g L (31) Vemos que (25) es la expresión de una fuerza restauradora que da origen a un M.A.S. Podremos aplicarle todas las fórmulas que hemos encontrado para el M.A.S. En concreto, la expresión (21) T =2π m k =2π m m g =2π L g (32) L Esta expresión nos indica que el periodo de oscilación de un péndulo depende tan sólo de la longitud del mismo y del valor de la aceleración de la gravedad. Es independiente, por ejemplo, del ángulo de desviación (α) respecto a su posición de equilibrio. Si en esta expresión despejamos el valor de la aceleración de la gravedad obtenemos que: g= 4π ² L (28) T² Concluimos que podemos calcular el valor de la aceleración de la gravedad a partir de la medición del periodo de un péndulo simple y la longitud del mismo. 19